科研方法第1章误差分析

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1、试 验 设 计 与 数 据 处 理（ 第 二 版 ）Experiment Design and Data Processing 引 言 0.1 试验设计与数据处理的发展概况n 20世纪20年代，英国生物统计学家及数学家费歇（RAFisher）提出了方差分析 n 20世纪50年代，日本统计学家田口玄一将试验设计中应用最广的正交设计表格化 n数学家华罗庚教授也在国内积极倡导和普及的“优选法”n我国数学家王元和方开泰于1978年首先提出了均匀设计 0.2 试验设计与数据处理的意义0.2.1 试验设计的目的:n合理地安排试验,力求用较少的试验次数获得较好结果 例 ： 某 试 验 研 究 了 3个 影

2、响 因 素 ： A：A1，A2，A3 B：B1，B2，B3 C：C1，C2，C3 全面试验：27次 正交试验：9次 0.2.2 数据处理的目的n通过误差分析，评判试验数据的可靠性；n确定影响试验结果的因素主次，抓住主要矛盾，提高试验效率；n确定试验因素与试验结果之间存在的近似函数关系，并能对试验结果进行预测和优化；n试验因素对试验结果的影响规律，为控制试验提供思路；n确定最优试验方案或配方。 第 1章 试 验 数 据 的 误 差 分 析 n误差分析（error analysis） ：对原始数据的可靠性进行客观的评定 n误差（error） ：试验中获得的试验值与它的客观真实值在数值上的不一致 试

3、 验 结 果 都 具 有 误 差 ， 误 差 自 始 至 终 存 在 于 一 切 科 学实 验 过 程 中 客 观 真 实 值 真 值 1.1 真值与平均值 1.1.1 真值（true value）n真值：在某一时刻和某一状态下，某量的客观值或实际值 n真值一般是未知的n相对的意义上来说，真值又是已知的 平 面 三 角 形 三 内 角 之 和 恒 为 180 国 家 标 准 样 品 的 标 称 值 国 际 上 公 认 的 计 量 值 高 精 度 仪 器 所 测 之 值 多 次 试 验 值 的 平 均 值 1.1.2 平均值（mean） （1）算术平均值（arithmetic mean）1 2

4、1. n in i xx x xx n n n 等精度试验值适合：n 试验值服从正态分布 （2）加权平均值(weighted mean)n适合不同试验值的精度或可靠性不一致时1 1 2 2 11 2 1.W n i in n i nn ii w xw x w x w xx w w w w wi权 重 加 权 和 （3）对数平均值（logarithmic mean）说明： n若数据的分布具有对数特性，则宜使用对数平均值n对数平均值算术平均值 n如果1/2x1/x22 时，可用算术平均值代替1 2 1 2 2 11 21 2 2 1ln ln ln lnL x x x x x xx x xx x

5、x x 设两个数：x10，x2 0 ，则 （4）几何平均值（geometric mean）n当一组试验值取对数后所得数据的分布曲线更加对称时，宜采用几何平均值。n几何平均值算术平均值11 2 1 2. ( . )G nn n nx x x x x x x 设有n个正试验值：x1，x2，xn，则 （5）调和平均值（harmonic mean）n常用在涉及到与一些量的倒数有关的场合n调和平均值几何平均值算术平均值11 21 1 1 1.1 nin ix x x xH n n 设有n个正试验值：x1，x2，xn，则： 1.2 误差的基本概念1.2.1 绝对误差（absolute error） （1）

6、定义 绝对误差试验值真值 或 m axtx x x x tx x x （2）说明n真值未知，绝对误差也未知n 可以估计出绝对误差的范围：绝 对 误 差 限 或 绝 对 误 差 上 界 或maxtx x x n绝对误差估算方法： 最 小 刻 度 的 一 半 为 绝 对 误 差 ； 最 小 刻 度 为 最 大 绝 对 误 差 ； 根 据 仪 表 精 度 等 级 计 算 ： 绝 对 误 差 =量 程 精 度 等 级 % 1.2.2 相对误差（relative error） （1）定义：绝对误差相对误差真值t R t tx xxE x x 或 或R xE x（2）说明：n 真值未知，常将x与试验值或平

7、均值之比作为相对误差：R xE x或 n 可以估计出相对误差的大小范围：maxR t tx xE x x 相 对 误 差 限 或 相 对 误 差 上 界 n 相对误差常常表示为百分数（%）或千分数（） (1 ) t Rx x E 1.2.3 算术平均误差 (average discrepancy) n定义式：1 1n ni ii ix x dn n n可以反映一组试验数据的误差大小 ix x试 验 值 与 算 术 平 均 值 之 间 的 偏 差 id 1.2.4 标准误差 (standard error)n当试验次数n无穷大时，总体标准差：2 2 21 1 1( ) ( ) /n n ni i

8、 ii i ix x x x nn n 2 2 2 21 1 1 1( ) ( ) /1 1 1n n n ni i i ii i i id x x x x ns n n n n 试验次数为有限次时，样本标准差：n表示试验值的精密度，标准差，试验数据精密度 （1）定义：以 不 可 预 知 的 规 律 变 化 着 的 误 差 ， 绝 对 误 差 时正 时 负 ， 时 大 时 小（2）产生的原因： 偶 然 因 素（3）特点：具有统计规律n 小 误 差 比 大 误 差 出 现 机 会 多n 正 、 负 误 差 出 现 的 次 数 近 似 相 等n 当 试 验 次 数 足 够 多 时 ， 误 差 的

9、平 均 值 趋 向 于 零 n 可 以 通 过 增 加 试 验 次 数 减 小 随 机 误 差n 随 机 误 差 不 可 完 全 避 免 的 1.3 试验数据误差的来源及分类 1.3.2 系统误差（systematic error） （1）定义： 一 定 试 验 条 件 下 ， 由 某 个 或 某 些 因 素 按 照 某 一确 定 的 规 律 起 作 用 而 形 成 的 误 差 （2）产生的原因：多 方 面（3）特点：n 系 统 误 差 大 小 及 其 符 号 在 同 一 试 验 中 是 恒 定 的 n 它 不 能 通 过 多 次 试 验 被 发 现 ， 也 不 能 通 过 取 多 次 试 验

10、 值 的平 均 值 而 减 小 n 只 要 对 系 统 误 差 产 生 的 原 因 有 了 充 分 的 认 识 ， 才 能 对 它 进行 校 正 ， 或 设 法 消 除 。 1.3.3 过失误差 （mistake ）（1）定义： 一 种 显 然 与 事 实 不 符 的 误 差（2）产生的原因： 实 验 人 员 粗 心 大 意 造 成 （3）特点：n 可 以 完 全 避 免 n 没 有 一 定 的 规 律 1.4.1 精密度（precision） （1）含义：n反映了随机误差大小的程度n在一定的试验条件下，多次试验值的彼此符合程度 例 ： 甲 ： 11.45， 11.46， 11.45， 11.

11、44 乙 ： 11.39， 11.45， 11.48， 11.50（2）说明：n可以通过增加试验次数而达到提高数据精密度的目的 n试验数据的精密度是建立在数据用途基础之上的 n试验过程足够精密，则只需少量几次试验就能满足要求 1.4 试验数据的精准度 （3）精密度判断 极差（range） 2 2 21 1 1( ) ( ) /n n ni i ii i ix x x x nn n max minR x x 标准差（standard error）2 2 21 1 1( ) ( ) /1 1n n ni i ii i ix x x x ns n n R，精密度标准差，精密度 方差（variance

12、） 标准差的平方：n样本方差（ s2 ）n总体方差（2 ）n方差，精密度 1.4.2 正确度（correctness） （1）含义：反映系统误差的大小（2）正确度与精密度的关系： n 精密度不好，但当试验次数相当多时，有时也会得到好的正确度 n 精密度高并不意味着正确度也高 （a）（b）（c） 1.4.3 准确度（accuracy） （1）含义：n反映了系统误差和随机误差的综合 n表示了试验结果与真值的一致程度（2）三者关系n无系统误差的试验 精 密 度 ： A B C正 确 度 ： A B C准 确 度 ： A B C n有系统误差的试验 精 密 度 ： A B C 准 确 度 ： A B

13、C ， A B， C 1.5.1 随机误差的检验 1.5 试验数据误差的统计假设检验 1.5.1.1 2检验（ 2 -test） （1）目的：对 试 验 数 据 的 随 机 误 差 或 精 密 度 进 行 检 验 。 在 试 验 数 据 的 总 体 方 差 2 已 知 的 情 况 下 ，（2）检验步骤：若 试 验 数 据 1 2, , , nx x x 服 从 正 态 分 布 ， 则 计算统计量2 22 2( 1)n s 查临界值2 ( )df 1df n 2服 从 自 由 度 为 的 分 布显 著 性 水 平 一 般 取 0.01或 0.05， 表 示 有 显 著 差 异 的 概 率n 双侧

14、（尾）检验(two-sided/tailed test) ：2 2 21 22 检验 若则 判 断 两 方 差 无 显 著 差 异 ， 否 则 有 显 著 差 异 n单侧（尾）检验(one-sided/tailed test) ： 左 侧 （ 尾 ） 检 验 ：2 2(1 )( )df 则 判 断 该 方 差 与 原 总 体 方 差 无 显 著 减 小 ， 否 则 有 显 著 减 小 右 侧 （ 尾 ） 检 验 2 2( )df 则 判 断 该 方 差 与 原 总 体 方 差 无 显 著 增 大 ， 否 则 有 显 著 增 大 若若（3）Excel在2检验中的应用 1.5.1.2 F检验(F-

15、test) （1）目的： 对 两 组 具 有 正 态 分 布 的 试 验 数 据 之 间 的 精 密 度 进 行 比 较 （2）检验步骤计算统计量 1(1) (1) (1)1 2, , , nx x x 2(2) (2) (2)1 2, , , nx x x21s21s设 有 两 组 试 验 数 据 ：都 服 从 正 态 分 布 ， 样 本 方 差 分 别 为 和和 ， 则2122sF s 1 1 1df n 2 2 1df n 第 一 自 由 度 为第 二 自 由 度 为服 从 F分 布 ， 查临界值给 定 的 显 著 水 平 1 1 1df n 2 2 1df n 查 F分 布 表 临 界

16、 值n 双侧（尾）检验(two-sided/tailed test) ：检验 若则 判 断 两 方 差 无 显 著 差 异 ， 否 则 有 显 著 差 异 1 2 1 2(1 )2 2( , ) ( , )F df df F F df df n单侧（尾）检验(one-sided/tailed test) ： 左 侧 （ 尾 ） 检 验 ：则 判 断 该 判 断 方 差 1比 方 差 2无 显 著 减 小 ， 否 则 有 显 著 减 小 右 侧 （ 尾 ） 检 验 则 判 断 该 方 差 1比 方 差 2无 显 著 增 大 ， 否 则 有 显 著 增 大 若若 (1 ) 1 2( , )F F

17、df df 1 2( , )F F df df（3）Excel在F检验中的应用 1.5.2 系统误差的检验1.5.2.1 t检验法 （1）平均值与给定值比较 目的：检验服从正态分布数据的算术平均值是否与给定值有显著差异检验步骤：n计算统计量： 0 xt ns服 从 自 由 度 1df n 的 t分 布 (t-distribution) 0 给 定 值 （ 可 以 是 真 值 、 期 望 值 或 标 准 值 ） n双侧检验 ：若 2t t则 可 判 断 该 平 均 值 与 给 定 值 无 显 著 差 异 ， 否 则 就 有 显 著 差 异 n 单侧检验 左 侧 检 验 0t t t 若 且则 判

18、 断 该 平 均 值 与 给 定 值 无 显 著 减 小 ， 否 则 有 显 著 减 小 右 侧 检 验 0t t t若 且则 判 断 该 平 均 值 与 给 定 值 无 显 著 增 大 ， 否 则 有 显 著 增 大 （2）两个平均值的比较 目 的 ： 判 断 两 组 服 从 正 态 分 布 数 据 的 算 术 平 均 值 有 无 显 著差 异计算统计量：n两组数据的方差无显著差异时 1 2 1 21 2x x n nt s n n 服 从 自 由 度 1 2 2df n n 的 t分 布 s合 并 标 准 差 ： 2 21 1 2 2 1 2( 1) ( 1)2n s n ss n n n

19、两组数据的精密度或方差有显著差异时 1 22 21 21 2x xt s sn n 服 从 t分 布 ， 其 自 由 度 为 ： 2 2 21 1 2 22 2 2 21 1 2 21 2( ) 2( ) ( )( 1) ( 1)s n s ndf s n s nn n t检验 n双侧检验 ：若 2t t则 可 判 断 两 平 均 值 无 显 著 差 异 ， 否 则 就 有 显 著 差 异 n 单侧检验 左 侧 检 验 0t t t 若 且则 判 断 该 平 均 值 1较 平 均 值 2无 显 著 减 小 ， 否 则 有 显 著 减 小 右 侧 检 验 0t t t若 且则 判 断 该 平 均

20、 值 1较 平 均 值 2无 显 著 增 大 ， 否 则 有 显 著 增 大 （3）成对数据的比较 目 的 ： 试 验 数 据 是 成 对 出 现 ， 判 断 两 种 方 法 、 两 种 仪 器或 两 分 析 人 员 的 测 定 结 果 之 间 是 否 存 在 系 统 误 差计算统计量： 0 dd dt ns成 对 测 定 值 之 差 的 算 术 平 均 值 ： d0d 零 或 其 他 指 定 值 1 1n ni ii ix x dd n n ds n对 试 验 值 之 差 值 的 样 本 标 准 差 ： 21 ( )1n iid d ds n 服 从 自 由 度 为 1df n 的 t分 布

21、 t检验 若2t t否 则 两 组 数 据 之 间 存 在 显 著 的 系 统 误 差 ， 则 成 对 数 据 之 间 不 存 在 显 著 的 系 统 误 差 ，（4）Excel在t检验中的应用 1.5.2.2 秩和检验法（rank sum test）（1）目的：两组数据或两种试验方法之间是否存在系统误差、两种方法是否等效等 ，不要求数据具有正态分布 （2）内容：n设有两组试验数据，相互独立 ，n1，n2分别是两组数据的个数 ，总假定 n1n2；n将这个试验数据混在一起，按从小到大的次序排列 n每个试验值在序列中的次序叫作该值的秩（rank）n将属于第1组数据的秩相加，其和记为R 1 R1第1

22、组数据的秩和（rank sum） 如果两组数据之间无显著差异，则R1就不应该太大或太小 n查秩和临界值表： 根据显著性水平和n1，n2，可查得R1的上下限T2和T1 n检验：如果R1T2 或R1 T1，则认为两组数据有显著差异，另一组数据有系统误差如果T1R1T2，则两组数据无显著差异，另一组数据也无系统误差 （3）例： 设甲、乙两组测定值为： 甲：8.6，10.0，9.9，8.8，9.1，9.1 乙：8.7，8.4，9.2，8.9，7.4，8.0，7.3，8.1，6.8已知甲组数据无系统误差，试用秩和检验法检验乙组测定值是否有系统误差。（0.05）解:（1）排序： 秩1 2 3 4 5 6

23、7 8 9 10 11.5 11.5 13 14 15甲8.6 8.8 9.1 9.1 9.9 10.0乙6.8 7.3 7.4 8.0 8.1 8.4 8.7 8.9 9.2 （2）求秩和R1 R1=7911.511.5141568（3）查秩和临界值表 对于0.05， n1=6，n2=9得 T1=33，T263， R1T2 故：两组数据有显著差异，乙组测定值有系统误差 1.5.3 异常值的检验 可 疑 数 据 、 离 群 值 、 异 常 值 一般处理原则为： n在试验过程中，若发现异常数据，应停止试验，分析原因，及时纠正错误n试验结束后，在分析试验结果时，如发现异常数据，则应先找出产生差异的

24、原因，再对其进行取舍n在分析试验结果时，如不清楚产生异常值的确切原因，则应对数据进行统计处理；若数据较少，则可重做一组数据 n对于舍去的数据，在试验报告中应注明舍去的原因或所选用的统计方法 1.5.3.1 拉依达（ ）检验法内容： 可疑数据xp ，若3 2 px x s s 或则应将该试验值剔除。 说明：n计算平均值及标准偏差s 时，应包括可疑值在内n 3s相当于显著水平0.01，2s相当于显著水平0.05 Pauta n可疑数据应逐一检验，不能同时检验多个数据 首 先 检 验 偏 差 最 大 的 数 n剔除一个数后，如果还要检验下一个数 ，应重新计算平均值及标准偏差n方法简单，无须查表 n该

25、检验法适用于试验次数较多或要求不高时3s为 界 时 ， 要 求 n 102s为 界 时 ， 要 求 n 5 有一组分析测试数据：0.128，0.129，0.131，0.133，0.135，0.138，0.141，0.142，0.145，0.148，0.167，问其中偏差较大的0.167这一数据是否应被舍去? （0.01）解：（1）计算例：0.140, 0.01116x s （2）计算偏差 ,x s0.167 0.140 0.027 px x （3）比较 3s30.011160.03350.027 故按拉依达准则，当0.01时，0.167这一可疑值不应舍去 （2）格拉布斯（Grubbs）检验法

26、内容： 可疑数据xp ，若 则应将该值剔除。 ( , )nG Grubbs检 验 临 界 值 ( , )pp nd x x G s 格拉布斯（Grubbs）检验临界值G( ,n)表 说明：n计算平均值及标准偏差s 时，应包括可疑值在内n可疑数据应逐一检验，不能同时检验多个数据 首 先 检 验 偏 差 最 大 的 数 n剔除一个数后，如果还要检验下一个数 ，应重新计算平均值及标准偏差n能适用于试验数据较少时 n格拉布斯准则也可以用于检验两个数据偏小，或两个数据偏大的情况 例：例1-13 （3）狄克逊（Dixon）检验法 单侧情形n将n个试验数据按从小到大的顺序排列： x1x2xn-1xn 如果有

27、异常值存在，必然出现在两端，即x1 或xnn计算出统计量D或Dn查单侧临界值 1 ( )D n 检验xn时，当 1 ( )D D n时，可剔除xnn 检验 检验x1时，当 时，可剔除x11 ( )D D n 双侧情形n计算D和 Dn查双侧临界值 1 ( )D nn 检验 当 D D 1 ( )D D n， 判 断 nx 为 异 常 值 当 D D 1 ( )D D n， 判 断 1x 为 异 常 值 说明n适用于试验数据较少时的检验，计算量较小 n单侧检验时，可疑数据应逐一检验，不能同时检验多个数据 n剔除一个数后，如果还要检验下一个数 ，应重新排序 例：例1-14 1.6.1 有效数字（si

28、gnificance figure） 能 够 代 表 一 定 物 理 量 的 数 字n有效数字的位数可反映试验或试验仪表的精度n数据中小数点的位置不影响有效数字的位数例 如 ： 50， 0.050m， 5.0 104mn第一个非0数前的数字都不是有效数字，而第一个非0数后的数字都是有效数字例 如 ： 29和 29.00n第一位数字等于或大于8，则可以多计一位例 如 ： 9.99 1.6 有效数字和试验结果的表示 1.6.2 有效数字的运算（1）加、减运算： 与其中小数点后位数最少的相同（2）乘、除运算 以各乘、除数中有效数字位数最少的为准（3）乘方、开方运算： 与其底数的相同： 例 如 ： 2

29、.42=5.8（4）对数运算： 与其真数的相同 例 如 ln6.84 1.92； lg0.00004 4 （5）在4个以上数的平均值计算中，平均值的有效数字可增加一位（6）所有取自手册上的数据，其有效数字位数按实际需要取，但原始数据如有限制，则应服从原始数据。（7）一些常数的有效数字的位数可以认为是无限制的 例 如 ， 圆 周 率 、 重 力 加 速 度 g、 、 1/3等（8）一般在工程计算中，取23位有效数字 1.6.3 有效数字的修约规则n 4：舍去n 5，且其后跟有非零数字 ，进1位例 如 ： 3.14159 3.142n5，其右无数字或皆为0时，“尾留双”： 若 所 保 留 的 末

30、位 数 字 为 奇 数 则 进 1 若 所 保 留 的 末 位 数 字 为 偶 数 则 舍 弃例 如 ： 3.1415 3.142 1.3665 1.366 1.7 误差的传递n误差的传递：根据直接测量值的误差来计算间接测量值的误差1.7.1 误差传递基本公式 间接测量值y与直接测量值xi之间函数关系 ： 1 21 2 . nnf f fdy dx dx dxx x x 1 21 2 . nnf f fy x x xx x x 全 微 分 n函数或间接测量值的绝对误差为：1n ii ify xx 1n ii i xy fy x y n相对误差为：ifx 误差传递系数 ix 直接测量值的绝对误差

31、；y 间接测量值的绝对误差或称函数的绝对误差。 n函数标准误差传递公式：2 21 ( )ny ii ifx 2 2 1 ( )ny ii ifs sx 1.7.2 常用函数的误差传递公式 表1-4 1.7.3 误差传递公式的应用（1）根据各分误差的大小，来判断间接测量或函数误差的主要来源： 例 1-16（2）选择合适的测量仪器或方法： 例 1-17 秩和临界值表 n 检 验 高 端 异 常 值 检 验 低 端 异 常 值3781011131430 11n nnx xD x x 2 11 nx xD x x 12n nnx xD x x 2 11 1 nx xD x x 22n nnx xD x x 3 11 1 nx xD x x 23n nnx xD x x 3 12 1 nx xD x x 统计量D计算公式