高等数学：二重积分的计算

目录 上页 下页 返回 结束*三、二重积分的换元法三、二重积分的换元法 第二节一、利用直角坐标计算二重积分一、利用直角坐标计算二重积分 二、利用极坐标计算二重积分二、利用极坐标计算二重积分 二重积分的计算法 第十章 目录 上页 下页 返回 结束 yyxfxxxbad),(d)()(21xbad 一、利用直角坐标计算二重积分一、利用直角坐标计算二重积分设曲顶柱的底为bxaxyxyxD)()(),(21任取,0bax 平面0 xx 故曲顶柱体体积为DyxfVd),(yyxfxAxxd),()()()(000201截面积为yyxfxxd),()()(21baxxAd)(截柱体的)(2xy)(1xy0 x),(yxfz zxyabDO记作记作 目录 上页 下页 返回 结束 ydcd dycyxyyxD),()(),(21同样,曲顶柱的底为则其体积可按如下两次积分计算DyxfVd),(xyxfyyd),()()(21xyxfyyd),()()(21dcydOydcx)(2yx)(1yxy记作记作 目录 上页 下页 返回 结束 例例1.求两个底圆半径为R 的直交圆柱面所围的体积.解解:设两个直圆柱方程为,222Ryx利用对称性,考虑第一卦限部分,其曲顶柱体的顶为则所求体积为yxxRVDdd822220dxRyxxRRd)(80223316R222Rzx22xRz 00:),(22RxxRyDyxxxRRd8022222Ryx222RzxDxyzRRO目录 上页 下页 返回 结束 Oy)(1yx)(2yxxdc且在D上连续时,0),(yxf当被积函数bxaxyxD)()(:21Dyxyxfdd),(yyxfxxd),()()(21baxd由曲顶柱体体积的计算可知,若D为 X-型区域 则O)(1xy)(2xyxbyDax若D为Y-型区域dycyxyD)()(:21yxyxfyyd),()()(21dcydDyxyxfdd),(则目录 上页 下页 返回 结束 当被积函数),(yxf2),(),(),(yxfyxfyxf2),(),(yxfyxf),(1yxf),(2yxf均非负均非负DDyxyxfyxyxfdd),(dd),(1在D上变号变号时,因此上面讨论的累次积分法仍然有效.由于Dyxyxfdd),(2目录 上页 下页 返回 结束 xyOxyDO说明说明:(1)若积分区域既是 X-型区域又是Y-型区域,Dyxyxfdd),(为计算方便,可选择积分序选择积分序,必要时还可以交换积分序交换积分序.)(2xyba)(1yx)(2yxdc则有x)(1xyyyyxfxxd),()()(21baxdxyxfyyd),()()(21dcyd(2)若积分域较复杂,可将它分成若干2D1D3DX-型域或Y-型域,321DDDD则 目录 上页 下页 返回 结束 121221d y例例2.计算,dDyxI其中D 是直线 y1,x2,及yx 所围的闭区域.解法解法1.将D看作X-型区域,则:DI21d xyyx d21d x2121321dxxx891221xyx解法解法2.将D看作Y-型区域,则:DIxyx d21d yyyx222121321d2yyy891xy2xy 121 x2 xy21 yxy xyxyO目录 上页 下页 返回 结束 例例3.计算,dDyx其中D 是抛物线xy 2所围成的闭区域.解解:为计算简便,先对 x 后对 y 积分,:Dxyx dDyxd21dy212221d2yyxyy2152d)2(21yyyy12612344216234yyyy845Dxy 22 xy214Oyxy22yxy21y2y2y2 xy及直线则 目录 上页 下页 返回 结束 例例4.计算,ddsinDyxxx其中D 是直线,0,yxy所围成的闭区域.OxyDxxy 解解:由被积函数可知,因此取D 为X-型域:00:xxyDDyxxxddsinxy0d0dsinxx0cos x20dsinxxxx先对 x 积分不行,说明说明:有些二次积分为了积分方便,还需交换积分顺序.目录 上页 下页 返回 结束 2例例5.交换下列积分顺序22802222020d),(dd),(dxxyyxfxyyxfxI解解:积分域由两部分组成:,200:2211xxyD822 yx2D22yxO222280:22xxyD21DDD将:D视为Y-型区域,则282yxy20 yDyxyxfIdd),(282d),(yyxyxf20dy1D221xy 目录 上页 下页 返回 结束 例例6.计算,dd)1ln(2yxyyxID其中D 由,42xy1,3xxy所围成.Oyx124xyxy32D1D1x解解:令)1ln(),(2yyxyxf21DDD(如图所示)显然,1上在D),(),(yxfyxf,2上在D),(),(yxfyxfyxyyxIDdd)1ln(120yxyyxDdd)1ln(224目录 上页 下页 返回 结束 二、利用极坐标计算二重积分二、利用极坐标计算二重积分Oxkkkrrkkkkkkrrsin,cos对应有在极坐标系下,用同心圆 r=常数则除包含边界点的小区域外,小区域的面积kkkkkkrrrr)(21),2,1(nkk在k),(kkrkkkkrr kkkr221内取点kkkrr221)(及射线 =常数,分划区域D 为kkrkrkrkO目录 上页 下页 返回 结束 kkkkkkknkrrrrf)sin,cos(lim10kknkkf),(lim10Dyxfd),(ddrr即Drrf)sin,cos(drrddrdO目录 上页 下页 返回 结束)(rDOxD)(1r)(2rOx)()(21d)sin,cos(rrrrf设,)()(:21rD则Drrrrfdd)sin,cos(d特别特别,对20)(0:rDDrrrrfdd)sin,cos()(0d)sin,cos(rrrrf20d)(1r)(2rOxD目录 上页 下页 返回 结束 此时若 f 1 则可求得D 的面积d)(21202Dd思考思考:下列各图中域 D 分别与 x,y 轴相切于原点,试答答:;0)1(问 的变化范围是什么?(1)(2)22)2()(rDyxO)(rDyxO)(rDOx目录 上页 下页 返回 结束 例例7.计算,dde22Dyxyx其中.:222ayxD解解:在极坐标系下,200:arD原式Drrarde02ar02e212)e1(2a2ex的原函数不是初等函数,故本题无法用直角2erddrr20d由于故坐标计算.目录 上页 下页 返回 结束 注注:利用上题可得一个在概率论与数理统计及工程上非常有用的反常积分公式2de02xx事实上,222Rddeyxyxyxyxdede2220de42xxxayxxadelim2222故式成立.)e1(lim2aa222Rddeyxyx又目录 上页 下页 返回 结束 例例8.求球体22224azyx被圆柱面xayx222)0(a所截得的(含在柱面内的)立体的体积.解解:设由对称性可知20,cos20:arDdd4422rrraVD20d4cos2022d4arrrad)sin1(3322033a)322(3323axya2DOcos2rxyza2O目录 上页 下页 返回 结束 内容小结内容小结(1)二重积分化为二次积分的方法直角坐标系情形直角坐标系情形:若积分区域为)()(,),(21xyyxybxayxD则)()(21d),(dd),(xyxybaDyyxfxyxf 若积分区域为)()(,),(21yxxyxdycyxD则)()(21d),(dd),(yxyxdcDxyxfyyxf)(1xyy)(2xyy xybaDOxy)(1yxx Ddc)(2yxx O目录 上页 下页 返回 结束)()(,),(21rrDDDrrfyxf)sin,cos(d),(则)()(21d)sin,cos(drrrrf极坐标系情形极坐标系情形:若积分区域为ddrrD)(1r)(2rOx目录 上页 下页 返回 结束(3)计算步骤及注意事项计算步骤及注意事项 画出积分域 选择坐标系 确定积分序 写出积分限 计算要简便域边界应尽量多为坐标线被积函数关于坐标变量易分离积分域分块要少累次积分好算为妙图示法不等式(先积一条线,后扫积分域)充分利用对称性目录 上页 下页 返回 结束 yx1xy 1O思考与练习思考与练习1.设,1,0)(Cxf且,d)(10Axxf求.d)()(d110yyfxfxIx提示提示:交换积分顺序后,x,y互换 yxIxyfxfyd)()(010d yyyfxfxd)()(010d xI2yyfxfxxd)()(d110yyfxfxd)()(010d x10d xyyfxfd)()(101010d)(d)(yyfxxf2A目录 上页 下页 返回 结束 cosar xaO2.交换积分顺序ararccos)0(d),(dcos022arrfIa提示提示:积分域如图rrar0dararccosararccosId),(rf目录 上页 下页 返回 结束 axy2解：解：原式ay0daay2d22xaxy22yaax备用题备用题1.给定改变积分的次序.)0(d),(d20222ayyxfxIaaxxaxay0d2222d),(yaaayxyxfayaaxyxf222d),(aayxyxf222d),(ayx22a2a2aOxyayx2222yaax22yaax目录 上页 下页 返回 结束 xyO3261sin4 ryxyxDdd)(22sin4sin22drrr)32(15yyx422yyx22203 yx2.计算其中D 为由圆所围成的,dd)(22yxyxD,222yyxyyx42203 xy及直线,03yx解：解：平面闭区域.03 xysin2 r2436dD