2017_2018学年高中数学第三章导数及其应用课件(打包8套)新人教A版选修.zip
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第三章导数及其应用3 1变化率与导数3 1 1变化率问题3 1 2导数的概念 主题1平均变化率1 写出气球的体积V 单位 L 与半径r 单位 dm 之间的关系式 然后将球半径r表示为球体积V的函数 提示 体积V与半径r之间的关系式为V r r3 将半径r表示为体积V的函数为r V 2 当空气容量V从0增加到1L时 气球半径增加了多少 此时气球的平均膨胀率是多少 当空气容量V从1L增加到2L呢 提示 当空气容量V从0增加到1L时 气球半径增加了r 1 r 0 0 62 dm 气球的平均膨胀率为 0 62 dm L 当空气容量V从1L增加到2L时 气球半径增加了r 2 r 1 0 16 dm 气球的平均膨胀率为 0 16 dm L 3 若运动员相对于水面的高度h 单位 m 与起跳后的时间t 单位 s 存在函数关系 h t 4 9t2 6 5t 10 则运动员在0 t 0 5这段时间里的平均速度是多少 运动员在1 t 2这段时间里的平均速度是多少 提示 在0 t 0 5这段时间里的平均速度是在1 t 2这段时间里的平均速度是 结论 平均变化率概念我们把式子 称为函数y f x 从 到 的平均变化率 x1 x2 主题2导数的概念1 物体的平均速度能否精确反映它的运动状态 提示 不能 如高台跳水运动员相对于水面的高度h与起跳时间t的函数关系h t 4 9t2 6 5t 10 易知而运动员依然是运动状态 2 如何精确描述物体在某一时刻的运动状态 提示 可以使用瞬时速度精确描述物体在某一时刻的运动状态 如求t 2时的瞬时速度 可考察在t 2附近的一个间隔 t 当 t趋近于0时 看平均速度的变化趋势 用式子表示 这就是物体在t 2时的瞬时速度 3 导数和瞬时变化率是什么关系 导数有什么作用 提示 函数在某点处的导数就是函数在这点处的瞬时变化率 导数可以反映函数在一点处变化的快慢程度 结论 函数在某点处的导数函数y f x 在x x0处的瞬时变化率是 我们称它为函数y f x 在x x0处的导数 记作 即f x0 f x0 或y 微思考 1 观察函数y f x 的图象 平均变化率的几何意义是什么 平均变化率绝对值的大小与曲线的陡峭程度是否存在关系 提示 平均变化率可以描述一个函数在某个范围内变化的快慢 它表示割线的斜率 函数f x 在区间 x1 x2 上的平均变化率是曲线y f x 在区间 x1 x2 上陡峭程度的 数量化 曲线陡峭程度是平均变化率的 视觉化 2 如何理解导数定义中的 x y 提示 x表示自变量的增量 其值可正可负不能为零 y表示函数值的增量 其值可正可负可为零 表示平均变化率 其极限存在 则函数y f x 在某一点处可导 否则不可导 预习自测 1 当自变量从x0变到x1时 函数值的增量与相应自变量的增量之比是函数 A 在 x0 x1 上的平均变化率B 在x0处的变化率C 在x1处的变化率D 以上都不对 解析 选A 由平均变化率的定义知当自变量从x0变到x1时 函数值的增量与相应自变量的增量之比是函数在 x0 x1 上的平均变化率 2 质点运动规律s t2 3 则在时间 3 3 t 中 相应的平均速度等于 A 6 tB 6 t C 3 tD 9 t 解析 选A 3 设函数f x 在x0处可导 则 A f x0 B f x0 C f x0 D f x0 解析 选C 4 已知函数f x A A为常数 则f 2 解析 因为 y f 2 x f 2 A A 0 所以 0 f 2 答案 0 5 婴儿从出生到第24个月的体重变化如图 则第二年婴儿体重的月平均变化率是 解析 由题图可知 第二年婴儿体重的月平均变化率为 0 25 千克 月 答案 0 25千克 月 6 质点M按规律s 2t2 3做直线运动 位移单位 cm 时间单位 s 求质点M在t 2时的瞬时速度 并与运用匀变速直线运动速度公式求得的结果进行比较 解析 1 瞬时速度v 2 因为s 2t2 3 s0 v0t at2 所以v0 0cm s 因为a 2 所以a 4cm s2 所以瞬时速度v 4t 4 2 8cm s 结论 用两种方法求得的结果相同 类型一求平均变化率 典例1 试求函数f x x2 x在x 1附近的平均变化率 解题指南 先计算 y f 1 x f 1 再利用求解 解析 延伸探究 1 已知函数f x x2 x的图象上的一点A 1 2 及邻近一点B 1 x 2 y 则 解析 答案 3 x 2 设函数f x 在x0附近有定义 且有f x0 x f x0 a x b x 2 a b R 则函数f x 在x0附近的平均变化率为 解析 由 a b x 可得f x 在x0附近的平均变化率为a b x 答案 a b x 方法总结 1 计算函数值的改变量 y f x2 f x1 2 计算自变量的改变量 x x2 x1 3 得平均变化率 补偿训练 求函数y f x 3x2 2在区间 x0 x0 x 上的平均变化率 并求当x0 2 x 0 1时平均变化率的值 解析 函数y f x 3x2 2在区间 x0 x0 x 上的平均变化率为当x0 2 x 0 1时 函数y 3x2 2在区间 2 2 1 上的平均变化率为6 2 3 0 1 12 3 类型二求瞬时变化率 典例2 2017 沈阳高二检测 若一物体的运动满足函数s 路程单位 m 时间单位 s 求 1 物体在t 3s到t 5s这段时间内的平均速度 2 物体在t 1s时的瞬时速度 解题指南 1 先求增量 再求平均速度 2 先求增量 再求平均速度 再求极限 进而得出瞬时速度 解析 1 s s 5 s 3 3 52 2 3 32 2 48 2 因为 s 29 3 1 t 3 2 29 3 1 3 2 3 t 2 12 t 所以所以即物体在t 1s时的瞬时速度为 12m s 方法总结 1 函数的平均变化率和瞬时变化率的关系 平均变化率 当 x趋于0时 它所趋于的一个常数就是函数在x0处的瞬时变化率 2 共同点 它们都是用来刻画函数变化快慢的 它们的绝对值越大 函数变化得越快 3 逼近法求瞬时变化率 求函数的瞬时变化率是利用平均变化率 逐渐逼近 的方法求解 巩固训练 一质点按规律s t at2 1做直线运动 位移单位 m 时间单位 s 若该质点在t 2s时的瞬时速度为8m s 求常数a的值 解析 因为 s s 2 t s 2 a 2 t 2 1 a 22 1 4a t a t 2 所以 4a a t 故在t 2s时 瞬时速度为s 2 4a m s 由题意知 4a 8 所以a 2 补偿训练 一物体的运动方程为s 7t2 8 则其在t 时的瞬时速度为1 解析 当 7 t 14t0 1时 t0 答案 类型三求函数在某点处的导数 典例3 根据导数的定义求下列函数的导数 1 求函数y x2 3在x 1处的导数 2 求函数y 在x a a 0 处的导数 解题指南 1 利用导数定义进行变形 2 本题是根据定义求函数的导数 因此可先求 再求其极限值 即可得出导数值 解析 1 y f 1 x f 1 1 x 2 3 12 3 2 x x 2 所以所以y x 1 2 x 2 2 y f a x f a 所以所以y x a 方法总结 用导数定义求函数在某一点处的导数的三个步骤 1 作差 y f x0 x f x0 2 作比 3 取极限f x0 简记为一差 二比 三极限 巩固训练 已知函数y f x ax2 c且f 1 2 求a的值 解析 f 1 所以a 1 补偿训练 求函数y 3x2在x 1处的导数 解题指南 先求 y f 1 x f 1 6 x 3 x 2 再求 6 3 x 再求 6 解析 y f 1 x f 1 6 x 3 x 2 课堂小结 1 知识总结 2 方法总结 1 平均变化率当 x趋于0时 它所趋于的一个常数就是函数在x0处的瞬时变化率 即求函数的瞬时变化率是利用平均变化率 逐渐逼近 的方法求解 另外 它们都是用来刻画函数变化快慢的 它们的绝对值越大 函数变化得越快 2 函数在一点处的导数 就是在该点函数值的改变量与自变量的改变量的比值的极限 它是一个定值 不是变数 3 1 3导数的几何意义 主题1导数的几何意义1 如图 1 l1是否为曲线在点A处的切线 l2是否为曲线在点B处的切线 l2是否为曲线在点C处的切线 提示 l1不是曲线在点A处的切线 l2是曲线以点B为切点的切线 不是以点C为切点的切线 2 你能不能类比圆的割线和切线的动态关系 结合图 2 直观地感知 当Pn P时对应的一般曲线的切线 提示 当Pn P时 割线趋于确定的位置 这个确定位置上的直线就是曲线在点P处的切线 3 问题2从直观上感知了 割线逼近切线 的变化过程 进一步 如图 3 如何研究割线方程和切线方程的变化关系 提示 割线逼近切线 不妨设点P x0 y0 Pn x0 x f x0 x 割线PPn的方程为y f x0 x x0 当Pn P 即 x 0时 变化的最终结果是 f x0 故切线方程就是y y0 f x0 x x0 结论 导数的几何意义曲线y f x 在点 处的切线的斜率 用符号表示为f x0 P x0 f x0 k 微思考 求曲线在某点P x0 y0 处的切线方程时易忽略什么 提示 易忽略切点在曲线上或忽略切点在切线上 主题2导数的概念已知函数y x2 完成下表 2 4 6 8 10 12 结论 导函数的定义 当x变化时 f x 是x的一个函数 称它为f x 的导函数 简称导数 即f x y 微思考 导函数f x 与函数在x x0处的导数f x0 相同吗 它们有什么区别与联系 提示 不相同 y f x 导函数为f x f x0 是y f x 在x0处的导数 预习自测 1 函数y f x 在x x0处的导数f x0 的几何意义是 A 在点x0处的斜率B 在点 x0 f x0 处的切线与x轴所夹的锐角的正切值C 曲线y f x 在点 x0 f x0 处切线的斜率D 点 x0 f x0 与点 0 0 连线的斜率 解析 选C 由导数的几何意义可知函数y f x 在x x0处的导数f x0 即为曲线在点 x0 f x0 处的切线的斜率 2 设f x0 0 则曲线y f x 在点 x0 f x0 处的切线 A 不存在B 与x轴平行或重合C 与x轴垂直D 与x轴斜交 解析 选B 曲线在点 x0 f x0 处的切线斜率为0 切线平行或重合于x轴 3 函数f x x3 4x 5的图象在x 1处的切线在x轴上的截距为 A 10B 5C 1D 解析 选D 因为f x x3 4x 5 所以f x 3x2 4 所以f 1 7 即切线斜率为7 又f 1 10 故切点坐标为 1 10 所以切线的方程为 y 10 7 x 1 当y 0时 x 4 过曲线y 2x上两点 0 1 1 2 的割线的斜率为 解析 依题意得 割线的斜率为 1 答案 1 5 抛物线y2 x与x轴 y轴都只有一个公共点 但只有 是它的切线 而 不是它的切线 解析 根据曲线在某点处的切线的定义知y轴是曲线y2 x的一条切线 x轴不是切线 答案 y轴x轴 6 如图 函数f x 的图象是折线段ABC 其中A B C的坐标分别为 0 4 2 0 6 4 试求的值 解析 由导数的概念和几何意义知 f 1 kAB 2 类型一求曲线的切线方程 典例1 1 曲线y x3 11在点P 1 12 处的切线与y轴交点的纵坐标是 A 9B 3C 9D 15 2 已知曲线方程为y x2 则过点A 2 4 且与曲线相切的直线方程为 解题指南 1 先求出函数y x3 11在x 1处的导数 再求出切线方程 最后求与y轴交点的纵坐标 2 由于点A在曲线上 可利用导数的几何意义 求出切线的斜率 再利用点斜式写出直线的方程 解析 1 选C y x 1 所以曲线y x3 11在点P 1 12 处的切线方程为y 12 3 x 1 即3x y 9 0 令x 0 解得y 9 所以曲线y x3 11在点P 1 12 处的切线与y轴交点的纵坐标是9 2 因为f x 2x x 2x 又点A 2 4 在曲线y x2上 所以f 2 4 所以所求切线的斜率k 4 故所求切线的方程为y 4 4 x 2 即4x y 4 0 答案 4x y 4 0 延伸探究 1 在本例 2 中若将 点A 2 4 改为 点B 0 0 则结果如何 解析 因为f x 2x x 2x 又点B 0 0 在曲线y x2上 所以f 0 0 所以所求切线的斜率k 0 故所求切线的方程为y 0 0 x 0 即y 0 2 在本例 2 中若将 点A 2 4 改为 点C 3 5 则结果如何 解析 因为点C 3 5 不在曲线y x2上 所以设切点坐标为 x0 x02 因为f x 2x x 2x 所以f x0 2x0 所以切线的斜率k 2x0 切线方程为y x02 2x0 x x0 又因为点C 3 5 在切线上 所以5 x02 2x0 3 x0 解得x0 1或x0 5 所以切点坐标为 1 1 5 25 故所求切线方程为y 1 2 x 1 或y 25 10 x 5 即2x y 1 0或10 x y 25 0 方法总结 1 求曲线在点P x0 y0 处切线的步骤 1 求出函数y f x 在点x0处的导数f x0 2 根据直线的点斜式方程 得切线方程为y y0 f x0 x x0 2 过曲线外的点P x1 y1 求曲线的切线方程的步骤 1 设切点为Q x0 y0 2 求出函数y f x 在点x0处的导数f x0 3 利用Q在曲线上 点P x1 y1 在切线上和f x0 kPQ 解出x0 y0及f x0 4 根据直线的点斜式方程 得切线方程为y y0 f x0 x x0 补偿训练 在曲线y x2上 点P处的切线垂直于直线2x 6y 5 0 则P点坐标为 A 2 4 B C D 2 4 解析 选B f x 设P x0 y0 是满足条件的点 因为切线与直线2x 6y 5 0垂直 所以2x0 1 得x0 y0 类型二求曲线的切点 典例2 已知曲线y 2x2 a在点P处的切线方程为8x y 15 0 求切点P的坐标和实数a的值 解题指南 根据切线方程得到切线斜率为8 即f x 8 解导数方程即可得到结论 解析 设切点P的坐标为 x0 y0 切线斜率为k 由y 4x 2 x 4x 得k y 4x0 根据题意得4x0 8 x0 2 分别代入y 2x2 a和y 8x 15 得a 7 y0 1 故所求切点为P 2 1 a 7 方法总结 求曲线切点坐标的步骤 1 设切点 先设出切点坐标 x0 y0 2 求斜率 求切线的斜率f x0 3 列方程 由斜率间的关系列出关于x0的方程 解方程求x0 4 求切点 因点 x0 y0 在曲线上 将 x0 y0 代入曲线方程求y0 得切点坐标 巩固训练 如果曲线y x3 x 10的一条切线与直线y 4x 3平行 那么曲线与切线相切的切点坐标为 A 1 8 B 1 12 C 1 8 或 1 12 D 1 12 或 1 8 解析 选C 设切点坐标为P x0 y0 则y0 x03 x0 10的切线斜率为k 3x02 1 3x0 x x 2 3x02 1 4 所以x0 1 当x0 1时 y0 8 当x0 1时 y0 12 所以切点坐标为 1 8 或 1 12 类型三导数几何意义的综合应用 典例3 1 若曲线y x2 ax b在点 0 b 处的切线方程为x y 1 0 则 A a 1 b 1B a 1 b 1C a 1 b 1D a 1 b 1 2 2017 福州高二检测 已知函数f x 的图象如图所示 下列数值的排序正确的是 A 0 f 2 f 3 f 3 f 2 B 0 f 3 f 3 f 2 f 2 C 0 f 3 f 2 f 3 f 2 D 0 f 3 f 2 f 2 f 3 解题指南 1 利用切点在切线上 切点在曲线上 切点处的导数等于切线斜率求解 2 从图象上可以看出f 2 与f 3 的大小 且其值大于1 再由导数的几何意义 看出f 2 与f 3 的大小且其值小于1 解析 1 选A 将点 0 b 代入x y 1 0中 得b 1 由导数的几何意义得 k y x 0 x a a 1 综上 a 1 b 1 2 选B 根据导数的几何意义 在x 2 3 上 曲线在x 2处切线斜率最大 k f 3 f 2 f 3 方法总结 有关导数的几何意义的综合问题的求解策略 1 转化 利用导数的几何意义把问题转化为求切线方程或切点坐标问题 2 数形结合 注意方程思想 数形结合思想的应用 巩固训练 已知抛物线y x2 直线x y 2 0 求抛物线上的点到直线的最短距离 解析 根据题意可知与直线x y 2 0平行的抛物线y x2的切线对应的切点到直线x y 2 0的距离最短 设切点坐标为 x0 x02 则所以x0 所以切点坐标为切点到直线x y 2 0的距离为所以抛物线上的点到直线x y 2 0的最短距离为 补偿训练 2017 泰安高二检测 如果f x 是二次函数 且f x 的图象开口向上 顶点坐标为 1 那么曲线y f x 上任一点的切线的倾斜角 的取值范围是 解题指南 由二次函数的图象可知最小值为 再根据导数的几何意义可知k tan 结合正切函数的图象求出角 的范围 解析 选B 根据题意得f x 则曲线y f x 上任一点的切线的斜率k tan 结合正切函数的图象可得 课堂小结 1 知识总结 2 方法总结 1 函数y f x 在点x0处的导数的几何意义是曲线y f x 在点P x0 f x0 处切线的斜率 也就是说 曲线y f x 在点P x0 f x0 处的切线的斜率是f x0 相应地 切线的方程为y f x0 f x0 x x0 2 导数f x 是针对某一区间内任意点x而言的 函数f x 在区间 a b 内每一点都可导 是指对于区间 a b 内的每一个确定的值x0 都对应着一个确定的导数f x0 根据函数的定义 在区间 a b 内就构成了一个新的函数 就是函数f x 的导函数f x 3 2导数的计算第1课时几个常用函数的导数与基本初等函数的导数公式 主题基本初等函数的导数1 函数y f x c y f x x y f x x2 y f x 的导数分别是什么 提示 y f x c的导数是y 0 y f x x的导数是y 1 y f x x2的导数是y 2x y f x 的导数是y 2 结合1中探究你能总结出函数f x x 的导数吗 提示 由于0 0 x0 1 1 1 x1 1 2x 2 x2 1 1 x 1 1 由此可猜想 y f x x 的导数是y x 1 3 怎样理解常见函数f x c f x x f x x2的导数的物理意义 提示 对于f x c 由于f x 0 其物理意义为某物体的瞬时速度始终为0 即一直处于静止状态 对于f x x 由于f x 1 其物理意义为某物体的瞬时速度为1的匀速运动 对于f x x2 由于f x 2x 其物理意义为物体的变速运动 结论 对于有些基本初等函数 由于不方便用定义法求导数 可直接使用下面的求导数公式 f x c f x f x x f x x 1 Q f x sinx f x f x cosx f x 0 cosx sinx f x ax f x a 0 f x ex f x f x logax a 0 且a 1 f x lnx f x axlna ex 微思考 1 在同一平面直角坐标系中 画出函数y 2x y 3x y 4x的图象 并根据导数定义 求它们的导数 1 从图象上看 它们的导数分别表示什么 2 这三个函数中 哪一个增加得最快 哪一个增加得最慢 3 函数y kx k 0 增 减 的快慢与什么有关 提示 1 函数y 2x y 3x y 4x的图象如图所示 导数分别为y 2 y 3 y 4 从图象上看 函数y 2x y 3x y 4x的导数分别表示这三条直线的斜率 2 在这三个函数中y 4x增加得最快 y 2x增加得最慢 3 函数y kx k 0 增加的快慢与k有关系 即与函数的导数有关系 k越大 函数增加得越快 k越小 函数增加得越慢 函数y kx k 0 减少的快慢与 k 有关系 即与函数导数的绝对值有关系 k 越大 函数减少得越快 k 越小 函数减少得越慢 2 如何区分f x sinx与f x cosx的导数特征 提示 从导数公式 sinx cosx cosx sinx看出 一要注意函数名称的变化 二要注意符号的变化 特别注意 cosx sinx 而不是 cosx sinx 3 函数f x lnx与f x logax的导数公式之间有哪些差异与联系 提示 函数f x logax的导数公式为f x logax 当a e时 上述公式就变为 lnx 即f x lnx的导数公式是f x logax的导数公式的特例 预习自测 1 函数f x 0的导数是 A 0B 1C 不存在D 不确定 解析 选A 常数函数的导数为0 2 已知函数f x 则f 2 A 4B C 4D 解析 选D 因为f x 所以f 2 3 曲线y x3 3x2在点 1 2 处的切线方程为 A y 3x 1B y 3x 5C y 3x 5D y 2x 解析 选A 因为y 3x2 6x y x 1 3 12 6 1 3 即所求切线的斜率等于3 故所求直线的方程是y 2 3 x 1 即y 3x 1 4 曲线y xn在x 2处的导数为12 则n等于 解析 y nxn 1 所以y x 2 n2n 1 12 所以n 3 答案 3 5 一木块沿某一斜面自由下滑 测得下滑的水平距离scm与时间ts之间的函数关系为 s t2 试求t 2 s 时 此木块的瞬时速度 仿照教材P83例1的解析过程 解析 由幂函数导数公式得s t 2t 故s 2 4 因此当t 2 s 时 木块的瞬时速度为4cm s 类型一常用函数的导数 典例1 1 下列结论中正确的个数为 y ln2 则y y 则y x 3 y 2x 则y 2xln2 y log2x 则y A 0B 1C 2D 3 2 函数y 在点处的导数值是 A 4B 4C D 解题指南 1 直接利用常用函数的导数即可 2 可先求出函数y 的导数 再代入求值 解析 1 选D 若y ln2 则y 0 故 错 若y 则y 所以y x 3 对 若y 2x 则y 2xln2 对 也对 2 选B 因为y 所以当x 时 y 4 延伸探究 1 若把本例 2 中的点 改为 则结果如何 解析 因为y 所以当x 2时 y 2 若把本例 2 中的条件改为 函数y 在点 m n 处的导数值为 1 则m n的值是多少 解析 因为y 又在点 m n 处的导数值为 1 所以 1 故m2 1 所以m 1 当m 1时 n 1 当m 1时 n 1 故m n 2或m n 2 方法总结 定义法求导与公式法求导的对比 1 定义法求导 导函数定义本身就是函数求导的最基本方法 但导函数是用极限定义的 所以该方法求导最终归结为求极限 在运算上很麻烦 运算会很困难 2 公式法求导 用导数定义推导出常见函数与基本初等函数的导数公式后 就可以用公式直接求导 该方法简捷迅速 补偿训练 如果函数f x x2 则的值等于 解析 因为f x x2 所以f x 2x f 4 8 答案 8 类型二利用基本初等函数的导数公式求导数 典例2 1 已知函数f x lnx f x 是f x 的导数 f x 的大致图象是 2 f x 则f 1 解题指南 1 先求出函数f x lnx的导数 再观察其图象 注意定义域 2 注意先对式子f x 转化 再利用幂函数导数公式求导 解析 1 选C 因为函数f x lnx的定义域为 0 所以f x 的定义域也为 0 所以其图象为反比例函数在第一象限的部分 2 选D 因为原函数可转化为 f x 所以f x 所以f 1 方法总结 求简单函数导数的策略 1 看形式 首先观察函数的形式 看是否符合基本初等函数的形式 如对于形如的函数一般先转化为幂函数的形式 再用幂函数的求导公式求导 2 化简 对于不具备基本初等函数特征的函数可进行适当变形 将其化成基本初等函数或与之相接近的函数形式 如将根式 分式化为指数式 利用幂函数求导 3 选公式 选择恰当的公式求解函数的导数 提醒 区分指数函数 对数函数的求导公式 以免在运用时混淆 巩固训练 2017 郑州高二检测 已知f x 且f 1 求n 解析 f x 所以f 1 由f 1 得 得n 3 补偿训练 已知曲线y 3lnx的一条切线的斜率为 则切点的横坐标为 A 3B 2C 1D 解析 选A 因为y 所以解得x 3 x 2不合题意 舍去 类型三利用导数公式求切线方程 典例3 已知函数f x 在R上满足f x 2f 2 x x2 8x 8 则曲线y f x 在点 1 f 1 处的切线方程是 A y 2x 1B y xC y 3x 2D y 2x 3 解题指南 先根据f x 2f 2 x x2 8x 8求出函数f x 的解析式 然后对函数f x 进行求导 进而可得到y f x 在点 1 f 1 处的切线方程的斜率 最后根据点斜式可求切线方程 解析 选A 因为f x 2f 2 x x2 8x 8 所以f 2 x 2f x 2 x 2 8 2 x 8 所以f 2 x 2f x x2 4x 4 16 8x 8 将f 2 x 代入f x 2f 2 x x2 8x 8得f x 4f x 2x2 8x 8 x2 8x 8 所以f x x2 f x 2x 所以y f x 在 1 f 1 处的切线斜率y 2 所以y f x 在 1 f 1 处的切线方程为y 1 2 x 1 即y 2x 1 方法总结 求切线方程的步骤 1 利用导数公式求导数 2 求斜率 3 写出切线方程 求解时注意导数为0和导数不存在的情形 巩固训练 1 2017 广州高二检测 曲线y ex在点 0 1 处的切线斜率为 A 1B 2C eD 0 解析 选A 因为y ex 所以y ex 所以曲线y ex在点 0 1 处的切线斜率k e0 1 2 求函数y 6x在x 1处的切线方程 解析 因为y 6x 6xln6 所以当x 1时 y 6ln6 又x 1时 y 6 所以切线方程为y 6 6ln6 x 1 即6xln6 y 6ln6 6 0 补偿训练 曲线y 5ex 3在点 0 2 处的切线方程为 解析 由y 5ex 3 得y 5ex 所以切线的斜率k y x 0 5 所以切线方程为y 2 5 x 0 即5x y 2 0 答案 5x y 2 0 课堂小结 1 知识总结 2 方法总结 1 导数公式的功能 幂函数导数公式有降幂功能 正 余 弦函数导数公式有名称更换功能 2 对于形如的函数一般先转化为幂函数的形式 再用幂函数的求导公式求导 3 要区分指数函数 对数函数的求导公式 以免在运用时混淆 第2课时导数的运算法则 主题导数的运算法则1 试根据导数的定义 写出下列函数的导数 1 若F x x x2 则F x 2 若F x x x2 则F x 3 若F x x3 则F x 提示 1 F x 答案 1 2x 2 F x 1 2x x 1 2x 答案 1 2x 3 F x 3x x 3x2 x 2 3x2 答案 3x2 2 问题1中 若令f x x g x x2 则F x 的导数与f x g x 的导数各有什么关系 提示 因为f x 1 g x 2x 故 1 中F x f x g x 2 中F x f x g x 3 中F x f x g x f x g x 结论 1 f x g x 2 f x g x 3 4 cf x f x g x f x g x f x g x cf x 微思考 1 在导数运算法则中 函数f x g x 一定有导函数吗 提示 一定有导函数 否则法则不成立 2 根据两个函数和差的导数运算法则 试着推广到任意有限个可导函数的和差 提示 f1 x f2 x fn x f1 x f2 x fn x af x bg x af x bg x a b为常数 3 根据乘法的导数法则 试着推广 f x g x f x g x f x g x 到有限个函数的积的情形 提示 若y f1 x f2 x fn x 则有y f1 x f2 x fn x f1 x f2 x fn x f1 x f2 x fn x 预习自测 1 函数y x lnx的导数是 A xB C lnx 1D lnx x 解析 选C y x lnx x lnx lnx x lnx 1 2 已知函数f x ax2 c 且f 1 2 则a的值为 A 1B C 1D 0 解析 选A 因为f x ax2 c 所以f x 2ax 又因为f 1 2a 所以2a 2 所以a 1 3 曲线y x3 x在点处的切线与坐标轴围成的三角形面积为 解析 选A 对函数y x3 x求导得y x2 1 将x 1代入得曲线y x3 x在点处的切线斜率为k 2 故切线方程是y 2 x 1 该切线与坐标轴的交点是故围成的三角形面积为 4 函数y 的导数是 解析 选A y 5 求函数y 2x2 3 3x 2 的导数y 解析 y 2x2 3 3x 2 2x2 3 3x 2 4x 3x 2 2x2 3 3 18x2 8x 9 答案 18x2 8x 9 一题多解 因为y 2x2 3 3x 2 6x3 4x2 9x 6 所以y 18x2 8x 9 答案 18x2 8x 9 6 求函数y x5 x3 x 5的导数 仿照教材P84例2的解析过程 解析 因为y x5 x3 x 5 5x4 3x2 1 所以函数y x5 x3 x 5的导数是y 5x4 3x2 1 类型一导数的运算法则 典例1 求下列函数的导数 1 y x 1 2 x 1 2 y x2sinx 3 y 解析 1 方法一 y x 1 2 x 1 x 1 2 x 1 2 x 1 x 1 x 1 2 3x2 2x 1 方法二 y x2 2x 1 x 1 x3 x2 x 1 y x3 x2 x 1 3x2 2x 1 2 y x2sinx x2 sinx x2 sinx 2xsinx x2cosx 方法总结 应用导数运算法则求函数的导数的技巧 1 对三角式求导要先进行化简 然后再求导 这样既减少了计算量 又可少出错 2 利用代数恒等变形可以避开对商的形式求导 3 在函数中有两个以上的因式相乘时 要注意多次使用积的求导法则 能展开的先展开成多项式 再求导 巩固训练 求下列函数的导数 1 y 2xcosx 2 y 2x lnx 解析 1 y 2x cosx 2x cosx 2cosx 2xsinx 2 y 2x lnx 2 3 方法一 方法二 因为所以 4 补偿训练 求下列函数的导数 1 y excosx 2 y x2 tanx 3 y 2x3 cosx 解析 1 y excosx 所以y ex cosx ex cosx excosx exsinx 2 因为y x2 所以y x2 3 y 2x3 cosx 6x2 sinx 类型二导数运算法则的应用 典例2 1 已知函数y f x 的图象在点 1 f 1 处的切线方程是x 2y 1 0 若g x 则g 1 2 2017 烟台高二检测 已知函数f x x3 x 16 求曲线y f x 在点 2 6 处的切线方程 直线l为曲线y f x 的切线 且经过原点 求直线l的方程及切点坐标 解题指南 1 由g x 联想商的导数运算法则 利用条件 在点 1 f 1 处的切线方程为x 2y 1 0 求出f 1 f 1 2 先求出函数f x 的导数 由于点在曲线上 可将点的坐标代入求切线的斜率 进而得出切线方程 由于原点不在曲线上 可先设切点坐标 列方程解出切点坐标 再求切线方程 解析 1 选A 由切线方程得1 2f 1 1 0 所以f 1 1 由导数的几何意义得f 1 2 因为f x x3 x 16 所以f x 3x2 1 由已知f x x3 x 16 且f 2 23 2 16 6 所以点 2 6 在曲线y f x 上 所以在点 2 6 处的切线的斜率为k f 2 3 22 1 13 所以切线方程为 y 6 13 x 2 即13x y 32 0 方法一 设切点为 x0 y0 则直线l的斜率为f x0 3x02 1 所以直线l的方程为 y y0 3x02 1 x x0 即 y x03 x0 16 3x02 1 x x0 又因为切线l过原点 所以0 x03 x0 16 3x02 1 x0 整理得 x03 8 所以x0 2 所以y0 2 3 2 16 26 斜率k 3 2 2 1 13 所以切线的方程为y 26 13 x 2 化简得 13x y 0 切点坐标为 2 26 方法二 设直线l的方程为y kx 切点为 x0 y0 则又因为k f x0 3x02 1 所以 3x02 1 解得x0 2 所以y0 2 3 2 16 26 斜率k 3 2 2 1 13 所以切线的方程为y 26 13 x 2 化简得 13x y 0 切点坐标为 2 26 延伸探究 1 若本例 2 条件不变 试判定函数图象上哪一点处的切线斜率最小 解析 因为f x x3 x 16 所以f x 3x2 1 1 即当x 0时 切线的斜率最小 此时点的纵坐标y 16 因此 当切线的斜率最小时 切点的坐标为 0 16 2 若过本例 2 曲线上某点处的切线平行于直线4x y 1 0 求切点的坐标 解析 因为f x x3 x 16 所以f x 3x2 1 设切点为 x0 y0 则过切点处的切线的斜率为k 3x02 1 又此切线平行于直线4x y 1 0 所以3x02 1 4 所以x0 1 当x0 1时 y0 14 当x0 1时 y0 18 所以切点坐标为 1 14 或 1 18 方法总结 求曲线在某一点处切线方程的一般步骤 1 先判断给出的点 x0 y0 是否在曲线上 如果在曲线上 则它是切点 否则不是 此时设切点坐标为 x1 y1 2 求切线的斜率 如果点 x0 y0 是切点 则切线斜率为f x0 若 x0 y0 不是切点 则切线斜率k f x1 3 利用点斜式方程 求出切线方程 补偿训练 若曲线y xlnx上点P处的切线平行于直线2x y 1 0 则点P的坐标是 解析 由题意得y lnx x 1 lnx 直线2x y 1 0的斜率为2 设P m n 则1 lnm 2 解得m e 所以n elne e 即点P的坐标为 e e 答案 e e 类型三导数公式及运算法则的综合应用 典例3 1 如图是函数y f x 的图象 直线l y kx 2是图象在x 3处的切线 令g x xf x 则g 3 A 1B 0C 2D 4 2 2016 天津高考 已知函数f x 2x 1 ex f x 为f x 的导函数 则f 0 的值为 解题指南 1 先利用导数的几何意义求出y f x 在x 3处的导数 再利用导数公式求出g 3 2 求出f x 代入x 0即可 解析 1 选B 由题意直线l y kx 2是曲线y f x 在x 3处的切线 由图象可知其切点为 3 1 代入直线方程得k 所以f 3 故g x xf x x f x xf x f x xf x 所以g 3 f 3 3f 3 1 3 0 2 因为f x 2x 3 ex 所以f 0 3 答案 3 延伸探究 若本例 2 中的条件不变 则f 2 的值是多少 解析 由 2 的解析可知f 2 4 3 e2 7e2 方法总结 利用导数几何意义及运算法则解决综合问题的策略 1 求某点处的导数值 分清该点是否为切点 若为切点利用导数的几何意义求值 2 求范围 注意导数就是切线斜率 切线斜率与倾斜角的关系 求倾斜角的范围可先求导数的范围 巩固训练 已知曲线方程f x sin2x 2ax x R 若对任意实数m 直线l x y m 0都不是曲线y f x 的切线 则a的取值范围是 A 1 1 0 B 1 0 C 1 0 0 D a R且a 0 a 1 解析 选B f x 2sinxcosx 2a sin2x 2a 直线l的斜率为 1 由题知关于x的方程sin2x 2a 1无解 所以 2a 1 1 所以a0 补偿训练 已知点P在曲线y 上 为曲线在点P处的切线的倾斜角 则 的取值范围是 解析 选D 函数导数y 因为ex 2 所以y 1 0 所以 拓展类型 曲线的公切线 典例 已知定义在正实数集上的函数f x x2 2ax g x 3a2lnx b a 0 设两曲线f x g x 有公共点 且在公共点处的切线相同 1 若a 1 求b的值 2 试写出b关于a的函数关系式 解题指南 注意转化先设公共点的坐标 利用切点处的导数相等建立关系式 解析 1 因为y f x 与y g x x 0 在公共点 x0 y0 处的切线相同 且f x x 2 g x 由题意知f x0 g x0 f x0 g x0 所以由x0 2 得x0 1或x0 3 舍去 即有b 2 因为y f x 与y g x x 0 在公共点 x0 y0 处的切线相同 且f x x 2a g x 由题意知f x0 g x0 f x0 g x0 即 解得x0 a或x0 3a 舍去 所以b a2 3a2lna a 0 方法总结 曲线公切线问题解决思路1 切点处的导数值 公切点处的导数值相等 2 切点处的函数值 公切点处对应函数值相等 巩固训练 若曲线f x x2与曲线g x alnx在它们的公共点P s t 处具有公共切线 则实数a A 2B C 1D 2 解析 选C 根据题意可知 f x x g x 两曲线在点P s t 处有公共的切线 所以即 s 代入 alns解得 a 1 课堂小结 1 知识总结 2 方法总结 1 在两个函数积与商的导数运算中 不能认为 f x g x f x g x 以及 2 注意区分两个函数积与商的求导公式中符号的异同 积的导数公式中是 而商的导数公式中分子上是 3 f1 x f2 x fn x f1 x f2 x fn x cf x cf x 也就是说 常数与函数的积的导数等于常数乘以函数的导数
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2017_2018学年高中数学第三章导数及其应用课件(打包8套)新人教A版选修.zip,2017,_2018,学年,高中数学,第三,导数,及其,应用,课件,打包,新人,选修
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