【人教版数学】中学数学竞赛培优教程和试题解析（132份）
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初 中数学竞赛精品标准教程及练习（47）配方法一、内容提要1. 配方：这里指的是在代数式恒等变形中，把二次三项式a22ab+b2写成完全平方式（ab）2. 有时需要在代数式中添项、折项、分组才能写成完全平方式.常用的有以下三种：由a2+b2配上2ab， 由2 ab配上a2+b2， 由a22ab配上b2.2. 运用配方法解题，初中阶段主要有： 用完全平方式来因式分解例如：把x4+4 因式分解.原式x4+44x24x2=(x2+2)24x2这是由a2+b2配上2ab. 二次根式化简常用公式：，这就需要把被开方数写成完全平方式.例如：化简.我们把52写成 2232（）2.这是由2 ab配上a2+b2. 求代数式的最大或最小值，方法之一是运用实数的平方是非负数，零就是最小值.即a20， 当a=0时，a2的值为0是最小值.例如：求代数式a2+2a2 的最值.a2+2a2= a2+2a+13=(a+1)23当a=1时, a2+2a2有最小值3.这是由a22ab配上b2 有一类方程的解是运用几个非负数的和等于零，则每一个非负数都是零，有时就需要配方.例如:：求方程x2+y2+2x-4y+5=0 的解x, y. 解：方程x2+y2+2x-4y+140.配方的可化为（x+1）2+(y2)2=0. 要使等式成立，必须且只需.解得此外在解二次方程中应用根的判别式，或在证明等式、不等式时，也常要有配方的知识和技巧.二、例题例1. 因式分解：a2b2a2+4abb2+1.解：a2b2a2+4abb2+1a2b2+2ab+1+(a2+2abb2)（折项，分组）（ab+1）2(ab)2（配方）（ab+1+a-b）(ab+1-a+b)（用平方差公式分解）本题的关鍵是用折项，分组，树立配方的思想.例2. 化简下列二次根式：； ；.解：化简的关键是把被开方数配方2.=2.例3. 求下列代数式的最大或最小值：x2+5x+1； 2x26x+1 . 解：x2+5x+1x2+2x+1（x+）2.（x+）20，其中0是最小值.即当x=时，x2+5x+1有最小值.2x26x+1 2（x2+3x-）=2(x2+2x+) 2（x+）2+2（x+）20，其中0是最大值，当x=时，2x26x+1有最大值.例4. 解下列方程：x4x2+2xy+y2+1=0 ； x2+2xy+6x+2y2+4y+10=0.解：（x42x21）（x2+2xy+y2）=0 . （折项，分组） (x21)2+(x+y)2=0.（配方）根据“几个非负数的和等于零，则每一个非负数都应等于零”.得 或 x2+2xy+y2+6x+6y+9+y22y+1=0 . (折项，分组)(x+y)2+6（x+y）+9+y22y+1=0.(x+y+3)2+(y1)20.（配方）例5. 已知：a,b,c,d 都是整数且m=a2+b2, n=c2+d2,则mn也可以表示为两个整数的平方和，试写出其形式.解：mn=( a2+b2)( c2+d2)= a2c2+ +a2d2 +b2 c2+ b2 d2= a2c2+ b2 d2+2abcd+ a2d2 +b2 c22abcd (分组，添项)=(ac+bd)2+(ad-bc)2例6. 求方程x2+y2-4x+10y+16=0的整数解解：x2-4x+16+y2+10y+25=25 (添项)（x4）2+(y+5)225（配方）25折成两个整数的平方和，只能是0和25；9和16.由得同理，共有12个解三、练习471. 因式分解：x4+x2y2+y4 ； x2-2xy+y2-6x+6y+9 ； x4+x2-2ax-a2+1.2. 化简下列二次根式：（x）；(1x2)；（146）（3）；（）2.3求下列代数式的最大或最小值：2x2+10x+1 ； x2+x-1.4.已知：a2+b24a2b+5 . 求：的值.5.已知：a2+b2+c2=111, ab+bc+ca=29 . 求：a+b+c的值.6.已知：实数a, b, c 满足等式a+b+c=0, abc=8 . 试判断代数式值的正负.7.已知：x= . 求：. 8.已知：a2+c2+2(b2-ab-bc)=0 . 求证：a=b=c.9. 解方程：x2-4xy+5y2-6y+9 ； x2y2+x2+4xy+y2+1=0 ； 5x2+6xy+2y2-14x-8y+10=0.10.求下列方程的整数解：（2x-y2）2(x+y+2)2=5； x2-6xy+y2+10y+25=0.练习47参考答案：1.（xy3）2 2. 8，0.5x，32，2，3，72x（x3）3.当x=时，有最小值x=1时，有最大值4.a=2,b=1 代数式值是325.136.负数。由（a+b+c）2=0得出ab+ac+bc04. 值为5。先化简已知为4，代入分母值为2，可知x28x+13=0分子可化为（x2+2x+1）(x28x+13)+10 105. 配方（ab）2+(bc)2=06. 7. （x-3）2+(y+5)2=95初 中数学竞赛精品标准教程及练习(48)非负数一、内容提要1. 非负数的意义：在实数集合里，正数和零称为非负数.a是非负数，可记作a0,读作a大于或等于零，即a不小于零.2. 初中学过的几种非负数：实数的绝对值是非负数.若a是实数，则0.实数的偶数次幂是非负数.若a是实数，则a2n0（n是正整数）.算术平方根是非负数，且被开方数也是非负数.若是二次根式，则0，a0.一元二次方程有实数根时，根的判别式是非负数，反过来也成立.若二次方程ax2+bx+c=0(a0) 有两个实数根， 则b24ac0.若b24ac0(a0)， 则二次方程ax2+bx+c=0有两个实数根.数轴上，原点和它的右边所表示的数是非负数，几何中的距离，图形中的线段、面积、体积的量数也都是非负数.3. 非负数的性质：非负数集合里，有一个最小值，它就是零.例如：a2有最小值0（当a=0时）， 也有最小值0（当x=1时）.如果一个数和它的相反数都是非负数，则这个数就是零.若a0且a 0，则a=0； 如果ab0且ba0，那么ab=0.有限个非负数的和或积仍是非负数.例如：若a，b，x都是实数数，则a2+b20,0,a20.若几个非负数的和等于零，则每一个非负数也都只能是零.例如若（b3）2+=0 那么即.二、例题例1. 求证：方程x4+3x2+2x+6=0没有实数根证明：把方程左边分组配方，得（x4+2x2+1）+(x2+2x+1)+4=0 即（x2+1）2+(x+1)2=4（x2+1）20，(x+1)20，（x2+1）2+(x+1)20. 但右边是4.不论x取什么实数值，等式都不能成立.方程x4+3x2+2x+6=0没有实数根.例2. a取什么值时，根式有意义？解：二次根式的被开方数（a2）(与(a2)(1都是非负数，且（a2）(与(a2)(1是互为相反数，（a2）(0.（非负数性质2）a2=0；或 =0.a1=2, a2=1, a3=1.答：当 a=2或a=1或a=1时，原二次根式有意义.例3. 要使等式（2x）2+0成立，x的值是.解：要使原等式成立（2x）20，0.1，(x40)（2x）21，且x40.即解得x=3 . 答：x的值是3.例4. 当a,b取什么实数时，方程x2+2(1+a)x+(3a2+4ab+4b2+2)=0有实数根？解：当0时，方程有实数根.解如下不等式：2（1a）24(3a2+4ab+4b2+2)08a216ab16b2+8a40，2a2+4ab+4b22a+10，（a+2b）2+(a1)20（a+2b）20且(a1)20，得（a+2b）2+(a1)20只有当（a+2b）20且(a1)20不等式和才能同时成立.答：当a=1且b=时，方程x2+2(1+a)x+(3a2+4ab+4b2+2)=0有实数根.三、练习481. 已知在实数集合里有意义，则x=_.2. 要使不等式（a+1）20成立，实数a=_.3. 已知0，则a=,b=,a100b101=_.4. 把根号外因式移到根号里：a=， b=， c=.5.如果ab,那么等于（）（A）（x+a）. (B) （x+a）.(C) （x+a）. (D) （x+a）.6. 已知a是实数且使a=,则x=.7.已知a,b 是实数且a. 化简后的值是.8.当x=时，（x）有最大值.9.已知：且,都是整数.求a,c的值.10.求方程x2+y2+x2y2+6xy+4=0的实数解.11.求适合不等式2x2+4xy+4y24x+40的未知数x的值.12.求证：不论k取什么实数值，方程x2+(2k+1)xk2+k=0都有不相等的实数解.13.比较a2+b2+c2与ab+bc+ca的大小.14.已知方程组的解x,y,z 都是非负数.求a的值.练习48参考答案：1.32.13.1，1，14.，5.C6.0。因为左边a0，右边0。7. a。 b=1,a8.x=, 最大值9.10.1112. 8k2+1 13. 用求差法，配方（乘上20.5）14.14（10）二元一次方程组解的讨论【知识精读】1 二元一次方程组的解的情况有以下三种： 当时，方程组有无数多解。（两个方程等效） 当时，方程组无解。（两个方程是矛盾的） 当（即a1b2a2b10）时，方程组有唯一的解：（这个解可用加减消元法求得）2 方程的个数少于未知数的个数时，一般是不定解，即有无数多解，若要求整数解，可按二元一次方程整数解的求法进行。3 求方程组中的待定系数的取值，一般是求出方程组的解（把待定系数当己知数），再解含待定系数的不等式或加以讨论。（见例2、3）【分类解析】例1.选择一组a,c值使方程组 有无数多解，无解，有唯一的解解：当5a=12=7c时，方程组有无数多解解比例得a=10,c=14。 当5a127c时，方程组无解。解得a=10,c14。当5a12时，方程组有唯一的解，即当a10时，c不论取什么值，原方程组都有唯一的解。例2.a取什么值时，方程组 的解是正数？解：把a作为已知数，解这个方程组得解不等式组得解集是6答：当a的取值为6时，原方程组的解是正数。例3.m取何整数值时，方程组的解x和y都是整数？解：把m作为已知数，解方程组得x是整数，m8取8的约数1，2，4，8。y是整数，m8取2的约数1，2。取它们的公共部分，m81，2。解得m=9，7，10，6。经检验m=9，7，10，6时，方程组的解都是整数。例4（古代问题）用100枚铜板买桃，李，榄橄共100粒，己知桃，李每粒分别是3，4枚铜板，而榄橄7粒1枚铜板。问桃，李，榄橄各买几粒？解：设桃，李，榄橄分别买x,y,z粒,依题意得由（1）得x= 100yz (3)把（3）代入（2），整理得y=200+3z 设(k为整数)得z=7k, y=200+20k, x=30027kx,y,z都是正整数解得（k是整数）10k1 3. a=1 4. 5,-3,-1,1 5. （11）用交集解题【知识精读】1 某种对象的全体组成一个集合。组成集合的各个对象叫这个集合的元素。例如6的正约数集合记作6的正约数1，2，3，6，它有4个元素1，2，3，6；除以3余1的正整数集合是个无限集，记作除以3余1的正整数1，4，7，10，它的个元素有无数多个。2 由两个集合的所有公共元素组成的一个集合，叫做这两个集合的交集例如6的正约数集合A1，2，3，6，10的正约数集合B1，2，5，10，6与10的公约数集合C1，2，集合C是集合A和集合B的交集。3 几个集合的交集可用图形形象地表示，右图中左边的椭圆表示正数集合，右边的椭圆表示整数集合，中间两个椭圆的公共部分，是它们的交集正整数集。不等式组的解集是不等式组中各个不等式解集的交集。例如不等式组解的集合就是不等式（1）的解集x3和不等式（2）的解集x2的交集，x3. 如数轴所示： 0234一类问题，它的答案要同时符合几个条件，一般可用交集来解答。把符合每个条件的所有的解（即解的集合）分别求出来，它们的公共部分（即交集）就是所求的答案。有时可以先求出其中的一个（一般是元素最多）的解集，再按其他条件逐一筛选、剔除，求得答案。（如例2）分类解析】例1.一个自然数除以3余2，除以5余3，除以7余2，求这个自然数的最小值。解：除以3余2的自然数集合A2，5，8，11，14，17，20，23，26，除以5余3的自然数集B3，8，13，18，23，28，除以7余2自然数集合C2，9，16，23，30，集合A、B、C的公共元素的最小值23就是所求的自然数。例2. 有两个二位的质数，它们的差等于6，并且平方数的个位数字相同，求这两个数。解：二位的质数共21个，它们的个位数字只有1，3，7，9，即符合条件的质数它们的个位数的集合是1，3，7，9；其中差等于6的有：1和7；3和9；13和7，三组；平方数的个位数字相同的只有3和7；1和9二组。同时符合三个条件的个位数字是3和7这一组故所求质数是：23，17；43，37；53，47；73，67共四组。例3. 数学兴趣小组中订阅A种刊物的有28人，订阅B种刊物的有21人，其中6人两种都订，只有一人两种都没有订，问只订A种、只订B种的各几人？数学兴趣小组共有几人？解：如图左、右两椭圆分别表示订阅A种、B种刊物的人数集合，则两圆重叠部分就是它们的交集（A、B两种都订的人数集合）。只订A种刊物的人数是28622人；只订B刊物的人数是21615人；小组总人数是22156144人。设N，N（A），N（B），N（AB），分别表示总人数，订A种、B种、AB两种、都不订的人数，则得公式一N+ N（A）+N（B）N（AB）。例4. 在40名同学中调查，会玩乒乓球的有24人，篮球有18人，排球有10人，同时会玩乒乓球和篮球的有6人，同时会玩乒乓球和排球的有4人，三种球都会的只有1人，问：有多少人只会打乒乓球同时会打篮球和排球只会打排球？解：仿公式一,得公式二：N+ N（A）+N（B）+N(C)N（AB）N（AC）N(BC)+N(ABC)只会打乒乓球的是2464115（人）求N（BC）可用公式二：4024181064N（BC）1N（BC）3，即同时会打篮球和排球的是3人只会打排球的是10316（人）例5. 十进制中，六位数能被33整除，求x和y的值解：0x，y9， 0x+y18， 9xy9，x+yxy33311，19x+y+87的和是3的倍数，故x+y=2,5,8,11,14,17(1+x+8)(9+y+7)是11的倍数，故xy=4，7x+y和xy是同奇数或同偶数，它们的交集是下列四个方程组的解： 解得 （x=12不合题意舍去）答：x=2,y=6或x=5,y=9或x=9,y=2【实战模拟】1 负数集合与分数集合的交集是2 等腰直角三角形集合是三角形集合与三角形集合的交集。3 12的正约数集合A，30的正约数集合B12和30的公约数集合C，集合C是集合A和集合B的4 解下列不等式组并把解集（不是空集）表示在数轴上：5 某数除以3余1，除以5余1，除以7余2，求某数的最小值。6 九张纸各写着1到9中的一个自然数（不重复），甲拿的两张数字和是10，乙拿的两张数字差是1，丙拿的两张数字积是24，丁拿的两张数字商是3，问剩下的一张是多少？7 求符合如下三条件的两位数：能被3整除它的平方、立方的个位数都不变两个数位上的数字积的个位数与原两位数的个位数字相同。8 据30名学生统计，会打篮球的有22人，其中5人还会打排球；有2人两种球都不会打。那么会打排球有几人？只会打排球是几人？9 100名学生代表选举学生会正付主席，对侯选人A和B进行表决，赞成A的有52票，赞成B的有60票，其中A、B都赞成的有36人，问对A、B都不赞成的有几人？10.数、理、化三科竞赛，参加人数按单科统计，数学24人，物理18人，化学10人；按两科统计，参加数理、数化、理化分别是13、4、5人，没有三科都参加的人。求参赛的总人数，只参加数学科的人数。（本题如果改为有2人三科都参加呢？）11.12.十进制中，六位数能被21整除，求x,y的值（仿例5）练习1. 负分数2.等腰，直角3.交集4 x5, x-2, -3x1, 空集5.166.77.30，60，90，15，75，66（从个位数为0，15，6中找）8.11人，6人9.由100526036得2410.30人，7人；32人，9人11.12.（仿例5）（ 12）用枚举法解题【知识精读】有一类问题的解答，可依题意一一列举，并从中找出规律。列举解答要注意： 按一定的顺序，有系统地进行； 分类列举时，要做到既不重复又不违漏； 遇到较大数字或抽象的字母，可从较小数字入手，由列举中找到规律。【分类解析】1例1如图由西向东走，从A处到B处有几种走法？ 1 解：我们在交叉路上有顺序地标上不同走法的数目，例如从A到C有三种走法，在C处标上3，从A到M（N）有314种，从A到P有34411种，这样逐步累计到B，可得111113（种走法）例2 写出由字母X，Y，Z中的一个或几个组成的非同类项（系数为1）的所有四次单项式。解法一：按X4，X3，X2，X，以及不含X的项的顺序列出（如左）解法二：按XYZX的顺序轮换写出（如右）X4 ， X 4 ， Y4 ， Z4X3Y，X3Z， X3Y ， Y3Z ， Z3XX2Y2， X2Z2， X2YZ， X3Z ， Y3X， Z3Y XY3， XZ3， XY2Z， XYZ2， X2Y2， Y2Z2 ， Z2X2Y4， Z 4 Y3Z， Y2Z 2， YZ3。 X2YZ， Y2ZX， Z2XY解法三：还可按3个字母，2个字母，1个字母的顺序轮换写出(略)例3 讨论不等式axb的解集。解：把a、b、c都以正、负、零三种不同取值，组合成九种情况列表ax0时，解集是x, 当a, 当a=0,b0时，解集是所有学过的数， 当a=0,b0时，解集是空集(即无解)例4如图把等边三角形各边4等分，分别连结对应点，试计算图中所有的三角形个数解：设原等边三角形边长为4个单位，则最小的等边三角形边长是1个单位，再按顶点在上和顶点在下两种情况，逐一统计： 边长1单位，顶点在上的有：1+2+3+4=10边长1单位，顶点在下的有：1+2+3=6边长2单位，顶点在上的有：1+2+3=6边长2单位，顶点在下的有：1边长3单位，顶点在上的有：1+2=3边长4单位，顶点在上的有：1合计共27个【实战模拟】1 己知x，y都是整数，且xy=6，那么适合等式解共_个，它们是2 a+b=37,适合等式的非负整数解共_组，它们是3 xyz=6,写出所有的正整数解有：4 如图线段AF上有B，C，D，E四点,试分别写出以A，B，C，D，E为一端且不重复的所有线段，并统计总条数。A B C D E F 5.写出以a,b,c中的一个或几个字母组成的非同类项（系数为1）的 所有三次单项式 。6. 除以4余1 两位数共有几个？7. 从1到10这十个自然数中每次取两个，其和要大于10，共有几种不同取法？8.把 边长等于4的正方形各边4等分，連结各对应点成16个小正方形，试用枚举法，计算共有几个正方形？如果改为 5等分呢？10等分呢？9.右图是街道的一部分，纵横各有5条路，如果从A到B(只能从北向南，从西向东)，有几种走法？ 10.列表讨论不等式axb的解集. 11.一个正整数加上3是5的倍数，减去3是6的倍数，则这个正整数的最小值是 练习121.8组2.18组3.9组4.15条5.10个6.22个（从13，17，97）7.25种8.122324230个，55个，385个9.70种10. 当a0时，x； 当a；当a=0,b0时，无解；当a=0,b0时，有无数多个解。11. 27（ 13）经验归纳法【知识精读】1通常我们把“从特殊到一般”的推理方法、研究问题的方法叫做归纳法。通过有限的几个特例，观察其一般规律，得出结论，它是一种不完全的归纳法，也叫做经验归纳法。例如由 ( 1)2 1 ，（ 1 ）3 1 ，（ 1 ）4 1 ，归纳出 1 的奇次幂是 1，而 1 的偶次幂 是 1 。由两位数从10 到 99共 90 个（ 9 10 ），三位数从 100 到 999 共900个（9102），四位数有91039000个（9103），归纳出n 位数共有910n-1(个) 由1+3=22,1+3+5=32,1+3+5+7=42推断出从1开始的n个連续奇数的和等于n2等。可以看出经验归纳法是获取新知识的重要手段，是知识攀缘前进的阶梯。2.经验归纳法是通过少数特例的试验，发现规律，猜想结论，要使规律明朗化，必须进行足夠次数的试验。由于观察产生的片面性，所猜想的结论，有可能是错误的，所以肯定或否定猜想的结论，都必须进行严格地证明。（到高中，大都是用数学归纳法证明）【分类解析】例1 平面内n条直线，每两条直线都相交，问最多有几个交点？解：两条直线只有一个交点， 1 2第3条直线和前两条直线都相交，增加了2个交点，得12 3 第4条直线和前3条直线都相交，增加了3个交点，得123 第5条直线和前4条直线都相交，增加了4个交点，得1234第n条直线和前n1条直线都相交，增加了n1个交点由此断定n 条直线两两相交，最多有交点123n1（个），这里n2，其和可表示为1+（n+1）,即个交点。例2符号n！表示正整数从1到n的連乘积，读作n的阶乘。例如5！12345。试比较3n与（n+1）！的大小（n 是正整数）解：当n 1时，3n3,（n1）！122当n 2时，3n9，（n1）！1236当n 3时，3n27,（n1）！123424当n 4时，3n81,（n1）！12345120当n 5时，3n243,（n1）！6！720猜想其结论是：当n1，2，3时，3n（n1）！，当n3时3n（n1）！。例3求适合等式x1+x2+x3+x2003=x1x2x3x2003的正整数解。分析：这2003个正整数的和正好与它们的积相等，要确定每一个正整数的值，我们采用经验归纳法从2个，3个，4个直到发现规律为止。解：x1+x2=x1x2的正整数解是x1=x2=2x1+x2+x3=x1x2x3的正整数解是x1=1,x2=2,x3=3x1+x2+x3+x4=x1x2x3x4的正整数解是x1=x2=1,x3=2,x4=4x1+x2+x3+x4+x5=x1x2x3x4x5的正整数解是x1=x2=x3=1,x4=2,x5=5x1+x2+x3+x4+x5+x6=x1x2x3x4x5x6的正整数解是x1=x2=x3=x4=1,x5=2,x6=6由此猜想结论是：适合等式x1+x2+x3+x2003=x1x2x3x2003的正整数解为x1=x2=x3=x2001=1, x 2002=2，x2003=2003。【实战模拟】1 除以3余1的正整数中，一位数有个，二位数有个，三位数有个，n位数有个。2 十进制的两位数可记作10a1a2,三位数记作100a1+10a2+a3,四位数记作，n位数记作3 由1323（12）2，132333（123）2，13233343（）2 ,13152，1323n3=( )2。4 用经验归纳法猜想下列各数的结论（是什么正整数的平方）（）2；（）2。（）2；（）25 把自然数1到100一个个地排下去：1239101199100 这是一个几位数？这个数的各位上的各个数字和是多少6计算（提示把每个分数写成两个分数的差）7a是正整数，试比较aa+1和(a+1)a的大小.8. 如图把长方形的四条边涂上红色，然后把宽3等分，把长8等分，分成24个小长方形，那么这24个长方形中，两边涂色的有个，一边涂色的有个，四边都不着色的有个。本题如果改为把宽m等分,长n等分(m,n都是大于1的自然数)那么这mn个长方形中，两边涂色的有个，一边涂色的有个，四边都不着色的有个9把表面涂有红色的正方体的各棱都4等分，切成64个小正方体，那么这64个中，三面涂色的有个，两面涂色的有个，一面涂色的有个，四面都不涂色的有个。本题如果改为把长m等分,宽n等分,高p等分，（m,n,p都是大于2的自然数）那么这mnp个正方体中，三面涂色的有个，两面涂色的有个，一面涂色的有个，四面都不涂色的有个。10一个西瓜按横，纵，垂直三个方向各切三刀，共分成块，其中不带皮的有块。11已知两个正整数的积等于11112222，它们分别是，。 练习3，30，3102，310n-11. 10n-1a1+10n-2a2_+10an-1+an4. 333332, ，5.192位，901位（50个18，加上1）6.7. a=1,2时，aa+1(a+1)a 8. 4,14,6； 4, 2m+2n-8, (m-2)(n-2)9. 8,24,24,8；8，4（m2）（n-2）+(p-2),2（m-2）(n-2)+(m-2)(p-2)+(n-2)(p-2),(m-2)(n-2)(p-2) 10. 64,8 11. 3334（14）乘法公式【知识精读】1 乘法公式也叫做简乘公式，就是把一些特殊的多项式相乘的结果加以总结，直接应用。公式中的每一个字母，一般可以表示数字、单项式、多项式，有的还可以推广到分式、根式。公式的应用不仅可从左到右的顺用（乘法展开），还可以由右到左逆用（因式分解），还要记住一些重要的变形及其逆运算除法等。2 基本公式就是最常用、最基礎的公式，并且可以由此而推导出其他公式。完全平方公式：(ab)2=a22ab+b2,平方差公式：（a+b）(ab)=a2b2立方和（差）公式：(ab)(a2ab+b2)=a3b33.公式的推广： 多项式平方公式：(a+b+c+d)2=a2+b2+c2+d2+2ab+2ac+2ad+2bc+2bd+2cd即：多项式平方等于各项平方和加上每两项积的2倍。 二项式定理：(ab)3=a33a2b+3ab2b3(ab)4=a44a3b+6a2b24ab3+b4）（ab）5=a55a4b+10a3b2 10a2b35ab4b5）注意观察右边展开式的项数、指数、系数、符号的规律 由平方差、立方和（差）公式引伸的公式（a+b）(a3a2b+ab2b3)=a4b4 (a+b)(a4a3b+a2b2ab3+b4)=a5+b5(a+b)(a5a4b+a3b2a2b3+ab4b5)=a6b6 注意观察左边第二个因式的项数、指数、系数、符号的规律在正整数指数的条件下，可归纳如下：设n为正整数(a+b)(a2n1a2n2b+a2n3b2ab2n2b2n1)=a2nb2n(a+b)(a2na2n1b+a2n2b2ab2n1+b2n)=a2n+1+b2n+1类似地：（ab）(an1+an2b+an3b2+abn2+bn1)=anbn4. 公式的变形及其逆运算由（a+b）2=a2+2ab+b2 得 a2+b2=(a+b)22ab由 (a+b)3=a3+3a2b+3ab2+b3=a3+b3+3ab(a+b) 得 a3+b3=(a+b)33ab(a+b)由公式的推广可知：当n为正整数时anbn能被ab整除, a2n+1+b2n+1能被a+b整除,a2nb2n能被a+b及ab整除。【分类解析】例1. 己知x+y=a xy=b 求x2+y2 x3+y3 x4+y4 x5+y5解：x2+y2(x+y)22xya22bx3+y3(x+y)33xy（x+y）a33abx4+y4(x+y)44xy（x2+y2）6x2y2a44a2b2b2x5+y5（x+y）(x4x3y+x2y2xy3+y4) =(x+y)x4+y4xy(x2+y2)+x2y2 =aa44a2b+2b2b(a22b)+b2a55a3b+5ab2例2. 求证：四个連续整数的积加上1的和，一定是整数的平方。证明：设这四个数分别为a, a+1, a+2, a+3(a为整数)a(a+1)(a+2)(a+3)+1=a(a+3)(a+1)(a+2)+1=(a2+3a)(a2+3a+2)+1 =(a2+3a)2+2(a2+3a)+1=(a2+3a+1)2a是整数，整数的和、差、积、商也是整数a2+3a+1是整数证毕例3. 求证：22223111能被7整除证明：22223111（22）111311141113111根据a2n+1+b2n+1能被a+b整除，（见内容提要4）41113111能被43整除22223111能被7整除例4. 由完全平方公式推导“个位数字为5的两位数的平方数”的计算规律 解：(10a+5)2=100a2+210a5+25=100a(a+1)+25“个位数字为5的两位数的平方数”的特点是：幂的末两位数字是底数个位数字5的平方，幂的百位以上的数字是底数十位上数字乘以比它大1的数的积。如：152=225 幂的百位上的数字2=12)， 252=625 (6=23)，352=1225 (12=34) 452=2025 (20=45)【实战模拟】1 填空：a2+b2=(a+b)2_ (a+b)2=(ab)2+_ a3+b3=(a+b)33ab(_) a4+b4=(a2+b2)2_ ,a5+b5=(a+b)(a4+b4)_ a5+b5=(a2+b2)(a3+b3)_2 填空：(x+y)(_)=x4y4 (xy)(_)=x4y4(x+y)( _)=x5+y5 （xy）(_)=x5y53.计算：552= 652= 752= 852= 952=4. 计算下列各题 ，你发现什么规律1119= 2228= 3436= 4347= 7674=5.已知x+=3, 求x2+ x3+ x4+的值6.化简：（a+b）2(ab)2 (a+b)(a2ab+b2) (ab)(a+b)32ab(a2b2) (a+b+c)(a+bc)(ab+c)(a+b+c)7.己知a+b=1,求证：a3+b33ab=18.己知a2=a+1，求代数式a55a+2的值9.求证：2331能被9整除10.求证：两个连续整数的积加上其中较大的一个数的和等于较大的数的平方11如图三个小圆圆心都在大圆的直径上，它们的直径分别是a,b,c 求证：三个小圆周长的和等于大圆的周长 求：大圆面积减去三个小圆面积和的差。练习4.十位上的数字相同，个位数的和为10的两个两位数相乘，其积的末两位数是两个个位数字的积，积的百位以上的数是，原十位上数字乘上比它大1的数的积8. n(n+1)+(n+1)=(n+1)29. 可证明3个小圆周长的和减去大圆周长，其差等于0(ab+ac+bc)（15）整数的分类【知识精读】1 余数的定义：在等式AmBr中，如果A、B是整数，m是正整数，r为小于m的非负整数，那么我们称r是A 除以m的余数。即：在整数集合中被除数除数商余数 (0余数除数)例如：13，0，1，9除以5的余数分别是3，0，4，1（15（1）4。95（2）1。）2 显然，整数除以正整数m ,它的余数只有m种。例如 整数除以2，余数只有0和1两种，除以3则余数有0、1、2三种。3 整数的一种分类：按整数除以正整数m的余数，分为m类，称为按模m分类。例如：m=2时，分为偶数、奇数两类，记作2k,2k1（k为整数）m=3时，分为三类，记作3k,3k+1,3k+2. 或3k,3k+1，3k1其中3k1表示除以3余2。m=5时，分为五类，5k.5k+1,5k+2,5k+3,5k+4 或5k,5k1,5k2，其中5k2表示除以5余3。4 余数的性质：整数按某个模m分类，它的余数有可加，可乘，可乘方的运算规律。举例如下：（3k1+1）+(3k2+1)=3(k1+k2)+2 （余数112） （4k1+1）(4k2+3)=4(4k1k2+3k1+k2)+3（余数133）（5k2）225k220k+4=5(5k24k)+4（余数224）以上等式可叙述为： 两个整数除以3都余1，则它们的和除以3必余2。 两个整数除以4，分别余1和3，则它们的积除以4必余3。 如果整数除以5，余数是2或3，那么它的平方数除以5，余数必是4或9。余数的乘方，包括一切正整数次幂。如：17除以5余2 176除以5的余数是4 （2664）5 运用整数分类解题时，它的关鍵是正确选用模m。【分类解析】例1. 今天是星期日，99天后是星期几？分析：一星期是7天，选用模m=7, 求99除以7的余数解：99（72）9，它的余数与29的余数相同，29（23）383（71）3它的余数与13相同，99天后是星期一。又解：设A表示A除以7的余数，99（72）92983（71）3131例2. 设n为正整数，求43 n+1 除以9的余数。分析：设法把幂的底数化为9kr形式解：43 n+1443n=4(43)n=4（64）n4(971)n (971)n除以9的余数是1n=143 n+1 除以9的余数是4。例3. 求证三个连续整数的立方和是9的倍数解：设三个连续整数为n1,n,n+1M=(n1)3+n3+(n+1)3=3n(n2+2) 把整数n按模3，分为三类讨论。当n=3k （k为整数，下同）时，M33k(3k)2+2=9k(9k2+2)当n=3k+1时，M3（3k+1）(3k+1)2+23（3k+1）(9k2+6k+3)=9(3k+1)(3k2+2k+1)当n=3k+2时，M3（3k+2）(3k+2)2+23（3k+2）(9k2+12k+6)9(3k+2)(3k2+4k+2)对任意整数n，M都是9的倍数。例4. 求证：方程x23y2=17没有整数解证明：设整数x按模3分类讨论，当x3k时，（3k）23y2=17, 3(3k2y2)=17当x=3k1时，（3k1）23y2=17 3(3k22ky2)=16由左边的整数是3的倍数，而右边的17和16都不是3的倍数，上述等式都不能成立，因此，方程x23y2=17没有整数解例5. 求证：不论n取什么整数值，n2+n+1都不能被5整除证明：把n按模5分类讨论， 当n=5k时，n2+n+1=(5k)2+5k+1=5(5k2+k)+1当n=5k1 时，n2+n+1（5k1）25k1125k210k+1+5k115（5k22kk）21当n=5k2时，n2+n+1（5k2）25k2125k220k+4+5k215（5k24k+k+1）2综上所述，不论n取什么整数值，n2+n+1都不能被5整除又证：n2+n+1n(n+1)+1 n(n+1)是两个连续整数的积，其个位数只能是0，2，6n2+n+1的个位数只能是1，3，7，故都不能被5整除。【实战模拟】1. 已知a=3k+1, b=3k+2, c=3k (a,b,c,k都是整数)填写表中各数除以3的余数。a+ba+cabac2a2ba2b2b3b5a+b)5 2. 3767的余数是3今天是星期日，第2天是星期一，那么第2111天是星期几？4已知m,n都是正整数，求证：3nm(n2+2)5. 已知a是奇数但不是3的倍数，求证：24（a21）（提示a可表示为除以6余1或5，即a=6k1）一二三四五123487659101112161514136 把正整数按表中的规律排下去，问100将排在哪一列？答：7 已知正整数n不是4的倍数求证：1n2n3n4n是10的倍数8. 任给5个整数，必能从中找到3个，其和能被10整除，这是为什么？9对任意两个整数，它们的和、差、积中至少有一个是3的倍数，试说明理由。10任意10个整数中，必有两个,它们的差是9的倍数。这是为什么？如果改为任意n1个，则必有两个,它们的差是n的倍数，试说明理由。11.证明x2+y2-8z=6没有整数解 12.从1开始的正整数依次写下去，直到第198位为止即那么这个数用9除之，余数是练习2. 1 3. 日 4. 设n=3k, 3k+1, 3k-1讨论 6. 100除以8余数为4，故在第五列7. 可列表说明n=4k+3,4k+2,4k+1,4k时，其和均为08.整数除以3，余数只有0，1，2三种，按5个整数除以3的余数各种情况讨论10. 整数除以9余数只有9类，而10个11.x2+y2=8z+6, 右边除以8，余数 是6，左边整数x,y按除以4的余数，分为4类，4k,4k+1,4k+2,4k1,则x2+y2除以8的余数8. 6数的整除（一）【知识精读】如果整数A除以整数B(B0)所得的商A/B是整数,那么叫做A被B整除. 0能被所有非零的整数整除. 一些数的整除特征除 数 能被整除的数的特征2或5末位数能被2或5整除 4或25末两位数能被4或25整除8或125末三位数能被8或125整除3或9各位上的数字和被3或9整除(如771，54324) 11奇数位上的数字和与偶数位上的数和相减,其差能被11整除(如143,1859,1287,908270等)7,11,13从右向左每三位为一段,奇数段的各数和与偶数段的各数和相减,其差能被7或11或13整除.(如1001，22743，17567，21281等)能被7整除的数的特征：抹去个位数减去原个位数的2倍其差能被7整除。如1001100298（能被7整除）又如700770014686，681256（能被7整除）能被11整除的数的特征：抹去个位数减去原个位数其差能被11整除如1001100199（能11整除）又如10285102851023102399（能11整除）【分类解析】例1已知两个三位数和的和仍是三位数且能被9整除。求x,y解：x,y都是0到9的整数，能被9整除，y=6.328567，x=3例2己知五位数能被12整除，求X解：五位数能被12整除，必然同时能被3和4整除，当1234X能被3整除时，x=2，5，8当末两位能被4整除时，X0，4，8X8例3求能被11整除且各位字都不相同的最小五位数解：五位数字都不相同的最小五位数是10234，但（124）（03）4，不能被11整除，只调整末位数仍不行调整末两位数为30，41，52，63，均可，五位数字都不相同的最小五位数是10263。【实战模拟】1 分解质因数：（写成质因数为底的幂的連乘积）59318591287327610101102962 若四位数能被3整除，那么 a=_3 若五位数能被11整除，那么X_-4 当m=_时，能被25整除5 当 n=_时，能被7整除6 能被11整除的最小五位数是_,最大五位数是_7 能被4整除的最大四位数是_，能被8整除的最小四位数是_8 8个数：125，756，1011，2457，7855，8104，9152，70972中，能被下列各数整除的有（填上编号）：6_,8_,9_,11_9 从1到100这100个自然数中，能同时被2和3整除的共_个，能被3整除但不是5的倍数的共_个。10 由1，2，3，4，5这五个自然数，任意调换位置而组成的五位数中，不能被3整除的数共有几个？为什么？11 己知五位数能被15整除，试求A的值。12 求能被9整除且各位数字都不相同的最小五位数。13 在十进制中，各位数码是0或1，并能被225整除的最小正整数是参考答案1.223273371337233211132.0，3，6，93.04.2，75.36.10010，99907.9996，99928.6：B8：F，G9：B，D11：G，H9.16；2710. 没有一个，1234515是3的倍数，与数字的位置无关11. 仿例2，a512. 10269（由最小五位数10234调换末两位数）13. 11111111100
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