【精选】高一数学 人教版必修3：第五章 概率 含解析

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1、精品资料精品资料数学精选教学资料数学精选教学资料精品资料精品资料第五章概率重点列表：重点列表：重点名称重要指数重点 1随机事件的概念重点 2对立与互斥的概念重点详解：重点详解：1 1随机事件和确定事件(1)在条件S下，一定会发生的事件，叫做相对于条件S的_(2)在条件S下，一定不会发生的事件，叫做相对于条件S的_必然事件与不可能事件统称为相对于一定条件的确定事件(3)在一定条件下可能发生也可能不发生的事件，叫做相对于条件S的_(4)_和_统称为事件，一般用大写字母A，B，C，表示2 2频率与概率(1)在相同的条件S下重复n次试验，观察某一事件A是否出现，称n次试验中事件A出现的次数nA为事件A

2、出现的_， 称事件A出现的比例fn(A)_为事件A出现的频率(2)对于给定的随机事件A，如果随着试验次数的增加，事件A发生的_fn(A)稳定在某个常数上，把这个_记作P(A)，称为事件A的_(3)在一次试验中几乎不可能发生的事件称为_3 3事件的关系与运算(类比集合的关系与运算)定义符号表示包含关系如果事件A发生，则事件B一定发生，这时称事件B_事件A(或称事件A包含于事件B)(或AB)相等关系若BA且AB_并事件(和事件)若某事件发生当且仅当事件A发生_事件B发生，称此事件为事件A与事件B的并事件AB(或AB)交事件(积事件)若某事件发生当且仅 当 事 件A发 生_事件B发生，则称此事件为事

3、件A与事件B的交事件AB(或AB)互斥事件若_为不可能事件，则事件A与事件B互斥AB_对立事件若_为不可能事件，_为必然事件，那么称事件A与事件B互为对立事件AB_P(AB)P(A)P(B)_拓展：“互斥事件”与“对立事件”的区别及联系：两个事件A与B是互斥事件，有如下三种情况：若事件A发生，则事件B就不发生；若事件B发生，则事件A就不发生；事件A，B都不发生两个事件A与B是对立事件，仅有前两种情况因此，互斥未必对立，但对立一定互斥4 4概率的几个基本性质(1)概率的取值范围：_.(2)必然事件的概率P(E)_.(3)不可能事件的概率P(F)_.(4)互斥事件概率的加法公式如果事件A与事件B互

4、斥，则P(AB)_.推广：如果事件A1，A2，An两两互斥(彼此互斥)，那么事件A1A2An发生的概率，等于这n个事件分别发生的概率的和，即P(A1A2An)_.若事件B与事件A互为对立事件，则P(A)_.【答案】1 1(1)必然事件(2)不可能事件(3)随机事件(4)确定事件随机事件2 2(1)频数nAn(2)频率常数概率(3)小概率事件3 3包含BAAB或且ABABAB14 4(1)0P(A)1(2)1(3)0(4)P(A)P(B)P(A1)P(A2)P(An)1P(B)重点重点 1 1：随机事件的概念：随机事件的概念【要点解读】概率与频率的关系(1)频率是一个随机数，在试验前是不能确定的

5、(2)概率是一个确定数，是客观存在的，与试验次数无关(3)频率是概率的近似值，随着试验次数的增加，频率一般会越来越接近概率，因而概率是频率的稳定值【考向 1】随机事件的判断【例题】同时掷两颗骰子一次，(1)“点数之和是 13”是什么事件？其概率是多少？(2)“点数之和在 213 之间”是什么事件？其概率是多少？(3)“点数之和是 7”是什么事件？其概率是多少？【评析】明确必然事件、不可能事件、随机事件的意义及相互联系判断一个事件是哪类事件要看两点：一是看条件，二是看结果发生与否，在条件S下事件发生与否是对应于条件S而言的【考向 2】不可能事件与必然事件【例题】一个口袋内装有 5 个白球和 3

6、个黑球，从中任意取出一个球，(1)“取出的球是红球”是什么事件？它的概率是多少？(2)“取出的球是黑球”是什么事件？它的概率是多少？(3)“取出的球是白球或黑球”是什么事件？它的概率是多少？解：(1)由于口袋内装有黑、白两种颜色的球，故“取出的球是红球”是不可能事件，其概率为 0.(2)由已知，从口袋内取出一个球，可能是白球，也可能是黑球，故“取出的球是黑球”是随机事件，它的概率是38.(3)由于口袋内装的是黑、白两种颜色的球，故取出一个球不是黑球，就是白球，因此，“取出的球是白球或黑球”是必然事件，它的概率为 1.重点重点 2 2：对立与互斥的概念及应用：对立与互斥的概念及应用【要点解读】互

7、斥事件、对立事件的判定方法(1)利用基本概念互斥事件不可能同时发生；对立事件首先是互斥事件，且必有一个发生(2)利用集合的观点来判断设事件A与B所含的结果组成的集合分别是A，B，事件A与B互斥，即集合AB；事件A与B对立，即集合AB，且ABI(全集)，也即AIB或BIA；对互斥事件A与B的和AB，可理解为集合AB.3 3只有事件A，B互斥时，才有公式P(AB)P(A)P(B)成立，否则公式不成立4 4求复杂的互斥事件的概率一般有两种方法：一是直接法，将所求事件的概率分解为一些彼此互斥事件概率的和，运用互斥事件的求和公式计算；二是间接法，先求此事件的对立事件的概率，再用公式P(A)1P(A)，即

8、运用逆向思维的方法(正难则反)求解，应用此公式时，一定要分清事件的对立事件到底是什么事件，不能重复或遗漏特别是对于含“至多”“至少”等字眼的题目，用第二种方法往往显得比较简便【考向 1】对立与互斥的概念【例题】判断下列各组事件是否是互斥事件，并说明道理某小组有 3 名男生和 2 名女生，从中任选 2 名同学去参加演讲比赛，其中(1)恰有 1 名男生和恰有 2 名男生；(2)至少有一名男生和至少有一名女生；(3)至少有一名男生和全是男生；(4)至少有 1 名男生和全是女生(3)不是互斥事件道理是：“至少有一名男生”包括“一名男生、一名女生”和“两名都是男生”，这与“全是男生”可同时发生(4)是互

9、斥事件道理是：“至少有 1 名男生”包括“1 名男生、1 名女生”和“两名都是男生”两种结果，它和“全是女生”不可能同时发生【评析】判断两个事件是否为互斥事件，就是考查它们能否同时发生，如果不能同时发生，则是互斥事件，否则，就不是互斥事件判断对立与互斥除了用定义外，也可以利用集合的观点来判断注意：事件的包含、相等、互斥、对立等，其发生的前提条件应是一样的；对立是针对两个事件来说的，而互斥可以是多个事件的关系【考向 2】对立与互斥的应用【例题】经统计，在某展览馆处排队等候验证的人数及其概率如下表：排队人数012345概率0.100.160.300.300.100.04(1)求至多 2 人排队的概

10、率；(2)求至少 1 人排队的概率【评析】求事件的概率常需求互斥事件的概率和，要学会把一个事件分拆为几个互斥事件当直接计算事件的概率比较复杂(或不能直接计算)时，通常是正难则反转而求其对立事件的概率难点列表：难点列表：难点名称难度指数难点 1古典概型难点 2集合概型难点详解：难点详解：古典概型1 1基本事件和基本事件空间的概念(1)在一次试验中，我们常常要关心的是所有可能发生的基本结果，它们是试验中不能再分的最简单的随机事件，其他事件可以用它们来描绘，这样的事件称为_(2)所有基本事件构成的集合称为_，常用大写希腊字母_表示2 2基本事件的特点(1)任何两个基本事件是_的(2)任何事件(除不可

11、能事件)都可以表示成_的和3 3古典概型具有以下两个特点的概率模型称为古典概率模型，简称古典概型：(1)试验中所有可能出现的基本事件只有_个(2)每个基本事件出现的可能性_4 4古典概型的概率公式在古典概型中，一次试验可能出现的结果有n个，如果某个事件A包含的结果有m个，那么事件A的概率为P(A)_.【答案】1 1(1)基本事件(2)基本事件空间2 2(1)互斥(2)基本事件3 3(1)有限(2)相等4.mn几何概型1 1随机数是在一定范围内随机产生的数，并且得到这个范围内任何一个满足条件的数的机会是_利用计算器，Excel，Scilab 等都可以产生随机数2 2几何概型的定义如 果 每 个

12、事 件 发 生 的 概 率 只 与 构 成 该 事 件 区 域 的_(_或_)成比例，则称这样的概率模型为_，简称_3 3概率计算公式在几何区域D中随机地取一点，记事件“该点落在其内部的一个区域d内”为事件A，则事件A发生的概率P(A)求试验中几何概型的概率，关键是求得事件所占区域d和整个区域D的几何度量，然后代入公式即可求解【答案】1 1均等的2 2长度面积体积几何概率模型几何概型3.3.构成事件A的区域的长度（面积或体积）试验的全部结果构成的区域的长度（面积或体积）难点难点 1 1：古典概型：古典概型【要点解读】1 1古典概型(有些书籍也称等可能概型)是概率论中最简单且直观的模型，在概率论

13、的发展初期曾是主要研究对象，许多概率的运算法则都是在古典概型中得到证明的(遂谓之“古典”)要判断一个试验是否为古典概型，只需要判断这个试验是否具有古典概型的两个特征有限性和等可能性2 2(1)如果基本事件的个数比较少，可用列举法把古典概型试验所含的基本事件一一列举出来，然后再求出事件A中的基本事件数，利用公式P(A)mn求出事件A的概率，这是一个形象直观的好方法，但列举时必须按照某一顺序做到不重复，不遗漏(2)如果基本事件个数比较多，列举有一定困难时，也可借助两个计数原理及排列组合知识直接计算m，n，再运用公式P(A)mn求概率3 3对于事件A的概率的计算，关键是要分清基本事件总数n与事件A包

14、含的基本事件数m.因此必须解决以下三个方面的问题：第一，本试验是否是等可能的；第二，本试验的基本事件数有多少个；第三，事件A是什么，它包含的基本事件有多少个4 4 较为简单的问题可以直接使用古典概型概率公式计算， 较为复杂的概率问题的处理方法有：(1)转化为几个互斥事件的和，利用互斥事件的加法公式求解；(2)采用间接法，先求事件A的对立事件A的概率，再由P(A)1P(A)求事件A的概率【考向 1】基本事件与基本事件空间的概念【例题】将一枚均匀硬币抛掷三次(1)试用列举法写出该试验所包含的基本事件；(2)事件A：“恰有两次出现正面向上”包含几个基本事件；(3)事件B：“三次都出现正面向上”包含几

15、个基本事件解：(1)试验“将一枚均匀硬币抛掷三次”所出现的所有基本事件有：(正，正，反)，(正，反，正)，(正，反，反)，(正，正，正)，(反，反，反)，(反，反，正)，(反，正，反)，(反，正，正)，共 8 种等可能结果(2)事件A包含的基本事件有三个：(正，正，反)，(正，反，正)，(反，正，正)(3)事件B包含的基本事件只有一个：(正，正，正)【评析】基本事件是试验中不能再分解的事件，是“最小”的“事件单位”任何基本事件都是互斥的，任何复杂事件都可以分解为基本事件，所有基本事件的全体组成基本事件空间【考向 2】列举基本事件求概率【例题】小波以游戏方式决定是去打球、唱歌还是去下棋游戏规则为

16、：以O为起点，再从A1，A2，A3，A4，A5，A6(如图)这 6 个点中任取两点分别为终点得到两个向量，记这两个向量的数量积为X，若X0 就去打球，若X0 就去唱歌，若X 3， 故所求概率等于二圆面积之比14； ()设弦AB的一端固定于圆上，于是弦的另一端B是“任意”的，考虑正三角形ADE(图 2)，弦长l 3的充要条件为B落在劣弧DE上， 故所求概率为劣弧DE的弧长与圆周长之比13 有兴趣的同学可以翻阅相关资料，并不妨探究一下：这三种解答采用的都是何种等可能性的假定？【考向 2】以面积为度量的几何概型【例题】(1)如图所示，在边长为 1 的正方形OABC内任取一点P(x，y)求APB的面积

17、大于14的概率；求点P到原点的距离小于 1 的概率解：如图，取线段BC，AO的中点E，F，连接EF，则当点P在线段EF上时，SAPB14，故满足条件的点P所在的区域为矩形OFEC(阴影部分)故所求概率为S矩形OFECS正方形OABC12所有的点P构成正方形区域D，若点P到原点距离小于 1，则0 x1，0y1，x2y21，所以符合条件的点P构成的区域是圆x2y21 在第一象限所围的平面部分(图中阴影部分)点P到原点距离小于 1 的概率为：1412124【 评 析 】 以 面 积 为 度 量 的 几 何 概 型 概 率 计 算 公 式 ：P事件A构成区域的面积整个试验的全部结果构成区域的面积解此类

18、问题的主要步骤为：列出条件组，画出图形，计算面积，再求概率多注意数形结合(2)甲、乙两人约定在 6 时到 7 时之间在某处会面，并约定先到者应等候另一人一刻钟，过时即可离去求两人能会面的概率【评析】平面直角坐标系内用x轴表示甲到达约会地点的时间，y轴表示乙到达约会地点的时间，用 0 分到 60 分表示 6 时到 7 时的时间段，则横轴 0 到 60 与纵轴 0 到 60 的正方形中任一点的坐标(x，y)就表示甲、乙两人分别在 6 时到 7 时时间段内到达的时间而能会面的时间由|xy|15 所对应的图中阴影部分表示本题的难点在于把实际问题转化为几何模型【考向 3】以体积为度量的几何概型【例题】在

19、棱长为a的正方体ABCDA1B1C1D1内任取一点P，则点P到点A的距离不大于a的概率为()A22B22C16D6【评析】以体积为度量的几何概型概率计算公式：P构成事件A的区域的体积试验的全部结果构成的区域的体积；对于以体积为度量的几何概型，要根据空间几何体的体积计算方法，把概率计算转化为空间几何体的体积计算【考向 4】随机模拟【例题】一只海豚在水池中游弋，水面为长 30 m，宽 20 m 的长方形，随机事件A记为“海豚嘴尖离岸边不超过 2 m”(1)试设计一个能估算出事件A发生的概率的算法；(2)求P(A)的准确值解：(1)建立如图的直角坐标系，并用计算机所产生的随机数x和y组成的有序数组(

20、x，y)来表示海豚嘴尖的坐标这里几何区域D所表示的范围为长方形：x(15，15)，y(10，10)，事件A所表示的区域为图中的阴影部分d：|x|15|2，或|y|10|2算法框图如下：(2)如图所示，所求概率为P(A)阴影部分的面积区域D的面积3020261630202375【评析】简单说明：n记录做了多少次试验，m记录其中有多少次(x，y)出现在阴影部分；rand()3015 产生1515 之间的随机数作为海豚嘴尖的横坐标， rand()2010 产生1010 之间的随机数y作为海豚嘴尖的纵坐标；|x|15|2 或|y|10|2 判断(x，y)是否落在阴影部分随机模拟的是计算机产生随机数，而

21、算法的引入为模拟提供了可能，随着新课标注重应用的不断深入，此类问题会倍受关注【趁热打铁】【趁热打铁】1有 3 个兴趣小组，甲、乙两位同学各自参加其中一个小组，每位同学参加各个小组的可能性相同，则这两位同学参加同一个兴趣小组的概率为()A.13B.12C.23D.342在区间2，3上随机选取一个数X，则X1 的概率为()A.45B.35C.25D.153从 1，2，9 中任取两数，其中：恰有一个偶数和恰有一个奇数；至少有一个奇数和两个数都是奇数；至少有一个奇数和两个数都是偶数；至少有一个奇数和至少有一个偶数在上述事件中，是对立事件的是()ABCD4在 1，2，3，4，5，6，7，8 这组数据中，

22、随机取出五个不同的数，则数字 5 是取出的五个不同数的中位数的概率为()A.956B.928C.914D.595安排甲、乙、丙、丁四人参加周一至周六的公益活动，每天只需一人参加，其中甲参加三天活动，乙、丙、丁每人参加一天，那么甲连续三天参加活动的概率为()A.115B.15C.14D.126设k是一个正整数，已知1xkk的展开式中第四项的系数为116，函数yx2与ykx的图象所围成的区域如图中阴影部分所示，任取x0，4，y0，16，则点(x，y)恰好落在阴影部分内的概率为()A.1796B.532C.16D.7487如图，在矩形区域ABCD的A，C两点处各有一个通信基站，假设其信号的覆盖范围分

23、别是扇形区域ADE和扇形区域CBF(该矩形区域内无其他信号来源，基站工作正常)若在该矩形区域内随机地选一地点，则该地点无信号的概率是()A14B.21C22D.48已知数列an是等差数列，从a1，a2，a3，a4，a5，a6，a7中取走任意四项，则剩下三项构成等差数列的概率为()A.635B.935C1 或935D1 或6359在不等式组0 x2，0y2所表示的平面区域内任取一点P，若点P的坐标(x，y)满足ykx的概率为34，则实数k()A4B2C.23D.1210如图所示，在长方体ABCDA1B1C1D1中，E，H分别是棱A1B1，D1C1上的点(点E与B1不重合)，且EHA1D1，过EH

24、的平面与棱BB1，CC1相交，交点分别为F，G.若AB2AA12a，EFa，B1EB1F，在长方体ABCDA1B1C1D1内随机选取一点，则该点取自于几何体A1ABFED1DCGH内的概率为()A.1116B.34C.1316D.78第五章第五章1A甲、乙两人都有 3 种选择，共有 339 种情况，甲、乙两人参加同一兴趣小组共有 3种情况，甲、乙两人参加同一兴趣小组的概率P3913，故选 A.2B这是一个几何概型问题，测度是长度，此问题的总体长度为 5，使得“X1”的长度为3，故P(X1)35.3C从 1，2，9 中任取两数，包括一奇一偶、二奇、二偶，共三种互斥事件，所以只有中的两个事件才是对

25、立的4B要满足题意，则抽取的除 5 以外的四个数字中，有两个比 5 小，有两个比 5 大，故所求概率PC24C23C58928.5B由题意分析可得，甲连续三天参加活动的所有情况为：第 13 天，第 24 天，第 35 天，第 46 天，共 4 种，所求概率P4A33C36A3315.7A依题意，有信号的区域面积为422，矩形的面积为 2，故所求概率为P2122114.8C当等差数列an的公差为 0 时，剩下三项一定构成等差数列，故概率为 1.当等差数列an的公差不为 0 时，从a1，a2，a3，a4，a5，a6，a7中取走任意四项，剩下三项的总数有 C4735(种)，剩下三项构成等差数列，则符

26、合条件的有(a1，a2，a3)，(a2，a3，a4)，(a3，a4，a5)，(a4，a5，a6)，(a5，a6，a7)，(a1，a3，a5)，(a2，a4，a6)，(a3，a5，a7)，(a1，a4，a7)9 种情况，故剩下三项构成等差数列的概率为935.思路点拨：根据公差是否为 0 进行分类讨论，由题意可求得所有的基本事件数目，也可求得符合条件的基本事件数目，由古典概型概率公式求解9D如图，满足不等式组的区域是边长为 2 的正方形，面积是 4，假设满足不等式ykx的区域如图阴影部分，其面积为 41222k，由几何概型的概率公式得点P的坐标(x，y)满足ykx的概率为41222k434，解得k12.10D在等腰直角三角形B1EF中，因为斜边EFa，所以B1EB1F22a.根据几何概型概率公式，得PVA1ABFED1DCGHVABB1A1DCC1D1VABB1A1DCC1D1VEFB1HGC1VABB1A1DCC1D11VEFB1HGC1VABB1A1DCC1D11SEFB1S矩形ABB1A1112B1EB1F2a2114a222a22a11878.故选 D.【精选】数学人教版教学资料【精选】数学人教版教学资料【精选】数学人教版学习资料【精选】数学人教版学习资料