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1、北京市西城区20142015学年下学期高二年级期末考试数学试卷（理科）试卷满分：150分 考试时间：120分钟一、选择题：本大题共10小题，每小题4分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的。1. i是虚数单位，若复数z满足34i，则z等于（ ）A. 43i B. 43i C. 34i D. 34i2. 在的展开式中，只有第4项的系数最大，则n等于（ ）A. 4 B. 5 C. 6 D. 73. 若，则n的值为（ ）A. 7B. 6C. 5D. 44. 已知，则（ ）A. 0B. 1C. 1D. 25. 计算定积分（ ）A. B. C. D. 6. 在一段线路中并联着两个独立
2、自动控制的开关，只要其中一个开关能够闭合，线路就可以正常工作。设这两个开关能够闭合的概率分别为0.5和0.7，则线路能够正常工作的概率是（ ）A. 0.35 B. 0.65 C. 0.85 D. 7. 从0，1，2，3，4中选取三个不同的数字组成一个三位数，其中偶数有（ ）A. 30个 B. 27个 C. 36个 D. 60个8. 函数在上的极小值点为（ ）A. 0B. C. D. 9. 甲、乙两人分别从四种不同品牌的商品中选择两种，则甲、乙所选的商品中恰有一种品牌相同的选法种数是（ ）A. 30 B. 24 C. 12 D. 610. 已知函数，给出下列结论：是的单调递减区间；当时，直线与的
3、图象有两个不同交点；函数的图象与的图象没有公共点。其中正确结论的序号是（ ）A. B. C. D. 二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分，把答案填在题中横线上。11. 函数的图象在点处切线的斜率是_。12. 设，则_；_。13. 在3名男生和4名女生中任选4人参加一项活动，其中至少有1名男生的选法种数是_。（用数字作答）14. 设函数有极值，则实数a的取值范围是_。15. 某超市有奖促销，抽奖规则是：每消费满50元，即可抽奖一次。抽奖方法是：在不透明的盒内装有标着1，2，3，4，5号码的5个小球，从中任取1球，若号码大于3就奖励10元，否则无奖，之后将球放回盒中，即完成一次抽奖，则
4、某人抽奖2次恰中20元的概率为_；若某人消费200元，则他中奖金额的期望是_元。16. 设函数图象上在不同两点处的切线斜率分别是，规定（为A与B之间的距离）叫作曲线在点A与点B之间的“弯曲度”。若函数图象上两点A与B的横坐标分别为0，1，则_；设为曲线上两点，且，若恒成立，则实数m的取值范围是_。三、解答题：本大题共6小题，共80分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。17. （本小题满分13分）已知数列中，。（）计算的值；（）根据计算结果猜想an的通项公式，并用数学归纳法加以证明。18. （本小题满分13分）在一次射击游戏中，规定每人最多射击3次；在A处击中目标得3分，在B，C处击中目标
5、均得2分，没击中目标不得分；某同学在A处击中目标的概率为，在B，C处击中目标的概率均为。该同学依次在A，B，C处各射击一次，各次射击之间没有影响，求在一次游戏中：（）该同学得4分的概率；（）该同学得分少于5分的概率。19. （本小题满分13分）已知函数。（）若，求在上的最小值；（）若在区间上的最大值大于零，求a的取值范围。20. （本小题满分13分）盒中装有7个零件，其中5个是没有使用过的，2个是使用过的。（）从盒中每次随机抽取1个零件，有放回的抽取3次，求3次抽取中恰有2次抽到使用过零件的概率；（）从盒中任意抽取3个零件，使用后放回盒子中，设X为盒子中使用过零件的个数，求X的分布列和期望。2
6、1. （本小题满分14分）已知函数。（）当时，求曲线在点（0，1）处的切线方程；（）若函数在区间上的最小值为0，求a的值；（）若对于任意恒成立，求a的取值范围。22. （本小题满分14分） 已知函数，令。（）求函数f（x）的单调递增区间；（）若关于x的不等式恒成立，求整数m的最小值；（）若，且正实数满足，求证：。【试题答案】一、选择题：本大题共10小题，每小题4分，共40分。1. B 2. C 3. D 4. C 5. B 6. C 7. A 8. C 9. B 10. B二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分。11. 3 12. 1，1 13. 3414. 15. ；1616. 注
7、：一题两空的试题，第一空3分，第二空2分。三、解答题：本大题共6小题，共80分。17. （本小题满分13分）解：（）由可得。5分（）由猜想：。7分以下用数学归纳法证明：（1）当时，左边，右边，符合结论；8分（2）假设时结论成立，即，9分那么，当nk1时，。11分所以，当nk1时猜想也成立；12分根据（1）和（2），可知猜想对于任意nN*都成立。13分18. （本小题满分13分）解：（）设该同学在A处击中目标为事件A，在B处击中目标为事件B，在C处击中目标为事件C，事件A，B，C相互独立。依题意。3分则该同学得4分的概率为5分。答：该同学得4分的概率为。6分（）该同学得0分的概率为；8分得2分的
8、概率为；10分得3分的概率为；11分得4分的概率为；则该同学得分少于5分的概率为。答：该同学得分少于5分的概率为。13分19. （本小题满分13分）解：（）时，则。2分令，得。4分列表：10（0，1）1701143f（x）在区间（1，0）上单调递减，在区间（0，1）上单调递增。所以，当时，最小值为。7分（）由已知。8分当时，函数为减函数，在区间上的最大值为4，不符合题意。9分当时，函数在区间上为减函数，最大值为，不符合题意。10分当时，函数在区间上为增函数，在区间上为减函数。所以，在区间上的最大值为，11分依题意，令，解得，符合题意。12分综上，a的取值范围是。13分20. （本小题满分13分
9、）解：（）记“从盒中随机抽取一个零件，抽到的是使用过零件”为事件A。1分则。3分所以三次抽取中恰有2次抽到使用过零件的概率。5分（）从盒中任意抽取三个零件，使用后放回盒子中，设此时盒子中使用过的零件个数为X，由已知X3，4，5。7分；。10分随机变量X的分布列为：X345P11分。13分21. （本小题满分14分）解：（）时，2分所求切线的斜率为。3分所以，曲线在点处的切线方程为。4分（）当时，函数，不符合题意。5分当时，令，得，6分所以，当时，函数单调递减；当时，函数单调递增。7分当，即时，最小值为。解，得，符合题意。8分当，即时，最小值为。解，得，不符合题意。9分综上，。（）构建新函数。1
10、0分当，即时，因为，所以。（且时，仅当时，。）所以在R上单调递增。又，所以，当时，对于任意都有。12分当时，解，即，得，其中。所以，且，。所以在上单调递减。又，所以存在，使，不符合题意。综上，a的取值范围为。14分22. （本小题满分14分）解：（）的定义域为，2分由，得，所以f（x）的单调递增区间为（0，1）。4分（）。令，则不等式恒成立，即恒成立。5分当时，因为，所以所以在上是单调递增函数，又因为，所以关于x的不等式不能恒成立。6分当时，。令，因为，得，所以当时，；当时，。因此函数在是增函数，在是减函数。7分故函数的最大值为。8分令，因为在上是减函数，又因为，所以当时，。所以整数m的最小值为2。10分（）时，由，得，即，整理得，11分令，则由得，12分可知在区间上单调递减，在区间上单调递增。所以，13分所以，解得，因为为正整数，所以成立。14分
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