《经济应用模型》PPT课件

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1、经 济 数 学 模 型 经 济 数 学 模 型2.1 边 际 及 弹 性 分 析一 、 边 际 的 概 念 在 经 济 学 中 ， 如 果 一 个 经 济 指 标 y是 另 一 个 经 济 指 标 x 的 函 数 y=f (x), 当 自 变 量 x在 x0处 有 一 个 单 位 的 改 变 量 时， 所 对 应 的 函 数 y的 改 变 量 称 为 该 函 数 所 表 示 的 经 济 指 标在 x 0处 的 边 际 量 。 例 如 ： 生 产 要 素 (自 变 量 )增 加 一 单 位 ， 产 量 (因 变 量 )的增 量 为 2个 单 位 ， 因 变 量 改 变 的 2个 单 位 就 是

2、边 际 产 量 . 边 际 分 析 法 就 是 分 析 自 变 量 变 动 1单 位 时 ， 因 变 量会 变 动 多 少 的 方 法 . 经 济 数 学 模 型用 数 学 方 法 描 述 边 际 概 念 设 函 数 f(x)可 导 . 根 据 导 数 的 定 义 ， 有 0( ) lim .x yf x x 当 | |x 很 小 时 ， 有 ( ) .yf x x 于 是 ( ) ( ) ( ) .y f x x f x f x x 特 别 地 ， 当 1x 时 ， 有 ( ) 1 ( ).y f x f x 当 自 变 量 增 加 1单 位 时 ， 函 数 的 增 量 近 似 地 等 于

3、其 导 数 值 . 定 义 把 函 数 )(xfy 的 导 数 )(xf 称 为 边 际 函 数 经 济 数 学 模 型1 边 际 成 本总 成 本 函 数 )(xCC （ x为 产 量 ） 的 导 数 ),(xC称 为 产 量 为 x 单 位 时 的 边 际 成 本 边 际 成 本 )(xC 表 示 当 产 量 为 x时 ， 再 生 产 1个 单 位 产 品 时 总 成 本 将 改 变 )(xC 个 单 位 2 边 际 收 益总 收 益 函 数 )(xRR （ x为 产 量 ） 的 导 数 ),(xR称 为 产 量 为 x单 位 时 的 边 际 收 益 边 际 收 益 )(xR 表 示 当

4、产 量 为 x时 ， 再 生 产 1个 单 位 产 品 ， 总 收 益 将 改 变 )(xR 个 单 位 经 济 数 学 模 型3 边 际 利 润总 利 润 函 数 )(xLL （ x为 产 量 ） 的 导 数 ),(xL 称 为 产 量 为 x单 位 时 的 边 际 利 润 边 际 利 润 )(xL 表 示 当 产 量 为 x时 ， 再 生 产 1个 单 位 产 品 ， 总 利 润 将 改 变 )(xL 单 位 最 大 利 润 原 理 当 边 际 收 入 等 于 边 际 成 本 且 边 际 收 入 的 变 化 率 小 于 边际 成 本 的 变 化 率 时 ， 利 润 最 大 。条 件 ： 唯

5、 一 驻 点 C(x)R(x)xL )( 经 济 数 学 模 型4 边 际 需 求需 求 函 数 )(pQd （ p为 价 格 ） 的 导 数 ),( p 称 为 价 格 为 p单 位 时 的 边 际 需 求 边 际 需 求 )( p 表 示 当 价 格 为 p时 ， 价 格 再 上 涨 1 个 单 位 ,需 求 量 将 改 变 )( p 个 单 位 5 边 际 供 给供 给 函 数 )(pQ s （ p为 价 格 ） 的 导 数 ),( p 称 为 价 格 为 p单 位 时 的 边 际 需 求 边 际 需 求 表 示 当 价 格 为 p时 ， 价 格 再 上 涨 1 个 单 位 ,需 求 量

6、 将 改 变 )( p 个 单 位 )( p 经 济 数 学 模 型例 设 生 产 某 种 产 品 的 总 成 本 为 ,x.xC 11300)( 总 收 益 为 ,x.xxR 200305)( 试 求 ： （ 1） 边 际 成 本 、 边 际 收 入 和 边 际 利 润 函 数 . （ 2） 当 产 量 为 600及 700个 单 位 时 的 边 际 利 润 , 并 说 明 其 经 济 意 义 . （ 3） 求 利 润 最 大 的 产 量 。 经 济 数 学 模 型解 （ 1） ;11)11300()( .x.xC ;00605)00305()( 2 x.x.xxR .x.xCxRxL 00

7、6093)()()( （ 2） .L 30600006093)600( .L 30700006093)700( （ 3） 令 ( ) 0L x , 650 x .得 这 时 ， 有(650) (650) 1.1.C R 经 济 意 义 ： 当 产 量 为 600时 ， 再 增 加 单 位 产 量 会 使 利润 增 加 0.3,当 产 量 为 700时 ， 再 增 加 单 位 产 量 会 使 利润 减 少 0.3 经 济 数 学 模 型二 、 弹 性 分 析 1、 弹 性 的 概 念 设 函 数 )(xfy 可 导 ， 函 数 )(xf 在 点 x 处 的 增 量 为 ),()( xfxxfy

8、自 变 量 的 增 量 为 ,x 则 比 值 称 为 在 点 x 处 自 变 量 x 的 相 对 改 变 量 . 称 比 值 为 函 数 y 的 相 对 改 变 量 。 xx 0 ,x 当 时 两 个 相 对 改 变 量 之 比 的 极 限 0lim ( ).( )x y xy f xx f xx 称 为 函 数 )(xfy 在 点 x 处 的 弹 性 ， 记 作 ,ExEy 即 )()( xfxf xExEy yy 经 济 数 学 模 型弹 性 经 济 意 义 为 ： 当 自 变 量 变 化 1%时 ， 函 数 变 化 的 百 分 数 为 %.EyEx注 意 弹 性 研 究 的 是 相 对

9、变 化 率 因 此 ， 弹 性 没 有 量 纲 0 00000 / )(/)()(/ )(/ xx xfxfxxfxx xfy 为 函 数 在 区 间 上 的 弧 弹 性 。 0 0( , )x x x称 经 济 数 学 模 型2 需 求 价 格 弹 性设 需 求 函 数 为 )(pQQ （ p为 价 格 ） ， 则 需 求 价 格 弹 性 为 = ( ).( )EQ p Q pEp Q p 它 表 示 在 价 格 为 p的 水 平 上 ， 当 价 格 改 变 1%时 ， 需 求 量 变 化 的 百 分 数 根 据 需 求 弹 性 值 的 大 小 ， 需 求 价 格 弹 性 可 以 划 分 为

10、 经 济 数 学 模 型（ 1） 缺 乏 弹 性 ： 0 1 （ 2） 富 有 弹 性 ： 1 （ 3） 单 位 弹 性 ： 1 价 格 变 动 的 比 率 = 需 求 量 变 动 的 比 率 。 例 如 运 输 业 、 煤 气 等 。 需 求 量 变 动 的 比 率 小 于 价 格 变 动 的比 率 。 需 求 量 对 于 价 格 变 动 反 应 不 敏感 。 例 如 生 活 必 需 品 （ 粮 食 、 蔬 菜 ） ,需 求 曲 线 陡 峭 。 需 求 量 变 动 的 比 率 大 于 价 格 变 动 的 比率 。 需 求 量 对 于 价 格 变 动 反 应 敏 感 。例 如 奢 侈 品 ，

11、需 求 曲 线 较 平 坦 。 Q P QPP Q 经 济 数 学 模 型（ 5） 完 全 无 弹 性 ： 0 价 格 无 论 如 何 变 动 ， 需 求 量 都 不会 变 动 。 （ 急 救 药 、 火 葬 场 、 糖 尿病 人 对 胰 岛 素 的 需 求 ） P Q（ 4） 完 全 有 弹 性 ： P Q在 既 定 价 格 之 下 ， 需 求 量 可 以 任 意变 动 （ 如 银 行 以 固 定 价 格 收 购 黄 金 ） 经 济 数 学 模 型实 例 弹 性 在 航 空 公 司 中 的 应 用 美 国 航 空 公 司 认 为 ， 弄 清 乘 客 的 需 求 弹 性 相 当 于 每 年 可

12、 带 来数 十 亿 美 元 的 收 益 。 理 想 的 情 况 下 ， 航 空 公 司 希 望 向 商 务 人 员要 求 尽 可 能 高 的 票 价 ， 而 向 闲 适 的 游 客 提 供 足 够 低 的 票 价 以 填补 飞 机 上 的 空 座 。 这 是 航 空 公 司 为 增 加 总 收 益 ， 追 求 利 润 最 大化 所 希 望 采 取 的 措 施 。 为 此 他 们 要 解 决 如 何 识 别 两 种 不 同 类 型的 乘 客 问 题 。 航 空 公 司 通 过 对 不 同 乘 客 实 行 “ 价 格 歧 视 ” 的 措施 解 决 了 这 个 难 题 。 航 空 公 司 通 常 会

13、 对 事 先 计 划 并 希 望 选 择 低价 时 机 的 游 客 提 供 折 扣 。 同 时 ， 航 空 公 司 也 许 会 要 求 乘 客 等 到周 六 晚 上 以 后 才 能 拿 到 打 折 的 机 票 ， 这 一 条 规 定 使 得 急 于 回 家度 周 末 的 商 务 人 员 望 而 却 步 。 另 外 最 后 的 时 刻 通 常 不 提 供 折 扣 ，因 为 商 务 往 来 事 先 并 无 计 划 ， 而 是 为 了 处 理 意 外 的 危 机 这是 另 外 一 种 缺 乏 弹 性 的 情 况 。 航 空 公 司 已 经 设 计 出 极 其 复 杂 的计 算 机 程 序 来 管 理

14、 机 票 的 销 售 ， 从 而 确 保 缺 乏 弹 性 的 乘 客 无 法 从 折 扣 中 获 益 。 因 此 ， 尽 管 用 有 预 算 约 束 的 旅 客 填 补 空 位 ， 他们 仍 然 有 利 可 图 。 经 济 数 学 模 型3、 需 求 弹 性 、 总 收 入 与 价 格 之 间 的 关 系 R p Q pQ (1 )Q ppQ p Q (1 )R Q p 总 收 入 的 变 动 量 近 似 为R PQ总 收 入 函 数 为 p若 价 格 有 微 小 的 变 化 ， 则 收 入 函 数 的 改 变 量 为R ( )p p Q Q pQ （ ）p Q pQ p Q 经 济 数 学

15、模 型4、 需 求 的 收 入 弹 性设 需 求 关 于 收 入 函 数 为 ， 其 中 M 表 示 消 费 者 的收 入 ( )d dQ Q M需 求 收 入 弹 性 的 计 算 公 式 为 dM ddQ ME dM Q 0ME 1ME 1ME 0ME 若 需 求 收 入 弹 性 ， 则 称 这 样 的 商 品 为 正 常 商 品 ， 其 中若 ， 认 为 是 缺 乏 弹 性 的 ， 例 如 生 活 必 需 品 ； 若 ， 则 为 是 富 有 弹 性 的 ， 例 如 奢 侈 品 或 高 档 商 品 。 若 需 求 收 入弹 性 ， 则 认 为 该 商 品 是 低 档 或 劣 质 产 品 ，

16、即 吉 芬 （Giffen） 商 品 。 经 济 数 学 模 型均 衡 价 格 是 市 场 上 供 需 量 相 等 时 的 价 格 ， 这 时 的供 需 量 叫 做 均 衡 商 品 量 。eP )( sd QQkdtdP 解 这 个 模 型 就 得 到 价 格 和 时 间 的 关 系 。 一 般 来 说 价 格 P 随 时 间 t 波 动 ， ， 的 涨 速与 过 剩 需 求 成 正 比 ， 故 有 数 学 模 型 sd QQ )(tPP )(tP 2.3 均 衡 价 格若 的 表 达 式 是 线 性 的 ： ,d sQ Q ( ) , ( )d sQ p p Q p a bp 0 0b ，

17、经 济 数 学 模 型其 通 解 为 ( ) t ePt ce P 从 而 lim ( ) et P t P 这 说 明 价 格 虽 是 波 动 的 ， 但 随 着 时 间 的 推 移 ， 最 后趋 于 均 衡 价 格 。 edP P Pdt 则 问 题 简 化 为 ( )0k b 可 得 供 求 平 衡 时 的 价 格 为 e ap b 经 济 数 学 模 型若 需 求 是 一 个 常 数 ， 供 给 也 是 一 个 常 数 ， 且 供 不 应求 ： ， 则 d sQ Q ( )d sdP k Q Q kdt ( ) + P t k t c其 通 解 为从 而 lim ( ) t P t d

18、Q sQd sQ Q此 时 即 为 通 货 膨 胀 。 控 制 通 货 膨 胀 的 关 键 是 降 低 消 费 资金 的 投 放 和 增 加 商 品 的 供 应 量 。 经 济 数 学 模 型总 利 润 为 2 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )d s s dL p R CQ p p Q p q rQ p Q pp p a bp q r a b pp bq r b p r a aq R ( )dQ p p ( ) ( ) ( )s s dC Q p q r Q p Q p ( ) ( )s dQ p Q p如 果 企 业 生 产 的 产 品

19、不 脱 销 ， 并 认 为 商 品 需 求 量 即 为 销 售 量， 供 给 量 即 为 生 产 量 。 此 时 发 生 的 商 品 库 存 量 为 设 企 业 生 产 和 库 存 单 位 商 品 的 成 本 分 别 为 q和 r.若 需 求 和 供 给函 数 都 为 线 性 函 数 ： ， 收 入 函 数 和成 本 函 数 分 别 为 ( ) , ( )d sQ p p Q p a bp 经 济 数 学 模 型e ap p b s dQ Q由 于 商 品 不 脱 销 ， 所 以 ， 由 此 , )ep 最 优 价 格 问 题 转 化 为 求 函 数 L(p） 在 区 间 上 的最 大 值 问

20、 题 。 0 ( )2bq r bp L(p)的 唯 一 驻 点 为不 难 证 明 p0是 L(p)的 最 大 值 ， 所 以 当 ， 最 优 价 格为 ， 当 ， 最 优 价 格 为 ， 综 上 ， 最 优 价 格 为0 ep p0p ep0 ep p * 0max , ep p p 经 济 数 学 模 型1、 以 二 元 函 数 为 例 说 明 拉 格 朗 日 乘 子 的 经 济 意 义 设 是 目 标 函 数 ， 是 影 响 目 标 函 数 中 两个 因 素 的 约 束 条 件 ， 在 此 约 束 条 件 下 ， 求 目 标 函 数 的 最 值 问 题 。 ),( yxfz Cyx ),

21、( ),( yxfz ( , , ) ( , ) ( , )L x y f x y C x y 拉 格 朗 日 函 数 为 经 济 数 学 模 型000LxLyL 若 将 C 看 作 变 量 ， 解 出 最 优 解 , ,x y )(),(),( CyyCxxC 的 最 值 也 可 视 为 的 函 数 ( , )z f x y z C( ( ), ( )z f x C y C (1)( , ) 0 fx xfy yx y C 令 经 济 数 学 模 型对 求 导 z C (2)dz f dx f dydC x dC y dC 将 方 程 组 (1)中 前 两 式 代 入 (2)式 中 * *

22、* * * 3dz dx dydC x dC y dC （ ）( , )x y C C 对 两 边 对 求 导 1 dCdyydCdxx 经 济 数 学 模 型 随 目 标 函 数 、 约 束 条 件 的 经 济 意 义 和 度 量单 位 不 同 而 有 不 同 的 经 济 解 释 。 拉 格 朗 日 乘 子 是 目 标 函 数 最 值 对 约 束 条 件之 常 数 的 变 化 率 或 边 际 值 。 zC dzdC 若 总 成 本 限 定 为 ， 两 种 原 料 投 入 为 x、 y， 为 目 标 是 使 总 产 量 最 大 ， 则 是 在 最 优 投入 水 平 时 的 边 际 产 量 。

23、C ( , )x y C ( , )z f x y 经 济 数 学 模 型多 变 量 多 约 束 下 拉 格 朗 日 乘 子 的 经 济 意 义研 究 有 m个 等 式 约 束 ：1 2( , , , ) 1,2, ,i n ix x x C i m 函 数 1 2( , , , )nf x x x 的 极 值 问 题 1 2 1 21( , , , ) ( ( , , , )mn i i i niL f x x x C x x x 构 造 拉 格 朗 日 函 数 同 样 称 为 拉 格 朗 日 乘 数 1,2, , i i m （ ） 经 济 数 学 模 型 * , 1,2, ,i if i

24、 mC 1 2( , , , )nf x x x 拉 格 朗 日 乘 数 是 函 数 的 条 件 极 值* * * *1 2( , , , )nf x x x iC对 约 束 常 数 的 一 阶 偏 导 数 ， 即 其 经 济 意 义 随 目 标 函 数 、 约 束 条 件 的 经 济 意 义 和 度量 单 位 不 同 而 有 不 同 的 解 释 。类 似 于 二 元 函 数 ， 有 如 下 结 论 经 济 数 学 模 型 经 济 数 学 模 型1） 、 两 个 寡 头 厂 商 生 产 的 产 品 是 同 质 或 无 差 别 的 ；2） 、 每 个 厂 商 都 根 据 对 手 的 策 略 采

25、取 行 动 ， 并 假 定 对 手 也 这 样 做 ， 据 此 来 做 出 自 己 的 决 策 ；3） 、 为 方 便 ， 假 定 每 个 厂 商 的 边 际 成 本 为 常 数 ， 市 场 的 需 求 函 数 是 线 性 的 ；4） 、 两 个 厂 商 都 通 过 调 整 产 量 来 实 现 各 自 利 润 的 最 大 ；5） 、 两 个 厂 商 不 存 在 任 何 正 式 的 或 非 正 式 的 串 谋 行 为 。 2、 古 诺 模 型 中 两 个 寡 头 行 为 的 假 定 经 济 数 学 模 型 参 与 者 集 合 ： i=1,2， 1为 厂 商 A， 2为 厂 商 B市 场 需 求

26、函 数 ： 2,1 0, ) ()( 21 iac baqqbabQaQppi ）（ ,Qq , qqq , Q,qq 0, 212121 决 策 变 量 ： ( ) 1,2i i i ic q cq i 成 本 函 数 ： 1 2( , ) ( ) ( ) ( ) ) 1,2i i j i i i i iq q qp Q c q q a b q q c i 利 润 函 数 ： 3、 建 立 模 型古 诺 均 衡 :古 诺 均 衡 是 指 这 样 一 对 产 量 的 组 合 ， 在 这个 产 量 水 平 上 没 有 企 业 认 为 可 通 过 增 加 或 减 少 产 量 而 提 高 自 己 的

27、 利 润 ， 产 出 的 组 合 除 了 古 诺 均 衡 外 ， 不 可 能 再 达 到 均 衡 。* *1 2q q、 经 济 数 学 模 型* * *1 1 2 1 1 2 1 1 max ( , ) ( ) ) q q q a b q q c q 厂 商 A的 均 衡 产 量 * * *2 1 2 2 1 2 1 2 max ( , ) ( ) ) q q q a b q q c q 厂 商 B的 均 衡 产 量* *1 1 2= ( )q R q 厂 商 A的 反 应 函 数* *2 2 1= ( )q R q 厂 商 B的 反 应 函 数 厂 商 选 择 的 应 是 均 衡 产 量

28、*1 1 2 1 1 2( , ) ( , )q q q q * *2 1 2 2 1 2( , ) ( , )q q q q 经 济 数 学 模 型1 1 2 12 1 22( , ) 0( , ) = 0q qqq qq ( , )q q1 2 1 1 2 11 2 2 1 22 2 02 0a c bq bqq a c bq bqq 即 古 诺 均 衡 产 量 使 两 个 企 业 都 达 到 利 润 最 大 化 ， 故 古 诺 均 衡点 既 在 企 业 A的 反 应 函 数 曲 线 上 又 在 企 业 B的 反 应 函 数 曲 线上 ， 两 条 企 业 反 应 函 数 曲 线 的 交 点

29、 就 是 古 诺 均 衡 点 。 经 济 数 学 模 型2 11 1 2= ( ) 2a bq cq R q b 1 22 2 1= ( ) 2a bq cq R q b 两 企 业 的 反 应 函 数 为 两 企 业 的 最 优 产 量 为 q2 q1均 衡 点0q2* q1*R1(q2) R2(q1)* 1 21 23a c cq b * 2 12 23a c cq b 经 济 数 学 模 型市 场 总 产 量 为 ：均 衡 价 格 为 ： * * 1 21 2 2 3a c cQ q q b * * * 1 21 2( ) 3a c cP a bq q 企 业 2的 市 场 分 额 ：企

30、 业 1的 市 场 分 额 ： *1 1 21 1 222q a c cQ Q a c c *2 2 12 1 222q a c cQ Q a c c 经 济 数 学 模 型例 1 欧 佩 克 （ OPEC,石 油 输 出 国 组 织 ） 试 图 通 过 限 制 生 产水 平 保 持 世 界 石 油 的 高 价 格 。 假 设 欧 佩 克 的 生 产 成 本 为 每桶 5美 元 ， 非 欧 佩 克 生 产 国 的 生 产 成 本 为 每 桶 10美 元 ， 又知 道 石 油 市 场 需 求 函 数 为 用 古 诺 寡 头 垄 断 方 法 做 均 衡 分 析 。65 /3P Q 1 1 2 1

31、1 2 11( , ) 60 ( )3q q q q q q 2 1 2 1 1 2 21( , ) 55 ( )3q q q q q q 1 2q q、分 析 ： 设 欧 佩 克 和 非 欧 佩 克 国 的 产 量 分 别 为 ， 双 方 的 利 润 函 数 分 别 为 经 济 数 学 模 型解 得 反 应 函 数 分 别 为 21 1 2 180( ) 2 qq R q 12 2 1 165( ) 2 qq R q 所 以 石 油 市 场 的 古 诺 均 衡 点 为 *1 65q *2 50q ， 1 1 21 2 160 03 3q qq 2 1 22 1 255 03 3q qq 令

32、经 济 数 学 模 型 假 定 市 场 上 的 两 个 寡 头 垄 断 企 业 通 过 串 谋 如 同 一 个 垄 断 者一 样 行 事 。 串 谋 属 于 合 作 博 弈 ， 其 特 点 是 参 加 博 弈 的 各 方 在决 策 过 程 中 联 合 起 来 ， 先 追 求 共 同 利 益 的 极 大 化 ， 然 后 再 分配 这 个 已 经 极 大 化 了 的 共 同 利 益 。 1 2= ( ) ( )p p Q p q q 市 场 需 求 函 数 为 ：两 个 企 业 的 成 本 函 数 分 别 为 ： 1 1 2 2( ) ( )c q c q、在 串 谋 条 件 下 ， 总 利 润

33、函 数 为 ：1 2 1 2 1 2 1 1 2 2, ( )( ) ( ) ( )q q p q q q q c q c q （ ） = 1 2 1 2 1 2 1 1 2 2,max ( )( ) ( ) ( )q q p q q q q c q c q 则 4、 两 个 企 业 有 串 谋 的 均 衡 模 型 经 济 数 学 模 型令 0 ,0 21 qq 由 此 求 得 各 自 的 最 优 产 量例 2 两 企 业 市 场 需 求 函 数 和 成 本 函 数 分 别 为 ：若 两 企 业 串 谋 ， 求 均 衡 解 ， 并 求 两 企 业 的 最 优 利 润 。21 2 1 1 2 2

34、100 0.5( ), 5 , 0.5p q q c q c q 总 利 润 函 数 为 2212121 5.05)(5.0100 qqqqqq 1 290, 5q q 1 24275, 250 解 得 095 211 qqq 02100 212 qqq令 经 济 数 学 模 型设 市 场 中 有 n家 厂 商 ,qi为 厂 商 i的 产 量 ， 为 市 场 总产 量 。 已 知 市 场 的 需 求 函 数 为 p=a - bQ ,为 简 单 ， 假 设 各厂 商 生 产 没 有 固 定 成 本 ， 且 各 厂 商 的 边 际 成 本 c都 相 同 。若 各 厂 商 同 时 选 择 产 量 ，

35、 则 各 厂 商 的 利 润 函 数 为Q qiin 15、 多 家 企 业 的 古 诺 产 量 竞 争 模 型 ( ) 1,2,., ni i i i j i ij ipq cq a bq b q q cq i n 2 0 1,2,.,ni jj ii a bq b q c i nq 令各 厂 商 的 反 应 函 数 为 1,2,.2n j j ii a b q cq i nb 经 济 数 学 模 型n个 厂 商 均 衡 点 满 足 1 2 =. nq q q 1 2 =. = 1n a cq q q n b （ ）行 业 总 产 量 为 1 ( )1n jj n a cq n b （ ）市

36、 场 价 格 为 ( ) ( )1 1n a c n a cp a b an b n （ ）每 个 企 业 的 利 润 为 2 2( ) ( )( ) 1 1 ( 1)j j n a c a c a cp c q a cn n b n b （ ） （ ） 经 济 数 学 模 型 从 上 述 数 学 结 果 来 看 ， 当 n=1时 ， 得 到 的 是 垄 断 结 果 ；在 n=2时 ， 得 到 的 是 双 头 模 型 的 结 果 。 企 业 的 均 衡 产 量 、市 场 均 衡 价 格 和 每 个 企 业 的 均 衡 利 润 都 与 行 业 内 企 业 数量 n有 关 系 。 0lim lim

37、 ( 1) in n a cq n b ( ) lim lim ( 1)n n n a c a cQ n b b 在 古 诺 均 衡 中 ， 随 着 企 业 数 量 的 无 限 增 加 ， 每 个 企 业 的产 出 水 平 接 近 零 ， 而 行 业 总 产 量 接 近 竞 争 产 出 水 平 。 n 时 企 业 均 衡 产 量 和 市 场 总 产 量 的 变 化 ： 经 济 数 学 模 型 古 诺 均 衡 价 格 随 着 企 业 数 量 增 加 的 结 果 为 ：lim lim 1n n a ncP cn 古 诺 均 衡 价 格 在 n=1时 为 垄 断 价 格 水 平 ， 随 着 行 业

38、中企 业 数 量 的 无 限 增 加 ， 呈 不 断 下 降 的 趋 势 ， 直 到 逼 近 企业 单 位 生 产 成 本 即 完 全 竞 争 价 格 水 平 。 这 说 明 ， 当 企 业 个 数 很 多 时 ， 市 场 价 格 将 趋 于 企 业 的边 际 成 本 ， 市 场 产 量 将 会 不 断 增 加 ， 而 价 格 将 会 下 降 ， 从而 有 助 于 增 加 消 费 者 的 福 利 。 经 济 数 学 模 型问题 价 格 指 数 是 消 费 品 价 格 变 化 的 度 量 .几 百 年 来 ， 经 济 学 家 们 提 出 了 许 多 种 价 格 指 数 .如 何 评 价 这 些

39、价 格 指 数 的 合 理 性 ？以 种 和 种 商 品 的 价 格 指 数 为 例对 一 种 给 定 商 品 ， 原 价 p 0, 现 价 p, 价 格 变 化 I=p/p0对 两 种 给 定 商 品 ， 原 价 p01, p02, 现 价 p1, p2, 价 格 变 化 指 标022011 ppppI 0201 21 pp ppI 0201 21 pp ppI 没 有 体 现 “ 权 ” 的 概 念 ， 应 有 价 格 综 合 指 数 经 济 数 学 模 型商 品名 称 计 量单 位 报 告 期 基 期销 售 量 单 价 (元 ) 销 售 量 单 价 (元 ) q1 p1 q0 p0甲 米

40、 600 0.20 400 0.25乙 kg 600 0.36 500 0.40丙 件 180 0.60 200 0.50某 企 业 三 种 产 品 平 均 日 产 与 价 格 313 01 444 92.5%480i iip i ii p qI p q 价 格 综 合 指 数 定 义 为pI 3 3 01 1 444 480 36i i i ii ip q p q 说 明 三 种 产 品 价 格 综 合 下 降 7.5%， 企 业 日 产 值 减 少 36元 。 经 济 数 学 模 型问 题 的 一 般 提 法 设 有 n 种 代 表 性 消 费 品 ， 建 立 衡 量 基 年 和 现 年

41、价 格 变 化 指 标 。基 年 (基 准 年 ) 价 格 指 数 记 为 I(p,q|p 0,q0) 权 重 Tnqqqq ),.,( 002010 现 年 (报 告 年 ) Tnpppp ),.,( 002010 价 格 Tnpppp ),.,( 21价 格 权 重 Tnqqqq ),.,( 21历 年 来 诸 多 学 者 都 对 指 数 计 算 做 了 研 究 ， 下 面 列 举 经 济 学家 们 提 出 的 常 用 价 格 指 数 。 经 济 数 学 模 型 000 0 11 0 0 0 01( , ) n i iin i ii pqI p q p qp,q p q p q基 年 权

42、重 法 现 年 权 重 法 0 0 1 2 0 01( , ) in i iin ii pqI p q p qp,q p q p q 基 年 现 年 权 重 并 用 法 0 0 13 0 0 0 01( , ) in i iin ii pqI p q p qp,q p q p q固 定 权 重 法 0 0 14 0 01( , ) , 0in i ii in ii paI ap a p ap,q p q p a 经 济 数 学 模 型几 何 平 均 法 00 0 1/2 1 25 1 2 0 0 0( , ) ( ) ( )I I I p q p qp,q p q p q p q 幂 平 均

43、法 0 06 0 11( , ) , 0, 1in ni i iii ipI p p,q p q规 范 基 年 权 向 量幂 平 均 法 00 07 0 01 1( , ) ,in i ii ni i iip qI p q p , q p q 规 范 现 年 权 向 量幂 平 均 法 0 08 01 1( , ) ,in i ii ni i iip qI p q p,q p q问 题 ： 哪 种 定 义 更 合 理 ？ 理 想 的 价 格 指 数 是 什 么 ？ 经 济 数 学 模 型1. 价 格 单 调 性 ： 一 种 商 品 涨 价 ， 其 他 不 降 ， 则 I应 上 升价 格 指 数

44、的 公 理 化 p, q, p0,q00, I(p,q| p0,q0)0),|,(),|,( 0000 qpqpIqpqpIpp 2. 权 重 不 变 性 ： 所 有 商 品 价 格 不 变 ， 则 I应 不 变1),|,( 000 qpqpI3. 价 格 齐 次 性 ： 所 有 商 品 涨 价 k倍 ， 则 I应 上 升 k倍 0),|,(),|,( 0000 kqpqpkIqpqkpI4. I应 位 于 单 种 商 品 价 格 比 值 的 最 小 、 最 大 值 之 间 0000 max),|,(min iiiiii ppqpqpIpp 经 济 数 学 模 型5. 货 币 单 位 独 立

45、性 ： I应 与 货 币 单 位 的 选 取 无 关 0),|,(),|,( 0000 qpqpIqpqpI6. 计 量 单 位 独 立 性 ： I应 与 商 品 计 量 单 位 的 选 取 无 关为 非 负 对 角 阵 ),|,(),|,( 000101 qpqpIqpqpI7. 两 年 的 价 格 指 数 之 比 与 基 年 选 取 无 关 ),|,( ),|,(),|,( ),|,( 00 0000 00 qpqpI qpqpIqpqpI qpqpI 8. 价 格 指 数 不 因 某 种 商 品 被 淘 汰 失 去 意 义 iqpqpIip ,0),|,(lim 000 经 济 数 学

46、模 型则 价 指 数 I2为 1 12 0 1 10 9 1.258 9pqI pq 若 猪 肉 计 量 单 位 换 算 为 公 斤 基 期 p 0=2 8=16元 , 销 量 q0 =10 2=5公 斤 现 价 p1 =2 10=20元 ,销 量 q1 =9 2=4.5公 斤价 格 指 数 应 不 变 25.14.516 4.50210 112 qpqpI对 性 质 6解 释 举 例猪 肉 基 期 p0=8元 , 销 量 q0 =10斤 现 价 p1 =10元 ,销 量 q1 =9斤 为 非 负 对 角 阵 ),|,(),|,( 000101 qpqpIqpqpI ),(21,2 21,2

47、0011200112 qpqpIqpqpI ）（即 经 济 数 学 模 型I 1, I2, I5不 满 足 公 理 7艾 希 霍 恩 （ Eichhorn） 给 出 了 如 下 定 理 （ 1973）定 理 : 不 存 在 同 时 满 足 公 理 2,3,6,7,8的 价 格 指 数 .I6, I7, I8不 满 足 公 理 8I3不 满 足 公 理 2 I4不 满 足 公 理 6常 见 的 价 格 指 数 I1 I8中 ： 经 济 数 学 模 型 不 存 在 满 足 所 有 公 理 的 价 格 指 数 ， 但 经 济 学 不 能 没 有 价 格 指数 ， 要 选 择 综 合 性 能 好 的

48、指 数 。 分 析 现 有 I1 -I8， 应 剔 除 哪 一 个 ？I4与 I6需 构 造 另 外 参 数 ， 不 方 便 使 用 ， I5 可 由 I1和 I2 直 接 得 到 ，I3不 满 足 公 理 2， I7、 I8 计 算 量 大 且 不 满 足 公 理 6、 7、 8.I 1, I2满 足 除 公 理 7外 的 所 有 公 理 ， 且 计 算 简 单 ， 所 以 是目 前 最 常 用 的 价 格 指 数 。目 前 常 用 的 价 格 指 数 : I1, I2 000 0 11 0 0 0 01( , ) n i iin i ii pqI p q p qp,q p q p q 0

49、0 12 0 01( , ) in i iin ii pqI p q p qp,q p q p q 经 济 数 学 模 型中 国 几 种 主 要 价 格 指 数 简 介1、 商 品 零 售 价 格 指 数 RPI 零 售 价 格 指 数 (Retail Price index)是 反 映 城 乡 商 品 零售 价 格 变 动 趋 势 的 一 种 经 济 指 数 。 它 的 变 动 直 接 影 响 到 城 乡居 民 的 生 活 支 出 和 国 家 财 政 收 入 ， 影 响 居 民 的 购 买 力 和 市 场供 需 平 衡 以 及 消 费 和 积 累 的 比 例 。 商 品 主 要 包 括 食

50、品 、 饮 料烟 酒 、 服 装 鞋 帽 、 纺 织 品 、 中 西 药 品 、 化 妆 品 、 书 报 杂 志 、文 化 体 育 用 品 、 日 用 品 、 家 用 电 器 、 首 饰 、 燃 料 、 建 筑 装 潢材 料 、 机 电 产 品 等 十 四 个 大 类 304种 必 报 产 品 ， 各 省 （ 区 、市 ） 可 根 据 当 地 实 际 情 况 适 当 增 加 一 些 商 品 。 经 济 数 学 模 型2、 居 民 消 费 价 格 指 数 CPI 居 民 消 费 价 格 指 数 （ Consumer Price Index） 简 称 CPI ，是 度 量 消 费 商 品 及 服

51、务 项 目 价 格 水 平 随 着 时 间 而 变 动 的相 对 数 。 它 反 映 居 民 家 庭 购 买 的 消 费 品 及 服 务 价 格 水 平的 变 动 情 况 。 通 常 作 为 观 察 通 货 膨 胀 水 平 的 重 要 指 标 。中 国 的 CPI包 括 食 品 、 衣 着 、 医 疗 保 健 和 个 人 用 品 、 交通 及 通 讯 、 娱 乐 教 育 文 化 用 品 及 服 务 、 居 住 、 杂 项 商 品与 服 务 等 八 类 。 一 般 说 来 ， 0CPI3%， 就 是 通 货 膨 胀 ； 而 当CPI5%时 ， 则 是 严 重 的 通 货 膨 胀 ， 经 济 发

52、展 不 稳 定 ， 国家 相 应 将 出 台 货 币 紧 缩 的 政 策 ， 如 加 息 、 提 高 银 行 存 款准 备 金 率 等 。 经 济 数 学 模 型3、 生 产 者 价 格 指 数 PPI 生 产 者 价 格 指 数 （ Producer Price Index） 简 称 PPI，也 称 为 工 业 品 价 格 指 数 ， 是 从 生 产 者 方 面 考 虑 的 物 价 指数 ， 测 量 在 初 级 市 场 上 出 售 的 货 物 (即 在 非 零 售 市 场 上首 次 购 买 某 种 商 品 时 )的 价 格 变 动 的 一 种 价 格 指 数 ， 反映 生 产 者 所 购 买

53、 、 出 售 的 商 品 价 格 的 变 动 情 况 。 工 业 品价 格 指 数 的 上 涨 反 映 了 生 产 者 价 格 的 提 高 ， 相 应 地 生 产者 的 生 产 成 本 增 加 ， 生 产 成 本 的 增 加 必 然 转 嫁 到 消 费 者身 上 ， 导 致 CPI的 上 涨 。 经 济 数 学 模 型4、 农 业 生 产 资 料 价 格 指 数 农 业 生 产 资 料 价 格 指 数 是 指 反 映 一 定 时 期 内 农 业 生 产 资料 价 格 变 动 趋 势 和 程 度 的 相 对 数 。 农 业 生 产 资 料 价 格 指 数分 为 小 农 具 、 饲 料 、 幼 禽

54、 家 畜 、 半 机 械 化 农 具 、 机 械 化 农具 、 化 学 肥 料 、 农 药 及 农 药 械 、 农 机 用 油 等 八 大 类 。 其 编制 目 的 是 了 解 农 业 生 产 中 物 质 资 料 投 入 价 格 的 变 动 状 况 ，服 务 于 国 民 经 济 核 算 。5、 股 票 价 格 指 数 股 票 价 格 指 数 是 反 映 市 场 上 多 种 股 票 价 格 变 动 趋 势 的 一种 相 对 数 ， 简 称 股 价 指 数 ， 其 单 位 一 般 用 “ 点 ” 表 示 ， 即将 基 期 (最 初 时 期 )指 数 作 为 100， 每 上 升 或 下 降 一 个 单 位 成为 1“ 点 ” 。