数学模型 姜启源课件.ppt

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1、数 学 模 型 数 学 模 型 数 学 模 型 姜 启 源 主 编 课 程 名 称 学 时 36数 学 模 型 与 数 学 建 模Mathematical Modeling 学 分 3课 程 类 别 专 业 选 修 课先 修 课 程微 积 分 、 线 性 代 数 、 概 率 论 与 数 理 统 计课 程 简 介本 课 程 是 计 算 机 及 管 理 专 业 的 一 门 专 业 选 修 课 。 也 是 本 科 生 参 加 数 学 建模 竞 赛 的 辅 导 课 程 。 数 学 模 型 是 架 于 数 学 理 论 和 实 际 问 题 之 间 的 桥 梁 。数 学 建 模 是 应 用 数 学 解 决

2、实 际 问 题 的 重 要 手 段 和 途 径 。 本 书 介 绍 数 学 建模 中 常 用 的 一 些 基 本 概 念 、 理 论 和 典 型 的 数 学 模 型 ， 包 括 ： 数 据 拟 合 ，网 络 模 型 ， 优 化 模 型 ， 离 散 模 型 、 随 机 模 型 ， 时 间 序 列 预 报 模 型 ， 回 归分 析 及 其 试 验 设 计 。 通 过 数 学 模 型 和 数 学 建 模 有 关 问 题 的 论 述 和 模 型 实例 的 介 绍 ， 使 学 生 应 用 数 学 解 决 实 际 问 题 的 能 力 有 所 提 高 。 教 材 及 参 考 书 目 数 学 模 型 ， 姜

3、启 源 主 编 ， 高 等 教 育 出 版 社 课 程 简 介 数 学 模 型 数 学 模 型 姜 启 源 主 编 数 学 模 型 数 学 模 型 姜 启 源 主 编 第 一 章 建 立 数 学 模 型第 二 章 初 等 模 型第 三 章 简 单 的 优 化 模 型第 四 章 数 学 规 划 模 型 第 五 章 微 分 方 程 模 型第 六 章 稳 定 性 模 型第 七 章 差 分 方 程 模 型第 八 章 离 散 模 型第 九 章 概 率 模 型第 十 章 统 计 回 归 模 型附 录 : 数 学 建 模 实 验 周 次 节 次 教 学 内 容 课 时 作 业 执 行 情 况1 五 5 6

4、1.1-1.5数 学 模 型 的 介 绍 1.6数 学 模 型 的 基 本 方 法 步 骤 、 特 点和 分 类 22 五 5 6 2.1公 平 的 席 位 分 配 (讨 论 课 )2.2录 像 机 计 数 器 的 用 途2.3双 层 玻 璃 的 功 效 23 五 5 6 2.7实 物 交 换3.2生 猪 的 出 售 时 机 24 五 5 6 3.3森 林 救 火 (讨 论 课 )3.4最 优 价 格 25 五 5 6 3.6消 费 者 的 选 择4.3汽 车 生 产 与 原 油 采 购 2 6 五 5 6 4.5饮 料 厂 的 生 产 与 检 修5.1传 染 病 模 型 (讨 论 课 ) 2

5、7 五 5 6 5.2经 济 增 长 模 型 5.6人 口 的 预 测 和 控 制 28 五 5 6 6.1捕 鱼 业 的 持 续 收 获 6.2军 备 竞 赛 (讨 论 课 ) 2 教 学 进 度 数 学 模 型 数 学 模 型 姜 启 源 主 编 9 五 5 6 6.4种 群 的 相 互 依 存 7.1市 场 经 济 中 的 蛛 网 模 型 2 10 五 5 6 7.2减 肥 计 划 -节 食 与 运 动 8.3层 次 分 析 模 型 212 五 5 6 8.4效 益 的 合 理 分 配 9.2报 童 的 诀 窍 (讨 论 课 ) 213 五 5 6 9.5随 机 人 口 模 型 9.6航

6、 空 公 司 的 预 定 票 策 略 214 五 5 6 10.1牙 膏 的 销 售 量 2 评 估 周15 五 5 6 Mtlab,Mathematcia数 学 软 件 学 习(上 机 ) 2 16 五 5 6 数 学 建 模 实 验 (上 机 ) 217 五 5 6 数 学 建 模 实 验 (上 机 ) 218 考 试 数 学 模 型 数 学 模 型 姜 启 源 主 编 数 学 模 型 数 学 模 型 姜 启 源 主 编 第 一 章 建 立 数 学 模 型1.1 从 现 实 对 象 到 数 学 模 型1.2 数 学 建 模 的 重 要 意 义1.3 数 学 建 模 示 例1.4 数 学 建

7、 模 的 方 法 和 步 骤1.5 数 学 模 型 的 特 点 和 分 类1.6 怎 样 学 习 数 学 建 模 玩 具 、 照 片 、 飞 机 、 火 箭 模 型 实 物 模 型水 箱 中 的 舰 艇 、 风 洞 中 的 飞 机 物 理 模 型地 图 、 电 路 图 、 分 子 结 构 图 符 号 模 型模 型 是 为 了 一 定 目 的 ， 对 客 观 事 物 的 一 部 分进 行 简 缩 、 抽 象 、 提 炼 出 来 的 原 型 的 替 代 物模 型 集 中 反 映 了 原 型 中 人 们 需 要 的 那 一 部 分 特 征1.1 从 现 实 对 象 到 数 学 模 型我 们 常 见

8、的 模 型 第 一 章 建 立 数 学 模 型 数 学 模 型 姜 启 源 主 编 你 碰 到 过 的 数 学 模 型 “ 航 行 问 题 ”用 x 表 示 船 速 ， y 表 示 水 速 ， 列 出 方 程 ：75050)( 75030)( yx yx 答 ： 船 速 每 小 时 20千 米 /小 时 .甲 乙 两 地 相 距 750千 米 ， 船 从 甲 到 乙 顺 水 航 行 需 30小 时 ，从 乙 到 甲 逆 水 航 行 需 50小 时 ， 问 船 的 速 度 是 多 少 ?x =20y =5求 解 第 一 章 建 立 数 学 模 型 数 学 模 型 姜 启 源 主 编 航 行 问

9、题 建 立 数 学 模 型 的 基 本 步 骤 作 出 简 化 假 设 （ 船 速 、 水 速 为 常 数 ） ； 用 符 号 表 示 有 关 量 （ x, y表 示 船 速 和 水 速 ） ； 用 物 理 定 律 （ 匀 速 运 动 的 距 离 等 于 速 度 乘 以 时 间 ） 列 出 数 学 式 子 （ 二 元 一 次 方 程 ） ； 求 解 得 到 数 学 解 答 （ x=20, y=5） ； 回 答 原 问 题 （ 船 速 每 小 时 20千 米 /小 时 ） 。 第 一 章 建 立 数 学 模 型 数 学 模 型 姜 启 源 主 编 数 学 模 型 (Mathematical Mo

10、del) 和数 学 建 模 （ Mathematical Modeling)对 于 一 个 现 实 对 象 ， 为 了 一 个 特 定 目 的 ，根 据 其 内 在 规 律 ， 作 出 必 要 的 简 化 假 设 ，运 用 适 当 的 数 学 工 具 ， 得 到 的 一 个 数 学 结 构 。建 立 数 学 模 型 的 全 过 程（ 包 括 表 述 、 求 解 、 解 释 、 检 验 等 ）数 学 模 型数 学建 模 第 一 章 建 立 数 学 模 型 数 学 模 型 姜 启 源 主 编 1.2 数 学 建 模 的 重 要 意 义 电 子 计 算 机 的 出 现 及 飞 速 发 展 ； 数 学

11、 以 空 前 的 广 度 和 深 度 向 一 切 领 域 渗 透 。数 学 建 模 作 为 用 数 学 方 法 解 决 实 际 问 题 的 第 一 步 ，越 来 越 受 到 人 们 的 重 视 。 在 一 般 工 程 技 术 领 域 数 学 建 模 仍 然 大 有 用 武 之 地 ； 在 高 新 技 术 领 域 数 学 建 模 几 乎 是 必 不 可 少 的 工 具 ； 数 学 进 入 一 些 新 领 域 ， 为 数 学 建 模 开 辟 了 许 多 处 女 地 。 第 一 章 建 立 数 学 模 型 数 学 模 型 姜 启 源 主 编 数 学 建 模 的 具 体 应 用 分 析 与 设 计 预

12、 报 与 决 策 控 制 与 优 化 规 划 与 管 理数 学 建 模 计 算 机 技 术知 识 经 济如 虎 添 翼 第 一 章 建 立 数 学 模 型 数 学 模 型 姜 启 源 主 编 1.3 数 学 建 模 示 例1.3.1 椅 子 能 在 不 平 的 地 面 上 放 稳 吗问 题 分 析模型假设 通 常 三 只 脚 着 地 放 稳 四 只 脚 着 地 四 条 腿 一 样 长 ， 椅 脚 与 地 面 点 接 触 ， 四 脚连 线 呈 正 方 形 ; 地 面 高 度 连 续 变 化 ， 可 视 为 数 学 上 的 连 续曲 面 ; 地 面 相 对 平 坦 ， 使 椅 子 在 任 意 位

13、置 至 少 三只 脚 同 时 着 地 。 第 一 章 建 立 数 学 模 型 数 学 模 型 姜 启 源 主 编 模 型 构 成用 数 学 语 言 把 椅 子 位 置 和 四 只 脚 着 地 的 关 系 表 示 出 来 椅 子 位 置 利 用 正 方 形 (椅 脚 连 线 )的 对 称 性 xB ADC O DC B A 用 (对 角 线 与 x轴 的 夹 角 )表 示 椅 子 位 置 四 只 脚 着 地 距 离 是 的 函 数四 个 距 离(四 只 脚 )A,C 两 脚 与 地 面 距 离 之 和 f()B,D 两 脚 与 地 面 距 离 之 和 g()两 个 距 离 椅 脚 与 地 面 距

14、 离 为 零 正 方 形 ABCD绕 O点 旋 转正 方 形对 称 性 第 一 章 建 立 数 学 模 型 数 学 模 型 姜 启 源 主 编 用 数 学 语 言 把 椅 子 位 置 和 四 只 脚 着 地 的 关 系 表 示 出 来f() , g()是 连 续 函 数对 任 意 , f(), g()至 少 一 个 为 0数 学问 题 已 知 ： f() , g()是 连 续 函 数 ; 对 任 意 ， f() g()=0 ; 且 g(0)=0， f(0) 0. 证 明 ： 存 在 0， 使 f(0) = g(0) = 0. 模 型 构 成地 面 为 连 续 曲 面 椅 子 在 任 意 位 置

15、至 少 三 只 脚 着 地 第 一 章 建 立 数 学 模 型 数 学 模 型 姜 启 源 主 编 模 型 求 解给 出 一 种 简 单 、 粗 糙 的 证 明 方 法将 椅 子 旋 转 900， 对 角 线 AC和 BD互 换 。由 g(0)=0， f(0) 0 ， 知 f(/2)=0 , g(/2)0.令 h()= f()g(), 则 h(0)0和 h(/2) p2/n2 ， 对 不 公 平A p1/n1 p2/n2=5 第 二 章 初 等 模 型 数 学 模 型 姜 启 源 主 编 公 平 分 配 方 案 应使 rA , rB 尽 量 小设 A, B已 分 别 有 n1, n2 席 ，

16、若 增 加 1席 ， 问 应 分 给 A, 还 是 B不 妨 设 分 配 开 始 时 p1/n1 p2/n2 ， 即 对 A不 公 平),(/ / 2122 2211 nnrnp npnp A 对 A的 相 对 不 公 平 度将 绝 对 度 量 改 为 相 对 度 量类 似 地 定 义 rB(n1,n2) 将 一 次 性 的 席 位 分 配 转 化 为 动 态 的 席 位 分 配 , 即“公 平 ” 分 配 方法 若 p1/n1 p2/n2 ， 定 义 第 二 章 初 等 模 型 数 学 模 型 姜 启 源 主 编 1） 若 p1/(n1+1) p2/n2 ， 则 这 席 应 给 A2） 若

17、p1/(n1+1) p2/(n2+1)， 应 计 算 rB(n1+1, n2)应 计 算 rA(n1, n2+1)若 rB(n1+1, n2) p2/n2 问 ： p1/n1rA(n1, n2+1), 则 这 席 应 给 B 第 二 章 初 等 模 型 数 学 模 型 姜 启 源 主 编 当 rB(n1+1, n2) 640g=0.1 第 三 章 简 单 的 优 化 模 型 数 学 模 型 姜 启 源 主 编 敏 感 性 分 析研 究 r, g变 化 时 对 模 型 结 果 的 影 响 估 计 r=2， g=0.1rggrt 2404 设 g=0.1不 变 5.1,6040 rrrtt 对 r

18、 的 （ 相 对 ） 敏 感 度 rr ttrtS / /),( trdrdt 3604060),( rrtS生 猪 每 天 体 重 增 加 量 r 增 加 1%， 出 售 时 间 推 迟 3%。 1.5 2 2.5 30 5 10 15 20 rt 第 三 章 简 单 的 优 化 模 型 数 学 模 型 姜 启 源 主 编 敏 感 性 分 析 估 计 r=2， g=0.1rggrt 2404 研 究 r, g变 化 时 对 模 型 结 果 的 影 响 设 r=2不 变 15.00,203 gg gtt 对 g的 （ 相 对 ） 敏 感 度 tgdgdtgg ttgtS / /),( 3 20

19、3 3),( ggtS生 猪 价 格 每 天 的 降 低 量 g增 加 1%， 出 售 时 间 提 前 3%。 0.06 0.08 0.1 0.12 0.14 0.160102030 gt 第 三 章 简 单 的 优 化 模 型 数 学 模 型 姜 启 源 主 编 强 健 性 分 析保 留 生 猪 直 到 利 润 的 增 值 等 于 每 天 的 费 用 时 出 售由 S(t,r)=3建 议 过 一 周 后 (t=7)重 新 估 计 , 再 作 计 算 。 wwpp , 研 究 r, g不 是 常 数 时 对 模 型 结 果 的 影 响 w=80+rt w = w(t) 4)()()()( tw

20、tptwtpp=8-gt p =p(t) 若 (10%), 则 （ 30%） 2.28.1 w 137 t0)( tQ 每 天 利 润 的 增 值 每 天 投 入 的 资 金 ttwtptQ 4)()()( 第 三 章 简 单 的 优 化 模 型 数 学 模 型 姜 启 源 主 编 3.3 森 林 救 火森 林 失 火 后 ， 要 确 定 派 出 消 防 队 员 的 数 量 。队 员 多 ， 森 林 损 失 小 ， 救 援 费 用 大 ；队 员 少 ， 森 林 损 失 大 ， 救 援 费 用 小 。综 合 考 虑 损 失 费 和 救 援 费 ， 确 定 队 员 数 量 。问 题分 析问 题 记

21、 队 员 人 数 x, 失 火 时 刻 t=0, 开 始 救 火 时 刻 t1, 灭 火 时 刻 t2, 时 刻 t森 林 烧 毁 面 积 B(t). 损 失 费 f1(x)是 x的 减 函 数 , 由 烧 毁 面 积 B(t2)决 定 . 救 援 费 f 2(x)是 x的 增 函 数 , 由 队 员 人 数 和 救 火 时 间 决 定 .存 在 恰 当 的 x， 使 f1(x), f2(x)之 和 最 小 第 三 章 简 单 的 优 化 模 型 数 学 模 型 姜 启 源 主 编 关 键 是 对 B(t)作 出 合 理 的 简 化 假 设 .问 题分 析 失 火 时 刻 t=0, 开 始 救

22、 火 时 刻 t1, 灭 火 时 刻 t2, 画 出 时 刻 t 森 林 烧 毁 面 积 B(t)的 大 致 图 形t 1 t20 tBB(t2)分 析 B(t)比 较 困 难 ,转 而 讨 论 森 林 烧 毁速 度 dB/dt. 第 三 章 简 单 的 优 化 模 型 数 学 模 型 姜 启 源 主 编 模 型 假 设 3） f1(x)与 B(t2)成 正 比 ， 系 数 c1 (烧 毁 单 位 面 积 损 失 费 ） 1） 0tt1, dB/dt 与 t成 正 比 ， 系 数 (火 势 蔓 延 速 度 ） 2） t1tt2, 降 为 -x (为 队 员 的 平 均 灭 火 速 度 ） 4）

23、 每 个 队 员 的 单 位 时 间 灭 火 费 用 c2, 一 次 性 费 用 c3假 设 1）的 解 释 rB火 势 以 失 火 点 为 中 心 ，均 匀 向 四 周 呈 圆 形 蔓 延 ，半 径 r与 t 成 正 比面 积 B与 t 2成 正 比 ， dB/dt与 t成 正 比 . 第 三 章 简 单 的 优 化 模 型 数 学 模 型 姜 启 源 主 编 xbtt 12 202 )()( t dttBtB 模 型 建 立 dtdBb0 t1 t t2 x假 设 1）,1tb xcttxcxftBcxf 31222211 )()(),()( 目 标 函 数 总 费 用 )()()( 21

24、 xfxfxC 假 设 3） 4） xttt 112 假 设 2）)(222 212212 xttbt 第 三 章 简 单 的 优 化 模 型 数 学 模 型 姜 启 源 主 编 0dxdC xcx xtcx tctcxC 3122121211 )(22)( 模 型 建 立 目 标 函 数 总 费 用模 型 求 解 求 x使 C(x)最 小 23 12211 2 2 c tctcx 结 果 解 释 / 是 火 势 不 继 续 蔓 延 的 最 少 队 员 数dtdBb0 t1 t2 t x其 中 c1,c2,c3, t1, ,为 已 知 参 数 第 三 章 简 单 的 优 化 模 型 数 学 模

25、 型 姜 启 源 主 编 模 型应 用 c1,c2,c3已 知 , t1可 估 计 , c2 x c1, t1, x c3 , x 结 果解 释 23 12211 2 2 c tctcx c1烧 毁 单 位 面 积 损 失 费 , c2每 个 队 员 单 位 时 间 灭 火 费 , c3每 个 队 员 一 次 性 费 用 , t1开 始 救 火 时 刻 , 火 势 蔓 延 速 度 , 每 个 队 员 平 均 灭 火 速 度 .为 什 么 ? ,可 设 置 一 系 列 数 值由 模 型 决 定 队 员 数 量 x 第 三 章 简 单 的 优 化 模 型 数 学 模 型 姜 启 源 主 编 3.4

26、 最 优 价 格问 题 根 据 产 品 成 本 和 市 场 需 求 ， 在 产 销 平衡 条 件 下 确 定 商 品 价 格 ， 使 利 润 最 大假 设 1） 产 量 等 于 销 量 ， 记 作 x2） 收 入 与 销 量 x 成 正 比 ， 系 数 p 即 价 格3） 支 出 与 产 量 x 成 正 比 ， 系 数 q 即 成 本4） 销 量 x 依 赖 于 价 格 p, x(p)是 减 函 数 建 模与 求 解 pxpI )(收 入 qxpC )(支 出 )()()( pCpIpU 利 润进 一 步 设 0,)( babpapx 求 p使 U(p)最 大 第 三 章 简 单 的 优 化

27、模 型 数 学 模 型 姜 启 源 主 编 0* ppdpdU使 利 润 U(p)最 大 的 最 优 价 格 p*满 足 * pppp dpdCdpdI 最 大 利 润 在 边 际 收 入 等 于 边 际 支 出 时 达 到pxpI )( qxpC )( bpapx )( )( bpaqp )()()( pCpIpU baqp 22 * 建 模与 求 解 边 际 收 入 边 际 支 出 第 三 章 简 单 的 优 化 模 型 数 学 模 型 姜 启 源 主 编 结 果解 释 baqp 22* 0,)( babpapx q / 2 成 本 的 一 半 b 价 格 上 升 1单 位 时 销 量 的

28、 下 降 幅 度 （ 需 求 对 价 格 的 敏 感 度 ） a 绝 对 需 求 ( p很 小 时 的 需 求 ) b p* a p* 思 考 ： 如 何 得 到 参 数 a, b? 第 三 章 简 单 的 优 化 模 型 数 学 模 型 姜 启 源 主 编 q2 U(q1,q2) = c q10 1l 2l 3l3.6 消 费 者 均 衡问 题 消 费 者 对 甲 乙 两 种 商 品 的 偏 爱 程 度 用 无 差 别曲 线 族 表 示 ， 问 他 如 何 分 配 一 定 数 量 的 钱 ，购 买 这 两 种 商 品 ， 以 达 到 最 大 的 满 意 度 。设 甲 乙 数 量 为 q1,q

29、2, 消费 者 的 无 差 别 曲 线 族(单 调 减 、 下 凸 、 不 相交 ） ， 记 作 U(q1,q2)=cU(q1,q2) 效 用 函 数已 知 甲 乙 价 格 p1,p2, 有 钱 s， 试 分 配 s,购 买 甲 乙 数 量 q1,q2,使 U(q1,q2)最 大 .第 三 章 简 单 的 优 化 模 型 数 学 模 型 姜 启 源 主 编 s/p2 s/p1q2 U(q1,q2) = c q10 1l 2l 3l模 型及求 解 已 知 价 格 p1,p2,钱 s, 求 q1,q2,或 p1q1 / p2q2, 使 U(q1,q2)最 大 sqpqpts qqUZ 2211 2

30、1. ),(max),( 2211 qpqpUL )2,1(0 iqLi 2121 ppqUqU 122 dqdqKl几何解释 sqpqp 2211直 线 MN: 最 优 解 Q: MN与 l2切 点21 /ppKMN 斜 率 M Q N21 / qUqU 第 三 章 简 单 的 优 化 模 型 数 学 模 型 姜 启 源 主 编 0,0,0,0,0.B 21222221221 qqUqUqUqUqU 2121 ppqUq U 结 果解 释 21 , qUqU 边 际 效 用消 费 者 均 衡 状 态 在 两 种 商 品的 边 际 效 用 之 比 恰 等 于 它 们价 格 之 比 时 达 到

31、。效 用 函 数 U(q1,q2) 应 满 足 的 条 件A. U(q1,q2) =c 所 确 定 的 函 数 q2=q2(q1)单 调 减 、 下 凸 解 释 B的 实 际 意 义AB第 三 章 简 单 的 优 化 模 型 数 学 模 型 姜 启 源 主 编 0,)(.1 121 qqU效 用 函 数 U(q1,q2) 几 种 常 用 的 形 式 2121 ppqUqU 2122 11 ppqp qp 消 费 者 均 衡 状 态 下 购 买 两 种 商 品 费 用 之 比与 二 者 价 格 之 比 的 平 方 根 成 正 比 。 U(q1,q2)中 参 数 , 分 别 表 示 消 费 者 对

32、 甲 乙两 种 商 品 的 偏 爱 程 度 。第 三 章 简 单 的 优 化 模 型 数 学 模 型 姜 启 源 主 编 1,0,.2 21 qqU 0,)(.3 221 baqbqaU 2121 ppqUqU 22 11qpqp 购 买 两 种 商 品 费 用 之 比 与 二 者 价 格 无 关 。 U(q1,q2)中 参 数 , 分 别 表 示 对 甲 乙 的 偏 爱 程 度 。思 考 ： 如 何 推 广 到 m ( 2) 种 商 品 的 情 况效 用 函 数 U(q1,q2) 几 种 常 用 的 形 式第 三 章 简 单 的 优 化 模 型 数 学 模 型 姜 启 源 主 编 第 四 章

33、 数 学 规 划 模 型 4.3 汽 车 生 产 与 原 油 采 购4.5 饮 料 厂 的 生 产 与 检 修 数 学 模 型 数 学 模 型 姜 启 源 主 编 数 学 规 划 模 型 实 际 问 题 中的 优 化 模 型 mixgts xxxxfzMaxMin i Tn,2,1,0)(. ),(),()( 1 或x决 策 变 量 f(x)目 标 函 数 gi(x)0约 束 条 件多 元 函 数条 件 极 值 决 策 变 量 个 数 n和约 束 条 件 个 数 m较 大 最 优 解 在 可 行 域的 边 界 上 取 得 数学规划 线 性 规 划非 线 性 规 划整 数 规 划重 点 在 模

34、型 的 建 立 和 结 果 的 分 析第 四 章 数 学 规 划 模 型 数 学 模 型 姜 启 源 主 编 如 果 生 产 某 一 类 型 汽 车 ， 则 至 少 要 生 产 80辆 ， 那 么 最 优 的 生 产 计 划 应 作 何 改 变 ？例 1 汽 车 厂 生 产 计 划 汽 车 厂 生 产 三 种 类 型 的 汽 车 ， 已 知 各 类 型 每 辆 车 对 钢材 、 劳 动 时 间 的 需 求 ， 利 润 及 工 厂 每 月 的 现 有 量 。 小 型 中 型 大 型 现 有 量钢 材 （ 吨 ） 1.5 3 5 600劳 动 时 间 （ 小 时 ） 280 250 400 600

35、00利 润 （ 万 元 ） 2 3 4 制 订 月 生 产 计 划 ， 使 工 厂 的 利 润 最 大 。4.3 汽 车 生 产 与 原 油 采 购第 四 章 数 学 规 划 模 型 数 学 模 型 姜 启 源 主 编 设 每 月 生 产 小 、 中 、 大 型汽 车 的 数 量 分 别 为 x1, x2, x3 321 432 xxxzMax 600535.1. 321 xxxts 60000400250280 321 xxx 0, 321 xxx 汽 车 厂 生 产 计 划 模 型 建 立 小 型 中 型 大 型 现 有 量钢 材 1.5 3 5 600时 间 280 250 400 60

36、000利 润 2 3 4 线 性规 划模 型(LP)第 四 章 数 学 规 划 模 型 数 学 模 型 姜 启 源 主 编 模 型求 解 3） 模 型 中 增 加 条 件 ： x 1, x2, x3 均 为 整 数 ， 重 新 求 解 。 OBJECTIVE FUNCTION VALUE 1) 632.2581VARIABLE VALUE REDUCED COST X1 64.516129 0.000000 X2 167.741928 0.000000 X3 0.000000 0.946237 ROW SLACK OR SURPLUS DUAL PRICES 2) 0.000000 0.731

37、183 3) 0.000000 0.003226结 果 为 小 数 ，怎 么 办 ？1） 舍 去 小 数 ： 取 x1=64， x2=167， 算 出 目 标 函 数 值 z=629， 与LP最 优 值 632.2581相 差 不 大 。2） 试 探 ： 如 取 x 1=65， x2=167； x1=64， x2=168等 ， 计 算 函 数值 z， 通 过 比 较 可 能 得 到 更 优 的 解 。 但 必 须 检 验 它 们 是 否 满 足 约 束 条 件 。 为 什 么 ？ 第 四 章 数 学 规 划 模 型 数 学 模 型 姜 启 源 主 编 IP可 用 LINDO直 接 求 解整 数

38、 规 划 (Integer Programming,简 记 IP)“ gin 3” 表 示 “ 前 3个 变 量为 整 数 ” ， 等 价 于 ：gin x1gin x2gin x3 IP 的 最 优 解 x 1=64， x2=168， x3=0， 最 优 值 z=632 max 2x1+3x2+4x3st1.5x1+3x2+5x3600280 x1+250 x2+400 x360000endgin 3 OBJECTIVE FUNCTION VALUE 1) 632.0000VARIABLE VALUE REDUCED COST X1 64.000000 -2.000000 X2 168.00

39、0000 -3.000000 X3 0.000000 -4.000000 321 432 xxxzMax 600535.1. 321 xxxts 60000400250280 321 xxx 为 非 负 整 数321 , xxx模 型 求 解 IP 结 果 输 出第 四 章 数 学 规 划 模 型 数 学 模 型 姜 启 源 主 编 其 中 3个 子 模 型 应 去 掉 ， 然 后逐 一 求 解 ， 比 较 目 标 函 数 值 ，再 加 上 整 数 约 束 ， 得 最 优 解 ： 80,0,0 321 xxx 0,80,0 321 xxx 80,80,0 321 xxx 0,0,80 321

40、xxx 0,80,80 321 xxx 80,0,80 321 xxx 80,80,80 321 xxx 0, 321 xxx方 法 1： 分 解 为 8个 LP子 模 型 汽 车 厂 生 产 计 划 若 生 产 某 类 汽 车 ， 则 至 少 生 产 80辆 ， 求 生 产 计 划 。321 432 xxxzMax 600535.1. 321 xxxts 60000400250280 321 xxxx1,x2, x3=0 或 80 x1=80， x2= 150， x3=0， 最 优 值 z=610第 四 章 数 学 规 划 模 型 数 学 模 型 姜 启 源 主 编 LINDO中 对 0-1

41、变 量 的 限 定 ：int y1int y2int y3 方 法 2： 引 入 0-1变 量 ， 化 为 整 数 规 划 M为 大 的 正 数 ，可 取 1000 OBJECTIVE FUNCTION VALUE 1) 610.0000VARIABLE VALUE REDUCED COST X1 80.000000 -2.000000 X2 150.000000 -3.000000 X3 0.000000 -4.000000 Y1 1.000000 0.000000 Y2 1.000000 0.000000 Y3 0.000000 0.000000 若 生 产 某 类 汽 车 ， 则 至 少

42、 生 产 80辆 ， 求 生 产 计 划 。x1=0 或 80 x2=0 或 80 x3=0 或 80 1,0,80, 11111 yyxMyx 1,0,80, 22222 yyxMyx 1,0,80, 33333 yyxMyx 最 优 解 同 前 第 四 章 数 学 规 划 模 型 数 学 模 型 姜 启 源 主 编 NLP虽 然 可 用 现 成 的 数 学 软 件 求 解 (如 LINGO, MATLAB)， 但 是 其 结 果 常 依 赖 于 初 值 的 选 择 。 方 法 3： 化 为 非 线 性 规 划 非 线 性 规 划 （ Non- Linear Programming， 简 记

43、 NLP） 实 践 表 明 ， 本 例 仅 当 初 值 非 常 接 近 上 面 方 法 算 出的 最 优 解 时 ， 才 能 得 到 正 确 的 结 果 。 若 生 产 某 类 汽 车 ， 则 至 少 生 产 80辆 ， 求 生 产 计 划 。 x1=0 或 80 x2=0 或 80 x3=0 或 80 0)80( 11 xx 0)80( 22 xx 0)80( 33 xx第 四 章 数 学 规 划 模 型 数 学 模 型 姜 启 源 主 编 应 如 何 安 排 原 油 的 采 购 和 加 工 ？ 例 2 原 油 采 购 与 加 工 市 场 上 可 买 到 不 超 过 1500吨 的 原 油

44、A： 购 买 量 不 超 过 500吨 时 的 单 价 为 10000元 /吨 ； 购 买 量 超 过 500吨 但 不 超 过 1000吨 时 ， 超 过 500吨 的 部 分 8000元 /吨 ； 购 买 量 超 过 1000吨 时 ， 超 过 1000吨 的 部 分 6000元 /吨 。 售 价 4800元 /吨 售 价 5600元 /吨库 存 500吨 库 存 1000吨 汽 油 甲(A50%) 原 油 A 原 油 B 汽 油 乙 (A60%) 第 四 章 数 学 规 划 模 型 数 学 模 型 姜 启 源 主 编 决 策变 量 目 标函 数问 题分 析 利 润 ： 销 售 汽 油 的

45、 收 入 - 购 买 原 油 A的 支 出 难 点 ： 原 油 A的 购 价 与 购 买 量 的 关 系 较 复 杂 )()(6.5)(8.4 22122111 xcxxxxzMax 甲 (A50%) A B 乙 (A60%) 购 买 x x11x12x21x22 4.8千 元 /吨 5.6千 元 /吨原 油 A的 购 买 量 ,原 油 A, B生 产 汽 油 甲 ,乙 的 数 量c(x) 购 买 原 油 A的 支 出利 润 (千 元 ) c(x)如 何 表 述 ？第 四 章 数 学 规 划 模 型 数 学 模 型 姜 启 源 主 编 原 油 供 应 约 束条 件 xxx 5001211 10

46、002221 xx 1500 x 500)1(1000 30006 1000)(500 1000 8 500)(0 10)( xx xx xxxc x 500吨 单 价 为 10千 元 /吨 ； 500吨 x 1000吨 ， 超 过 500吨 的 8千 元 /吨 ；1000吨 x 1500吨 ， 超 过 1000吨 的 6千 元 /吨 。 目 标函 数 购 买 xA B x11x12x21x22库 存 500吨 库 存 1000吨 第 四 章 数 学 规 划 模 型 数 学 模 型 姜 启 源 主 编 目 标 函 数 中 c(x)不 是 线 性 函 数 ， 是 非 线 性 规 划 ； 对 于

47、用 分 段 函 数 定 义 的 c(x)， 一 般 的 非 线 性 规 划 软件 也 难 以 输 入 和 求 解 ； 想 办 法 将 模 型 化 简 ， 用 现 成 的 软 件 求 解 。 汽 油 含 原 油 A的 比 例 限 制 5.02111 11 xx x 6.02212 12 xx x 2111 xx 2212 32 xx 约 束条 件 甲 (A50%) A B 乙 (A60%) x11x12x21x22第 四 章 数 学 规 划 模 型 数 学 模 型 姜 启 源 主 编 x1 , x2 , x3 以 价 格 10, 8, 6(千 元 /吨 )采 购 A的 吨 数目 标函 数 只 有

48、 当 以 10千 元 /吨 的 价 格 购 买 x1=500(吨 )时 ， 才 能 以8千 元 /吨 的 价 格 购 买 x2方 法 1 )6810()(6.5)(8.4 32122122111 xxxxxxxzMax 0)500( 32 xx 500,0 321 xxx非 线 性 规 划 模 型 ， 可 以 用 LINGO求 解 模 型 求 解x= x1+x2+x3, c(x) = 10 x1+8x2+6x3 500吨 x 1000吨 ， 超 过 500吨 的 8千 元 /吨增 加 约 束 0)500( 21 xx 第 四 章 数 学 规 划 模 型 数 学 模 型 姜 启 源 主 编 方

49、法 1： LINGO求 解Model:Max= 4.8*x11 + 4.8*x21 + 5.6*x12 + 5.6*x22 - 10*x1 - 8*x2 - 6*x3;x11+x12 x + 500;x21+x22 0; 2*x12 - 3*x22 0;x=x1+x2+x3; (x1 - 500) * x2=0; (x2 - 500) * x3=0; x1 500;x2 500;x3 0;x11 0;x12 0;x21 0;x22 0;x1 0; x2 0;x3 0;end Objective value: 4800.000Variable Value Reduced CostX11 500.

50、0000 0.0000000E+00X21 500.0000 0.0000000E+00X12 0.0000000E+00 0.0000000E+00X22 0.0000000E+00 0.0000000E+00 X1 0.1021405E-13 10.00000 X2 0.0000000E+00 8.000000 X3 0.0000000E+00 6.000000 X 0.0000000E+00 0.0000000E+00 LINGO得 到 的 是 局 部 最 优 解 ， 还能 得 到 更 好 的 解 吗 ？ 用 库 存 的 500吨 原 油 A、 500吨 原 油 B生 产 汽 油 甲 ，

51、 不 购 买 新 的 原 油 A，利 润 为 4,800千 元 。 第 四 章 数 学 规 划 模 型 数 学 模 型 姜 启 源 主 编 y1, y2 , y3=1 以 价 格 10, 8, 6(千 元 /吨 )采 购 A增加约束方 法 2 0-1线 性 规 划 模 型 ， 可用 LINDO求 解 112 500500 yxy 223 500500 yxy 33 500yx y1,y2,y3 =0或 1 OBJECTIVE FUNCTION VALUE 1) 5000.000 VARIABLE VALUE REDUCED COST Y1 1.000000 0.000000 Y2 1.0000

52、00 2200.000000 Y3 1.000000 1200.000000 X11 0.000000 0.800000 X21 0.000000 0.800000 X12 1500.000000 0.000000 X22 1000.000000 0.000000 X1 500.000000 0.000000 X2 500.000000 0.000000 X3 0.000000 0.400000 X 1000.000000 0.000000 购 买 1000吨 原 油 A， 与库 存 的 500吨 原 油 A和1000吨 原 油 B一 起 ， 生产 汽 油 乙 ， 利 润 为 5,000千 元

53、 。x1 , x2 , x3 以 价 格 10, 8, 6(千 元 /吨 )采 购 A的 吨 数y=0 x=0 x0 y=1优 于 方 法 1的 结 果 第 四 章 数 学 规 划 模 型 数 学 模 型 姜 启 源 主 编 b1 b2 b3 b4方 法 3 b1 xb2， x= z1b1+z2b2，z1+z2=1， z1, z20, c(x)= z1c(b1)+z2c(b2). c(x) x12000900050000 500 1000 1500b2 x b3， x= z2b2+z3b3， z2+z3=1， z2, z3 0, c(x)= z2c(b2)+z3c(b3). b3 x b4，

54、x= z3b3+z4b4，z3+z4=1， z3, z4 0, c(x)= z3c(b3)+z4c(b4). 500)1(1000 30006 1000)(500 1000 8 500)(0 10)( xx xx xxxc 直 接 处 理 处 理 分 段 线 性 函 数 c(x) 第 四 章 数 学 规 划 模 型 数 学 模 型 姜 启 源 主 编 IP模 型 ， LINDO求解 ， 得 到 的 结 果 与方 法 2相 同 .处 理 分 段 线 性 函 数 ， 方 法 3更 具 一 般 性44332211 bzbzbzbzx )()()()()( 44332211 bczbczbczbczx

55、c bkxbk+1yk=1,否 则 ,yk=0 3432321211 , yzyyzyyzyz )4,3,2,1(0,14321 kzzzzz k 10,1 321321 或 yyyyyy 方 法 3 bkxbk+1 ,x= zkbk+z k+1 bk+1zk+zk+1 =1， zk, zk+1 0, c(x)= zkc(bk)+zk+1 c(bk+1 ). c(x) x12000900050000 500 1000 1500b1 b2 b3 b4对 于 k=1,2,3第 四 章 数 学 规 划 模 型 数 学 模 型 姜 启 源 主 编 4.5 饮 料 厂 的 生 产 与 检 修单 阶 段

56、生 产 计 划多 阶 段 生 产 计 划 生 产 批 量 问 题 企 业 生 产 计 划 考 虑 与 产 量 无 关 的 固 定 费 用给 优 化 模 型 求 解 带 来 新 的 困 难外 部 需 求 和 内 部资 源 随 时 间 变 化第 四 章 数 学 规 划 模 型 数 学 模 型 姜 启 源 主 编 安 排 生 产 计 划 , 满 足 每 周 的 需 求 , 使 4周 总 费 用 最 小 。存 贮 费 :每 周 每 千 箱 饮 料 0.2千 元 。 例 1 饮 料 厂 的 生 产 与 检 修 计 划 在 4周 内 安 排 一 次 设 备 检 修 ， 占 用 当 周 15千 箱 生 产

57、能力 ， 能 使 检 修 后 每 周 增 产 5千 箱 ， 检 修 应 排 在 哪 一 周 ? 周 次 需 求 量 (千 箱 ) 生 产 能 力 (千 箱 ) 成 本 (千 元 /千 箱 )1 15 30 5.02 25 40 5.13 35 45 5.44 25 20 5.5合 计 100 135 某 种 饮 料 4周 的 需 求 量 、 生 产 能 力 和 成 本第 四 章 数 学 规 划 模 型 数 学 模 型 姜 启 源 主 编 问 题 分 析 除 第 4周 外 每 周 的 生 产能 力 超 过 每 周 的 需 求 ； 生 产 成 本 逐 周 上 升 ；前 几 周 应 多 生 产 一

58、些 。 周 次 需 求 能 力1 15 302 25 403 35 454 25 20合 计 100 135 成 本5.05.15.45.5 饮 料 厂 在 第 1周 开 始 时 没 有 库 存 ； 从 费 用 最 小 考 虑 , 第 4周 末 不 能 有 库 存 ； 周 末 有 库 存 时 需 支 出 一 周 的 存 贮 费 ； 每 周 末 的 库 存 量 等 于 下 周 初 的 库 存 量 。 模型假设 第 四 章 数 学 规 划 模 型 数 学 模 型 姜 启 源 主 编 目 标函 数约 束条 件 产 量 、 库 存 与 需 求 平 衡 决 策 变 量 )(2.05.54.51.50.5

59、 3214321 yyyxxxxzMin 1511 yx 25212 yyx 35323 yyx 25 34 yx 20,45 40,30 43 21 xx xx能 力 限 制 非 负 限 制 0, 3214321 yyyxxxx 模 型 建 立 x1 x4： 第 14周 的 生 产 量y1 y3： 第 13周 末 库 存 量周 次 需 求 能 力1 15 302 25 403 35 454 25 20 成 本5.05.15.45.5 存 贮 费 :0.2 (千 元 /周 千 箱 ) 第 四 章 数 学 规 划 模 型 数 学 模 型 姜 启 源 主 编 模 型 求 解 4周 生 产 计 划

60、的 总 费 用 为 528 (千 元 ) 最 优 解 ： x1 x4： 15， 40， 25， 20； y1 y3： 0， 15， 5 .周 次 需 求 能 力1 15 302 25 403 35 454 25 20 成 本5.05.15.45.5产 量15402520 库 存01550 LINDO求 解第 四 章 数 学 规 划 模 型 数 学 模 型 姜 启 源 主 编 检 修 计 划 0-1变 量 wt ： wt=1 检 修 安 排在 第 t周 (t=1,2,3,4） 在 4周 内 安 排 一 次 设 备 检 修 ， 占 用 当 周 15千 箱 生 产 能 力 ， 能 使检 修 后 每

61、周 增 产 5千 箱 ， 检 修 应 排 在 哪 一 周 ? 检 修 安 排 在 任 一 周 均 可周 次 需 求 能 力1 15 302 25 403 35 454 25 20 成 本5.05.15.45.5约 束 条 件 能力限制 204540304321 xxxx 3015 11 wx 122 54015 wwx 1233 554515 wwwx 32144 5552015 wwwwx 产 量 、 库 存与 需 求 平 衡条 件 不 变 第 四 章 数 学 规 划 模 型 数 学 模 型 姜 启 源 主 编 增 加 约 束 条 件 ： 检 修 1次14321 wwww检 修 计 划 目

62、标 函 数 不 变0-1变 量 wt ： wt=1 检 修安 排 在 第 t周 (t=1,2,3,4）LINDO求 解 总 费 用 由 528千 元 降 为 527千 元检 修 所 导 致 的 生 产 能 力 提 高 的 作 用 , 需 要 更 长 的 时 间 才 能 得 到 充 分 体 现 。 最 优 解 ： w1=1, w2 , w3, w4=0; x1 x4： 15,45,15,25； y1 y3： 0,20,0 .第 四 章 数 学 规 划 模 型 数 学 模 型 姜 启 源 主 编 例 2 饮 料 的 生 产 批 量 问 题 安 排 生 产 计 划 , 满 足 每 周 的 需 求 ,

63、 使 4周 总 费 用 最 小 。存 贮 费 :每 周 每 千 箱 饮 料 0.2千 元 。 饮 料 厂 使 用 同 一 条 生 产 线 轮 流 生 产 多 种 饮 料 。若 某 周 开 工 生 产 某 种 饮 料 , 需 支 出 生 产 准 备 费 8千 元 。 某 种 饮 料 4周 的 需 求 量 、 生 产 能 力 和 成 本周 次 需 求 量 (千 箱 ) 生 产 能 力 (千 箱 ) 成 本 (千 元 /千 箱 )1 15 30 5.02 25 40 5.13 35 45 5.44 25 20 5.5合 计 100 135 第 四 章 数 学 规 划 模 型 数 学 模 型 姜 启

64、源 主 编 混 合 0-1规 划 模 型 最 优 解 ： x1 x4： 15， 40， 45， 0； 总 费 用 ： 554.0(千 元 ) 生 产 批 量 问 题 的 一 般 提 法tttt dyxyts 1. )( min 1 tttttTt t yhxcwsz Tt yxyy ttT,2,1 0,00 ttttt Mxxxw ,0,0 ,0,1将 所 给 参 数 代 入 模 型 ， 用 LINDO求 解0 ttt wMx第 四 章 数 学 规 划 模 型 数 学 模 型 姜 启 源 主 编 第 五 章 微 分 方 程 模 型5.1 传 染 病 模 型5.2 经 济 增 长 模 型5.6

65、人 口 预 测 和 控 制 数 学 模 型 数 学 模 型 姜 启 源 主 编 动 态模 型 描 述 对 象 特 征 随 时 间 (空 间 )的 演 变 过 程 分 析 对 象 特 征 的 变 化 规 律 预 报 对 象 特 征 的 未 来 性 态 研 究 控 制 对 象 特 征 的 手 段 根 据 函 数 及 其 变 化 率 之 间 的 关 系 确 定 函 数微 分方 程建 模 根 据 建 模 目 的 和 问 题 分 析 作 出 简 化 假 设 按 照 内 在 规 律 或 用 类 比 法 建 立 微 分 方 程第 五 章 微 分 方 程 模 型 数 学 模 型 姜 启 源 主 编 5.1 传

66、 染 病 模 型问 题 描 述 传 染 病 的 传 播 过 程 分 析 受 感 染 人 数 的 变 化 规 律 预 报 传 染 病 高 潮 到 来 的 时 刻 预 防 传 染 病 蔓 延 的 手 段 按 照 传 播 过 程 的 一 般 规 律 ，用 机 理 分 析 方 法 建 立 模 型第 五 章 微 分 方 程 模 型 数 学 模 型 姜 启 源 主 编 已 感 染 人 数 (病 人 ) i(t) 每 个 病 人 每 天 有 效 接 触(足 以 使 人 致 病 )人 数 为 模 型 1假 设 ttititti )()()( 若 有 效 接 触 的 是 病 人 ，则 不 能 使 病 人 数 增 加 必 须 区 分 已 感 染 者 (病人 )和 未 感 染 者 (健 康 人 )建 模 0)0( ii idtdi it teiti 0)( ? 第 五 章 微 分 方 程 模 型 数 学 模 型 姜 启 源 主 编 sidtdi 1)()( tits模 型 2 区 分 已 感 染 者 (病 人 )和 未 感 染 者 (健 康 人 )假 设 1） 总 人 数 N不 变 ， 病 人 和 健 康