破译三角函数中的最值问题

破译三角函数中的最值问题罗田县三里畈高中刘毕文 三角函数的最值问题，其实质上是对含有三角函数的复合函数的求值，是三角函数基础知识的综合应用。近几年高考题中，此类问题及经常出现，其解法主要是通过三角函数恒等变形，将函数关系式化为一个角的一种函数形式，然后借助于三角函数性质来解决。下面就其类型与解法举例说明。一. y=asinx + bcosx+c型例1 已知函数f(x)=2asin2 x-2asinxcosx+a+b(a0)的定义域为 0， ，值域为-5，1，求常数a、b的值。 解：f(x)=a(1-cos2x)-asin2x)+2a+b =-a(cos2x+sin2x)+2a+b=-2asin(2x+ )+2a+b.x0,2x+,.-sin(2x+)1.因此，由f(x)的值域为-5，1可得,或或点评：本题将函数化为一个角的一种函数的形式。本题通过降次，逆用二倍角公式后，形成了y=asinx+bcosx+c型的函数，再应用函数的有界性求解。二 .y=asinx2+bsinx+c型例3求函数f(x)= 2-4asinx-cos2x的最大值和最小值。解：y=f(x)=2-4asinx-(1-2sin2x)=2sin2x-4asinx+1=2(sinx-a)2+1-2a2.设sinx=t,则-1t1,并且y=g(t)=2(t-a)2+1-2a2.(1)当a1时,有ymax=g(-1)=3+4a,ymin=g(1)=3-4a.本题可以化为以sinx为自变量的二次函数，定义域为-1,1,利用二次函数在闭曲间上的最值求法。对于正弦函数、余弦函数的有界性，应引起充分的重视。三. y=asinx+b型例1 已知f(x)=sin(2x+)-sin2x+sinxcosx+求f(x)的最小值及此时x的值。解：f(x)=sin(2x+)-(1-cos2x)+ sin2x+= sin(2x+)+sin2x+cos2x=sin(2x+)+sin(2x+)=2sin(2x+).当x=k- (kZ) 时,f(x)的最小值-2.点评：化为一个角三角函数形式，再利用有界性求解。四（xR）型例4求函数的最大值与最小值。方法一：去分母，原式化为sinx-ycosx=2-2y,即sin(x-)=,故1解得y,ymax=,ymin=方法二：将函数问题可转化为求两点A(2,2)和B(cosx,sinx )间连线斜率的范围。而点（cosx,sinx）的轨迹是以原点为圆心,1为半径的圆。通过点(2,2)的直线方程为y-2=k(x-2), 即kx-y+2(1-k)=0.原点到此直线的距离应为1.故=1,即得k=,ymax=,ymin=.点评：法一是利用三角函数的有界性；法二是数形结合法，将y 看成是两点连线的斜率；学习中应重视数形结合法处理最值的问题。五.综合型 例5：当0x时，函数f(x)=的最小值为（ ）A.2 B.2 C. 4 D. 4解法一：f(x)= =4（“=”cosx=2sinxtanx=）故选C解法二：f(x)= =,f/(x)=0对0x成立，故cos2x=，sin2x=时,f(x)min=4.故选C.点评：法一利用倍角公式及均值不等式求解；法二利用倍角公式及求导方法求解。例6:若函数的最大值为2，试确定常数a的值。解： 其中角满足，解之得，.点评：本题利用了三角函数公式恒等变形的技能和运算能力，达到了求三角函数最值的目的。 在解答有关三角函数最值问题的题目时，应注意正弦、余弦的有界性及函数的定义域对值域的影响；注意利用二次函数闭区间内的最大值、最小值的方法，以及利用重要不等式或求导的方法来求解。 2014 年3月1日