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1、1,第二章,能量均分原理与麦克斯韦速率分布,2,由分子平均平动动能与 温度的关系,即在 x 方向上平均分配了 kT / 2 的能量。,3,由于分子运动在哪个方向都不占优势，因此，在 y、z 方向上也都平均分配 了 kT / 2 的能量。,气体分子在每个运动方向上分配了kT/2的能量，这种能量在各方向上均匀分布的情况，称为能量按自由度均分原理。,注意：上述计算中我们假定分子是刚性小球而得出来的。,自由度是描写物体运动时所需的独立坐标的个数。,4,例如：物体做一维直线运动，只需一个坐标，则自由度数为1。,所谓独立坐标数是指描写物体位置所需的最少的坐标数。,轮船在海平面上行驶，要描写轮船的位置至少需
2、要两维坐标，即经度和纬度，则自由度为 2。,5,飞机在天空中飞翔，要描写飞机的空间位置至少需要三维坐标，则自由度为 3。,问题1、 质点以半径 r 做圆周运动自由度是多少？,问题2、 但对于火车在轨道上行驶时自由度是多少呢？,6,1. 一个质点，描写它的空间位置，需要 3 个平移（动）自由度，,2.两个刚性质点,描写其质心位置需3个平动自由度， t=3,描写其取向还需3个转动自由度，、 但是由于、不是独立的受到,的限制，转动自由度只有两个， r=2,7,3.三个或三个以上的刚性质点,需3个平动自由度和3个转动自由度。,平动自由度 t=3,转动自由度 r=3,总自由度 i=t+r=6,对于理想气
3、体在常温下，分子内各原子间的距离认为不变，只有平动自由度、转动自由度。,2.两个刚性质点总自由度数,8,平动动能,转动动能,在气体分子的运动中，由于分子间的激烈碰撞（几亿次/秒），使平动动能与转动动能不断转换，,使平动动能与转动动能达到相同，即每个转动自由度上也平均分配了kT/2能量。,由此可知，分子有 i 个自由度，其平均动能就有i 份 kT/2 的能量。,分子平均动能,9,1.单原子分子气体,例如：氦气（He）、氖气（Ne）、氩气（Ar）等为单原子分子气体。其模型可用一个质点来代替。,平动自由度 t=3,转动自由度 r=0,总自由度 i=t+r=3+0=3,2.双原子分子气体,例如：氢气（
4、H2）、氧气（O2）、氮气（N2）等为双原子分子气体。其模型可用两个刚性质点模型来代替。,平动自由度 t=3,转动自由度 r=2,总自由度 i=t+r=3+2=5,10,3.多原子分子气体,例如：二氧化碳气体（CO2）、水蒸气（H2O）、甲烷气体（CH4）等为多原子分子气体。其模型可用多个刚性质点来代替。,平动自由度 t=3,转动自由度 r=3,总自由度 i=t+r=3+3=6,11,E=分子的动能 +,对于理想气体而言，分子间的作用力忽略不计，分子与分子间的势能为 0。,由于只考虑常温状态，分子内的原子间的距离可认为不变，则分子内原子与原子间的势能也可不计。,分子的平均能量为,分子与分子间的
5、势能,+分子中原子与原子间的势能,12,1.分子的平均动能为:,2. 如果系统有N个气体分子:,3.质量为m的气体能量为：,气体内能,13,由此可得理想气体的内能为：,单原子分子,双原子分子,多原子分子,温度发生改变T=T2T1时，理想气体的内能变化为：,14,例1：已知在 273k，1.0102大气压时，容器内装有双原子分子理想气体，其密度为 =1.24 102kg/m3。求（1）方均根速率，（2）气体的摩尔质量,(3)平均平动动能和转动动能是多少？(4)0.3mol的该气体内能是多少？,解：由,再由,得,15,平均平动动能和转动动能,0.3mol的该气体内能为,16,概率：用于表示偶然事件
6、发生的频率。,掷骰子出现任一点数的概率为 1/6，分布为,考试成绩分布,20 40 60 80 100,17,单个分子速率不可预知，大量分子的速率分布遵循统计规律，是确定的，这个规律也叫麦克斯韦速率分布律。,按统计假设，各种速率下的分子都存在，用某一速率区间内分子数占总分子数的百分比，表示分子按速率的分布规律。,1.将速率从 0 按等间隔分割成很多相等的速率区间。,18,2.总分子数为N，,例如速率间隔取100m/s ,19,任一速率区间内分子出现的概率为,则可了解分子按速率分布的情况。,20,3.概率,与,v有关，不同 v 附近概率不同。,有关，速率间隔大概率大。,21,f(v)为速率分布函
7、数,子数为dN，在该速率区间内分子的概率,写成等式,22,5.速率分布函数的物理意义,表示在速率 v 附近，单位速率区间内分子出现的概率，即概率密度。,或表示在速率 v 附近，单位速率区间内分子数占总分子数的百分比。,麦克斯韦首先从理论上推导出理想气体的速率分布函数。,23,1860年麦克斯韦推导出理想气体的速率分布律：,1. f(v)v曲线,讨论,24,2.在速率为v, 速率区间为dv内分子出现的概率,25,3.在f(v)v曲线下的面积为该速率区间内分子出现的概率。,26,4.在f(v)v整个曲线下的面积为 1 - 归一化条件。,分子在整个速率区间内出现的概率为 1 。,27,例2：试说明下
8、列各式的物理意义。,答：由速率分布函数可知,表示在速率v附近，dv速率区间内分子出现的概率。,表示在速率v附近，dv速率区间内分子的个数。,表示在速率v1v2速率区间内，分子出现的概率。,28,利用麦克斯韦速率分布率可计算最可几速率、方均根速率、平均速率等物理量。,1.最可几速率vP,最可几速率表示在该速率下分子出现的概率最大。,表示在速率v1v2速率区间内，分子出现的个数。,29,气体分子各种运动速率都有，在哪个速率下出现的概率最大，即求 f(v) 的极大值对应的速率。,将 f(v) 对 v 求导，,令一次导数为 0,最可几速率,30,讨论,1. vP与温度T的关系,曲线的峰值右移,由于曲线
9、下面积为1不变，所以峰值降低。,由,和,31,曲线的峰值左移,由于曲线下面积为1不变，所以峰值升高。,2. vP与分子质量m0的关系,32,例：求空气分子在27C时的最可几速率vP,解：由公式,33,2.平均速率,气体分子在各种速率的都有，那么平均速率是多大呢？,假设：速度为v1的分子有 个，,速度为v2的分子有 个，,则平均速率为：,34,计算一个与速率有关的物理量 g(v) 的统计平均值的公式：,利用此公式可计算分子的方均根速率、分子的平均平动动能等。,35,利用积分公式,设,36,上下同乘NA有,平均速率,例：求空气分子在27C时的平均速率。,解：由公式,37,4.三种速率的比较,38,麦克斯韦在 1860 年从理论上预言了理想气体的速率分布律。60 年后，也就是 1920 年斯特恩通过实验验证了这一规律，后来拉美尔将实验进一步完善。,39,20世纪20年代以后，许多实验成功地证实了麦克斯韦速率分布规律。下面的实验装置，介绍实验原理。,动画,
能量均分原理、麦克斯维速率分布率
