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1、33复合函数与隐函数的偏导数复合函数与隐函数的偏导数3复合函数与隐函数的偏导数1一、多元复合函数的导数一、多元复合函数的导数(链式法则链式法则)定理：定理：一、多元复合函数的导数(链式法则)定理：2链式法则链式法则如图示如图示链式法则如图示3多元复合函数与隐函数的求导法则ppt课件4 全导数全导数 全导数 5解解解6解解解7解解例例3 设设,而而,求求解例3 设,而,求8解解解9解解例例5 5 设设解例5 设10解解例例6 设设,而而求求解例6 设,而求11解解解12解解例例8 8 设设求求解例8 设求13例例9 已知已知证明：证明：左左=右右得证得证证：证：例9 已知证明：左=右得证证：14
2、解解 令令记记同理有同理有解令记同理有15于是于是于是16例例11证证例11证17从而从而=x从而=x18设设 z=f(u,v)可微可微,当当 u,v 为自变量时为自变量时,有有若若 u,v 不是自变量不是自变量,而是中间变量而是中间变量,是否仍有这一形式是否仍有这一形式?设设 u=u(x,y),v=v(x,y)均可微均可微,则则z=f(u(x,y),v(x,y),二、全微分的形式不变性二、全微分的形式不变性设 z=f(u,v)可微,当 u,v 为自变量19由链式法则由链式法则,代入代入,z=f(u(x,y),v(x,y)由链式法则,代入,z=f(u(x,y),v(x20即即:不论不论u,v是
3、自变量还是中间变量是自变量还是中间变量,z=f(u,v)的全微分的形式不变的全微分的形式不变.即:不论u,v是自变量还是中间变量,z=f(21解解解22例例14 用全微分形式不变性求用全微分形式不变性求解解 记记 u=xy,从而从而 z=f(u,v).例14 用全微分形式不变性求解 记 u=xy,从而23从而从而从而24隐函数求导法隐函数求导法隐函数求导法25方法方法:方程两边对方程两边对 x 求导求导.一元函数：一元函数：F(x,y)=0注意：注意：y 是是 x 的函数的函数y=f(x),然后解出然后解出 y.方法:方程两边对 x 求导.一元函数：F(x,y)=26(1)是否任何一个二元方程
4、是否任何一个二元方程 F(x,y)=0.都都确定了确定了y 是是 x 的函数的函数(单值单值)?如如 x2+y2=1.什么条件下确定什么条件下确定 y=f(x)?(2)若方程确定若方程确定y=f(x).它是否可它是否可导导?给出一般的求导公式给出一般的求导公式.(3)三元三元(以上以上)方程方程F(x,y,z)=0.的情形怎的情形怎样样?问题问题:(1)是否任何一个二元方程 F(x,y)=0.都27设函数设函数F(x,y)在点在点 X0=(x0,y0)的邻域的邻域U(X0)内有连续偏导数内有连续偏导数.一、方程一、方程F(x,y)=0且且F(x0,y0)=0,则方程则方程 F(x,y)=0在点
5、在点 X0=(x0,y0)的某邻域内的某邻域内唯一确定一个有连续导数的唯一确定一个有连续导数的(单值单值)函数函数 y=f(x),它满足它满足 y0=f(x0).且且(隐函数存在定理隐函数存在定理)定理定理1隐函数的求导公式隐函数的求导公式设函数F(x,y)在点 X0=(x0,y0)的邻域28例例1.方程方程 x2+y2 1=0,当当x=0时时,y=1.法法1.x2+y2=1两边对两边对 x 求导求导,y 是是 x 的函数的函数2x+2y y=0例1.方程 x2+y2 1=0,当x=0时,29法法2.F(x,y)=x2+y2 1法2.F(x,y)=x2+y2 130解解令令则则解令则31定理定
6、理1可推广到方程中有多个变量的情形可推广到方程中有多个变量的情形.二、方程二、方程 F(x,y,z)=0设三元函数设三元函数 F(x,y,z)在在 X0=(x0,y0,z0)的的邻域邻域 U(X0)内有连续编导，内有连续编导，F(x0,y0,z0)=0,Fz(x0,y0,z0)0,则在则在 X0 的某邻域内唯一确定一的某邻域内唯一确定一个有连续偏导的函数个有连续偏导的函数 z=f(x,y),满足满足 z0=f(x0,y0),且且定理定理2定理1可推广到方程中有多个变量的情形.二、方程 F(x,32例例3.法法1.记记 F(x,y,z)=sin(x 3z)2y z有有 Fx=cos(x 3z),
7、故故Fy=2,Fz=3cos(x 3z)1例3.法1.记 F(x,y,z)=sin(x333 法法2：sin(x 3z)=2y+z两边对两边对 x 求偏导，求偏导，z 是是 x 的函数，的函数，y看作常数看作常数.解得解得:类似得类似得 法2：sin(x3z)=2y+z两边对 x 求偏导34解令令则则解令则35例例5 5 设设求求令令例5 设求令36例例6 设设求求令令例6 设求令37例例7 设设且且f具有连续的一阶具有连续的一阶法法1确定确定偏导数偏导数,求求令令例7 设且f具有连续的一阶法1确定偏导数,求令38例例7 设设且且f具有连续的一阶具有连续的一阶法法2确定确定偏导数偏导数,求求等
8、式两边对等式两边对x求偏导求偏导例7 设且f具有连续的一阶法2确定偏导数,求等式两边对x求偏39例例7 设设且且f具有连续的一阶具有连续的一阶法法3 3确定确定偏导数偏导数,求求利用一阶全微分形式不变性利用一阶全微分形式不变性例7 设且f具有连续的一阶法3确定偏导数,求利用一阶全微分形40思路：思路：思路：41整理得整理得解解令令则则整理得解令则42整理得整理得整理得整理得整理得整理得43例例9 设方程设方程F(x2+y2+z2,sinxy)=0,F C1,求求方法方法1(公式法公式法):方程左边是方程左边是x,y,z的复合函数的复合函数用链式法则求用链式法则求Fx,Fy,Fz.Fx=F 1
9、Fy=F 1 Fz=F 1=2xF 1+ycosxy F 22x+F 2 cosxy y=2yF 1+xcosxy F 22y+F 2 cosxy x=2zF 12z+F 2 0例9 设方程F(x2+y2+z2,sinxy)=0,F44方法方法2 方程方程 F(x2+y2+z2,sinxy)=0两边对两边对 x 求偏导求偏导.其中其中 z 是是 x 的函数的函数,y看作常量看作常量.=0解得解得:F 1(2x+2z zx)+F2 cosxy y方法2 方程 F(x2+y2+z2,sinxy)=0两边对45例例10 设设 z=z(x,y)是由方程是由方程 x+y+z=(x2+y2+z2)所所确定
10、的函数确定的函数,其中其中 C1，证明证明 z=z(x,y)满足满足证证 记记 F(x,y,z)=x+y+z (x2+y2+z2),u=x2+y2+z2,有有 F x=1 F z=1 2z u=1 2x u u 2x 2y u,F y=1例10 设 z=z(x,y)是由方程 x+y+z=46故从而故从而47思路思路：解解令令则则思路：解令则48整理得整理得整理得49整理得整理得整理得整理得整理得整理得501、链式法则、链式法则（分三种情况）（分三种情况）2、全微分形式不变性、全微分形式不变性（特别要注意课中所讲的特殊情况）（特别要注意课中所讲的特殊情况）（理解其实质）（理解其实质）小结小结1、链式法则（分三种情况）2、全微分形式不变性（特别要注意课51（分以下几种情况）（分以下几种情况）隐函数的求导法则隐函数的求导法则3、隐函数求偏导、隐函数求偏导（分以下几种情况）隐函数的求导法则3、隐函数求偏导52
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