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小结和复习小结和复习第16章 二次根式 加加 、减、乘、除、减、乘、除二二 次次 根根 式式三个概念三个概念两个性质两个性质两个公式两个公式四种运算四种运算最简二次根式最简二次根式同类二次根式同类二次根式有理化因式有理化因式1、2、2、1、-不要求,只需了不要求,只需了解解情景引入情景引入1 1二次根式的概念二次根式的概念一般地,形如一般地,形如_(_(a0)0)的式子叫做二次根式;的式子叫做二次根式;(1)(1)对于二次根式的理解:对于二次根式的理解:带有根号;带有根号;被开方数是被开方数是非负数非负数(2)(2)是非负数,即是非负数,即0.0.易错点易错点(1)(1)二次根式中,被开方数一定是非负数,二次根式中,被开方数一定是非负数,否则就没有意义;否则就没有意义;(3)(3)是二次根式,虽然是二次根式,虽然 3 3,但,但3 3不是二次根式因不是二次根式因此二次根式指的是某种式子的此二次根式指的是某种式子的“外在形态外在形态”a0a开得尽方开得尽方分母分母被开方数相同被开方数相同 最简二次根式最简二次根式1 1.当当 _时,时,有意义有意义.3.3.求下列二次根式中字母的取值范围求下列二次根式中字母的取值范围.解得解得 -5x3解:解:说明:二次根式被开方数不小于说明:二次根式被开方数不小于0,所以求二次根式中字母的取,所以求二次根式中字母的取值范围常转化为不等式(组)值范围常转化为不等式(组).33题型一题型一确定二次根式中被开方数所含字母的取值范围确定二次根式中被开方数所含字母的取值范围a=4考题分类考题分类1.1.已知:已知:+=0,+=0,求求 x-y 的值的值.2.2.已知已知x,y为实数为实数,且且 +3(y-2)+3(y-2)2 2=0,=0,则则x-y的值为的值为()A.3 .3 B.-3 .-3 C.1 .1 D.-1.-1解:由题意,得解:由题意,得 x-4=0 且且 2x+y=0解得解得 x=4,y=-8x-y=4-(-8)=4+8=12D题型二题型二二次根式的非负性的应用二次根式的非负性的应用题型三题型三二次根式性质的应用二次根式性质的应用仅当仅当a0时,时,C题型四题型四二次根式的化简二次根式的化简题型五题型五二次根式的运算二次根式的运算A1.确定二次根式中被开方数所含字母的取值范围确定二次根式中被开方数所含字母的取值范围2.二次根式的非负性的应用二次根式的非负性的应用3.二次根式性质的应用二次根式性质的应用4.二次根式的化简二次根式的化简5.二次根式的运算二次根式的运算复习归纳复习归纳C0课后演练课后演练 3 3若若若若x x,则化简,则化简,则化简,则化简的结果是的结果是的结果是的结果是4.下列各式中,是最简二次根式的是(下列各式中,是最简二次根式的是()5B5.5.下列各式中那些是二次根式?那些不是?为什么?下列各式中那些是二次根式?那些不是?为什么?下列各式中那些是二次根式?那些不是?为什么?下列各式中那些是二次根式?那些不是?为什么?a0-(a2+1)0(a+1)206.计算:计算:若若a为底为底,b为腰为腰,此时底边上的高为此时底边上的高为三角形的面积为三角形的面积为(2)(2)若满足上式的若满足上式的a,b为等腰三角形的两边为等腰三角形的两边,求这个等腰三角形求这个等腰三角形的面积的面积.设设a、b为实数为实数,且且|2-|2-a|+|+b-2=-2=0 解解:若若a为腰为腰,b为底为底,此时底边上的高为此时底边上的高为三角形的面积为三角形的面积为7.(2 2)如图所示,)如图所示,ADDC于于D,BCCD于于C,ABPDC若点若点P为线段为线段CD上动点上动点.已知已知ABP的一边的一边AB=则则AD=_ BC=_AD=_ BC=_1 12 2(1 1)在如图所示的)在如图所示的44的方格中画出格点的方格中画出格点ABP,使,使三角形的三边为三角形的三边为 8.设设DP=a,请用含请用含a的代数式表示的代数式表示AP,BP,则则AP=_=_,BP=_.=_.当当a=1=1 时,则时,则PA+PB=_,=_,当当a=3,=3,则则PA+PB=_.=_.PA+PB是否存在一个最小值?是否存在一个最小值?17.1 17.1 一元二次方程一元二次方程第17章 一元二次方程 1.你还记得什么叫方程?什么叫方程的解吗?你还记得什么叫方程?什么叫方程的解吗?2.什么是一元一次方程?它的一般形式是怎样的?什么是一元一次方程?它的一般形式是怎样的?一般形式:一般形式:ax+b=0 (a0)3.我们知道了利用一元一次方程可以解决生活中的我们知道了利用一元一次方程可以解决生活中的一些实际问题,你还记得利用一元一次方程解决实一些实际问题,你还记得利用一元一次方程解决实际问题的步骤吗际问题的步骤吗?1.审审;2.设设;3.列列;4.解解;5.验验;6.答答.复习引入复习引入问题问题1:某地为增加农民收入,调整农作物种植结构,:某地为增加农民收入,调整农作物种植结构,从而从而2007年无公害蔬菜的产量比年无公害蔬菜的产量比2005年翻一翻,那年翻一翻,那么么2006年和年和2007年无公害蔬菜产量的年平均增长率年无公害蔬菜产量的年平均增长率应是多少?应是多少?思考:思考:1.根据以往的经验,你想用什么知识来解决这个实根据以往的经验,你想用什么知识来解决这个实际问题?际问题?方程方程合作探究合作探究活动活动1 1:探究列一元二次方程及其一般形式:探究列一元二次方程及其一般形式2.如图:如果假设无公害蔬菜产量的年平均增长率是如图:如果假设无公害蔬菜产量的年平均增长率是x,2005年年的产量为的产量为a,那么,那么2006年无公害蔬菜产量为年无公害蔬菜产量为 ,2007年无公害蔬菜产量为年无公害蔬菜产量为 .a+ax=a(1+x)a(1+x)+a(1+x)x=a(1+x)23.你能根据题意,列出方程吗?你能根据题意,列出方程吗?a(1+x)2=2a把以上方程整理得:把以上方程整理得:.x2+2x-1=0(1)问题:问题:在一块宽在一块宽20m、长、长32m的矩形空地上,修的矩形空地上,修筑宽相等的三条小路(两条纵向,一条横向,纵向筑宽相等的三条小路(两条纵向,一条横向,纵向与横向垂直),把矩形空地分成大小一样的六块,与横向垂直),把矩形空地分成大小一样的六块,建成小花坛建成小花坛.如图要使花坛的总面积为如图要使花坛的总面积为570m2,问小,问小路的宽应为多少?路的宽应为多少?3220 x1.若设小路的宽是若设小路的宽是xm,那么,那么横向小路的面横向小路的面_m2,纵向,纵向小路的面积是小路的面积是 m2,两两者重叠的面积是者重叠的面积是 m2.32x2.由于花坛的总面积是由于花坛的总面积是570m2.你能根据题意,列出方程吗?你能根据题意,列出方程吗?整理以上方程可得:整理以上方程可得:思考:思考:220 x3220(32x220 x)2x2=5702x2x2-36x35=0 (2)3220 x想一想:想一想:还有其它的列法吗?试说明原因还有其它的列法吗?试说明原因.(20-x)(32-2x)=57032-2x20-x3220类比发现,探索新知类比发现,探索新知1.请观察下面两个方程并回答问题:请观察下面两个方程并回答问题:x2+2x-1=0 x2-36x+35=0(1)它们是一元一次方程吗?)它们是一元一次方程吗?(2)与一元一次方程有何异同?)与一元一次方程有何异同?(3)通过比较你能归纳出这类方程的特点吗?)通过比较你能归纳出这类方程的特点吗?1.等号两边都是整式等号两边都是整式 2.只含有一个未知数只含有一个未知数 3.未知数的最高次数是未知数的最高次数是2特点:特点:能使一元二次方能使一元二次方能使一元二次方能使一元二次方程两边相等的未程两边相等的未程两边相等的未程两边相等的未知数的值叫一元知数的值叫一元知数的值叫一元知数的值叫一元二次方程的二次方程的二次方程的二次方程的解解解解(或根或根或根或根).).).).一般地一般地一般地一般地,任何一个关于任何一个关于任何一个关于任何一个关于x x 的一元二次方程都可以的一元二次方程都可以的一元二次方程都可以的一元二次方程都可以化为化为化为化为 的形式的形式的形式的形式,我们把我们把我们把我们把(a,b,ca,b,c为常数,为常数,为常数,为常数,a a00)称为)称为)称为)称为一元二次方程的一般形式一元二次方程的一般形式一元二次方程的一般形式一元二次方程的一般形式.为什么要限制为什么要限制a a00,b,cb,c可以为零吗?可以为零吗?可以为零吗?可以为零吗?想一想想一想 a x 2+b x+c=0(a 0)二次项系数二次项系数一次项系数一次项系数常数项常数项(4)通过与一元一次方程的对比,你能给这类方程取个合)通过与一元一次方程的对比,你能给这类方程取个合理的名字吗?理的名字吗?(1)列表填空:)列表填空:方程方程一般形式一般形式二次项系数二次项系数 一次项系数一次项系数 常数项常数项4x2=3x(x-1)2-9=0 x(x+2)=3(x+2)4x2-3x=0 x2-2x-8=0 x2-x-6=04-301-2-81-1-62.做一做:做一做:(2)下列方程中哪些是一元二次方程,并说明)下列方程中哪些是一元二次方程,并说明理由?理由?x+2=5x-3x2=42x2-4=(x+2)2 (3)方程(方程(2a-4)x2-2bx+a=0在什么条件下为一在什么条件下为一元二次方程?元二次方程?3.3.议一议:议一议:议一议:议一议:通过以上习题的练习的情况,你认为在确定一元二次方程通过以上习题的练习的情况,你认为在确定一元二次方程的各项系数及常数项的时候,需要注意哪些?的各项系数及常数项的时候,需要注意哪些?(1)在确定一元二次方程的二次项系数、一次项系数和常)在确定一元二次方程的二次项系数、一次项系数和常数项时必须把方程化为数项时必须把方程化为一般形式一般形式才能进行才能进行.(2)二次项系数、一次项系数以及常数项都要)二次项系数、一次项系数以及常数项都要连同连同它前面它前面的的符号符号.(3)二次项系数)二次项系数a0.能使一元二次方程两边相等的未知数的值叫一元能使一元二次方程两边相等的未知数的值叫一元能使一元二次方程两边相等的未知数的值叫一元能使一元二次方程两边相等的未知数的值叫一元二次方程二次方程二次方程二次方程的解的解的解的解(或根或根或根或根).判断未知数的值判断未知数的值x=-1,x=0,x=2是不是方程是不是方程x2-2=x的根的根.活动活动2 2:探究一元二次方程的根:探究一元二次方程的根1.判断下列各题括号内未知数的值是不是方程的根:判断下列各题括号内未知数的值是不是方程的根:x2-3x+2=0 (x1=1,x2=2,x3=3)2.构造一个一元二次方程,要求:构造一个一元二次方程,要求:(1)常数项为零;()常数项为零;(2)有一根为)有一根为2.3.已知关于已知关于x的一元二次方程的一元二次方程x2+ax+a=0的一个根是的一个根是3,求,求a的值的值.解:由题意得解:由题意得把把x=3代入方程代入方程x2+ax+a=0得,得,32+3a+a=09+4a=04a=-9 4.已知关于已知关于x的一元二次方程的一元二次方程 ax2+bx+c=0(a0)一个根为一个根为1,求求a+b+c的值的值.解:由题意得解:由题意得思考思考:若若 a+b+c=0,你能通过观察你能通过观察,求出方程求出方程ax2+bx+c=0(a0)一个根吗一个根吗?解:由题意得解:由题意得方程方程ax2+bx+c=0(a0)一个根是一个根是1.拓展拓展:若若 a-b+c=0,4a+2b+c=0 你能通过观察你能通过观察,求出方程求出方程ax2+bx+c=0(a0)一个根吗一个根吗?课堂小结课堂小结 一般地一般地一般地一般地,任何一个关于任何一个关于任何一个关于任何一个关于x x 的一元二次方程都可以的一元二次方程都可以的一元二次方程都可以的一元二次方程都可以化为化为化为化为 的形式的形式的形式的形式,我们把我们把我们把我们把(a,b,ca,b,c为常数,为常数,为常数,为常数,a a00)称为)称为)称为)称为一元二次方程的一般形式一元二次方程的一般形式一元二次方程的一般形式一元二次方程的一般形式.能使一元二次方程两边相等的未知数的值叫一元二次方能使一元二次方程两边相等的未知数的值叫一元二次方能使一元二次方程两边相等的未知数的值叫一元二次方能使一元二次方程两边相等的未知数的值叫一元二次方程程程程的解的解的解的解(或根或根或根或根).数数 学学新课标(新课标(HKHK)八年级下册八年级下册基础自主学习基础自主学习基础自主学习基础自主学习重难互动探究重难互动探究重难互动探究重难互动探究课堂小结课堂小结课堂小结课堂小结17.117.1一元二次方程一元二次方程基础自主学习基础自主学习 学习目标学习目标1 知道一元二次方程的定义,能够识别一元知道一元二次方程的定义,能够识别一元二次方程二次方程 17.1 一元二次方程一元二次方程C 17.1 一元二次方程一元二次方程归归纳纳 只只含含有有_未未知知数数,并并且且未未知知数数的的最最高高次次数数是是_的的_方程,叫做一元二次方程方程,叫做一元二次方程一个一个2整式整式17.1 一元二次方程一元二次方程 学习目标学习目标2 会根据一元二次方程的一般形式,写出它各会根据一元二次方程的一般形式,写出它各项及各项的系数项及各项的系数B 17.1 一元二次方程一元二次方程a bx b c 17.1 一元二次方程一元二次方程 学习目标学习目标3 会判断一个数是不是一元二次方程的根会判断一个数是不是一元二次方程的根D 17.1 一元二次方程一元二次方程归纳归纳(1)使一元二次方程左右两边相等的使一元二次方程左右两边相等的_的值,的值,叫做一元二次方程的解,或叫做一元二次方程的根;叫做一元二次方程的解,或叫做一元二次方程的根;(2)要判定一个数是不是一元二次方程的解,只要将这个数要判定一个数是不是一元二次方程的解,只要将这个数代入一元二次方程,看左右两边是否相等即可,若代入一元二次方程,看左右两边是否相等即可,若_即是方程的解,否则不是即是方程的解,否则不是未知数未知数相等相等重难互动探究重难互动探究17.1 一元二次方程一元二次方程探究问题一探究问题一判断一个方程是不是一元二次方程判断一个方程是不是一元二次方程17.1 一元二次方程一元二次方程解析解析方程方程中含有两个未知数,不是一元二次方程;方中含有两个未知数,不是一元二次方程;方程程经过整理后,得经过整理后,得6x1,故不是一元二次方程;方,故不是一元二次方程;方程程的左边不是整式,含有根式,故不是一元二次方程;的左边不是整式,含有根式,故不是一元二次方程;方程方程的左边是分式,不是整式方程,故不是一元二次的左边是分式,不是整式方程,故不是一元二次方程;方程方程;方程中,未明确中,未明确ab0,它不是一元二次方程,它不是一元二次方程因此,只有方程因此,只有方程是一元二次方程是一元二次方程解解:只有只有是一元二次方程,其他均不是是一元二次方程,其他均不是17.1 一元二次方程一元二次方程探究问题二根据探究问题二根据一元二次方程的定义求其中字母的值一元二次方程的定义求其中字母的值17.1 一元二次方程一元二次方程117.1 一元二次方程一元二次方程探究问题三探究问题三将较复杂的一元二次方程化成一般形式,将较复杂的一元二次方程化成一般形式,并正确写出它的各项及各项的系数并正确写出它的各项及各项的系数17.1 一元二次方程一元二次方程17.1 一元二次方程一元二次方程探究问题四已知一元二次方程的根,求方程中字母的值探究问题四已知一元二次方程的根,求方程中字母的值17.1 一元二次方程一元二次方程归纳总结归纳总结已知一个含有字母系数的一元二次方程的根,求已知一个含有字母系数的一元二次方程的根,求其中字母系数的值,一般是先把方程的根代入方程中,再解其中字母系数的值,一般是先把方程的根代入方程中,再解关于这个字母系数的方程,即可得出答案关于这个字母系数的方程,即可得出答案解析解析 因为因为x x的一元二次方程的一元二次方程2x22x23kx3kx4 40 0的一个根是的一个根是1 1,所以把所以把x x1 1代入代入2x22x23kx3kx4 40 0,整理得,整理得k k2.2.2探究问题五根据实际情境列简单的一元二次方程探究问题五根据实际情境列简单的一元二次方程17.1 一元二次方程一元二次方程17.1 一元二次方程一元二次方程课课 堂堂 小小 结结17.1 一元二次方程一元二次方程一个一个 2 17.1 一元二次方程一元二次方程17.3 17.3 一元二次方程根的判别式一元二次方程根的判别式用公式法求下列方程的根用公式法求下列方程的根:用公式法解用公式法解一元二次方程一元二次方程的一般步骤的一般步骤:1)把方程化为一般形式确把方程化为一般形式确定定a,b,c 的值的值3)带入求根公式带入求根公式 计算方程的根计算方程的根2)计算计算 的值的值复习引入复习引入温故而知新 一般地,对于一元二次方程一般地,对于一元二次方程 如果如果 ,那么方程的两个根为,那么方程的两个根为配方法配方法合作探究合作探究活动:探究一元二次方程根的判别式活动:探究一元二次方程根的判别式 如何把一元二次方程如何把一元二次方程 写成写成 (x+h)2=k 的形式?的形式?思考:究竟是谁决定了一元二次方程根的情况思考:究竟是谁决定了一元二次方程根的情况3.当方程没有实数根时,那么当方程没有实数根时,那么 .1.当方程有两个不相等的实数根时,有当方程有两个不相等的实数根时,有 ;2.当方程有两个相等的实数根时,有当方程有两个相等的实数根时,有 ;反过来,对于一元二次方程反过来,对于一元二次方程 :我们把我们把 叫做一元二次方程叫做一元二次方程 的根的判别式,用符号的根的判别式,用符号“”来表示来表示.反之,同样成立!反之,同样成立!当当 0 时,方程有两个不相等的实数根;时,方程有两个不相等的实数根;当当 =0 时,方程有两个相等的实数根;时,方程有两个相等的实数根;当当 0 时,方程没有实数根时,方程没有实数根.下列一元二次方程根的个数:下列一元二次方程根的个数:方程有方程有两个两个不相等不相等的根的根方程有方程有两个两个相等相等的根的根方程方程没有实数没有实数根根练习:按要求完成下列表格:练习:按要求完成下列表格:的值的值根的根的情况情况有两个相等的实有两个相等的实数根数根没有实数根没有实数根有两个不相等的有两个不相等的实数根实数根方程方程判别式判别式与根与根一一般般步步骤骤:3、判别根的情况,得出结论、判别根的情况,得出结论.2、计算、计算 的值,确定的值,确定 的符号的符号.例例:不解方程,判别下列方程根的情况不解方程,判别下列方程根的情况.1、化为一般式,确定、化为一般式,确定 的值的值.不解方程,判别关于不解方程,判别关于 的方程的方程的根的情况的根的情况.分析:分析:系数含有字系数含有字母的方程母的方程 不解方程,判别关于不解方程,判别关于 的方程的方程 的根的情况的根的情况.解解:课堂小结课堂小结对于一元二次方程对于一元二次方程 :反之,同样成立!反之,同样成立!当当 0 时,方程有两个不相等的实数根;时,方程有两个不相等的实数根;当当 =0 时,方程有两个相等的实数根;时,方程有两个相等的实数根;当当 0 时,方程没有实数根时,方程没有实数根.数数 学学新课标(新课标(HKHK)八年级下册八年级下册基础自主学习基础自主学习基础自主学习基础自主学习重难互动探究重难互动探究重难互动探究重难互动探究课堂小结课堂小结课堂小结课堂小结17.317.3一元二次方程根的判别式一元二次方程根的判别式基础自主学习基础自主学习 学习目标能够不解方程,用一元二次方程根的判别学习目标能够不解方程,用一元二次方程根的判别式判断其根的情况式判断其根的情况17.3 一元二次方程根的判别式一元二次方程根的判别式D17.3 一元二次方程根的判别式一元二次方程根的判别式D B 17.3 一元二次方程根的判别式一元二次方程根的判别式17.3 一元二次方程根的判别式一元二次方程根的判别式不相等不相等 相等相等 没有没有 重难互动探究重难互动探究17.3 一元二次方程根的判别式一元二次方程根的判别式探究问题一探究问题一利用一元二次方程根的判别式求字母的值利用一元二次方程根的判别式求字母的值(或或取值范围取值范围)D 17.3 一元二次方程根的判别式一元二次方程根的判别式例例2 已知关于已知关于x的方程的方程k2x2(2k3)x10.求求k为何值时,为何值时,该方程:该方程:(1)有两个不相等的实数根?有两个不相等的实数根?(2)有两个相等的实数根?有两个相等的实数根?(3)没有实数根?没有实数根?(4)有实数根?有实数根?(5)有两个实数根?有两个实数根?17.3 一元二次方程根的判别式一元二次方程根的判别式解析解析(1)(2)(3)分别对应分别对应0,0,0,并注意到二,并注意到二次项系数次项系数k20;(4)包括有一个实数根和两个实数根,通常包括有一个实数根和两个实数根,通常先求出没有实数根时的范围,相反的范围为有实数根的范先求出没有实数根时的范围,相反的范围为有实数根的范围;围;(5)指指0且二次项系数且二次项系数k20.17.3 一元二次方程根的判别式一元二次方程根的判别式17.3 一元二次方程根的判别式一元二次方程根的判别式归纳总结归纳总结 1.解答此类问题的关键是利用一元二次方程根解答此类问题的关键是利用一元二次方程根的判别式列不等式或方程求解的判别式列不等式或方程求解2当一元二次方程有实数根时,当一元二次方程有实数根时,0.3判断一元二次方程中字母系数的取值范围时,应先将一判断一元二次方程中字母系数的取值范围时,应先将一元二次方程化为一般形式,再根据题中条件和判别式列不元二次方程化为一般形式,再根据题中条件和判别式列不等式或方程,同时不要忽视二次项系数不为等式或方程,同时不要忽视二次项系数不为0以及题中隐含以及题中隐含的其他条件的其他条件4根据判别式,可以解决以下问题:根据判别式,可以解决以下问题:(1)不解方程,判断不解方程,判断根的情况;根的情况;(2)根据方程根的情况确定方程中字母系数的取根据方程根的情况确定方程中字母系数的取值范围;值范围;(3)应用判别式进行证明应用判别式进行证明探究问题二利用一元二次方程的判别式证明其根的情况探究问题二利用一元二次方程的判别式证明其根的情况17.3 一元二次方程根的判别式一元二次方程根的判别式证明:因为证明:因为(k2)2412kk24k48kk24k4(k2)20,所以无论,所以无论k取何值,方程总有实数根取何值,方程总有实数根17.3 一元二次方程根的判别式一元二次方程根的判别式归纳总结归纳总结(1)证明一元二次方程有实数根,把该判别式整理成完全证明一元二次方程有实数根,把该判别式整理成完全平方式的形式;平方式的形式;(2)证明一元二次方程有两个不相等的实数根,把该判别证明一元二次方程有两个不相等的实数根,把该判别式整理成完全平方式正数的形式;式整理成完全平方式正数的形式;(3)证明一元二次方程没有实数根,把该判别式整理成完证明一元二次方程没有实数根,把该判别式整理成完全平方式的相反数负数的形式全平方式的相反数负数的形式课课 堂堂 小小 结结17.3 一元二次方程根的判别式一元二次方程根的判别式17.3 一元二次方程根的判别式一元二次方程根的判别式反思反思在利用根的判别式解含有字母系数的一元二次方程中在利用根的判别式解含有字母系数的一元二次方程中字母的取值范围时,要注意什么?字母的取值范围时,要注意什么?答案答案 略略数数 学学新课标(新课标(HKHK)八年级下册八年级下册基础自主学习基础自主学习基础自主学习基础自主学习重难互动探究重难互动探究重难互动探究重难互动探究课堂小结课堂小结课堂小结课堂小结17.417.4一元二次方程的根与系数一元二次方程的根与系数的关系的关系基础自主学习基础自主学习 学习目标学习目标1 能够不解一元二次方程,求出两根之积与能够不解一元二次方程,求出两根之积与两根之和两根之和 17.4 一元二次方程的根与系数的关系一元二次方程的根与系数的关系D B 17.4 一元二次方程的根与系数的关系一元二次方程的根与系数的关系韦达定理韦达定理 17.4 一元二次方程的根与系数的关系一元二次方程的根与系数的关系 学习目标学习目标2 会用根与系数的关系检验两个数是不是一元会用根与系数的关系检验两个数是不是一元二次方程的根二次方程的根A 17.4 一元二次方程的根与系数的关系一元二次方程的根与系数的关系 学习目标学习目标3 已知一元二次方程的一个根,能利用韦达定已知一元二次方程的一个根,能利用韦达定理求另一个根及字母系数的值理求另一个根及字母系数的值C 归归纳纳 已已知知含含有有字字母母系系数数的的一一元元二二次次方方程程的的一一个个根根,可可利利用用_列列方方程程或或方方程程组组求求另另一一个个根根及及_的的值值韦达定理韦达定理字母系数字母系数重难互动探究重难互动探究17.4 一元二次方程的根与系数的关系一元二次方程的根与系数的关系探究问题一探究问题一根据韦达定理求与已知一元二次方程的根有关根据韦达定理求与已知一元二次方程的根有关的代数式的值的代数式的值17.4 一元二次方程的根与系数的关系一元二次方程的根与系数的关系17.4 一元二次方程的根与系数的关系一元二次方程的根与系数的关系探究问题二探究问题二一元二次方程根的判别式和根与系数的关系的一元二次方程根的判别式和根与系数的关系的综合运用综合运用17.4 一元二次方程的根与系数的关系一元二次方程的根与系数的关系17.4 一元二次方程的根与系数的关系一元二次方程的根与系数的关系17.4 一元二次方程的根与系数的关系一元二次方程的根与系数的关系17.4 一元二次方程的根与系数的关系一元二次方程的根与系数的关系17.4 17.4 一元二次方程根的根与系数的关系一元二次方程根的根与系数的关系2.2.求根公式是什么?根的个数怎么确定的?求根公式是什么?根的个数怎么确定的?复习引入复习引入1.1.一元二次方程的解法有哪些,步骤呢?一元二次方程的解法有哪些,步骤呢?方程方程 x1 x2 x1+x2 x1x2 x2-3x+2=0 x2-2x-3=0 x2-5x+4=0问问题题:你你发发现现这这些些一一元元二二次次方方程程的的两两根根x1+x2,与与x1 x2系数有什么规律?系数有什么规律?2 132-1 3 2-31 4 54合作探究合作探究活动:探究一元二次方程的根与系数的关系活动:探究一元二次方程的根与系数的关系 方方 程程-2x1+x2,x1x2与系数有什么规律与系数有什么规律?猜想:当二次项系数为猜想:当二次项系数为1时,方程时,方程 x2+px+q=0的两的两根为根为x1,x2.猜想:猜想:如果一元二次方程如果一元二次方程ax2+bx+c=0(a、b、c是常是常数且数且a0)的两根为)的两根为x1、x2,则:则:x1+x2和和x1.x2与系数与系数a,b,c 的关系的关系.任何一个一元二次方程的根与系数的关系:任何一个一元二次方程的根与系数的关系:如果方程如果方程ax2+bx+c=0(a0)的两个根是的两个根是x1,x2 ,那么那么x1+x2=,x1 x2=-(韦达定理)(韦达定理)注:能用根与系数的关系的前注:能用根与系数的关系的前提条件为提条件为b2-4ac0一、直接运用根与系数的关系一、直接运用根与系数的关系一、直接运用根与系数的关系一、直接运用根与系数的关系例例1.不解方程,求下列方程两根的和与积不解方程,求下列方程两根的和与积.在使用根与系数的关系时,应注意:在使用根与系数的关系时,应注意:不是一般式的要先化成一般式;不是一般式的要先化成一般式;在使用在使用x1+x2=时,注意时,注意“”不要漏写不要漏写.二、求关于两根的对称式或代数式的值二、求关于两根的对称式或代数式的值二、求关于两根的对称式或代数式的值二、求关于两根的对称式或代数式的值例例2.设设 是方程是方程 的两个根,利的两个根,利用根与系数的关系,求下列各式的值用根与系数的关系,求下列各式的值.三、构造新方程三、构造新方程三、构造新方程三、构造新方程例例3.求一个一元二次方程,使它的两个根是求一个一元二次方程,使它的两个根是2和和3,且二次项系数为且二次项系数为1.变式:且二次项系数为变式:且二次项系数为5.例例4.方程方程 的两根同为正数,求的两根同为正数,求p、q的取值范围的取值范围.四、求方程中的待定系数四、求方程中的待定系数变式变式:方程方程 有一个正有一个正根,一个负根,求根,一个负根,求m的取值范围的取值范围.解解:由已知由已知,=即即m0m-100m1一正根,一负根一正根,一负根0 x1x20两个正根两个正根0 x1x20 x1+x20两个负根两个负根0 x1x20 x1+x20一元二次方程根与系数的关系?一元二次方程根与系数的关系?注:能用根与系数的关系的前提条件为注:能用根与系数的关系的前提条件为b2-4ac0.课堂小结课堂小结17.5 17.5 一元二次方程的应用一元二次方程的应用 直接开平方法、配方法、公式法、因式分解法直接开平方法、配方法、公式法、因式分解法 2.解方程解方程 (802x)(602x)1500 复习引入复习引入解:解:(1)先把方程化为一元二次方程的一般形式先把方程化为一元二次方程的一般形式 x270 x8250(2)确认确认a,b,c的值的值 a1,b70,c825(3)判断判断b24ac的值的值 b24ac7024182516000,(4)代入求根公式代入求根公式得得x155,x215 3.列一元一次方程方程解应用题的步骤?列一元一次方程方程解应用题的步骤?审题,审题,找等量关系找等量关系 列方程,列方程,解方程,解方程,答答.如图所示,用一块长如图所示,用一块长80cm,宽,宽60cm的薄钢片,在四的薄钢片,在四个角上截去四个相同的小正方形,然后做成底面积个角上截去四个相同的小正方形,然后做成底面积为为1500cm2的没有盖的长方体盒子求截去的小正方的没有盖的长方体盒子求截去的小正方形的边长形的边长.合作探究合作探究活动:探究一元二次方程的应用活动:探究一元二次方程的应用(802x)(602x)1500得得x155,x215检验:当检验:当x155时时 长为长为802x-30cm 宽为宽为602x-50cm 想想,这符合题意吗?想想,这符合题意吗?不符合不符合 舍去舍去 当当x215时时 长为长为802x50cm 宽为宽为602x30cm 符合题意符合题意 所以只能取所以只能取x15 答:截取的小正方形的边长是答:截取的小正方形的边长是15cm 列一元二次方程解应用题的步骤与列一元一次方程列一元二次方程解应用题的步骤与列一元一次方程解应用题的步骤类似,即审、找、列、解、答这解应用题的步骤类似,即审、找、列、解、答这里要特别注意在列一元二次方程解应用题时,由里要特别注意在列一元二次方程解应用题时,由于所得的根一般有两个,所以要检验这两个根是否于所得的根一般有两个,所以要检验这两个根是否符合实际问题的要求符合实际问题的要求 一块长方形铁板,长是宽的一块长方形铁板,长是宽的2倍,如果在倍,如果在4个角上截个角上截去边长为去边长为5cm的小正方形,的小正方形,然后把四边折起来,然后把四边折起来,做成一个没有盖的盒子,盒子的容积是做成一个没有盖的盒子,盒子的容积是3000cm3,求铁板的长和宽,求铁板的长和宽 解:设解:设铁板的宽为铁板的宽为铁板的宽为铁板的宽为x xcm,cm,则有长为则有长为则有长为则有长为2 2x xcmcm5(2x-10)(x-10)=3000例例1.某农场用库存化肥给麦田施肥,若每亩施肥某农场用库存化肥给麦田施肥,若每亩施肥6千千克,就缺少化肥克,就缺少化肥200千克;若每亩施肥千克;若每亩施肥5千克,又剩千克,又剩余余300千克千克.问该农场有多少麦田?库存化肥多少千问该农场有多少麦田?库存化肥多少千克?克?例例1.某农场用库存化肥给麦田施肥某农场用库存化肥给麦田施肥,若每亩施肥若每亩施肥6千千克,就克,就缺少缺少化肥化肥200千克千克;若每亩施肥若每亩施肥5千克,又千克,又剩剩余余300千克千克.问该农场有多少麦田?库存化肥多少千问该农场有多少麦田?库存化肥多少千克?克?设麦田设麦田x亩,化肥亩,化肥y千克千克.实际施肥实际施肥 (6x)库存化肥库存化肥 少少200千克千克 =+实际施肥实际施肥(5x)库存化肥库存化肥 剩余剩余300千克千克 =-例例2.用白铁皮做罐头盒,每张铁皮可制盒身用白铁皮做罐头盒,每张铁皮可制盒身16个,或个,或制盒底制盒底43个,一个盒身与两个盒底配成一套罐头盒个,一个盒身与两个盒底配成一套罐头盒.现有现有150张白铁皮,用多少张制盒身,多少张制盒底,张白铁皮,用多少张制盒身,多少张制盒底,可以刚好配套?可以刚好配套?设制盒身设制盒身x张,制盒底张,制盒底y张张.制盒身、盒底张数制盒身、盒底张数 =150张张盒身个数盒身个数(16x)个数盒底个数盒底(43y)2 =例例3.汽车从甲地到乙地,若每小时行使汽车从甲地到乙地,若每小时行使45千米,就千米,就要延误要延误0.5小时到达;若每小时行使小时到达;若每小时行使50千米,就可提千米,就可提前前0.5小时到达小时到达.求:甲乙两地间的距离及原计划行求:甲乙两地间的距离及原计划行使的时间使的时间.设甲乙之间距离设甲乙之间距离x千米,计划行驶千米,计划行驶y小时小时.实际时间实际时间 延误时间(延误时间(0.5小时)小时)计划时间(计划时间(y小时)小时)实际时间实际时间 提前时间(提前时间(0.5小时)小时)计划时间(计划时间(y小时)小时)-=+=实际时间实际时间=甲乙两地间的距离甲乙两地间的距离/速度速度课堂小结课堂小结列一元二次方程解应用题的步骤与列一元一次方程列一元二次方程解应用题的步骤与列一元一次方程解应用题的步骤类似,即审、找、列、解、答这解应用题的步骤类似,即审、找、列、解、答这里要特别注意在列一元二次方程解应用题时,由里要特别注意在列一元二次方程解应用题时,由于所得的根一般有两个,所以要检验这两个根是否于所得的根一般有两个,所以要检验这两个根是否符合实际问题的要求符合实际问题的要求 19.1 19.1 多边形的内角和多边形的内角和第19章 四边形 生活中的平面图形生活中的平面图形三角形三角形 长方形长方形 四边形四边形 六边形六边形 八边形八边形情景导入情景导入 在平面内,由在平面内,由三条三条不在同一条直线上的线段首尾顺次相连组成的封不在同一条直线上的线段首尾顺次相连组成的封闭图形叫做闭图形叫做三角形三角形.在平面内,由在平面内,由若干条若干条不在同一条直线上的线段首尾顺次相连组成的封不在同一条直线上的线段首尾顺次相连组成的封闭图形叫做闭图形叫做多边形多边形.在平面内,由在平面内,由五条五条不在同一条直线上的线段首尾顺次相连组成的封闭不在同一条直线上的线段首尾顺次相连组成的封闭图形叫做图形叫做五边形五边形.在平面内,由在平面内,由四条四条不在同一条直线上的线段首尾顺次相连组成的封不在同一条直线上的线段首尾顺次相连组成的封闭图形叫做闭图形叫做四边形四边形.自主学习自主学习顶点顶点内角内角边边对角线对角线(连接不相邻两个顶点的线段连接不相邻两个顶点的线段)多边形的相关元素多边形的相关元素外角外角表示:五边形表示:五边形ABCDEACBDE如图如图1是凸多边形;是凸多边形;图图2不是凸多边形,今后如果不作说明,不是凸多边形,今后如果不作说明,我们讲的多边形都是凸多边形我们讲的多边形都是凸多边形.图图 2 如果把它任何一边双向延长,其他各边都在延长所得直如果把它任何一边双向延长,其他各边都在延长所得直线的同一旁,这样的多边形叫做凸多边形线的同一旁,这样的多边形叫做凸多边形.图图 1ACBDACBD相关概念相关概念 在多边形的顶点处在多边形的顶点处一边与另一边的延长线一边与另一边的延长线所组所组成的角叫做这个多边形的外角成的角叫做这个多边形的外角.在每个顶点处取在每个顶点处取这个多边形的一个外角这个多边形的一个外角,它们的,它们的和叫做这个多边形的外角和和叫做这个多边形的外角和.如何求出任意五边形的内角和?你能想出几种如何求出任意五边形的内角和?你能想出几种办法?办法?合作探究合作探究活动活动1 1:探究:探究多边形的内角和多边形的内角和多边形的边数多边形的边数456n分成三角形的个数分成三角形的个数多边形的内角和多边形的内角和234n-2360540720(n-2)180 从多边形的一个顶点出发,引出所有的对角线,从多边形的一个顶点出发,引出所有的对角线,从而把多边形分割为多个三角形从而把多边形分割为多个三角形.定理:定理:n边边形形的的内内角角和和等等于于(n2)180(n为为不不小小于于3的的整整数)数)说说明明:多多边边形形的的内内角角和和仅仅与与边边数数有有关关,与与多多边边形形的的大小、形状无关大小、形状无关.已知一个多边形,它的内角和等于已知一个多边形,它的内角和等于900,求这个求这个多边形的边数多边形的边数.解:解:设多边形的边数为设多边形的边数为n,因为它的内角和等,因为它的内角和等于于 (n-2)180,所以,所以,(n-2)180=900 解得解得:n=7 这个多边形的边数为这个多边形的边数为7.有一张长方形的桌面,现在锯掉它的一个角,有有一张长方形的桌面,现在锯掉它的一个角,有几种情况?剩下的残余桌面的内角和为多少?几种情况?剩下的残余桌面的内角和为多少?思考题:思考题:三角形的外角和是多少度?你是怎样探究出来的?三角形的外角和是多少度?你是怎样探究出来的?ABCDEF1.先把三角形的三个外角和三个先把三角形的三个外角和三个内角这六个角内角这六个角的和求出来,刚好是三个平角的和求出来,刚好是三个平角.2.再用这六个角的和减去三个内角的和,剩下再用这六个角的和减去三个内角的和,剩下的就是三角形的外角和了!的就是三角形的外角和了!31800-(3-2)1800=3600活动活动2 2:探究:探究多边形的外角和多边形的外角和那那么么你你能能研研究究出出四四边边形形的的外外角角和和吗吗?整体思路:整体思路:1.先求先求4个外角外角+4个内角的和;个内角的和;2.再减去再减去4个内角的和个内角的和容易看出,容易看出,4个外角个外角+4个内角个内角=4个平角而个平角而4个个内角的和是(内角的和是(4-2)180 ,那么,那么四边形的四边形的外角和外角和就是就是4 180-(4-2)180=360五边形的外角和是多少度?五边形的外角和是多少度?六边形的外角和是多少度?六边形的外角和是多少度?n边形的外角和是多少度?边形的外角和是多少度?51800-(5-2)1800=360061800-(6-2)1800=3600n1800-(n-2)1800=3600n边形的外角和等于边形的外角和等于36理论证明:理论证明:所以所以n个外角与个外角与n个内角的和是个内角的和是:n1800,所以所以n边形外角和是边形外角和是:n1800-(n-2)1800=3600.而而n边形的内角和是边形的内角和是:(n-2)1800因为因为n边形的每个外角与它相邻的内角互补边形的每个外角与它相邻的内角互补(n3)知识要点知识要点变式:你能反过来由多边形外角和公式来推导多边变式:你能反过来由多边形外角和公式来推导多边形的内角和公式吗?形的内角和公式吗?n1800-360=n1800-21800=(n-2)1800分析:分析:n1800-(n-2)1800例例 一个多边形的内角和等于它的外角和的一个多边形的内角和等于它的外角和的3倍,它倍,它是几边形?是几边形?解:解:设这个多边形的边数为设这个多边形的边数为n,则它的内角和等,则它的内角和等于于(n-2)180,因为外角和等于因为外角和等于360,所以,所以 (n-2)180=3360 n=8 这个多边形的边数为这个多边形的边数为8.三角形如果三条三角形如果三条边边都相等,三个都相等,三个角角也都相等,那么这样也都相等,那么这样的三角形就叫做的三角形就叫做正正三角形三角形.如果多边形各如果多边形各边边都相等,各个都相等,各个角角也都相等,那么这样的也都相等,那么这样的多边形就叫做多边形就叫做正多边形正多边形.如正三角形、正四边形(正方形)、如正三角形、正四边形(正方形)、正五边形等等正五边形等等.正三角形正三角形正方形正方形正五边形正五边形正六边形正六边形(或正三边形或正三边形)(或正四边形或正四边形)活动活动3 3:探究:探究正多边形正多边形下列图形是不是正多边形?下列图形是不是正多边形?下列图形是不是正多边形?下列图形是不是正多边形?(1)各条边都相等的多边形是正多边形;)各条边都相等的多边形是正多边形;(2)各个角都相等的多边形是正多边形)各个角都相等的多边形是正多边形.由上面的结论判定下列说法正确吗?由上面的结论判定下列说法正确吗?强调:强调:2.各个角都相等;各个角都相等;1.各个边都相等;各个边都相等;缺一不可:缺一不可:菱形菱形长方形长方形课堂小结课堂小结 在平面内,由在平面内,由若干条若干条不在同一条直线上的线段首不在同一条直线上的线段首尾顺次相连组成的封闭图形叫做尾顺次相连组成的封闭图形叫做多边形多边形.n边形的内角和等于边形的内角和等于(n2)180(n为不小于为不小于3的整的整数)数)说说明明:多多边边形形的的内内角角和和仅仅与与边边数数有有关关,与与多多边边形形的的大小、形状无关大小、形状无关.n边形的外角和等于边形的外角和等于36(n3)
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