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数学实验七用Mathematica 画空间图形第七章第七章 向量与空间解析几何向量与空间解析几何 实验实验1画出二元函数 的图形 解解在区域-4,4-4,4,键入:plot3D,,按小键盘“Enter”键,得柱面图,如图-24所示图 数学实验七用Mathematica 画空间图形第七章第七章 向量与空间解析几何向量与空间解析几何 实验实验2画出以平面曲线 为准线,母线平行于 轴的柱面的图形 解解写出这一柱面的参数方程为 (t),(s),取参数的范围为,输入:Paramertric Plot3D,0,,,-,,按小键盘“Enter”键,得柱面图,如图 所示 数学实验七用Mathematica 画空间图形第七章第七章 向量与空间解析几何向量与空间解析几何图 主编:撰稿教师:(以姓氏为序)制作:责任编辑:电子编辑:高等教育出版社 HTTP:/WWW.HEP.COM.CN第七章第七章 向量与空间解析几何向量与空间解析几何第四节空间直线及其方程第四节空间直线及其方程一、一、空间直线的一般式方程空间直线的一般式方程 引例在建筑施工中,要不断测量使墙体或立柱垂直水平面 其做法是在一根细线一端系一个小铅锤,用手提起细线的另一端,铅锤自然下垂,如果墙体或立柱与铅锤细线保持平行,则墙体或立柱与水平面垂直 其数学原理是直线与平面垂直性质的实际应用 第七章第七章 向量与空间解析几何向量与空间解析几何第四节空间直线及其方程第四节空间直线及其方程一、一、空间直线的一般式方程空间直线的一般式方程 当然过空间一条直线的平面方程有无穷多个,要想建立该直线的一般方程,只要从中任意找出两个平面,把它们的方程联立起来所得的方程组即是该空间直线 L 的方程第七章第七章 向量与空间解析几何向量与空间解析几何第三节空间直线及其方程第三节空间直线及其方程一、一、空间直线的一般式方程空间直线的一般式方程 定义定义如果一非零向量 s 平行于一条已知直线,这个向量就叫做这条直线的方向向量方向向量.若 s m,n,p ,那么 s 的坐标 m、n、p 称作这条直线的方向数方向数,而 s 的方向余弦叫做该直线的方向余弦方向余弦 显然一条直线的方向向量 有无穷多 个,它 们互相平 行,从方向上 可以分成 两组(图 ),直线上任一向量都平行于该直线的方向向量图 设直线的一般方程如()式所 示,既然这条直线确定了,那么我们应能求出某一个方向向量,那么怎么求呢?第七章第七章 向量与空间解析几何向量与空间解析几何第三节空间直线及其方程第三节空间直线及其方程一、一、空间直线的一般式方程空间直线的一般式方程第七章第七章 向量与空间解析几何向量与空间解析几何第三节空间直线及其方程第三节空间直线及其方程一、一、空间直线的一般式方程空间直线的一般式方程第七章第七章 向量与空间解析几何向量与空间解析几何第三节空间直线及其方程第三节空间直线及其方程二、二、空间直线的点向式方程空间直线的点向式方程第七章第七章 向量与空间解析几何向量与空间解析几何第三节空间直线及其方程第三节空间直线及其方程二、二、空间直线的点向式方程空间直线的点向式方程第七章第七章 向量与空间解析几何向量与空间解析几何第三节空间直线及其方程第三节空间直线及其方程二、二、空间直线的点向式方程空间直线的点向式方程第七章第七章 向量与空间解析几何向量与空间解析几何第三节空间直线及其方程第三节空间直线及其方程三、三、空间直线的参数式方程空间直线的参数式方程在(7-2 )中,如果设 tpzznyymxx=-=-=-000,则有+=+=+=ptzzntyymtxx000,(7-7)(7-7)称为 L 的参数方程 应当注意的是,称(7-7)为参数方程,t这里被称为参数,-t +第七章第七章 向量与空间解析几何向量与空间解析几何第三节空间直线及其方程第三节空间直线及其方程三、三、空间直线的参数式方程空间直线的参数式方程 从()式我们看到,在一个参数方程中,依次以参数 在 的表达式中的系数作为坐标的向量,为该直线的方向向量,依次以常数项为坐标的点 为L上的点.第七章第七章 向量与空间解析几何向量与空间解析几何第三节空间直线及其方程第三节空间直线及其方程三、三、空间直线的参数式方程空间直线的参数式方程练习练习2用对称式方程及参数式方程表示直线 解解先找出直线上的一点,可以对其中一个变量任意赋值,求出另外两个变量的对应值例如,取 代入方程组得 解这个方程组得 即 是直线上的点.第七章第七章 向量与空间解析几何向量与空间解析几何第三节空间直线及其方程第三节空间直线及其方程三、三、空间直线的参数式方程空间直线的参数式方程第七章第七章 向量与空间解析几何向量与空间解析几何第四节空间直线及其方程第四节空间直线及其方程四、四、两条直线的位置关系两条直线的位置关系设直线21LL 与的标准方程分别为 ,:,:22222221111111czzbyyaxxLczzbyyaxxL-=-=-=-=-其方向向量分别为1s ,111cba=2s ,111cba=则有 1 1.21/LL1s2s 212121ccbbaa=;2.2.1L2L 1s2s 0212121=+ccbbaa.第七章第七章 向量与空间解析几何向量与空间解析几何第四节空间直线及其方程第四节空间直线及其方程四、四、两条直线的位置关系两条直线的位置关系第七章第七章 向量与空间解析几何向量与空间解析几何第四节空间直线及其方程第四节空间直线及其方程五、五、直线与平面的位置关系直线与平面的位置关系第七章第七章 向量与空间解析几何向量与空间解析几何第四节空间直线及其方程第四节空间直线及其方程五、五、直线与平面的位置关系直线与平面的位置关系第七章第七章 向量与空间解析几何向量与空间解析几何第四节空间直线及其方程第四节空间直线及其方程五、五、直线与平面的位置关系直线与平面的位置关系主编:撰稿教师:(以姓氏为序)制作:责任编辑:电子编辑:高等教育出版社 HTTP:/WWW.HEP.COM.CN第九章 二元函数的积分学习目标学习目标 .理解二重积分的概念与性质.掌握二重积分的计算方法.会用二重积分解决简单的应用问题.第九章 二元函数的积分 我们知道在一元函数积分学中,定积分是定义在闭区间上的一元函数的某种特定形式的和的极限,把这种和的极限的概念推广到定义在平面区域的二元函数的情形,便得到二重积分的概念.第一节 二重积分的概念与性质一、二重积分的概念第九章 二元函数的积分 引例引例1 求曲顶柱体的体积 曲顶柱体是指以 坐标面上的有界闭区域 为底,以母线平行于 轴的柱面为侧面,以曲面 (这里 且在 上连续)为顶的柱体.(图7-1)图71 解解 平顶柱体的高是不变的,它的体积 =高 底面积而曲顶柱体的顶是曲面,它的高f(x,y)在 上是变量,因此它的体积不能直接用上式计算.第一节 二重积分的概念与性质一、二重积分的概念第九章 二元函数的积分我们采用类似 于求曲梯形面积的思路.(1)分割分割 将区域 任意分成 个区域 且以 表示第 个小区域的面积这样就将曲顶柱体分成了 个小曲顶柱体.设以 为底的第个 小曲顶柱体的体积为 ,则有 (2)求近似值求近似值 在每个小区域 ()内,任取一点,将以 为高,为底的平顶柱体的体积 第一节 二重积分的概念与性质一、二重积分的概念第九章 二元函数的积分近似替代第 个曲顶柱体的体积,即 (3)求和)求和 将这 个小平顶柱体的体积相加,得到原曲顶柱体体积的近似值,即 (4)取极限)取极限 当分割越来越细,小区域越来越小,令 个小闭区域的直径(有界闭区域的直径是指区域中任意两点间距离的最大值)中的最大值趋于零时,的极限存在,则将这个极限第一节 二重积分的概念与性质一、二重积分的概念第九章 二元函数的积分值定义为曲顶柱体的体积=定义定义 设 是定义在有界闭区域 上的二元函数,将区域 任意分成 个小区域 (),并以 表示第 个小域的面积在 上任取一点 作积分和 当各个小区域中的直径的最大值趋于零时,此积分和式的极限存在,则称 在 上可以积分(简称可积),并称此极限为第一节 二重积分的概念与性质一、二重积分的概念第九章 二元函数的积分函数在区域 上的二重积分二重积分,记为 ,即 其中称 为被积函数,称 为被积表达式,称为面积元素,与 称为积分变量,称为积分区域 曲顶柱体的体积 就是曲面 在区域 上的二重积分第一节 二重积分的概念与性质一、二重积分的概念第九章 二元函数的积分 二重积分几何意义:由于在二重积分 中,总可以把被积函数 看成空间上的一块曲面,所以当 时,就是以为顶,为底的曲顶柱体的体积;当 0 时曲顶体在xoy平面的下方,就是曲顶柱体体积的负值.第一节 二重积分的概念与性质一、二重积分的概念第九章 二元函数的积分 如果在有界闭区域 上连续,则无论 如何划分,上述和oy图7-2式的极限一定存在,也就是说,在有界闭区域上的连续函数一一定可积在直角坐标系用平行于坐标轴直线网来划分 (图72),可以证面积元素为 ,二重积分可记为第一节 二重积分的概念与性质二、二重积分的性质第九章 二元函数的积分 二重积分与一元函数定积分具有相应的性质(证明从略),以下论及的函数均假定在区域 上可积 性质性质1 被积函数中的常数因子可以提到二重积分号的面,即 性质性质2 函数代数和的二重积分等于各个函数的二重积分的代数和,即(为常数)第一节 二重积分的概念与性质二、二重积分的性质第九章 二元函数的积分 性质性质3 如果积分区域 可分成两个区域 ,()则 性质性质4 如果在 上,的值恒为1,且 的面积为 ,则第一节 二重积分的概念与性质二、二重积分的性质第九章 二元函数的积分 性质性质5 如果在 上,则:第四节第四节 微分中值定理与洛必达法则微分中值定理与洛必达法则第二章第二章 一元函数导数与微分一元函数导数与微分一、中值定理一、中值定理定理定理1(罗尔定理)(罗尔定理)若函数 在闭区间 上连续;在开区间内可导;且,则在区间 内至少存在,几何意义几何意义:如果函数 尔定理的条件,说明 是一条在区间 内处处有切线的曲线段,这条曲线段上至少有一点 轴.(如图2-4)处的切线平行于 使得.一点满足罗yx0ACBb图24第四节第四节 微分中值定理与洛必达法微分中值定理与洛必达法则则第二章第二章 一元函数导数与微分一元函数导数与微分二、中值定理二、中值定理定理定理2(拉格朗日中值定理)(拉格朗日中值定理)若函数 在闭区间 上连续;在开区间内可导,则在 内至少存在一点 使得 或,图25几何意义:几何意义:如图,是直线AB的斜率,如果连接A、B两点的连续曲线 处处有不垂直于 轴的切线,那么在曲线上至少有一点,曲线在 点处的切线平行于直线ABxyy=f(x)ABC1C2ab12第四节第四节 微分中值定理与洛必达法微分中值定理与洛必达法则则第二章第二章 一元函数导数与微分一元函数导数与微分一、中值定理一、中值定理显然当 日定理的特例从拉格朗日中值定理可得两个推论:时,便是罗尔定理,所以罗尔定理是拉格朗推论推论 如果函数 在 内的导数 恒为零,则 内是一个常数 推论推论 如果函数 内恒有,则在 内(是常数)第四节第四节 微分中值定理与洛必达法微分中值定理与洛必达法则则第二章第二章 一元函数导数与微分一元函数导数与微分二、中值定理二、中值定理练习练习已知,验证 定理的条件,并求 的值 满足拉格朗日解解 显然 上连续,在 内可导,由定理2知,在 内至少存在一点,使得 解之 第四节第四节 微分中值定理与洛必达法则微分中值定理与洛必达法则第二章第二章 一元函数导数与微分一元函数导数与微分二、洛必达法则二、洛必达法则洛必达法则是以导数为工具求未定式极限的法则1.型未定式型未定式 法则法则 如果函数 满足下列条件:则有 第四节第四节 微分中值定理与洛必达法微分中值定理与洛必达法则则第二章第二章 一元函数导数与微分一元函数导数与微分二、洛必达法则二、洛必达法则练习练习2 求下列函数的极限(1)(2)解解 是 型未定式,用法则(2)(1)如果 仍是 型未定式,且 仍满足洛必达法则的条件,则可连续使用洛必达法则,即A(或)1.型未定式型未定式 第四节第四节 微分中值定理与洛必达法则微分中值定理与洛必达法则第二章第二章 一元函数导数与微分一元函数导数与微分二、洛必达法则二、洛必达法则2.型未定式型未定式法则法则 如果函数 满足下列条件:则有 第四节第四节 微分中值定理与洛必达法则微分中值定理与洛必达法则第二章第二章 一元函数导数与微分一元函数导数与微分二、洛必达法则二、洛必达法则2.型未定式型未定式对于对于 型未定式,法则、同样有效 练习练习3 求下列函数的极限(1)(2)解解 (1)(2)第四节第四节 微分中值定理与洛必达法则微分中值定理与洛必达法则第二章第二章 一元函数导数与微分一元函数导数与微分二、洛必达法则二、洛必达法则3.其它形式的未定式其它形式的未定式除了上述 型、型未定式外,还有 型、型、这些未定式可以通过适当的变换,化为 型、型、型或 再使用洛必达法则求解 型等未定式型,第四节第四节 微分中值定理与洛必达法则微分中值定理与洛必达法则第二章第二章 一元函数导数与微分一元函数导数与微分二、洛必达法则二、洛必达法则3.其它形式的未定式其它形式的未定式练习练习4 求下列函数的极限(1)()(2)()解解 (1)(2)第四节第四节 微分中值定理与洛必达法微分中值定理与洛必达法则则第二章第二章 一元函数导数与微分一元函数导数与微分二、洛必达法则二、洛必达法则使用洛必达法则时要注意下列两个问题:法则仅可以直接使用于 型和 其它形式的未定式均要化为 型的未定式,型和 排除非未定式)、判断(是否可以继续使用)型后,才可以使用洛必达法则,并且使用一次就要整理(化简和 在使用洛必达法则失效时,要采用其它方法判断主编:撰稿教师:(以姓氏为序)制作:责任编辑:电子编辑:高等教育出版社 HTTP:/WWW.HEP.COM.CN第三节第三节 假设检验假设检验第六章第六章 统计基础统计基础第三节第三节 假设检验假设检验第六章第六章 统计基础统计基础第三节第三节 假设检验假设检验第六章第六章 统计基础统计基础第三节第三节 假设检验假设检验第六章第六章 统计基础统计基础第三节第三节 假设检验假设检验第六章第六章 统计基础统计基础第三节第三节 假设检验假设检验第六章第六章 统计基础统计基础第三节第三节 假设检验假设检验第六章第六章 统计基础统计基础第三节第三节 假设检验假设检验第六章第六章 统计基础统计基础第三节第三节 假设检验假设检验第六章第六章 统计基础统计基础第三节第三节 假设检验假设检验第六章第六章 统计基础统计基础第三节第三节 假设检验假设检验第六章第六章 统计基础统计基础第三节第三节 假设检验假设检验第六章第六章 统计基础统计基础第三节第三节 假设检验假设检验第六章第六章 统计基础统计基础第三节第三节 假设检验假设检验第六章第六章 统计基础统计基础第三节第三节 假设检验假设检验第六章第六章 统计基础统计基础第三节第三节 假设检验假设检验第六章第六章 统计基础统计基础第三节第三节 假设检验假设检验第六章第六章 统计基础统计基础第三节第三节 假设检验假设检验第六章第六章 统计基础统计基础第三节第三节 假设检验假设检验第六章第六章 统计基础统计基础第三节第三节 假设检验假设检验第六章第六章 统计基础统计基础第三节第三节 假设检验假设检验第六章第六章 统计基础统计基础第三节第三节 假设检验假设检验第六章第六章 统计基础统计基础第三节第三节 假设检验假设检验第六章第六章 统计基础统计基础第三节第三节 假设检验假设检验第六章第六章 统计基础统计基础第三节第三节 假设检验假设检验第六章第六章 统计基础统计基础第三节第三节 假设检验假设检验第六章第六章 统计基础统计基础主编:撰稿教师:(以姓氏为序)制作:责任编辑:电子编辑:高等教育出版社 HTTP:/WWW.HEP.COM.CN第三章 一元函数的积分学习目标学习目标.理解原函数与不定积分的概念及性质,熟练应用不定积分的性质和基本积分公式求不定积分,掌握不定积分的换元积分法与分部积分法.理解定积分的概念和性质,掌握牛顿莱布尼茨公式,掌握定积分的换元积分法和分部积分法.会用微元法求平面图形的面积、旋转体的体积等.了解无穷区间上的广义积分的概念并会求无穷区间上的广义积分.会用数学软件求函数的积分.第三章 一元函数的积分第一节 不定积分的概念和性质第二节 不定积分的基本积分方法第三节 定积分的概念与性质本章将讨论的不定积分和定积分,统称为一元函数积分我们首先介绍原函数与不定积分的概念、性质及不定积分的计算方法,然后介绍定积分的概念、性质、微积分基本定理与定积分的计算方法,最后介绍微元法和定积分在几何、经济、工程、医药学等方面的应用,以及无穷区间上的广义积分第四节 定积分的计算第五节 定积分的应用第六节 无穷区间上的广义积分第一节 不定积分的概念和性质一、不定积分的概念第三章 一元函数的积分.第一节 不定积分的概念和性质一、不定积分的概念第三章 一元函数的积分.第一节 不定积分的概念和性质一、不定积分的概念第三章 一元函数的积分.1.原函数原函数第一节 不定积分的概念和性质一、不定积分的概念第三章 一元函数的积分.2.不定积分的概念上面两例可写成第一节 不定积分的概念和性质一、不定积分的概念第三章 一元函数的积分练习1 求下列不定积分:(1);(2).解(1)因为,所以;(2)因为,所以.第一节 不定积分的概念和性质一、不定积分的概念第三章 一元函数的积分.练习练习2己知平面上某曲线经过,且在横坐标点处的切线斜率是,试求此曲线的方程 解解 设所求曲线方程为,由导数的几何意义可知,根据导数公式知(c为任意数),因此有又曲线经过原点,所以有,因此所求曲线为第一节 不定积分的概念和性质一、不定积分的概念第三章 一元函数的积分.分析此题结果不难看出:函数的每一个原函数的图像为平面上的一条曲线的积分曲线,而不定积分即的图像代表的全部积分曲线,称为的积分曲线族,其中任一条曲线都可由另一条积分曲线沿轴方向上下平移而得(如图3-1)这就是不定积分的几何意义第一节 不定积分的概念和性质二、不定积分的性质第三章 一元函数的积分.第一节 不定积分的概念和性质二、不定积分的性质第三章 一元函数的积分.第一节 不定积分的概念和性质三、基本积分公式第三章 一元函数的积分第一节 不定积分的概念和性质三、基本积分公式第三章 一元函数的积分.第一节 不定积分的概念和性质第三章 一元函数的积分.第一节 不定积分的概念和性质第三章 一元函数的积分.第一节 不定积分的概念和性质第三章 一元函数的积分.第一节 不定积分的概念和性质第三章 一元函数的积分.第一节 不定积分的概念和性质第三章 一元函数的积分 案例案例2 销售收入设一药店销售某种药品的边际收入是 ,其中 是销售数量,试求其销售某种药品的收入解解 边际收入是收入对销售数量的变化率如果 表示收入,则 从而 不卖出药品就没有收入,所以 于是.第二节不定积分的基本积分方法一、换元积分法第三章 一元函数的积分1.第一换元积分法凑微分法.引例引例求解解被积函数是复合函数,不能直接利用公式事实上,思考:上述解法的特点是什么?第二节不定积分的基本积分方法一、换元积分法第三章 一元函数的积分1.第一换元积分法凑微分法上述解法的特点是引入新变量(可微),从而把原积分化为关于的一个简单的积分,再利用基本积分公式求解上述引例用的方法,可化为下列计算程序:.这种先“凑”微分式,再作变量代换的方法,叫第一换元积分法,也称凑微分法第二节不定积分的基本积分方法一、换元积分法第三章 一元函数的积分1.第一换元积分法凑微分法.练习练习1 求解设得当计算比较熟练后,不必写出中间变量,而使计算过程简单明了.第二节不定积分的基本积分方法一、换元积分法第三章 一元函数的积分1.第一换元积分法凑微分法.练习练习2求解解练习练习3求解第二节不定积分的基本积分方法一、换元积分法第三章 一元函数的积分1.第一换元积分法凑微分法.练习练习4求不定积分解运用凑微分法的难点在于原题并未指明应该把哪一部分凑成,这需要解题经验的积累,通过做一定数量的习题去体会,逐步找出其规律.第二节不定积分的基本积分方法一、换元积分法第三章 一元函数的积分1.第一换元积分法凑微分法.练习练习5求下列积分:(1)(2)解先用代数运算或三角变换对被积函数做适当变形(1)第二节不定积分的基本积分方法一、换元积分法第三章 一元函数的积分1.第一换元积分法凑微分法.(2)第二节不定积分的基本积分方法一、换元积分法第三章 一元函数的积分2.第一换元积分法凑微分法.案例案例1通过细胞膜渗透通过细胞膜渗透在某些条件下,一种溶解物通过细胞膜渗透,细胞内溶解物浓度在时刻的变化率是,其中是常数已知,求解由变化率的意义可知于是又得故第二节不定积分的基本积分方法一、换元积分法第三章 一元函数的积分2.第二换元积分法.第一换元积分法是选择新的积分变量,但对有些被积函数则需要作相反方式的换元,即令把作为新积分变量,才能积出结果,即这种方法叫第二换元法使用第二换元法关键是恰当的选择变换函数,要求单调可导,且其反函数存在第二节不定积分的基本积分方法一、换元积分法第三章 一元函数的积分2.第二换元积分法.练习练习6求解解为了消去根式,可令则于是第二节不定积分的基本积分方法一、换元积分法第三章 一元函数的积分2.第二换元积分法.练习练习7 求 解解作三角变换,令于是第二节不定积分的基本积分方法一、换元积分法第三章 一元函数的积分2.第二换元积分法.为把回代成函数,可根据,作辅助直角三角形(如图3-2),所以第二节不定积分的基本积分方法二、分部积分法第三章 一元函数的积分.设函数,具有连续导数,根据乘积微分公式有移项得两边积分得称为分部积分公式分部积分公式.第二节不定积分的基本积分方法二、分部积分法第三章 一元函数的积分.练习练习8求解解设于是代入公式有注:本题若设则有反而比原积分更难,说明这样设是不合适的第二节不定积分的基本积分方法一、换元积分法第三章 一元函数的积分3.分部积分法.运用好分部积分关键是恰当地选择好和,一般要考虑如下两点:(1)要容易求得(可用凑微分法求出);(2)要比容易积出第二节不定积分的基本积分方法一、换元积分法第三章 一元函数的积分3.分部积分法.练习练习9 求解解当熟悉分部积分法后,及可心算完成,不必具体写出第二节不定积分的基本积分方法一、换元积分法第三章 一元函数的积分3.分部积分法.练习练习10 求解解 练习练习11 求 解解第二节不定积分的基本积分方法一、换元积分法第三章 一元函数的积分3.分部积分法.练习练习12 求解解将再次出现的移至左端,合并后除以2得所求积分为第二节 不定积分的基本积分方法一、换元积分法第三章 一元函数的积分3.分部积分法.案例案例药品销售药品销售 某药品的边际成本是,其中是药品件数,试求该药品的成本函数?解解 设某药品的成本函数为,由于所以第三节 定积分的概念与性质若图形的三条边是直线段,其中有两条垂直于第三条底边,而其第四条边是曲线,这样的图形称为曲边梯形,如图3-3所示一、两个典型实例第三章 一元函数的积分它的面积应如何求呢?引例引例1 曲边梯形的面积图3-3第三节 定积分的概念与性质曲边梯形面积的确定方法:将曲边梯形沿着轴方向切割成许多窄窄的长条,把每个长条近似看作一个矩形,用长乘宽求得小矩形面积,加起来就是曲边梯形面积的近似值,分割越细,误差越小,于是当所有的长条宽度趋于零时,这个阶梯形面积的极限就成为曲边梯形面积的精确值了.如图3-4所示:一、两个典型实例第三章 一元函数的积分abxyoabxyo第三节 定积分的概念与性质(1)分割任取分点一、两个典型实例第三章 一元函数的积分把区间分成个小区间.小区间长度记为;(2)近似代替在每个小区间上任取一点,竖起高线,则得小长条面积的近似值为;图3-4第三节 定积分的概念与性质一、两个典型实例第三章 一元函数的积分(4)取极限令小区间长度的最大值趋于零,则和式的极限就是曲边梯形面积A的精确值,即;.第三节 定积分的概念与性质一、两个典型案例第三章 一元函数的积分第三节 定积分的概念与性质一、两个典型案例一、两个典型案例第三章 一元函数的积分第三节 定积分的概念与性质一、两个典型案例第三章 一元函数的积分第三节 定积分的概念与性质一、两个典型案例第三章 一元函数的积分第三节 定积分的概念与性质二、定积分的概念第三章 一元函数的积分由上面两个引例可知,无论求曲边梯形的面积,还是药物有效药量,都归结为求某种特定和式的极限.此类问题的数学抽象就是定积分的概念第三节 定积分的概念与性质二.定积分的概念第三章 一元函数的积分第三节 定积分的概念与性质二、定积分的概念第三章 一元函数的积分第三节 定积分的概念与性质二、定积分的概念第三章 一元函数的积分第三节 定积分的概念与性质二、定积分的概念二、定积分的概念定积分的几何意义第三章 一元函数的积分图3-5第三节 定积分的概念与性质定积分的几何意义第三章 一元函数的积分图3-6二、定积分的概念二、定积分的概念第三节 定积分的概念与性质定积分的几何意义第三章 一元函数的积分图3-7二、定积分的概念二、定积分的概念第三节 定积分的概念与性质三、定积分的基本性质第三章 一元函数的积分第三节 定积分的概念与性质三、定积分的基本性质第三章 一元函数的积分第三节 定积分的概念与性质三、定积分的基本性质第三章 一元函数的积分第三节 定积分的概念与性质三、定积分的基本性质第三章 一元函数的积分第四节 定积分的计算根据定义计算定积分是非常复杂的,为此我们必须寻找计算定积分的简单方法,牛顿和莱布尼兹揭示了微分和积分的内在联系微积分基本定理)一、微积分基本定理第三章 一元函数的积分第四节 定积分的计算一、微积分基本定理第三章 一元函数的积分第四节 定积分的计算一、微积分基本定理第三章 一元函数的积分第四节 定积分的计算一、微积分基本定理第三章 一元函数的积分第四节 定积分的计算二、定积分的换元积分公式第三章 一元函数的积分第四节 定积分的计算二、定积分的换元积分公式第三章 一元函数的积分第四节 定积分的计算二、定积分的换元积分公式第三章 一元函数的积分第四节 定积分的计算二、定积分的换元积分公式第三章 一元函数的积分第四节 定积分的计算二、定积分的换元积分公式第三章 一元函数的积分第四节 定积分的计算二、定积分的换元积分公式第三章 一元函数的积分第四节 定积分的计算二、定积分的换元积分公式第三章 一元函数的积分第四节 定积分的计算三、定积分的分部积分公式第三章 一元函数的积分第四节 定积分的计算三、定积分的分部积分公式第三章 一元函数的积分第四节 定积分的计算三、定积分的分部积分公式第三章 一元函数的积分第五节 定积分的应用一、微元法第三章 一元函数的积分第五节 定积分的应用一、微元法第三章 一元函数的积分第五节 定积分的应用二、定积分在几何上的应用第三章 一元函数的积分1.平面图形的面积平面图形的面积图图3-83-8第五节 定积分的应用二、定积分在几何上的应用第三章 一元函数的积分1.平面图形的面积平面图形的面积图图3-93-9第五节 定积分的应用二、定积分在几何上的应用第三章 一元函数的积分1.平面图形的面积平面图形的面积图图3-103-10第五节 定积分的应用二、定积分在几何上的应用第三章 一元函数的积分1.平面图形的面积平面图形的面积图图3-113-11第五节 定积分的应用二、定积分在几何上的应用第三章 一元函数的积分1.平面图形的面积平面图形的面积第五节 定积分的应用二、定积分在几何上的应用第三章 一元函数的积分1.平面图形的面积平面图形的面积第五节 定积分的应用二、定积分在几何上的应用第三章 一元函数的积分1.平面图形的面积平面图形的面积图图3-123-12第五节 定积分的应用二、定积分在几何上的应用第三章 一元函数的积分 2.旋转体的体积旋转体的体积图图3-133-13第五节 定积分的应用二、定积分在几何上的应用第三章 一元函数的积分 2.旋转体的体积旋转体的体积图图3-143-14第五节 定积分的应用二、定积分在几何上的应用第三章 一元函数的积分 2.旋转体的体积旋转体的体积第五节 定积分的应用二、定积分在几何上的应用第三章 一元函数的积分 2.旋转体的体积旋转体的体积图图3-163-16第五节 定积分的应用二、定积分在几何上的应用第三章 一元函数的积分 2.旋转体的体积旋转体的体积第五节 定积分的应用二、定积分在几何上的应用第三章 一元函数的积分 2.旋转体的体积旋转体的体积图第五节 定积分的应用第三章 一元函数的积分第五节 定积分的应用第三章 一元函数的积分第五节 定积分的应用第三章 一元函数的积分第五节 定积分的应用第三章 一元函数的积分第五节 定积分的应用第三章 一元函数的积分第五节 定积分的应用第三章 一元函数的积分第五节 定积分的应用第三章 一元函数的积分第五节 定积分的应用二、定积分在几何上的应用第三章 一元函数的积分 3.平面曲线的弧长平面曲线的弧长第五节 定积分的应用二、定积分在几何上的应用第三章 一元函数的积分 3.平面曲线的弧长平面曲线的弧长第五节 定积分的应用二、定积分在几何上的应用第三章 一元函数的积分 3.平面曲线的弧长平面曲线的弧长第五节 定积分的应用二、定积分在几何上的应用第三章 一元函数的积分 3.平面曲线的弧长平面曲线的弧长图第五节 定积分的应用二、定积分在几何上的应用第三章 一元函数的积分 3.平面曲线的弧长平面曲线的弧长第六节 无穷区间上的广义积分前面所讨论的定积分,是以积分区间为有限区间及函数在该区间有界为前提.但是,在实际问题中,还会遇到积分区间为无限区间,或被积函数在积分区间上具有无穷间断点的积分,前者称为无穷区间的积分,后者称为无穷间断点的积分,两者都称为广义积分,本节只讨论无穷区间上的广义积分.第三章 一元函数的积分第六节 无穷区间上的广义积分第三章 一元函数的积分图第六节 无穷区间上的广义积分第三章 一元函数的积分第六节 无穷区间上的广义积分第三章 一元函数的积分第六节 无穷区间上的广义积分第三章 一元函数的积分第六节 无穷区间上的广义积分第三章 一元函数的积分第六节 无穷区间上的广义积分第三章 一元函数的积分数学实验三:用数学实验三:用Mathematica求积分求积分 第三章 一元函数的积分主编:撰稿教师:(以姓氏为序)制作:责任编辑:电子编辑:高等教育出版社HTTP:/WWW.HEP.COM.CN第四章 常微分方程 学习目标学习目标 .理解微分方程的概念,了解微分方程的几何意义 .了解一阶微分方程的概念,掌握可分离变量方程和一阶线性方程的解法掌握常数变易法 .了解二阶线性微分方程解的结构掌握二阶常系数齐次线性方程的解法,了解简单的二阶常系数非齐次线性方程的解法 .了解微分方程在生物学、医学、工程技术等方面的简单应用 .会用数学软件求解微分方程第四章 常微分方程第一节 常微分方程的基本概念第二节 一阶微分方程第三节 二阶线性微分方程 在科学研究过程中,寻求变量之间的函数关系无疑是十分重要的。但在许多实际问题当中,仅用初等数学的方法都很难做到这一点,而只能根据实际情况,建立起这些变量及其导数或微分之间的关系式。这种关系式在数学上称之为微分方程。通过解微分方程即可得到所求的函数关系.本章主要介绍微分方程的基本概念、几种常见的微分方程的解法,建立了一些实际应用中的数学模型。Zhhizuo:WangRongbo第四节 数学模型举例第一节 不定积分的概念和性质一、微分方程的概念第四章 常微分方程.1、微分方程的定义第一节 不定积分的概念和性质一、微分方程的概念第四章 常微分方程.1、微分方程的定义第一节 不定积分的概念和性质一、微分方程的概念第四章 常微分方程.1、微分方程的定义第一节 不定积分的概念和性质一、微分方程的概念第四章 常微分方程.1、微分方程的定义第一节 不定积分的概念和性质一、微分方程的概念第四章 常微分方程.2、微分方程的解微分方程的解 微分方程的解有两种形式:一种不含任意常数;一种含有任意常数如果解中包含任意常数,且独立的任意常数的个数与方程的阶数相同,则称这样的解为常微分方程的通解常微分方程的通解,不含有任意常数的解,称为微分方程的特解微分方程的特解第一节 不定积分的概念和性质一、微分方程的概念第四章 常微分方程.2、微分方程的解微分方程的解第一节 不定积分的概念和性质一、微分方程的概念第四章 常微分方程.2、微分方程的解第一节 不定积分的概念和性质二、微分方程解的几何意义第四章 常微分方程.第二节 一阶微分方程一、一阶微分方程的一般形式第四章 常微分方程.第二节 一阶微分方程一、一阶微分方程的一般形式第四章 常微分方程.第二节 一阶微分方程二、可分离变量的一阶微分方程第四章 常微分方程.第二节 一阶微分方程二、可分离变量的一阶微分方程第四章 常微分方程.第二节 一阶微分方程二、可分离变量的一阶微分方程第四章 常微分方程.第二节 一阶微分方程二、可分离变量的一阶微分方程第四章 常微分方程.第二节 一阶微分方程二、可分离变量的一阶微分方程第四章 常微分方程.第二节 一阶微分方程二、可分离变量的一阶微分方程第四章 常微分方程.第二节 一阶微分方程二、可分离变量的一阶微分方程第四章 常微分方程.第二节 一阶微分方程二、可分离变量的一阶微分方程第四章 常微分方程.第二节 一阶微分方程二、可分离变量的一阶微分方程第四章 常微分方程.第二节 一阶微分方程三、一阶线性齐次微分方程第四章 常微分方程.第二节 一阶微分方程四、一阶线性非齐次微分方程第四章 常微分方程.第二节 一阶微分方程四、一阶线性非齐次微分方程第四章 常微分方程.第二节 一阶微分方程四、一阶线性非齐次微分方程第四章 常微分方程.第二节 一阶微分方程四、一阶线性非齐次微分方程第四章 常微分方程.第二节 一阶微分方程四、一阶线性非齐次微分方程第四章 常微分方程.第二节 一阶微分方程四、一阶线性非齐次微分方程第四章 常微分方程.第三节 二阶线性微分方程一、二阶线性微分方程一般形式第四章 常微分方程.第三节 二阶线性微分方程一、二阶线性微分方程一般形式第四章 常微分方程.第三节 二阶线性微分方程一、二阶线性微分方程一般形式第四章 常微分方程.第三节 二阶线性微分方程二、二阶线性微分方程解的结构第四章 常微分方程.第三节 二阶线性微分方程二、二阶线性微分方程解的结构第四章 常微分方程.此性质属线性齐次方程所特有,称为解的叠加原理叠加原理。第三节 二阶线性微分方程二、二阶线性微分方程解的结构第四章 常微分方程.第三节 二阶线性微分方程二、二阶线性微分方程解的结构第四章 常微分方程.第三节 二阶线性微分方程二、二阶线性微分方程解的结构第四章 常微分方程.第三节 二阶线性微分方程二、二阶线性微分方程解的结构第四章 常微分方程.第三节 二阶线性微分方程二、二阶线性微分方程解的结构第四章 常微分方程.第三节 二阶线性微分方程二、二阶线性微分方程解的结构第四章 常微分方程.第三节 二阶线性微分方程三、二阶常系数线性齐次微分方程第四章 常微分方程.第三节 二阶线性微分方程三、二阶常系数线性齐次微分方程第四章 常微分方程.第三节 二阶线性微分方程三、二阶常系数线性齐次微分方程第四章 常微分方程.第三节 二阶线性微分方程三、二阶常系数线性齐次微分方程第四章 常微分方程.第三节 二阶线性微分方程三、二阶常系数线性齐次微分方程第四章 常微分方程.第三节 二阶线性微分方程三、二阶常系数线性齐次微分方程第四章 常微分方程.第三节 二阶线性微分方程三、二阶常系数线性齐次微分方程第四章 常微分方程.第三节 二阶线性微分方程三、二阶常系数线性齐次微分方程第四章 常微分方程.第三节 二阶线性微分方程三、二阶常系数线性齐次微分方程第四章 常微分方程.第三节 二阶线性微分方程三、二阶常系数线性齐次微分方程第四章 常微分方程.第三节 二阶线性微分方程三、二阶常系数线性齐次微分方程第四章 常微分方程.第三节 二阶线性微分方程三、二阶常系数线性齐次微分方程第四章 常微分方程.第三节 二阶线性微分方程三、二阶常系数线性齐次微分方程第四章 常微分方程.第三节 二阶线性微分方程四、二阶常系数线性非齐次微分方程第四章 常微分方程.第三节 二阶线性微分方程四、二阶常系数线性非齐次微分方程第四章 常微分方程.第三节 二阶线性微分方程四、二阶常系数线性非齐次微分方程第四章 常微分方程.第四节 数学模型举例第四章 常微分方程.所谓数学模型,是指对于现实世界的某一特定对象,为了某个特定目的,做出一些必要的简化和假设,运用适当的数学工具得到的一个数学结构它或者能解释特定现象的现实状态,或者能预测对象的未来状况,或者能提供处理对象的最优决策或控制如何运用数学方法解决实际问题,关键在于建立科学化的数学模型运用微分方程建立数学模型,是最为常用的手段之一本节仅举两例经典模型,让大家对此有个初步了解第四节 数学模型举例第四章 常微分方程.案例案例1生物种群的数学模型生物种群的数学模型第四节 数学模型举例第四章 常微分方程.案例案例1生物种群的数学模型生物种群的数学模型第四节 数学模型举例第四章 常微分方程.案例案例1生物种群的数学模型生物种群的数学模型第四节 数学模型举例第四章 常微分方程.案例案例1生物种群的数学模型生物种群的数学模型第四节 数学模型举例第四章 常微分方程.案例案例1生物种群的数学模型生物种群的数学模型第四节 数学模型举例第四章 常微分方程.案例案例1生物种群的数学模型生物种群的数学模型第四节 数学模型举例第四章 常微分方程.案例案例1生物种群的数学模型生物种群的数学模型第四节 数学模型举例第四章 常微分方程.案例案例2火箭飞行问题火箭飞行问题第四节 数学模型举例第四章 常微分方程.案例案例2火箭飞行问题火箭飞行问题第四节 数学模型举例第四章 常微分方程.案例案例2火箭飞行问题火箭飞行问题数学实验四数学实验四 用用Mathematica求微分方程的解求微分方程的解第四章 常微分方程.主编:撰稿教师:(以姓氏为序)制作:责任编辑:电子编辑:高等教育出版社 HTTP:/WWW.HEP.COM.CN
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