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1、2.4.2抛物线抛物线的简单的简单几何性质几何性质(1)吉林省公主岭市范家屯一中 董秀梅喷泉喷泉抛物线的简单几何性质抛物线的简单几何性质一、学习目标一、学习目标1.类比椭圆学习掌握抛物线的类比椭圆学习掌握抛物线的 简单几何性质简单几何性质2.自觉运用抛物线的几何性质自觉运用抛物线的几何性质 解解答抛物线的有关问题答抛物线的有关问题3.在对抛物线几何性质的讨论中在对抛物线几何性质的讨论中,注意数与形的结合与转化注意数与形的结合与转化 v复习：v1.抛物线的定义。v2.抛物线的标准方程及焦点，准线方程。定定义义 平面内与一个定点平面内与一个定点F和一条定直线的距离相等的点的和一条定直线的距离相等的
2、点的轨迹叫做轨迹叫做抛物线抛物线 集合表示为集合表示为 ,（其中（其中d为点到直线的距为点到直线的距离）离）图图形形 方方程程 焦焦点点 准准线线 练习练习:填出下列抛物线的焦点坐标和准线方程填出下列抛物线的焦点坐标和准线方程 抛物线方程抛物线方程 焦点坐标焦点坐标准线方程准线方程lFyxO抛物线在抛物线在 y轴的右侧轴的右侧X轴正向轴正向抛物线向抛物线向 无限延伸无限延伸开口方向与开口方向与 相同相同右上方和右下方右上方和右下方关于关于 轴对称轴对称,抛物线的轴抛物线的轴x1.范围范围:2.对称性对称性:抛物线的对称轴叫抛物线的对称轴叫新课新课:抛物线上的点抛物线上的点M到到叫抛物线的叫抛物
3、线的离心率离心率抛物线的顶点抛物线的顶点焦点的距离和它到准线的距离的比焦点的距离和它到准线的距离的比,3.顶点顶点:4.离心率离心率:此抛物线的顶点为坐标原点此抛物线的顶点为坐标原点 抛物线与它的轴抛物线与它的轴的交点叫的交点叫lFyxOxyO2pABF2p越大，抛物线张口越大越大，抛物线张口越大.思考：思考：通径是抛物线的焦点弦中最短的弦。通径是抛物线的焦点弦中最短的弦。通径长通径长|AB|=2p通径通径5、过焦点而垂直于对称轴的弦过焦点而垂直于对称轴的弦AB，称为抛物线的称为抛物线的通径，通径，利用抛物线的利用抛物线的顶点顶点、通径的、通径的两个两个端点端点可较准确画出反映可较准确画出反映
4、抛物线基本特征的草图抛物线基本特征的草图.方程方程图图形形范围范围对称性对称性顶点顶点离心率离心率 y2=2px（p0）y2=-2px（p0）x2=2py（p0）x2=-2py（p0）lFyxOlFyxOlFyxOx0 yRx0 yRxR y0y0 xRlFyxO关于关于x轴对称轴对称关于关于x轴对称轴对称关于关于y轴对称轴对称 关于关于y轴对称轴对称（0,0）（0,0）（0,0）（0,0）e=1 e=1 e=1 e=1归纳归纳:(1)、抛物线只位于半个坐标平面内，虽然它、抛物线只位于半个坐标平面内，虽然它也可以无限延伸，但没有渐近线；也可以无限延伸，但没有渐近线；(2)、抛物线只有一条对称轴
5、、抛物线只有一条对称轴,没有对称中心没有对称中心;(3)、抛物线只有一个顶点，一个焦点，一条、抛物线只有一个顶点，一个焦点，一条准线；准线；(4)、抛物线的离心率、抛物线的离心率e是确定的为是确定的为,、抛物线的通径长为、抛物线的通径长为2P,2p越大，抛物线的越大，抛物线的张口越大张口越大.例例1、已知抛物线关于、已知抛物线关于x轴对称，它轴对称，它的顶点在坐标原点，并且经过点的顶点在坐标原点，并且经过点M ,求它的标准方程求它的标准方程.解解:抛物线关于抛物线关于x轴对称轴对称,顶点顶点在坐标原点在坐标原点,经过点经过点M ,设它的标准方程为设它的标准方程为点点M在抛物线上在抛物线上,即即
6、p=2,所求抛物线方程是以所求抛物线方程是以y2=4x思考思考:顶点在坐标顶点在坐标原点，对称轴是原点，对称轴是坐标轴坐标轴,并且经过并且经过点点M 的抛的抛物线有几条物线有几条?求出求出它们的标准方程它们的标准方程.抛物线标准方程的抛物线标准方程的求法：求法：直接法、直接法、待定系数法待定系数法先定位、后定量先定位、后定量先定位先定位后定量后定量练习练习:求满足下列条件的抛物线的方程求满足下列条件的抛物线的方程（1）顶点在原点）顶点在原点,焦点是（焦点是（0,4）（2）顶点在原点，准线是）顶点在原点，准线是x4（3）焦点是）焦点是F(0,5),准线是准线是y5（4）顶点在原点）顶点在原点,焦
7、点在焦点在X轴上轴上,过点过点A(2，4)例例2.斜率为斜率为1的直线的直线 经过抛物线经过抛物线 的焦点的焦点F,且与抛物线相且与抛物线相交于交于A,B两点两点,求线段求线段AB的长的长.lFyxOAB例例2、斜率为、斜率为1的直线的直线 经过抛物线经过抛物线 的的焦点焦点F，且与抛物线相交于且与抛物线相交于A，B两点，求线两点，求线段段AB的长。的长。解解:由抛物线由抛物线 ,得得 焦焦点点F的坐标为的坐标为(1,0),由由(1)代入代入(2),得得,斜率为斜率为1的直线的直线 经过抛物线的焦点经过抛物线的焦点F,直线直线 的方程为的方程为由由由两点间的距离公式由两点间的距离公式,得得线段
8、线段AB的长为的长为8例例2.斜率为斜率为1的直线的直线 经过抛物线经过抛物线 的焦点的焦点F,且与抛物线相且与抛物线相交于交于A,B两点两点,求线段求线段AB的长的长.BAlFyxOAB求弦长一般要解方程组求弦长一般要解方程组,用韦达定理来求用韦达定理来求,若直线的斜率若直线的斜率为为k,则弦长公式为则弦长公式为|AB|=解解:由抛物线由抛物线 ,得得 焦焦点点F的坐标为的坐标为(1,0),由由(1)代入代入(2),得得,斜率为斜率为1的直线的直线 经过抛物线的焦点经过抛物线的焦点F,直线直线 的方程为的方程为由由设设A,B两点到准线的距离分别是两点到准线的距离分别是线段线段AB的长为的长为
9、8例例2.斜率为斜率为1的直线的直线 经过抛物线经过抛物线 的焦点的焦点F,且与抛物线相且与抛物线相交于交于A,B两点两点,求线段求线段AB的长的长.lFyxOAB抛物线上抛物线上 的点的点P(x0,y0)与焦点的连线通常称为与焦点的连线通常称为焦半径焦半径,焦半径的长等于焦半径的长等于焦点弦的长的求法焦点弦的长的求法:到焦点的距离转为到焦点的距离转为到准线的距离到准线的距离结论结论:求弦长一般要解方程组求弦长一般要解方程组,用韦达定理来求用韦达定理来求,若直线的斜率若直线的斜率为为 ,则弦长公式为则弦长公式为|AB|=过抛物线焦点的直线截得的过抛物线焦点的直线截得的弦称为弦称为焦点弦焦点弦抛
10、物线上的点与焦点的连线抛物线上的点与焦点的连线 段称为段称为焦半径焦半径，它的长转为到，它的长转为到 焦点的距离，焦点的距离，|PF|=|PF|=弦长弦长|AB|=|AF|+|BF|=设设A A，B B到准线的距离分别为到准线的距离分别为则由抛物线的定义，得则由抛物线的定义，得|AF|=|AF|=|BF|=|BF|=|AB|=|AF|+|BF|=|AB|=|AF|+|BF|=,设弦设弦AB所在直线的斜率为所在直线的斜率为解：由抛物线解：由抛物线，得，得焦点焦点F的坐标为（的坐标为（1，0），），方程为方程为准线方程为准线方程为变式练习变式练习:已知过抛物线已知过抛物线 的焦点的焦点F弦长为弦长
11、为36,求弦所在的直线方程求弦所在的直线方程，=36=36，=34=34，由由把把(1)(1)代入代入(2)(2)得得，即，即=34=34，弦所在的直线方程为弦所在的直线方程为小结小结:本节主要学习内容本节主要学习内容1、抛物线的简单几何性质的探究、抛物线的简单几何性质的探究2、根据抛物线的几何性质求抛物、根据抛物线的几何性质求抛物线的标准方程线的标准方程3、对焦半径公式的应用和焦点弦、对焦半径公式的应用和焦点弦的理解，在解题过程中必须明白的理解，在解题过程中必须明白数形结合数形结合的思想的重要性。的思想的重要性。范围范围对称性对称性顶点顶点离心率离心率抛物线标准方程的求法：抛物线标准方程的求
12、法：直接法、待定系数法直接法、待定系数法先定位、后定量先定位、后定量抛物线上抛物线上 的点的点(x0,y0)与焦点与焦点的连线通常称为焦半的连线通常称为焦半径径,焦半径的长等于焦半径的长等于焦点弦的长的求法焦点弦的长的求法:到焦点的距离转为到焦点的距离转为到准线的距离到准线的距离检测练习检测练习:1.1.根据下列条件根据下列条件,求抛物线的方程求抛物线的方程（1 1）顶点在原点，对称轴是）顶点在原点，对称轴是x x轴，轴，顶点到焦点的距离等于顶点到焦点的距离等于8 8（2 2）顶点在原点，焦点在）顶点在原点，焦点在y y轴轴 上上,且过且过P P（4 4，2 2）点）点（3 3）顶点在原点，焦
13、点在）顶点在原点，焦点在y y轴上，轴上，其上点其上点P P（m m，3 3）到焦点距离为）到焦点距离为5 5，(1)(2)(3)2.过抛物线过抛物线直线直线交抛物线于交抛物线于两点两点,如果如果那么那么（A）10（B）8（C）6（D）4的焦点作的焦点作为为()B3.3.过抛物线焦点过抛物线焦点F F的直线与抛物线的直线与抛物线交于交于A A、B B两点，若两点，若A A、B B在准线上的在准线上的射影是射影是A A1 1,B B1 1,则则A A1 1FBFB1 1等于等于4.4.抛物线顶点在原点，以坐标轴抛物线顶点在原点，以坐标轴为对称轴，过焦点且与为对称轴，过焦点且与y y轴垂直的轴垂直的弦长为弦长为1616，求抛物线方程，求抛物线方程901.若抛物线若抛物线 上上一点一点M到准线及对称轴的距离到准线及对称轴的距离分别是分别是10和和6,求点求点M的横坐标的横坐标和和p的值的值9,2或或1,18 思考题：思考题：
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