全国各地2014年中考数学试卷解析版分类汇编动态问题专题

动态问题 一、选择题 1. （2014•山东潍坊，第8题3分）如图，已知矩形ABCD的长AB为5，宽BC为4．E是BC边上的一个动点，AE⊥上EF,EF交CD于点F．设BE=x,FC=y，则点 E从点B运动到点C时，能表示y关于x的函数关系的大致图象是（ ） 考点：动点问题的函数图象． 分析：易证△ABE∽△ECF，根据相似比得出函数表达式，在判断图像. 解答：因为△ABE∽△ECF，则BE：CF=AB：EC，即x：y=5：（4－x）y， 整理，得y=－（x－2）2+， 很明显函数图象是开口向下、顶点坐标是（2，）的抛物线．对应A选项． 故选：A． 点评：此题考查了动点问题的函数图象，关键列出动点的函数关系，再判断选项． 2. （2014•山东烟台，第12题3分）如图，点P是▱ABCD边上一动点，沿A→D→C→B的路径移动，设P点（　　）经过的路径长为x，△BAP的面积是y，则下列能大致反映y与x的函数关系的图象是 A．B．C． D . 考点：平行四边形的性质，函数图象． 分析：分三段来考虑点P沿A→D运动，△BAP的面积逐渐变大；点P沿D→C移动，△BAP的面积不变；点P沿C→B的路径移动，△BAP的面积逐渐减小，据此选择即可． 解答：点P沿A→D运动，△BAP的面积逐渐变大；点P沿D→C移动，△BAP的面积不变； 点P沿C→B的路径移动，△BAP的面积逐渐减小．故选：A． 点评：本题主要考查了动点问题的函数图象．注意分段考虑． 3.（2014•甘肃兰州,第15题4分）如图，在平面直角坐标系中，四边形OBCD是边长为4的正方形，平行于对角线BD的直线l从O出发，沿x轴正方向以每秒1个单位长度的速度运动，运动到直线l与正方形没有交点为止．设直线l扫过正方形OBCD的面积为S，直线l运动的时间为t（秒），下列能反映S与t之间函数关系的图象是（　　） 　 A． B． C． D． 考点： 动点问题的函数图象． 分析： 根据三角形的面积即可求出S与t的函数关系式，根据函数关系式选择图象． 解答： 解：①当0≤t≤4时，S=×t×t=t2，即S=t2． 该函数图象是开口向上的抛物线的一部分． 故B、C错误； ②当4＜t≤8时，S=16﹣×（t﹣4）×（t﹣4）=t2，即S=﹣t2+4t+8． 该函数图象是开口向下的抛物线的一部分． 故A错误． 故选：D． 点评： 本题考查了动点问题的函数图象．本题以动态的形式考查了分类讨论的思想，函数的知识和等腰直角三角形，具有很强的综合性． 二、填空题 1. （2014•江苏徐州,第18题3分）如图①，在正方形ABCD中，点P沿边DA从点D开始向点A以1cm/s的速度移动；同时，点Q沿边AB、BC从点A开始向点C以2cm/s的速度移动．当点P移动到点A时，P、Q同时停止移动．设点P出发xs时，△PAQ的面积为ycm2，y与x的函数图象如图②，则线段EF所在的直线对应的函数关系式为　y=﹣3x+18　． 考点： 动点问题的函数图象． 分析： 根据从图②可以看出当Q点到B点时的面积为9，求出正方形的边长，再利用三角形的面积公式得出EF所在的直线对应的函数关系式． 解答： 解：∵点P沿边DA从点D开始向点A以1cm/s的速度移动；点Q沿边AB、BC从点A开始向点C以2cm/s的速度移动． ∴当P点到AD的中点时，Q到B点， 从图②可以看出当Q点到B点时的面积为9， ∴9=×（AD）•AB， ∵AD=AB， ∴AD=6，即正方形的边长为6， 当Q点在BC上时，AP=6﹣x，△APQ的高为AB， ∴y=（6﹣x）×6，即y=﹣3x+18． 故答案为：y=﹣3x+18． 点评： 本题主要考查了动点函数的图象，解决本题的关键是求出正方形的边长． 三、解答题 1. （2014•四川巴中，第31题12分）如图，在平面直角坐标系xOy中，抛物线y=ax2+bx﹣4与x轴交于点A（﹣2，0）和点B，与y轴交于点C，直线x=1是该抛物线的对称轴． （1）求抛物线的解析式； （2）若两动点M，H分别从点A，B以每秒1个单位长度的速度沿x轴同时出发相向而行，当点M到达原点时，点H立刻掉头并以每秒个单位长度的速度向点B方向移动，当点M到达抛物线的对称轴时，两点停止运动，经过点M的直线l⊥x轴，交AC或BC于点P，设点M的运动时间为t秒（t＞0）．求点M的运动时间t与△APH的面积S的函数关系式，并求出S的最大值． 考点：二次函数综合题． 分析：（1）根据抛物线y=ax2+bx﹣4与x轴交于点A（﹣2，0），直线x=1是该抛物线的对称轴，得到方程组，解方程组即可求出抛物线的解析式； （2）由于点M到达抛物线的对称轴时需要3秒，所以t≤3，又当点M到达原点时需要2秒，且此时点H立刻掉头，所以可分两种情况进行讨论：①当0＜t≤2时，由△AMP∽△AOC，得出比例式，求出PM，AH，根据三角形的面积公式求出即可；②当2＜t≤3时，过点P作PM⊥x轴于M，PF⊥y轴于点F，表示出三角形APH的面积，利用配方法求出最值即可． 解答：（1）∵抛物线y=ax2+bx﹣4与x轴交于点A（﹣2，0），直线x=1是该抛物线的对称轴， ∴，解得：，∴抛物线的解析式是：y=x2﹣x﹣4， （2）分两种情况： ①当0＜t≤2时，∵PM∥OC，∴△AMP∽△AOC， ∴=，即=，∴PM=2t． 解方程x2﹣x﹣4=0，得x1=﹣2，x2=4， ∵A（﹣2，0），∴B（4，0），∴AB=4﹣（﹣2）=6． ∵AH=AB﹣BH=6﹣t， ∴S=PM•AH=×2t（6﹣t）=﹣t2+6t=﹣（t﹣3）2+9， 当t=2时S的最大值为8； ②当2＜t≤3时，过点P作PM⊥x轴于M，作PF⊥y轴于点F，则△COB∽△CFP， 又∵CO=OB， ∴FP=FC=t﹣2，PM=4﹣（t﹣2）=6﹣t，AH=4+（t﹣2）=t+1， ∴S=PM•AH=（6﹣t）（t+1）=﹣t2+4t+3=﹣（t﹣）2+， 当t=时，S最大值为． 综上所述，点M的运动时间t与△APQ面积S的函数关系式是S=，S的最大值为． 点评：本题是二次函数的综合题型，其中涉及到运用待定系数法求二次函数的解析式，三角形的面积，二次函数的最值等知识，综合性较强，难度适中．运用数形结合、分类讨论及方程思想是解题的关键． 2．（2014•湖南怀化，第24题，10分）如图1，在平面直角坐标系中，AB=OB=8，∠ABO=90°，∠yOC=45°，射线OC以每秒2个单位长度的速度向右平行移动，当射线OC经过点B时停止运动，设平行移动x秒后，射线OC扫过Rt△ABO的面积为y． （1）求y与x之间的函数关系式； （2）当x=3秒时，射线OC平行移动到O′C′，与OA相交于G，如图2，求经过G，O，B三点的抛物线的解析式； （3）现有一动点P在（2）中的抛物线上，试问点P在运动过程中，是否存在三角形POB的面积S=8的情况？若存在，求出点P的坐标，若不存在，请说明理由． 考点： 二次函数综合题 专题： 压轴题． 分析： （1）判断出△ABO是等腰直角三角形，根据等腰直角三角形的性质可得∠AOB=45°，然后求出AO⊥CO，再根据平移的性质可得AO⊥C′O′，从而判断出△OO′G是等腰直角三角形，然后根据等腰直角三角形的性质列式整理即可得解； （2）求出OO′，再根据等腰直角三角形的性质求出点G的坐标，然后设抛物线解析式为y=ax2+bx，再把点B、G的坐标代入，利用待定系数法求二次函数解析式解答； （3）设点P到x轴的距离为h，利用三角形的面积公式求出h，再分点P在x轴上方和下方两种情况，利用抛物线解析式求解即可． 解答： 解：（1）∵AB=OB，∠ABO=90°， ∴△ABO是等腰直角三角形， ∴∠AOB=45°， ∵∠yOC=45°， ∴∠AOC=（90°﹣45°）+45°=90°， ∴AO⊥CO， ∵C′O′是CO平移得到， ∴AO⊥C′O′， ∴△OO′G是等腰直角三角形， ∵射线OC的速度是每秒2个单位长度， ∴OO′=2x， ∴y=×（2x）2=2x2； （2）当x=3秒时，OO′=2×3=6， ∵×6=3， ∴点G的坐标为（3，3）， 设抛物线解析式为y=ax2+bx， 则， 解得， ∴抛物线的解析式为y=﹣x2+x； （3）设点P到x轴的距离为h， 则S△POB=×8h=8， 解得h=2， 当点P在x轴上方时，﹣ x2+x=2， 整理得，x2﹣8x+10=0， 解得x1=4﹣，x2=4+， 此时，点P的坐标为（4﹣，2）或（4+，2）； 当点P在x轴下方时，﹣ x2+x=﹣2， 整理得，x2﹣8x﹣10=0， 解得x1=4﹣，x2=4+， 此时，点P的坐标为（4﹣，﹣2）或（4+，﹣2）， 综上所述，点P的坐标为（4﹣，2）或（4+，2）或（4﹣，﹣2）或（4+，﹣2）时，△POB的面积S=8． 点评： 本题是二次函数综合题型，主要利用了等腰直角三角形的判定与性质，待定系数法求二次函数解析式，三角形的面积，二次函数图象上点的坐标特征，（3）要注意分情况讨论． 3．（2014•湖南张家界，第25题，12分）如图，在平面直角坐标系中，O为坐标原点，抛物线y=ax2+bx+c（a≠0）过O、B、C三点，B、C坐标分别为（10，0）和（，﹣），以OB为直径的⊙A经过C点，直线l垂直x轴于B点． （1）求直线BC的解析式； （2）求抛物线解析式及顶点坐标； （3）点M是⊙A上一动点（不同于O，B），过点M作⊙A的切线，交y轴于点E，交直线l于点F，设线段ME长为m，MF长为n，请猜想m•n的值，并证明你的结论； （4）若点P从O出发，以每秒一个单位的速度向点B作直线运动，点Q同时从B出发，以相同速度向点C作直线运动，经过t（0＜t≤8）秒时恰好使△BPQ为等腰三角形，请求出满足条件的t值． 考点： 二次函数综合题． 分析： （1）用待定系数法即可求得； （2）应用待定系数法以及顶点公式即可求得； （3）连接AE、AM、AF，则AM⊥EF，证得Rt△AOE≌RT△AME，求得∠OAE=∠MAE，同理证得∠BAF=∠MAF，进而求得∠EAF=90°，然后根据射影定理即可求得． （4）分三种情况分别讨论，①当PQ=BQ时，作QH⊥PB，根据直线BC的斜率可知HB：BQ=4：5；即可求得，②当PB=QB时，则10﹣t=t即可求得，③当PQ=PB时，作QH⊥OB，根据勾股定理即可求得． 解答： 解：（1）设直线BC的解析式为y=kx+b， ∵直线BC经过B、C， ∴， 解得：， ∴直线BC的解析式为；y=x﹣． （2）∵抛物线y=ax2+bx+c（a≠0）过O、B、C三点，B、C坐标分别为（10，0）和（，﹣）， ∴， 解得， ∴抛物线的解析式为：y=x2﹣x； ∴x=﹣=﹣=5，y=x2﹣x=×52﹣×5=﹣， ∴顶点坐标为（5，﹣）； （3）m•n=25； 如图2，连接AE、AM、AF，则AM⊥EF， 在RT△AOE与RT△AME中 ∴Rt△AOE≌RT△AME（HL）， ∴∠OAE=∠MAE， 同理可证∠BAF=∠MAF， ∴∠EAF=90°， 在RT△EAF中，根据射影定理得AM2=EM•FM， ∵AM=OB=5，ME=m，MF=n， ∴m•n=25； （4）如图3．有三种情况； ①当PQ=BQ时，作QH⊥PB， ∵直线BC的斜率为，∴HQ：BQ=3：5，HB：BQ=4：5； ∵HB=（10﹣t）×，BQ=t， ∴=， 解得；t=， ②当PB=QB时，则10﹣t=t， 解得t=5， ③当PQ=PB时，作QH⊥OB，则PQ=PB=10﹣t，BQ=t，HP=t﹣（10﹣t），QH=t； ∵PQ2=PH2+QH2， ∴（10﹣t）2=【t﹣（10﹣t）]2+（t）2； 解得t=． 点评： 本题考查了待定系数法求解析式，顶点坐标的求法，圆的切线的性质，数形结合分类讨论是本题的关键． 　 4. (2014年贵州黔东南24．（14分）)如图，直线y=x+2与抛物线y=ax2+bx+6（a≠0）相交于A（，）和B（4，m），点P是线段AB上异于A、B的动点，过点P作PC⊥x轴于点D，交抛物线于点C． （1）求抛物线的解析式； （2）是否存在这样的P点，使线段PC的长有最大值，若存在，求出这个最大值；若不存在，请说明理由； （3）求△PAC为直角三角形时点P的坐标． 考点： 二次函数综合题． 分析： （1）已知B（4，m）在直线y=x+2上，可求得m的值，抛物线图象上的A、B两点坐标，可将其代入抛物线的解析式中，通过联立方程组即可求得待定系数的值． （2）要弄清PC的长，实际是直线AB与抛物线函数值的差．可设出P点横坐标，根据直线AB和抛物线的解析式表示出P、C的纵坐标，进而得到关于PC与P点横坐标的函数关系式，根据函数的性质即可求出PC的最大值． （3）根据直线AB的解析式，可求得直线AC的解析式y=﹣x+b，已知了点A的坐标，即可求得直线AC的解析式，联立抛物线的解析式，可求得C点的坐标； 解答： 解：（1）∵B（4，m）在直线线y=x+2上， ∴m=4+2=6， ∴B（4，6）， ∵A（，）、B（4，6）在抛物线y=ax2+bx﹣4上， ∴， ∵c=6， ∴a=2，b=﹣8， ∴y=2x2﹣8x+6． （2）设动点P的坐标为（n，n+2），则C点的坐标为（n，2n2﹣8n+6）， ∴PC=（n+2）﹣（2n2﹣8n+6）， =﹣2n2+9n﹣4， =﹣2（n﹣）2+， ∵PC＞0， ∴当n=时，线段PC最大且为． （3）设直线AC的解析式为y=﹣x+b， 把A（，）代入得： =﹣+b，解得：b=3， ∴直线AC解析式：y=﹣x+3， 点C在抛物线上，设C（m，2m2﹣8m+6），代入y=﹣x+3得：2m2﹣8m+6=﹣m+3， 整理得：2m2﹣7m+3=0， 解得；m=3或m=， ∴P（3，0）或P（，）． 点评： 此题主要考查了二次函数解析式的确定、二次函数最值的应用以及直角三角形的判定、函数图象交点坐标的求法等知识； 　 5.（2014•十堰）25．（12分）已知抛物线C1：y=a（x+1）2﹣2的顶点为A，且经过点B（﹣2，﹣1）． （1）求A点的坐标和抛物线C1的解析式； （2）如图1，将抛物线C1向下平移2个单位后得到抛物线C2，且抛物线C2与直线AB相交于C，D两点，求S△OAC：S△OAD的值； （3）如图2，若过P（﹣4，0），Q（0，2）的直线为l，点E在（2）中抛物线C2对称轴右侧部分（含顶点）运动，直线m过点C和点E．问：是否存在直线m，使直线l，m与x轴围成的三角形和直线l，m与y轴围成的三角形相似？若存在，求出直线m的解析式；若不存在，说明理由． 考点： 二次函数综合题；待定系数法求一次函数解析式；待定系数法求二次函数解析式；相似三角形的判定与性质；锐角三角函数的增减性． 专题： 压轴题；存在型． 分析： （1）由抛物线的顶点式易得顶点A坐标，把点B的坐标代入抛物线的解析式即可解决问题． （2）根据平移法则求出抛物线C2的解析式，用待定系数法求出直线AB的解析式，再通过解方程组求出抛物线C2与直线AB的交点C、D的坐标，就可以求出S△OAC：S△OAD的值． （3）设直线m与y轴交于点G，直线l，m与x轴围成的三角形和直线l，m与y轴围成的三角形形状、位置随着点G的变化而变化，故需对点G的位置进行讨论，借助于相似三角形的判定与性质、三角函数的增减性等知识求出符合条件的点G的坐标，从而求出相应的直线m的解析式． 解答： 解：（1）∵抛物线C1：y=a（x+1）2﹣2的顶点为A， ∴点A的坐标为（﹣1，﹣2）． ∵抛物线C1：y=a（x+1）2﹣2经过点B（﹣2，﹣1）， ∴a（﹣2+1）2﹣2=﹣1． 解得：a=1． ∴抛物线C1的解析式为：y=（x+1）2﹣2． （2）∵抛物线C2是由抛物线C1向下平移2个单位所得， ∴抛物线C2的解析式为：y=（x+1）2﹣2﹣2=（x+1）2﹣4． 设直线AB的解析式为y=kx+b． ∵A（﹣1，﹣2），B（﹣2，﹣1）， ∴ 解得： ∴直线AB的解析式为y=﹣x﹣3． 联立 解得：或． ∴C（﹣3，0），D（0，﹣3）． ∴OC=3，OD=3． 过点A作AE⊥x轴，垂足为E， 过点A作AF⊥y轴，垂足为F， ∵A（﹣1，﹣2）， ∴AF=1，AE=2． ∴S△OAC：S△OAD =（OC•AE）：（OD•AF） =（×3×2）：（×3×1） =2． ∴S△OAC：S△OAD的值为2． （3）设直线m与y轴交于点G，与直线l交于点H， 设点G的坐标为（0，t） 当m∥l时，CG∥PQ． ∴△OCG∽△OPQ． ∴=． ∵P（﹣4，0），Q（0，2）， ∴OP=4，OQ=2， ∴=． ∴OG=． ∴t=时，直线l，m与x轴不能构成三角形． ∵t=0时，直线m与x轴重合， ∴直线l，m与x轴不能构成三角形． ∴t≠0且t≠． ①t＜0时，如图2①所示． ∵∠PHC＞∠PQG，∠PHC＞∠QGH， ∴∠PHC≠∠PQG，∠PHC≠∠QGH． 当∠PHC=∠GHQ时， ∵∠PHC+∠GHQ=180°， ∴∠PHC=∠GHQ=90°． ∵∠POQ=90°， ∴∠HPC=90°﹣∠PQO=∠HGQ． ∴△PHC∽△GHQ． ∵∠QPO=∠OGC， ∴tan∠QPO=tan∠OGC． ∴=． ∴=． ∴OG=6． ∴点G的坐标为（0，﹣6） 设直线m的解析式为y=mx+n， ∵点C（﹣3，0），点G（0，﹣6）在直线m上， ∴． 解得：． ∴直线m的解析式为y=﹣2x﹣6， 联立， 解得：或 ∴E（﹣1，﹣4）． 此时点E在顶点，符合条件． ∴直线m的解析式为y=﹣2x﹣6． ②O＜t＜时，如图2②所示， ∵tan∠GCO==＜， tan∠PQO===2， ∴tan∠GCO≠tan∠PQO． ∴∠GCO≠∠PQO． ∵∠GCO=∠PCH， ∴∠PCH≠∠PQO． 又∵∠HPC＞∠PQO， ∴△PHC与△GHQ不相似． ∴符合条件的直线m不存在． ③＜t≤2时，如图2③所示． ∵tan∠CGO==≥， tan∠QPO===． ∴tan∠CGO≠tan∠QPO． ∴∠CGO≠∠QPO． ∵∠CGO=∠QGH， ∴∠QGH≠∠QPO， 又∵∠HQG＞∠QPO， ∴△PHC与△GHQ不相似． ∴符合条件的直线m不存在． ④t＞2时，如图2④所示． 此时点E在对称轴的右侧． ∵∠PCH＞∠CGO， ∴∠PCH≠∠CGO． 当∠QPC=∠CGO时， ∵∠PHC=∠QHG，∠HPC=∠HGQ， ∴△PCH∽△GQH． ∴符合条件的直线m存在． ∵∠QPO=∠CGO，∠POQ=∠GOC=90°， ∴△POQ∽△GOC． ∴=． ∴=． ∴OG=6． ∴点G的坐标为（0，6）． 设直线m的解析式为y=px+q ∵点C（﹣3，0）、点G（0，6）在直线m上， ∴． 解得：． ∴直线m的解析式为y=2x+6． 综上所述：存在直线m，使直线l，m与x轴围成的三角形和直线l，m与y轴围成的三角形相似， 此时直线m的解析式为y=﹣2x﹣6和y=2x+6． 点评： 本题考查了二次函数的有关知识，考查了三角形相似的判定与性质、三角函数的定义及增减性等知识，考查了用待定系数法求二次函数及一次函数的解析式，考查了通过解方程组求两个函数图象的交点，强化了对运算能力、批判意识、分类讨论思想的考查，具有较强的综合性，有一定的难度． 6.（2014•娄底26．（10分））如图，抛物线y=x2+mx+（m﹣1）与x轴交于点A（x1，0），B（x2，0），x1＜x2，与y轴交于点C（0，c），且满足x12+x22+x1x2=7． （1）求抛物线的解析式； （2）在抛物线上能不能找到一点P，使∠POC=∠PCO？若能，请求出点P的坐标；若不能，请说明理由． 考点： 二次函数综合题． 分析： （1）利用根与系数的关系，等式x12+x22+x1x2=7．由一元二次方程根与系数的关系，得x1+x2=﹣m，x1x2=m﹣1．代入等式，即可求得m的值，从而求得解析式． （2）根据线段的垂直平分线上的点到两端点的距离相等，求得P点的纵坐标，代入抛物线的解析式即可求得． 解答： 解（1）依题意：x1+x2=﹣m，x1x2=m﹣1， ∵x1+x2+x1x2=7， ∴（x1+x2）2﹣x1x2=7， ∴（﹣m）2﹣（m﹣1）=7， 即m2﹣m﹣6=0， 解得m1=﹣2，m2=3， ∵c=m﹣1＜0，∴m=3不合题意 ∴m=﹣2 抛物线的解析式是y=x2﹣2x﹣3； （2）能 如图，设p是抛物线上的一点，连接PO，PC，过点P作y轴的垂线，垂足为D． 若∠POC=∠PCO 则PD应是线段OC的垂直平分线 ∵C的坐标为（0，﹣3） ∴D的坐标为（0，﹣） ∴P的纵坐标应是﹣ 令x2﹣2x﹣3=，解得，x1=，x2= 因此所求点P的坐标是（，﹣），（，﹣） 点评： 本题考查了根与系数的关系是：x1+x2=﹣，x1x2=，以及线段的垂直平分线的性质，函数图象交点坐标的求法等知识． 　 7.（2014•娄底27．（10分））如图甲，在△ABC中，∠ACB=90°，AC=4cm，BC=3cm．如果点P由点B出发沿BA方向向点A匀速运动，同时点Q由点A出发沿AC方向向点C匀速运动，它们的速度均为1cm/s．连接PQ，设运动时间为t（s）（0＜t＜4），解答下列问题： （1）设△APQ的面积为S，当t为何值时，S取得最大值？S的最大值是多少？ （2）如图乙，连接PC，将△PQC沿QC翻折，得到四边形PQP′C，当四边形PQP′C为菱形时，求t的值；′ （3）当t为何值时，△APQ是等腰三角形？ 考点： 相似形综合题 分析： （1）过点P作PH⊥AC于H，由△APH∽△ABC，得出=，从而求出AB，再根据=，得出PH=3﹣t，则△AQP的面积为： AQ•PH=t（3﹣t），最后进行整理即可得出答案； （2）连接PP′交QC于E，当四边形PQP′C为菱形时，得出△APE∽△ABC，=，求出AE=﹣t+4，再根据QE=AE﹣AQ，QE=QC得出﹣t+4=﹣t+2，再求t即可； （3）由（1）知，PD=﹣t+3，与（2）同理得：QD=﹣t+4，从而求出PQ=， 在△APQ中，分三种情况讨论：①当AQ=AP，即t=5﹣t，②当PQ=AQ，即=t，③当PQ=AP，即=5﹣t，再分别计算即可． 解答： 解：（1）如图甲，过点P作PH⊥AC于H， ∵∠C=90°， ∴AC⊥BC， ∴PH∥BC， ∴△APH∽△ABC， ∴=， ∵AC=4cm，BC=3cm， ∴AB=5cm， ∴=， ∴PH=3﹣t， ∴△AQP的面积为： S=×AQ×PH=×t×（3﹣t）=﹣（t﹣）2+， ∴当t为秒时，S最大值为cm2． （2）如图乙，连接PP′，PP′交QC于E， 当四边形PQP′C为菱形时，PE垂直平分QC，即PE⊥AC，QE=EC， ∴△APE∽△ABC， ∴=， ∴AE===﹣t+4 QE=AE﹣AQ═﹣t+4﹣t=﹣t+4， QE=QC=（4﹣t）=﹣t+2， ∴﹣t+4=﹣t+2， 解得：t=， ∵0＜＜4， ∴当四边形PQP′C为菱形时，t的值是s； （3）由（1）知， PD=﹣t+3，与（2）同理得：QD=AD﹣AQ=﹣t+4 ∴PQ===， 在△APQ中， ①当AQ=AP，即t=5﹣t时，解得：t1=； ②当PQ=AQ，即=t时，解得：t2=，t3=5； ③当PQ=AP，即=5﹣t时，解得：t4=0，t5=； ∵0＜t＜4， ∴t3=5，t4=0不合题意，舍去， ∴当t为s或s或s时，△APQ是等腰三角形． 点评： 此题主要考查了相似形综合，用到的知识点是相似三角形的判定与性质、勾股定理、三角形的面积公式以及二次函数的最值问题，关键是根据题意做出辅助线，利用数形结合思想进行解答． 　 8. ( 2014年河南) (11分）如图，抛物线y=－x2+bx+c与x轴交于A(－1,0),B(5,0）两点，直线y=－x+3与y轴交于点C，，与x轴交于点D.点P是x轴上方的抛物线上一动点，过点P作PF⊥x轴于点F，交直线CD于点E.设点P的横坐标为m。 （1）求抛物线的解析式； （2）若PE =5EF,求m的值； （3）若点E/是点E关于直线PC的对称点、是否存在点P，使点E/落在y轴上？若存在，请直接写出相应的点P的坐标；若不存在，请说明理由。 解：(1)∵抛物线y=－x2+bx+c与x轴交于A (－1,0) , B(5,0)两点， ∴ ∴ ∴抛物线的解析式为y=－x2+4x+5．………3分 （2）点P横坐标为m， 则P(m,－m2＋4m＋5）,E(m,－m+3)，F(m,0), ∵点P在x轴上方，要使PE=5EF,点P应在y轴右侧，∴ 0＜m＜5. PE=－m2＋4m＋5－(－m＋3)= －m2＋m＋2……4分 分两种情况讨论： ①当点E在点F上方时，EF=－m＋3. ∵PE=5EF，∴－m2＋m＋2=5(－m＋3) 即2m2－17m＋26=0，解得m1=2，m2=（舍去）……………6分 ②当点E在点F下方时，EF=m－3. ∵PE=5EF，∴－m2＋m＋2=5(m－3)， 即m2－m－17=0，解得m3=，m4=（舍去）， ∴m的值为2或……………………………………………8分 (3),点P的坐标为P1(－，),P2(4，5), P3(3－，2－3).………11分 【提示】∵E和E/关于直线PC对称，∴∠E/CP=∠ECP; 又∵PE∥y轴，∴∠EPC=∠E/CP=∠PCE, ∴PE=EC, 又∵CE＝CE/，∴．四边形PECE/为菱形． 过点E作EM⊥y轴于点M,∴△CME∽△COD，∴CE=. ∵PE=CE,∴－m2＋m＋2=m或－m2＋m＋2=－m， 解得m1=－，m2=4， m3=3－，m4=3+（舍去） 可求得点P的坐标为P1(－，),P2(4，5), P3(3－，2－3)。 9．（2014•福建福州,第21题13分）如图1，点O在线段AB上，AO=2，OB=1， OC为射线，且∠BOC=60°. 动点P以每秒2个单位长度的速度从点O出发，沿射线OC做匀速运动. 设运动时间为t秒. （1）当时，则OP= ▲ ， ▲ ； （2）当△ABP是直角三角形时，求t的值； （3）如图2，当AP=AB时，过点A作AQ∥BP，并使得∠QOP=∠B，求证：. 【答案】（1）1，；（2）1秒或秒；（3）证明见解析 【解析】 （3）∵AP=AB，∴∠APB=∠B. 考点：1.单动点问题；2. 锐角三角函数定义；3.特殊角的三角函数值；4.相似三角形的判定和性质；5.分类思想的应用.