材料力学第九讲辽宁工业大学郭鹏飞教授

上次课回顾：上次课回顾：1、弯曲的概念、弯曲的概念2、弯曲内力：剪力、弯矩、弯曲内力：剪力、弯矩3、剪力方程、弯矩方程；剪力图，弯矩图、剪力方程、弯矩方程；剪力图，弯矩图剪力值剪力值=截面左侧（或右侧）所有外力的代数和截面左侧（或右侧）所有外力的代数和弯矩值弯矩值=截面左侧（或右侧）所有外力对该截面左侧（或右侧）所有外力对该截面形心的力矩代数和截面形心的力矩代数和左上右下为正左上右下为正左顺右逆为正左顺右逆为正1aaqaqAx2、弯矩、剪力与分布荷载集度之间的关系及其应用、弯矩、剪力与分布荷载集度之间的关系及其应用略去略去mmnnmmCnnq(x)FS(x)M(x)M(x)+dM(x)OF yxMe q(x)xdxFS(x)+dFS(x)3q(x)、FS(x)、M(x)间的微分关系间的微分关系其中分布荷载集度其中分布荷载集度 q(x)以向上为正，向下为负。以向上为正，向下为负。OF yxMe q(x)4剪力、弯矩与外力间的关系剪力、弯矩与外力间的关系外外力力无外力段均布载荷段集中力集中力偶q=0q0q0FS 0 x斜直线增函数xx降函数xC自左向右突变xC无变化斜直线xM增函数xM降函数曲线xM坟状xM盆状自左向右折角自左向右突变与m反xM折向与F反向MxM1M25利用以上特征利用以上特征1、可以校核已作出的剪力图和弯矩图是否正确；、可以校核已作出的剪力图和弯矩图是否正确；2、可以不建立剪力方程和弯矩方程，利用微分关、可以不建立剪力方程和弯矩方程，利用微分关系直接绘制剪力图和弯矩图。系直接绘制剪力图和弯矩图。利用微分关系直接绘制剪力图和弯矩图的步骤：利用微分关系直接绘制剪力图和弯矩图的步骤：1求支座反力；求支座反力；2分段确定剪力图和弯矩图的形状；分段确定剪力图和弯矩图的形状；3计计算算控控制制截截面面内内力力值值，根根据据微微分分关关系系绘绘剪剪力力图图和弯矩图；和弯矩图；4确定确定 和和 。6例例5-8 5-8 试利用弯矩、剪力与分布荷载集试利用弯矩、剪力与分布荷载集度间的微分关系作图示梁的剪力图和度间的微分关系作图示梁的剪力图和弯矩图。弯矩图。解:利用内力和外力的关系及特殊点的内力值来作图。aaqaqA7aaqaqA左端点：左端点：分区点分区点A：右端点：右端点：FSxqa2qaxM8B3aACMe=3qa2axq例例5-95-9试利用弯矩、剪力与分布荷载集度间的微分试利用弯矩、剪力与分布荷载集度间的微分关系作图示梁的剪力图和弯矩图。关系作图示梁的剪力图和弯矩图。9解：解：1 1、支反力为、支反力为FAFBB3aACMe=3qa2axq10AC段：段：q=0 剪力图为水平直线剪力图为水平直线剪力值剪力值2 2、作剪力图、作剪力图FS5qa/3xqa/38a/3xFAFBB3aACMe=3qa2axqCB段：段：q=常量常量0 剪力图为向右下方剪力图为向右下方倾斜的斜直线倾斜的斜直线113、作弯矩图、作弯矩图AC段段弯矩图弯矩图斜直线斜直线CB段段弯矩图弯矩图二次抛二次抛物线物线B3aACMe=3qa2axqMx4qa2/35qa2/3qa2/18（+）12FS5qa/3xqa/38a/3Mx4qa2/3qa2/185qa2/3（+）13例例5-10 5-10 试绘出图示有中间铰的静定梁的剪力弯矩图。试绘出图示有中间铰的静定梁的剪力弯矩图。已知：已知：(逆时针逆时针)1m0.5m1m3m1mBACDKEq=20kN/mMe=5kNmF=50kNMA FAx FAyFBy1496.515.53155345M图图(kNm)813129Fs图图(kN)1.45 m1m0.5m1m3m1mBACDKEq=20kN/mMe=5kNmF=50kNMA FAx FAyFBy15例例4-11 改内力图之错。a2aaqqa2ABFSxxM+qa/4qa/43qa/47qa/4qa2/449qa2/323qa2/25qa2/416 IV.按叠加原理作弯矩图按叠加原理作弯矩图叠加原理：多个载荷同时作用于结构而引起的内力等于每个载荷单独作用于结构而引起的内力的代数和。适用条件：所求参数（内力、应力、位移）必然与荷载满足线性关系。即在弹性限度内满足虎克定律。17按叠加原理作弯矩图步骤：按叠加原理作弯矩图步骤：分别作出各项荷载单独作用下梁的弯矩图；将其相应的纵坐标叠加即可（注意：不是图形的简单拼凑）。18例例4-12 4-12 按叠加原理作弯矩图(AB=2a，力F作用在梁AB的中点处）。qqFF=+AAABBBxM2xM1xM+=+194-3 4-3 平面刚架和曲杆的内力图平面刚架和曲杆的内力图、平面刚架平面刚架 由同一平面内不同取向的杆件相由同一平面内不同取向的杆件相互间刚性连接的结构。互间刚性连接的结构。面内受力时，平面刚架杆件的内力有：轴力、面内受力时，平面刚架杆件的内力有：轴力、剪力、弯矩剪力、弯矩20作刚架内力图的约定：作刚架内力图的约定：弯矩图：画在各杆的受拉一侧，不注明正、负号；弯矩图：画在各杆的受拉一侧，不注明正、负号；剪剪力力图图及及轴轴力力图图：可可画画在在刚刚架架轴轴线线的的任任一一侧侧，但但应应注明正、负号；注明正、负号；剪力和轴力的正、负规定仍与前面章节一致。剪力和轴力的正、负规定仍与前面章节一致。21例例5-13 试作图示刚架的内力图。试作图示刚架的内力图。解：从自由端取分离体作为解：从自由端取分离体作为研究对象写各段的内力方程，研究对象写各段的内力方程，可不求固定端可不求固定端A处的支反力。处的支反力。CB段：段：(外侧受拉外侧受拉)yxqF=2qa BCA2aa2aDFS(x)M(x)Cqx22(外侧受拉外侧受拉)BD段：段：(外侧受拉外侧受拉)DA段：段：F=2qa BCay2aDqFS(x)M(x)qBCy2aFS(x)M(x)FN(y)FN(y)23可取刚性结点可取刚性结点B为分离体，为分离体，考察该结点是考察该结点是否满足平衡条否满足平衡条件来校核内力件来校核内力图的正误。图的正误。F=2qa BCA2aa2aDq2qa2qa26qa22qa2qaFN图FS图M图24、平面曲杆、平面曲杆面内受力时的内力面内受力时的内力轴力、剪力、弯矩轴力、剪力、弯矩弯矩的符号约定弯矩的符号约定使杆的曲率增加（即外侧受拉）使杆的曲率增加（即外侧受拉）为正为正作平面曲杆内力图的约定与刚架相同。作平面曲杆内力图的约定与刚架相同。AOBmmRjF 25例例5-14 一端固定的四分之一圆环，半径为一端固定的四分之一圆环，半径为R，在自，在自由端由端B受轴线平面内的集中荷载受轴线平面内的集中荷载F作用如图，试作出作用如图，试作出其内力图。其内力图。解：取分离体如图写出其任意横截面解：取分离体如图写出其任意横截面m-m上的内力上的内力方程：方程：AOBmmRjF CFOjhzFN(j)FS(j)M(j)26根据内力方程绘出内力图，如图所示。根据内力方程绘出内力图，如图所示。AOBmmRjF BAFFN图FRABM图AF BFS图27练习题：练习题：作图示梁的剪力图和弯矩图作图示梁的剪力图和弯矩图 283kN5kN2kN(+)(+)(-)(+)(-)4kN.m2.25kN.m29作业：作业：4-3(b),(h)4-4(a)4-15(a)4-18(b)30