第5讲-矩阵的运算

4 4、矩阵的转置、矩阵的转置5 5、方阵的行列式、方阵的行列式1 1、矩阵的加法、矩阵的加法,减法减法2 2、矩阵的数乘、矩阵的数乘三、三、矩阵的运算矩阵的运算3 3、矩阵与矩阵相乘、矩阵与矩阵相乘6 6、方阵的伴随矩阵、方阵的伴随矩阵第五讲第五讲 矩阵的定义及运算矩阵的定义及运算一、矩阵的定义一、矩阵的定义7 7、方阵的逆矩阵、方阵的逆矩阵二、几种特殊的矩阵二、几种特殊的矩阵 (1)ABBA (3)AB=OA=O或B=O/(2)AC=BCA=B/1 1、矩阵乘法性质除下列几条外，其余和实数的乘法矩阵乘法性质除下列几条外，其余和实数的乘法性质相同性质相同 (4)A2=OA=O/乘法一般不满足交换律乘法一般不满足交换律A左乘左乘B，右乘，右乘乘法一般不满足消去律乘法一般不满足消去律相同的运算律P33CO 例:三、矩阵与矩阵相乘三、矩阵与矩阵相乘10 0010 001E=2 2、单位矩阵性质、单位矩阵性质ImAm n=Am nAm nEn=Am n 单位阵与任意矩阵相乘单位阵与任意矩阵相乘(只要有意义只要有意义)结果不变结果不变类似于数类似于数1在数的乘法中的作用。在数的乘法中的作用。EA=AE=A注意E阶数3、方阵的幂：、方阵的幂：对于对于方阵方阵A及自然数及自然数k 记记 Ak=A A A (k个个A相乘相乘)只有方阵只有方阵才能才能自乘自乘规定规定0()n nnAE=性质性质：(1)ArAs=Ar+s(2)(Ar)s=Ars22222()()2 ()()kkkABA BABAABBABABAB=+=+=+=+=思考：思考：下列等式在什么时候成立？下列等式在什么时候成立？A、B可交换时成立可交换时成立AB=BA4、方阵的多项式：、方阵的多项式：设为x的m次多项式，则称10()mmf xa xa xa=+10()mmf Aa Aa Aa E=+()f A为方阵A的m次多项式。例：已知f(x)=x2x2，A=，求f(A)3 1 2 1 1 0 3 1 1 f(A)=22AAE 解解：3 1 2 1 1 0 3 1 1 2 3 1 2 1 1 0 3 1 1 0 2 0 0 0 2 2 0 0 14 2 5 0 0 1 13 3 5=3 1 2 1 1 0 3 1 1 0 2 0 0 0 2 2 0 0 11 -1 3 1 1 1 3 8 2 4=已知f(x)=x2x2，A=，求f(A)3 1 2 1 1 0 3 1 1 f(A)=22AAE=例：已知f(A)=()5AAE=+2AE(A)()()()?f Af AA=4、方阵的多项式：、方阵的多项式：性质性质：(2)(2)A的几个多项式可像数x x的多项式一样相乘或分解因式 (A)()()()f Af AA=（1)1)22AAE(A 2E)(A E)=+(A 3E)(A 2E)+=26AAE若A A为n n阶方阵，则也为n n阶方阵()f A 设为x的m次多项式，则称10()mmf xa xa xa=+10()mmf Aa Aa Aa E=+为方阵A的m次多项式。四、矩阵的转置四、矩阵的转置P36P36定义：定义：把矩阵把矩阵 A A 的行换成同序数的列得到的新矩阵，的行换成同序数的列得到的新矩阵，叫做叫做 A A 的的转置矩阵转置矩阵，记作，记作 A AT T.例例:122,458A=186,B=1425;28TA=18.6TB=第第1 1行变为第行变为第1 1列，第列，第2 2行变行变为第为第2 2列列,第第n n行变为第行变为第n n列列(4)(AB)T=BTAT(A1A2A3.An)T=(An)T(An-1)T.(A2)T(A1)T1 1、转置的运算律、转置的运算律P36P36(1)(AT)T=A(2)(A+B)T=AT+BT(3)(kA)T=kAT 注意矩阵的次序例例 已知已知 171201,423,.132201TABAB =求求解法解法1 11712014231322010143 ,171310AB =017()1413.3 10TAB =解法解法2 2()TTTABB A=14221017720031413.13112310=例例 已知已知 171201,423,.132201TABAB =求求2 2、A A是对称阵是对称阵.A为对称阵为对称阵例如例如 =6010861612说明：说明：AT=A对称阵的元素以主对角线为对称轴对应相等对称阵的元素以主对角线为对称轴对应相等 例例 设设A,BA,B为对称阵，判断下列矩阵是否为对称阵？为对称阵，判断下列矩阵是否为对称阵？A+B，A-B，AB,kA例例2 2 设列矩阵设列矩阵 满足满足 TnxxxX,21=,1=XXT.,2,EHHHXXEHnETT=且且阵阵是是对对称称矩矩证证明明阶阶单单位位矩矩阵阵为为证明证明 TTTXXEH2=2TTTEXX=2()TTTEXX=.是对称矩阵是对称矩阵HTHH2(E 2XX)TTEXX=2TEXX=.E=2TTEXX=2TEXXH=(E 2XX)TE=2(E 2XX)TTXX2TXX4TTXX XX+4TEXX=4TXX+4()TTX X X X4TXX=五、方阵的行列式五、方阵的行列式定义：定义：由由 n 阶方阵的元素所构成的行列式，叫做阶方阵的元素所构成的行列式，叫做方阵方阵 A 的行列式的行列式，记作，记作|A|或或detA.运算律运算律P38(1);TAA=(2);ABAB=例例1 1 A=23 4|A|=detA=23 4=-2n为方阵的阶数（3）|l lA|=l ln|A|determinant 1、|AB|=|A|B|k个个A=|A|kABCDABCD=kAAAA=注：注：|AB|BA|AB|=|A|B|BA|=|B|A|=方阵积的行列式=行列式的积 尽管尽管AB BA，但但=AAAk个个A,B求行列式有意义(5次作业T3)运算律运算律P382、|l lA|=l ln|A|n为方阵的阶数例例1 1=333231232221131211aaaaaaaaaA则=333231232221131211aaaaaaaaaAllllllllll|l lA|=333231232221131211aaaaaaaaa=l=l3333231232221131211aaaaaaaaalllllllll=l l3|A|例例2 2设矩阵设矩阵A A为八阶矩阵为八阶矩阵l8|A|lA|=例例3 3 设A=(aij)为三阶矩阵，若已知|A|=2,则解解：|A|A|=(2)3|A|=(2)3(2)=16|2A|2()TA=()A=()A A=例例4 4 设设 A=25 4 -4 -5 313 4B=C=求求 (1)|ATB2C|解解(1)|ATB2C|=|AT|.|B2|.|C|=|A|.|B|2 .|C|=25 4 -4 -5 313 42=212 5=10=|3 BBT|2=(32|BBT|)2=(32|B|.|BT|)2=81(2)|(3BBT)2|(2)|(3BBT)2|111212122212.nnnnnnaaaaaaAaaa=置，所得矩阵称为置，所得矩阵称为A A的的伴随矩阵伴随矩阵，将将A A中所有元素中所有元素 ija都改为它的代数余子式都改为它的代数余子式 ijA后，再转后，再转记做记做*A，即即*TA =11A12A.1nA21A22A.2nA.1nA2nA.nnA =11121.nAAA21222.nAAA.12.nnnnAAA*A定理：定理：设设abAcd=，则，则A的伴随矩阵为的伴随矩阵为*A=11122122TAAAAT =dc b adbca=伴随矩阵的伴随矩阵的基本性质：基本性质：*AAA AA E=例：例：设设1243A=二阶伴随：二阶伴随：主交换，副变号主交换，副变号*A=3241 可交换P39练习练习，证明，证明 设设n阶矩阵阶矩阵A的伴随矩阵为的伴随矩阵为*A*1|A|A|n=七、七、n阶阶方阵的逆：方阵的逆：1A1 1、逆矩阵的定义、逆矩阵的定义2 2、矩阵可逆的充要条件、矩阵可逆的充要条件4 4、逆矩阵的运算律、逆矩阵的运算律5 5、解矩阵方程、解矩阵方程3 3、若矩阵、若矩阵A A可逆，求逆可逆，求逆1 1、逆矩阵的定义、逆矩阵的定义 对于对于n阶阶方阵方阵A，若，若ABBAE=对于对于数数a,a,若若1=abba称称 互为倒数互为倒数,a b称称A,B互为逆矩阵互为逆矩阵P39 P39 定义定义7 7 =B1A 1=abABBAE=A A 可逆可逆,且且1=AB注：注：（1）A,B互为逆矩阵，同阶方阵 例例1,E1,E,21212121,1111 =BA,EBAAB=.的一个逆矩阵的一个逆矩阵是是AB若 则C也是A的一个逆矩阵，B与C?,ACCAE=例例2 21 1、逆矩阵的定义、逆矩阵的定义（3 3）若）若A可逆，即：可逆，即：存在，则存在，则1A11AAA AE=（4 4）不一定存在，即：不一定存在，即：A可能不可逆可能不可逆1A（2 2）若）若A可逆，逆矩阵必可逆，逆矩阵必唯一唯一，记作，记作 1AABBAE=A A 可逆可逆,且且1=AB注：注：（1）A,B互为逆矩阵，同阶方阵可交换 不能不能记作1A2 2、矩阵可逆的充要条件、矩阵可逆的充要条件 P39P39定理定理1 1、2 2P40推论A 可逆可逆0AA 非奇异非奇异A 不可逆不可逆0A=A 奇异奇异3 3、若矩阵、若矩阵A A可逆，求可逆，求1A,11 =AAA（2 2）若）若 存在，则存在，则 1A（3 3）若）若 存在，初等变换方法存在，初等变换方法1A 是数，是数，用于计算二阶用于计算二阶方阵的逆方阵的逆1AABE=A 可逆可逆,且且1=AB（1）4 4、矩阵的转置、矩阵的转置5 5、方阵的行列式、方阵的行列式1 1、矩阵的加法、矩阵的加法,减法减法2 2、矩阵的数乘、矩阵的数乘矩阵的运算矩阵的运算3 3、矩阵与矩阵相乘、矩阵与矩阵相乘6 6、方阵的伴随矩阵、方阵的伴随矩阵小结小结7 7、方阵的逆矩阵、方阵的逆矩阵1A*AAAT Ams Bsn=CmnAk10()mmf Aa Aa Aa E=+