20212022学年高中数学第2章推理与证明211第1课时归纳推理课后篇巩固提升含解析新人教A版选修12

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1、第二章推理与证明2.1合情推理与演绎推理2.1.1合情推理第1课时归纳推理课后篇巩固提升1.观察下列各式:1=12,2+3+4=32,3+4+5+6+7=52,4+5+6+7+8+9+10=72,可以得出的一般性结论是()A.n+(n+1)+(n+2)+(3n-2)=n2(nN*)B.n+(n+1)+(n+2)+(3n-2)=(2n-1)2(nN*)C.n+(n+1)+(n+2)+(3n-1)=n2(nN*)D.n+(n+1)+(n+2)+(3n-1)=(2n-1)2(nN*)解析观察各等式的构成规律可以发现,各等式的左边是2n-1(nN*)项的和,其首项为n,右边是项数的平方,故第n个等式首

2、项为n,共有2n-1项,右边是(2n-1)2,即n+(n+1)+(n+2)+(3n-2)=(2n-1)2.答案B2.已知不等式1+12232,1+122+13253,1+122+132+14274,均成立,照此规律,第五个不等式应为1+122+132+142+152+162()A.95B.115C.116D.136解析观察不等式的左边发现,第n(nN*)个不等式的左边=1+122+132+1(n+1)2,右边=2(n+1)-1n+1,所以第五个不等式为1+122+132+142+152+162116.答案C3.将全体正整数排成一个三角形数阵:按照以上排列的规律,则第20行从左向右的第3个数为(

3、)A.193B.192C.174D.173解析由排列的规律可得,第n-1行结束的时候共排了1+2+3+(n-1)=(n-1)(1+n-1)2=(n-1)n2个数,则第n行的第一个数字为n(n-1)2+1,则第20行的第一个数字为191,故第20行从左向右的第3个数为193.故选A.答案A4.已知数列an中,a1=1,an+1=2an2+an(nN*),则可归纳猜想an的通项公式为()A.an=2n(nN*)B.an=2n+1(nN*)C.an=1n(nN*)D.an=1n+1(nN*)解析由已知得a1=1,a2=2a12+a1=23,a3=2a22+a2=432+23=24,a4=2a32+a

4、3=2122+12=25,由此可猜想an=2n+1(nN*).答案B5.设f(x)=1+x1-x,记f1(x)=f(x),若fn+1(x)=f(fn(x),则f2 020(2 020)等于()A.2 020B.-12020C.-10091008D.10081009解析由已知可得f1(x)=1+x1-x,f2(x)=-1x,f3(x)=x-1x+1,f4(x)=x,f5(x)=1+x1-x,f6(x)=-1x,f7(x)=x-1x+1,f8(x)=x,可得fn(x)是以4为周期的函数,因此f2020(x)=f5054(x)=f4(x)=x,故f2020(2020)=2020.答案A6.一个蜂巢里

5、有1只蜜蜂,第一天,它飞出去带回了5只蜜蜂;第二天,6只蜜蜂飞出去各自又带回了5只蜜蜂;如果这个过程继续下去,那么第6天所有蜜蜂归巢后,蜂巢中共有蜜蜂()A.6(66-1)6-1只B.66只C.63只D.62只解析根据题意,可知第一天共有蜜蜂1+5=6(只),第二天共有蜜蜂6+65=62(只),第三天共有蜜蜂62+625=63(只),故第6天所有蜜蜂归巢后,蜂巢中共有蜜蜂65+655=66(只),故选B.答案B7.如图,已知ABC的面积为4,连接ABC三边的中点构成第二个三角形,再连接第二个三角形三边中点构成第三个三角形,依此类推,第2 021个三角形的面积为()A.142017B.14201

6、8C.142019D.142020解析观察图形可知后一个三角形的面积是前一个三角形面积的14,设第n个三角形的面积为an,则数列an是首项为a1=4,公比为14的等比数列,an=414n-1=14n-2,第2021个三角形的面积为a2021=142019=142019.故选C.答案C8.观察下列式子:1+12232,1+122+13253,1+122+132+14274,根据以上式子可以猜想:1+122+132+120212.解析由已知的式子:1+12232,1+122+13253,1+122+132+14274,可得1+122+132+1n22n-1n.故1+122+132+12021240

7、412021.答案404120219.某同学在一次研究性学习中发现,以下五个式子的值都等于同一个常数.sin213+cos217-sin 13cos 17;sin215+cos215-sin 15cos 15;sin218+cos212-sin 18cos 12;sin2(-18)+cos248-sin(-18)cos 48;sin2(-25)+cos255-sin(-25)cos 55.(1)试从上述五个式子中选择一个,求出这个常数;(2)根据(1)的计算结果,将该同学的发现推广为三角恒等式,并证明你的结论.解(1)选择式计算如下:sin215+cos215-sin15cos15=1-12s

8、in30=34.(2)三角恒等式为sin2+cos2(30-)-sincos(30-)=34.证法一:sin2+cos2(30-)-sincos(30-)=sin2+(cos30cos+sin30sin)2-sin(cos30cos+sin30sin)=sin2+34cos2+32sincos+14sin2-32sincos-12sin2=34sin2+34cos2=34.故上式成立.证法二:sin2+cos2(30-)-sincos(30-)=1-cos22+1+cos(60-2)2-sin32cos+12sin=1+1212cos2+32sin2-cos2-34sin2-14(1-cos2

9、)=1-14cos2-14+14cos2=1-14=34.故上式成立.10.已知下列等式成立:122-1=13,122-1+142-1=25,122-1+142-1+162-1=37,122-1+142-1+162-1+182-1=49,试根据以上等式,归纳出一个一般性结论,用等式表示,并用数列中的方法加以证明.解从给出的各个等式可以看出:第1个等式左边有1项,右边为121+1;第2个等式左边有2项,右边为222+1;第3个等式左边有3项,右边为323+1;第4个等式左边有4项,右边为424+1,由此可以归纳得出一般性的结论为122-1+142-1+162-1+1(2n)2-1=n2n+1(nN*).以下用数列的方法证明该等式成立:122-1+142-1+162-1+1(2n)2-1=113+135+157+1(2n-1)(2n+1)=1211-13+13-15+15-17+12n-1-12n+1=1211-12n+1=n2n+1.