一维亚波长介质光栅抗反射特性研究说明书带开题
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目 录 中文摘要 .1 英文摘要 .2 绪论 .3 1.1 研究背景 .3 1.2 研究意义 .3 1.3 本文主要内容 .3 2 理论基础 .5 2.1 薄膜的特性矩阵理论 .5 2.2 零级光栅及等效介理论(EMT) .8 2.2.1 零级光栅.8 2.2.2 等效介质理论(EMT) .9 3 一维亚波长结构的光反射特性研究 .14 3.1 一维矩形亚波长光栅结构 .14 3.1.1 基于等效介质理论(EMT) 的计算 .15 3.1.2 基于有限元法(FEM)的分析 .17 3.2 一维三角形亚波长光栅结构 .21 3.2.1 基于等效介质理论(EMT) 的计算 .23 3.2.2 基于有限元法(FEM)的分析 .24 3.2.3 斜入射时的反射特性分析.27 结论 .32 致谢 .33 参考文献 .34 1 一维亚波长介质光栅结构抗反射特性研究 摘要:本文利用等效介质理论及有限元算法研究了一维矩形和三角形亚波长介质光 栅结构的反射特性,并分析了等效介质理论的适用范围和一维亚波长结构的 抗反射特性。通过分析发现,TE 波正入射下,在光栅周期与波长比小于 0.125 时,可以利用等效介质理论计算出较为精确的反射率;对于 TM 波, 等效介质理论的计算结果和有限元仿真结果有较大差别。此外,研究发现, 一维矩形光栅表现出了与单层光学薄膜相似的光学特性,利用这一特性设计 并模拟得到了 1000nm 处的一维矩形零反射光栅。一维三角形光栅结构可以 实现宽带的的抗反射效果,且发现反射率随光栅深度增加而下降。对 TE 和 TM 波,入射角小于 45条件下,一维三角形光栅均可在 350nm-850nm 的宽 光谱区域内获得1% 的反射率。上述研究结果将为太阳能电池、光电探测 器的功能结构表面的设计与优化提供重要的理论依据。 关键词:等效介质理论 亚波长光栅结构 有限元 抗反射 2 Abstract: In this paper, we have systemativally analyzed the reflection properties for one-dimension rectangular and triangle subwavelength dielectric grating structure by using effective medium theory (EMT) and finite element method (FEM), and found the condition of EMT being applicable. Calculation results shows that for vertical illumination of TE wave, EMT can accurately give the reflectance of dielectric grating structure when grating period divided the wavelength less than 0.125. However, in case of TM wave, it exists great errors by EMT compared with FEM simulation. In addition, we find a one- dimensional rectangular grating has the similar optical properties just like single layer optical film. Based on it, we designed and realized a zero- reflectance one-dimensional rectangular grating at wavelength of 1000nm. Calculation also demonstrates that when incident angle less than 450, using one-dimensional triangular grating, reflectance less than 1% can be achieved for both TE and TM waves. The research results obtained will hold great potential in many applications such as solar cell, photodetector, etc. Keywords: Effective medium Theory (EMT); subwavelength dilectric grating structure; finite element method (FEM); anti-reflectance 3 第一章 绪 论 1.1 研究背景 在光学技术的发展过程中,特别是在光电器件的研制中,如何提高光能的吸收 效率同时最大程度地减小表面反射一直是一个重要的研究课题。传统的方法是通过 在光学元件表面镀膜来达到减少反射的目的,主要分为单层镀膜和多层镀膜两种, 单层镀膜可以在特定波长上达到极高的抗反射效果,多层镀膜可以在一定宽波段得 到较好的抗反射效果。而另一种方法则是构造元件表面微结构来达到抗反射效果。 元件表面微结构的抗反射特性最早是 Bernhard 研究飞蛾角膜 1时发现的,随着 这一现象的发现,表面结构的抗反射特性受到了广泛的关注。对于表面光栅结构, 当它的特征尺寸小于波长时,也可以称为亚波长结构(Subwavelength structure, SWS),这种结构拥有人工折射率、双折射、共振效应等光学特性 2。在长波区域, 亚波长结构可以通过改变其占空比来调整人工折射率,从而可以形成渐变折射率区 域,达到降低反射率 3-6的目的;当入射光波长接近光栅周期时,亚波长光栅结构 会产生共振效应,由于这一特殊的光学特性,亚波长光栅可以应用在光学滤波器 7 上,达到过滤特定频率光波的目的。这些特性也使得亚波长结构成为了一个研究的 热点。 1.2 研究意义 在降低元件表面反射率的应用上,与多层镀膜相比,亚波长结构有很大的优势, 由于亚波长结构和衬底是一体的,因此比多层镀膜有更好的抗损伤能力,并且有更 高的激光损伤阈值 8。另一方面,由于亚波长结构可以自由变化其占空比来调整折 射率分布,从而获得理想的光学性能,对于镀膜而言这会是一个更加复杂的过程。 从制作方法上讲,由于纳米技术的发展,纳米压印技术 9得到了广泛的应用,利用 这种技术可以实现亚波长结构低成本、大批量的生产,与镀膜相比工艺简单、成本 更低。 由于亚波长结构在抗反射方面具有众多优秀性能,故其在提高光学传感器、激 光系统、太阳能电池、光电探测器等光学系统对光信号的吸收效率方面有重要的应 4 用。 1.3 本文主要内容 本文通过等效介质理论,计算了一维矩形亚波长介质光栅结构、一维三角形亚 波长介质光栅结构的反射谱及其对结构参数的依赖关系,并通过与有限元方法数值 仿真方法所得结果进行比对,得到了一维光栅结构等效介质理论的适用范围与条件。 该论文全文分为四章: 第 1 章,介绍了研究背景及研究意义,简述了亚波长结构的优点及其应用前; 第 2 章,阐述了论文的电动力学理论基础,介绍了薄膜的矩阵理论、零级光栅、 等效介质理论; 第三章,通过等效介质理论和有限元法分析了一维矩形光栅结构和一维三角形 光栅结构的反射特性,并分析了等效介质理论的适用范围; 第四章,对本文内容及结论进行总结,展望了二维亚波长光栅结构的应用前景。 5 第二章 理论基础 在研究亚波长结构时,主要的分析方法有以下三种:标量衍射理论、矢量衍射 理论和等效介质理论。在光栅周期很小时,标量衍射理论不再适用;严格的矢量理 论适用于光栅周期任意大小的情况,但计算过于复杂;等效介质理论适用于光栅周 期与波长比较小的情况,是一种较为简便的近似计算方式。本章主要介绍等效介质 理论及薄膜的矩阵理论。 2.1 薄膜的特性矩阵理论 10 这一节主要介绍薄膜的矩阵理论,利用薄膜矩阵可将矩阵与薄膜区域 Maxwell 方程的解联系起来,易于研究电磁波在薄膜中的传输特性。 假设平面波入射角为 ,入射区域折射率为 ,薄膜折射率为 、厚度为 ,1i0n1n1h 薄膜下的衬底折射率为 。一般而言,这里给出 TE 波的转移矩阵公式的推导过程,Gn TM 波的情况同理可得。 如图 2.1 所示,设入射的电场和磁场分别为 。通过两个界面的反射,在1,iHE 入射区域内,有总反射场 。在薄膜区域,界面 1 处,透射场为 ,另1,rHE 1,tHE 外界面 1 处还有从界面 2 处传播到界面 1 处的反射场 。在界面 2 处,入射2,r 场为 ,由界面 1 处的透射场传播得到,反射场为 。在衬底区域内,2,iiHE 只有透射场 。,tt 图 2.1 单层薄膜边界条件示意图 6 根据电磁场边界条件,可以得出界面 1 和界面 2 两侧的电场、磁场关系,在界 面 1 处有下列关系式 , (2.1)211rtri EE , (2.2)21 coscscoscs iritirii HH 由电场和磁场的关系可以将式(2.2)表示为下式 , (2.3)2121010101 cs)(cs)( irtiri nEnE 对于界面 2 处,根据边界条件,有以下关系式 , (2.4)22tri , (2,5)22 coscs)( ttiri HH 同理,有下式 , (2.6)22021202 cscs)( tGtiri nEnE 如不考虑光学薄膜对光的吸收,薄膜区域内有以下的关系式 , (2.7)1122,iriti ee ,(位相变化) (2.8)11cosihn 将式(2.7)带入式(2.4)和式(2.5),可以的到如下两个关系式 , (2.9)1122iriteE , (2.10)212102 cos)(iirit nH 解上述两式(2.9)和(2.10),可以得到 和 关于 和 的关系式,具体如1t2r2H 下 , (2.11) )(212111HEeirit 2101cosin 将式(2.11)带入式(2.1)和式(2.2),可以得到下式 7 , (2.12) 12121cossinicoHEH 将式(2.12)写成矩阵形式,可得到下式 , ( 2.13) 2111cossinicE 右边第一个矩阵为薄膜的特性矩阵,记为 。M 对于多层薄膜系统,薄膜的总的特性矩阵可以写成各层薄膜特性矩阵相乘, , (2.14)N321 对于 TM 波而言,同理可以得到光学薄膜的特性矩阵,会发现只需要将 TE 波情况 下的参数 改为下式m , , (2.15)1(0cosmimn,32 得到了光学薄膜的特性矩阵,下面将利用特性矩阵来计算 N 层光学薄膜的反 射率,设光学薄膜总的特性矩阵为 , (2.16)DCBAM 故有下式 , (2.17)11NHE 对于衬底区域,有下述的电场与磁场的关系式 , , (2.18)1(1NtGNH)1(0cosNiGn 在入射区域内,有下述的电场与磁场的关系式 , , (2.19)(101riE100cosin 将式(2.18)和式(2.19)带入式(2.17)可以的到下式 8 , (2.20)GNtri EDCBAE)1(01)( 解式(2.20)所示的矩阵,可以得到光学薄膜的反射系数,关系式如下 , (2.21)GirBA01 由式(2.21)可以得到光学薄膜对入射光能量的反射比: , (2.22)2rR 2.2 零级光栅及等效介理论(EMT) 对于亚波长结构的光栅,当周期足够小时,只有零级衍射级次,这种光栅结构 与光学薄膜的性质类似,可以将这种亚波长结构等效为特殊的光学薄膜处理。 Rytov 用严格的电磁波理论得到了等效折射率的高阶近似解析解,运用这种等效介 质理论,可以通过解析方法求解亚波长结构的反射透射特性,计算更加方便快捷。 2.2.1 零级光栅 亚波长结构只会产生零级衍射光。图 2.2 为一维周期矩形光栅,周期为 ,占 空比为 ,入射角为 ,光栅深度为 ,fH 图 2.2 一维矩形光栅 对于透射区有如下的光栅方程 9 , (2.23)sinsi(21mnm ,32,1 为衍射级数, 为透射光的 级衍射角, 为入射介质折射率, 为透射介质m 1 2n 折射率, 为真空中的光波长。对于反射的区域内有如下公式 , (2.24)sin(i1ni,32,i 为衍射级数, 为反射区的 级衍射角。由式(2.1)和式(2.2 )可以得到 和iii m 的关系式i , 21sinsinm (2.25) , sinsi1 (2.26) 由式(2.25)和 (2.26)可已看出,当两式的右边的绝对值大于 1 时只有零级衍射产生, 即 , 1sin21m (2.27) , sin1 (2.28) 这是零级光栅的条件公式,可以看出零级光栅的条件和入射光波长、入射角、两介 质折射率有直接关系。而对于垂直入射而言,由于入射角为零,零级光栅的条件为 , 1),max(/2n (2.29) 2.2.2 等效介质理论(EMT) 要得到亚波长介质光栅精确的反射率、透射率与吸收率,需要用严格的电磁波 理论来求解。但对于亚波长结构,有更加简便的近似求解方法,由于零级光栅的性 10 质,亚波长结构可以等效成一个各向异性的介质膜,这就是等效介质理论。自 20 世纪以来,人们对等效介质理论进行了许多研究 11-15,本节主要介绍 Rytov 的研 究成果 11。 既然要将亚波长结构等效为介质膜结构来求解的其反射、透射率,获得亚波长 结构的等效折射率分布是求解的前提。一维矩形光栅(如图 2.2 所示),TE 波正 入射在光栅表面的情况,假定入射光波波长满足零级光栅条件,此时只会发生零级 衍射。 在光栅区域内,电场满足亥姆霍兹方程, , 02Ek (2.30) 为介电常数,为周期性分布,即 (2.31)21)(nx)1(nxff,32,0 由于入射波为 TE 波,电场 只有 分量,并且且只与 和 有关,故将 分离变EzyE 量 , (2.32)(),(Exyzz 可得到一下两个方程 , (2.33)0)()()(222 xkxdzyz , (2.34)()(22Eyzz (2.34)式的通解形式为: , (2.35)yikyikzret)( 现在考虑 方向,由于此方向上折射率周期变化,可以将其当做周期介质层处理 16。x 11 图 2.3 周期介质层示意图 在第 个区域内 的通解可写为n)(xEz (2.36)()(22 11 nxiknxiknz edecba )1()1(nxff , , (2.37)11)(yxc222yxkc 为真空中光速, 为入射光的角频率。c 根据 和 ( )在 和 处的边界条件可以得到下EHE/)n)1(f 列关系式 , (2.38)nniknik badecxx 1122 , (2.39)(21122 nxniknikexx , (2.40) )1()()()1( 21 fiknfiknfiknfik xxxx edecba , (2.41)(1()1(12)()1( 221 fiknfiknxnfiknfik xxxxee 以上的四个关系式可以写成矩阵形式 , (2.42) nxxnikik bakdcexx 21122 12 , nfikxfikxnfikfik dceebaee xxxx )1(2)1(2)1()1( (2.43) 将式(2.42)和式(2.43)合并可以得到下式 , (2.44)nndcDCBAdc1 , (2.45)1(si)(2)(os122 fkkifkeA xxxfikx , (2.46)(in)(112)2( fiBxxfikx , (2.47)(si)(112)2( fkkieCxxfikx , (2.48)(in)()1(cos 1122 fifDxxxfikx 由于 方向上 为周期性分布,因此周期介质层与一维晶体等效,故 可以表x (xEz 示为 , (2.49)iKnzzexEnx)( ,32,10 为 Bloch 波数,由式( 2.49)可以得到K , (2.50) nniKn dcDCBAdcec1 式(2.50)中, 为矩阵 的本征值, 和 有不全为 0 的解的条件如iKe),;(BA 下 , (2.51)0iK ieCB 通过解上述行列式,可以得到下式 , (2.52)sin()1(sin)(21)cos()1(cos 2212 fkfkkfkfkK xxxxx 对于 TM 13 ,)sin()1(sin)(21)cos()1(cos 2212 fkfkknfkfkK xxxxxx (2.53) 对于一维周期光栅结构 为入射波波矢的 方向分量。K 通过式(2.37) 和(2.52) 可以得到 和 、光栅周期 、占空比 、介质折射率 、ykf21,n 入射波长 的关系式,由于 与 无关,在把亚波长结构等效为光学薄膜的过程中,yx 定义这种结构的等效折射率为 , (2.54)yyefkcn 可以看出通过式(2.52)可以数值求解出 ,但并不能的得到 的解析解,ef efn Rytov 通过将式(2.52)进行泰勒展开,得到第一项,即零级近似等效折射率 11,17 , (2.55)212),0( )(nffnTE 保留到第二项可得到二级近似等效折射率 11 , (2.56)21222),0(),2( )()(3fTETE 同理可以得到 TM 波下的等效折射率 , (2.57)221),0( )(nffnTM , (2.58)26),0(2),(1222),0(),2( 3TMETTMfn 通过解出亚波长光栅的等效折射率,结合薄膜特性矩阵理论,可以初步计算一维亚 波长光栅结构的光反射特性与透射特性。通过效折射率公式,可以发现,它的等效 折射率与入射光的偏振方向有很大关系,举个例子,取 , , ,1n4.325.0f 以零级等效折射率为例, , ,折射率相差 1.1492,可以506.2),0(TEn3567.),(TMn 看出,一维光栅结构有很强的类似双折射的效应,因此入射光的偏振状态对一维亚 波长结构的反射特性有较大影。 对于二维周期阵列光栅结构,入射光的偏振对这种亚波长结构的反射与透射特 性影响较小 5,但是对于二维亚波长结构,即使在周期远小于波长的情况下,也不 能的到等效折射率近似解析解 13,因此对于二维亚波长结构,等效介质理论并不 14 能很好的研究其光学特性,对于二维光栅结构,更多采用严格的耦合波理论进行研 究,算法上这里不做讨论。 15 第三章 一维亚波长结构的光反射特性研究 由于界面的存在,会在折射率存在差异的两种介质分界面上发生菲涅尔反射, 极大降低了光能的利用率。以硅( )与空气界面为例,由菲涅尔公式可以3.4Sin 计算得垂直入射条件下硅表面对入射光能量的反射率 为 0.2975,即有接近 30%的R 反射损耗。因此,设计适当的表面结构降低介质表面的反射率显得非常重要,且具 有众多应用。由等效介质理论,亚波长结构能实现界面两侧折射率的渐变,从而有 效降低反射损耗。在本章中,将分别利用等效介质理论和基于严格求解麦克斯韦方 程的有限元法分析一维矩形硅光栅结构和一维三角形硅光栅结构的反射特性,对比 其计算结果的差异,得出二阶等效折射率的适用范围。 本章中,亚波长结构光栅区域和衬底的材料选取硅材料,折射率 ,入3.4Sin 射区域为空气,折射率 ,固定硅光栅周期 为 100nm。在垂直入射情况下,1an 由零级光栅条件可以得到,能应用等效介质理论的条件为:入射波长 大于 340nm。因此,在利用等效介质理论研究时,波长的范围取 350nm1250nm,有限 元法研究时的波长范围为 300nm1200nm。 3.1 一维矩形亚波长介质光栅结构 图 3.1 为一维矩形光栅结构模型,光栅周期为 ,占空比为 ,光栅深度为 。fH 在第一小节中,将利用二阶等效折射率计算一维矩形光栅的反射率,分析在等效介 质理论下,一维矩形光栅的反射特性;将与第二节中利用有限元法计算一维矩形光 栅的反射率并将两者进行比较。 图 3.1 一维矩形光栅结构 16 3.1.1 基于等效介质理论(EMT) 的反射特性计算 对于一维矩形光栅,可以通过等效折射率公式(2.56)和式(2.58)计算不同 占空比、不同波长下的等效折射率。并利用薄膜的传输矩阵理论,将一维矩形光栅 结构等效为单层膜(折射率随波长、占空比变化)研究。这里主要研究垂直入射时, 占空比、光栅深度对一维矩形亚波长光栅结构的反射特性的影响。 首先研究 TE 波正入射时的情况。对于 TE 波,应用式(2.56)作为等效折射 率公式,研究在不同光栅深度、不同占空比下一维矩形光栅结构的反射特性,通过 数值计算可以得到不同光栅深度、不同占空比的一维矩形光栅在波长在 350nm1250nm 的光波正入射下的反射比,如图 3.2 所示。 图 3.2 (a) TE 波正入射,光栅深度 ,光栅周期 ,占空比 为nmH20nm10f 0.3,0.5,0.7,0.9 时,一维矩形光栅基于等效介质理论计算的反射率随波长的变化。(b) TE 波正入 射,光栅周期 ,占空比 ,光栅深度 分别为 100nm,150nm,200nm,250nmnm105.f 时,一维矩形光栅基于等效介质理论计算的反射率随波长的变化。 由于可以将一维矩形光栅结构等效为单层薄膜进行处理,根据等效介质理论得 出的一维矩形光栅的反射特性与单层薄膜的反射特性相似。根据单层薄膜的反射特 性,当薄膜厚度满足下式 (2.61),32,10,4 )2(mnHef 17 时,薄膜具有最小的反射率,即对于固定的光栅深度,波长满足 (2.62),32,10,)2( 4mHnef 时,有最小的反射率,这与图 3.2 所示的一致。另外,根据薄膜的反射特性,对于 特定入射光波长 ,当满足0 , , (2.63)saefnefH40 时,理论上可以在波长 上得到零反射,因此可以根据式( 2.57)和式(2.63),0 可以求出,TE 波正入射情况下,在波长 处产生零反射的一维矩形光栅的光栅参0 数。 作为应用,下面将通过等效介质理论设计波长为 1000nm 处的零反射一维矩形 光栅。由式(2.57)和式(2.63)可以解出占空比 的值,解为 0.21722,再解出光f 栅深度 为 135.5822nm,通过数值计算得出图 3.3 所示的入射波长与反射率图,H 可一发现波长为 1000nm 处的反射率趋近 0,与理论预期完全吻合。 图 3.3 TE 波正入射,光栅周期为 100nm 时,1000nm 光波处零反射的矩形光栅反射率图。 因此,利用等效介质理论和薄膜理论,通过设计一维矩形光栅的参数,可以实现对 特定光波长的零反射。 18 对于 TM 波而言也有相似的反射特性,此时入射波长与反射率关系如图 3.4 所 示。通过等效介质理论的模拟,在二阶等效折射率适用的情况下,由计算的结果可 以看出,一维矩形光栅结构和单层薄膜具有相似的性质。 计算结果表明,和单层光学薄膜一样,利用矩形介质光栅结构可以实现特定波 长的零反射率,反射率随波长波动较大,存在震荡,无法实现宽光谱的抗反射。 图 3.4 (a) TM 波正入射,光栅深度 ,光栅周期 ,占空比 为nmH20nm10f 0.3,0.5,0.7,0.9 时,一维矩形光栅基于等效介质理论计算的反射率随波长的变化。(b) TM 波正入 射,光栅周期 ,占空比 ,光栅深度 为分别为nm105.f 100nm,150nm,200nm,250nm 时,一维矩形光栅基于等效介质理论计算的反射率随波长的变化。 3.1.2 基于有限元法(FEM)的分析 有限元(FEM )方法是一种通过求解偏微分方程边值问题的全矢量数值电磁计 算方法。在求解过程中,将所求区域离散为若干微小区域,根据计算域所要满足的 条件,建立多维的线型方程组,最后通过求解线型方程得到整个计算区域内的电磁 场。有限元可以得到较高精确度的解,而且适用于分析复杂形状物体的电磁行为, 这使得有限元法成为一种应用广泛的电磁数值分析方法。 本小节,将利用有限元法精确分析一维矩形亚波长光栅结构的反射特性,并和 等效介质理论的计算结果进行比较,分析光垂直入射时等效介质理论的适用范围。 这里,有限元计算使用的结构参数与等效介质理论分析一致。 19 通过数值计算和对比可以得到图 3.5 所示的反射率图 图 3.5 一维矩形光栅反射率随波长变化图。(a) TE 波正入射情况下,光栅深度 ,nmH20 光栅周期 ,占空比 为 0.3,0.5,0.7,0.9 时,一维矩形光栅基于有限元法计算的反射nm10f 率随波长的变化;(b) TM 波正入射情况下,光栅深度 ,光栅周期 ,占nmH201 空比 0.3,0.5,0.7,0.9 时,一维矩形光栅基于有限元法计算的反射率随波长的变化; (c) TE 波f 正入射,光栅周期 ,占空比 ,光栅深度 分别为n105.0f 100nm,150nm,200nm,250nm 时,一维矩形光栅基于有限元法计算的反射率随波长的变化; (d) TM 波正入射情况下,光栅周期 ,占空比 ,光栅深度 为分别为m.f 100nm,150nm,200nm,250nm 时,一维矩形光栅基于有限元法计算的反射率随波长的变化。 20 从 FEM 所计算的结果可以看出,一维矩形光栅的反射率与 EMT 计算的结果都表 现出随波长的震荡,因此一维矩形亚波长光栅在长波区域内有和单层光学薄膜有相 似的性质。 为了对比 EMT 和 FEM 所计算的反射比的区别,定义在波长为 处误差函数 , (3.1)()(FEMTR 并定义误差小于 1%时,两反射率值近似相等,可应用等效介质理论直接计算反射 比,误差小于 10%时,可以用等效介质理论定性分析。通过公式(3.1),可以得 到波长在 300nm1200nm 范围内的误差函数,这里选择光栅周期 ,占空nm10 比 为 0.5,光栅深度 分别为 100nm,150nm,200nm,250nm 的一维矩形光栅结构,fH 计算其误差函数,对于 TE 波,可以得到如图(3.6)所示的误差函数图。由于 300nm 340nm 内,存在次级衍射波,故等效介质理论不再适用,存在较大的误差; 图 3.6 TE 波正入射下的误差函数图 波长大于 340nm 时,误差函数随着波长的增加而逐渐下降,这是由于 EMT 中等效 折射率为对 的泰勒展开的二阶近似,当 较大时,二级近似等效折射率与/ 准确的等效折射率有较大差距,使得计算出的反射率与实际值有较大差距,而随着 的减小,这种误差逐渐降低。计算表明,TE 波正入射时,波长在/ 21 622nm1200nm 内,误差函数值小于 0.01,此时 EMT 完全适用。对于本节所使用 的计算参数,当波长与光栅周期比 , (3.2)1608. 时,利用二阶等效折射率计算出的反射率曲线和有限元计算的实际近似反射率近似 相等。故对于 TE 波正入射情况,在光栅周期为 100nm 时,在波长为 622nm1200nm 内,利用二阶等效折射率理论可以精确地计算一维矩形光栅的反射 率。 下面验证 3.1.1 节中利用等效介质理论设计的一维矩形光栅在 1000nm 处零反 射的理论假设。将占空比设为 0.217,光栅深度设为 135.6nm,我们利用有限元方 法计算了 900nm1100nm 内的反射率,如图 3.7 所示 图 3.7 有限元计算的 1000nm 光波处零反射的一维矩形光栅反射率图 由计算数据得出 1000nm 处的反射率趋近与 0,说明对于 TE 波正入射的情况, 可以利用等效介质理论在长波区域内设计零反射一维矩形光栅。 对于 TM 波而言,也可以得到相应的误差函数,如图 3.8 所示,由误差函数值 可以发现,与 TE 波相比,对于 TM 波情况,等效介质理论有较大的误差,对于光 栅深度为 100nm 时的情况,300nm1200nm 全波长段误差都大于 100%,对于光栅 深度大于 150nm 的情况而言,只有波长大于 978nm 时,误差函数才小于 10%。另 外,可以看出,随着光栅深度的增加,误差函数在长波区域趋于减小,随着波长的 22 增加,误差函数逐渐趋于 0。对于 TM 波的情况,对于本节所计算的内容而言,等 效介质理论只可以在光栅深度大于 150nm,波长满足 , (3.3)0.12 的光谱范围内对反射比做定性的分析,而对该光谱范围之外的情况,要用更加严格 的电磁波理论进行分析。 图 3.8 TM 波正入射下的误差函数图。(a)波长在 300nm1200nm 内,光栅深度 为分别为H 100nm,150nm,200nm,250nm 时的误差函数(b)波长在 400nm1200nm 内,光栅深度 为分别 为 150nm,200nm,250nm 时的误差函数。 3.2 一维三角形亚波长介质光栅结构 根据等效介质理论,等效折射率与一维光栅结构的占空比有关,对于一维三形 光栅结构,可以分为 层占空比依次变化的一维矩形光栅(如图 3.9),因此一维三l 角形光栅结构可以等效为 层等效光学薄膜的叠加,等效的光学薄膜折射率由 变an 化到 ,与梯度折射率薄膜层类似,理论上可以实现宽光谱的超吸收。sin 23 图 3.9 (a)一维三角形光栅 (b)三角形光栅区域分为 层不同占空比的一维矩形光栅l 这里利用等效介质理论,计算 TE 波垂直入射的情况,取 ,nmH20 ,占空比与深度的关系为 ,通过等效折射率公式(2.57),计nm10Hyf/ 算此时波长在 350nm1250nm 区域内的光能量反射比,计算过程中将光栅区域分为 100 层求解,分别求出每层的等效折射率,再通过多层薄膜的矩阵理论将每层的薄 膜特性矩阵相乘,最后由总的特性矩阵求出反射率,将其反射比与相同光栅深度、 相同光栅周期、占空比 的一维矩形光栅结构的反射比的比较,如图 3.10 所3.0f 示 图 3.10 TE 波垂直入射情况下,一维三角形光栅结构与一维矩形光栅结构的反射比的比较。 24 可以看出与一维矩形光栅相比,一维三角形光栅的反射率的变化更加平缓,在较宽 光谱的抗反射效果都好于一维矩形光栅结构。下面将分别利用等效介质理论和有限 元法研究一维三角形光栅的光栅深度对反射率的影响,并进行对比。 3.2.1 基于等效介质理论(EMT) 的计算 这选用 TE 波,考虑正入射情况,选定光栅周期 ,光栅深度 分别nm10H 选为 100nm,200nm,300nm,400nm,计算各光栅深度下,波长在 350nm1250nm 范 围内的光能量的反射比,可得到如图 3.11 所示的反射率曲线 图 3.11 TE 波正入射情况下,光栅周期 ,光栅深度 为nm10H 100nm,200nm,300nm,400nm 时,一维三角形光栅基于等效介质理论计算的反射率随波长的变化。 由图 3.11 可以看出各波长处的反射率随光栅深度的上升而下降,对于这种现象, 可以理解为,光栅深度越大,等效折射率随高度的变化更加缓慢,类比于多层膜系 统,相当于有更多梯度折射率薄膜叠加,因此可以得到更好降低反射率。特别是当 光栅深度 为 400nm 的时,可以得到在波长为 350nm801nm 区域内的反射比都低H 于 5%,可以看出当光栅深度高于 400nm 后,一维三角形光栅可以在较宽的波带上 达到了较低的反射率。 由于对于一维光栅结构,这种结构的等效折射率受入射光的偏振影响较大,对 于 TM 波正入射的情况,设光栅参数与 TE 波正入射时相同,选定光栅周期 长度 25 为 100nm,光栅深度 分别选为 100nm,200nm,300nm,400nm,计算各光栅深度下H 光能量的反射比,可以得到如图 3.12 所示的反射率曲线 图 3.12 TM 波正入射,光栅周期 ,光栅深度 为 100nm,200nm,300nm,400nm 时,nm10H 一维三角形光栅基于等效介质理论计算的反射率随波长的变化。 由于 3.1.2 节中得出 TM 波入射情况下,等效介质理论计算误差较大,故这里 只做定性分析,从计算数据和图 3.12 可以得到,和 TE 波入射时相似,随着光栅深 度的增加,反射率有明显的下降,并且在光栅深度较高时,可以得到良好的抗反射 效果。 对比 TE 波和 TM 波正入射的情况下的反射率,可以看出,在两种情况下,当 光栅深度逐渐增大时,大部分波段的反射率都有效地降低,并且反射率随波长的增 幅会因光栅深度的增加有所降低。光栅深度较低时,在短波段区域内,与 TE 波正 入射相比,TM 波正入射时,一维三角形亚波长光栅结构有较低的反射率;而在长 波区域内,此时的光栅在 TE 波正入射下有更低的反射率。光栅深度较高时(大于 300nm 时),在大部分波长下,一维三角形亚波长光栅结构的反射率相比于硅平面 下降了 2/3 以下。 3.2.2 基于有限元法(FEM)的分析 利用 FEM 方法计算过程中的结构参数与 3.2.1 节等效介质理论分析时相同。首 26 先研究 TE 波入射时的情况,可以得到如图 3.13 所示的反射曲线, 图 3.13 (a)TE 波正入射,光栅周期 ,光栅深度 为 100nm,200nm,300nm,400nm 时,nm10H 一维三角形光栅基于有限元法计算的反射率随波长的变化。(b) TM 波正入射,光栅周期 为 100nm,光栅深度 为 100nm,200nm,300nm,400nm 时,一维三角形光栅基于有限元法计算的H 反射率随波长的变化。 可以看出,有限元法计算出的反射率随光栅深度的变化和等效介质理论算出的结果 一致,即反射率随光栅深度的增加而下降。对于 TE 波,光栅深度为 400nm 时,在 波长为 340nm798nm 内的反射率都小于 5%,得到了与等效介质理论相近的结果。 对于 TM 波,光栅深度为 400nm 时,340nm 以上的波段的反射率都小于 2.6%,特 别对于波长在 340nm730nm 内的光波,反射率都小于 1%。表现出了良好的抗反 射特性。 对于一维三角形光栅结构,明显对于波长小于 340nm 的光谱区域,等效介质 理论不再适用,这里对波长在 340nm1200nm 内的反射率,利用误差函数(3.1), 计算出等效介质理论得出的反射率和有限元法得出的反射率的误差函数,对于 TE 波正入射的情况,光栅深度取为 100nm,200nm,300nm,400nm,可得如图 3.14 所示 误差函数图 27 图 3.14 TE 波正入射下的误差函数图 由计算得出对于 TE 波正入射时,当波长在 800nm1200nm 内时,误差函数值小于 1%,波长大于 400nm 时,误差函数小于 10%,也就是说,对于本节所计算的内容 而言,在 TE 波正入射情况下,在光栅周期为 100nm 时,当波长与光栅周期比 , (3.4)250. 时,可以利用等效介质理论对一维三角形光栅的反射特性做定性分析。 当波长与光栅周期比 , (3.5)1250. 时,利用二阶等效折射率计算出的反射率曲线和有限元计算的实际近似反射率近似 相等,在波长为 800nm1200nm 范围内可利用二阶等效折射率理论计算一维三角形 光栅的反射率。 对于 TM 波而言,也可以得到相应的误差函数,如图 3.15 所示 28 图 3.15 TM 波正入射下的误差函数图。(a)波长在 300nm1200nm 内,光栅深度 为分别H 为 100nm,150nm,200nm,250nm 时的误差函数(b)波长在 600nm1200nm 内,光栅深度 为分 别为 100nm,150nm,200nm,250nm 时的误差函数。 可以看出,TM 波入射情况下的误差函数值较大,对于波长在 340nm 下的范围,由 于等效介质理论不再适用,故误差较大,对于 340nm 以上的波长,TM 波给出的误 差函数在较大波长范围内任然大于 10%,这说明对于 TM 波入射情况,利用等效介 质理论并不能很好地研究一维三角形光栅结构的反射特性,需要用更加严格的电磁 波理论研究。 分析表明,虽然对于 TM 波等效介质理论不能精确给出各波长处接近的反射率, 但一维三角形光栅结构如等效介质理论所预计的一样,显示出了良好的抗反射特性。 3.2.3 斜入射条件下的反射特性分析 研究表明在垂直入射时,一维三角形亚波长光栅良好的抗反射与增强吸收特性, 现在通过严格的有限元法进一步研究其在 15、30、45、60斜入射时结构的反射 特性。 首先研究 TE 波入射的情况,对于硅平面,有菲涅尔公式可得反射率随入射角 度的变化如图 3.16 所示,反射率随角度的增加而增加。 29 图 3.16 TE 波入射下平面硅与空气界面反射率随入射角度的变化曲线 现在利用有限元法计算一维三角形光栅在波长为 300nm1200nm 内的反射率, 光栅周期取为 100nm,光栅深度取为 200nm,各个入射角下的反射率如图 3.17 所 示。这里讨论满足零级衍射条件的波长区域内的反射特性,由图中可以看出,除 60的入射情况以外,各个入射角下,大部分波段的反射率都降低了 50%。对于 15 的入射情况,在满足零级衍射条件的波段,反射率在 11%以下;对于 30的情况, 在满足零级衍射条件的波段,反射率在 13%以下;对于 45的情况,在满足零级衍 射条件的波段,反射率在 20%以下;对于 60的情况,在满足零级衍射条件的波段, 反射率在 32%以下;值得注意的是,与介质平面一样,一维三角形光栅的反射率随 入射波长的变化并不明显,所有角度的都波动在 5%以内,并且在 30以内,一维 三角形光栅的反射率随入射角的变化并不大,变化在 3%以内,这使一维三角形光 栅在 TE 波入射下相当于一个折射率较低的介质平面,由菲涅尔公式可知,透射区 域介质折射率越接近入射区域折射率,则会在越宽的入射视角内得到越低的反射率, 由之前的结论可知,一维三角形光栅的反射率会随光栅深度的增加下降,也就是说, 三角形光栅深度越大,将会在更宽的入射角内得到越低的反射率。因此,在 TE 波 入射情况下,提高光栅深度可以使一维三角形光栅结构在更广的入射角下得到更低 的反射率。 30 图 3.17 一维三角形光栅反射率波长变化。 (a)15 (b)30 (c)45 (d)60 对于 TM 波,对于硅平面,有菲涅尔公式可得反射率随入射角度的变化如图 3.18 所示。同样可以现在利用有限元法计算一维三角形光栅在波长为 300nm1200nm 内的反射率,光栅周期取为 100nm,光栅深度取为 200nm,各个入 射角下的反射率如图 3.19 所示。 31 图 3.18 TM 波入射下平面硅与空气界面反射率随入射角度的变化曲线 从图 3.18 可以看出,TM 波入射下硅平面的反射率随入射角的增大先减小后上 升。然而对于一维三角形光栅结构而言,随着工作波长的增加,反射率并没有明显 的下降,反而在长波段有所上升,特别是对于入射角为 60时的情况,只有一小波 段的反射率低于硅表面反射,其余波段尽大于硅表面 60入射时的反射率。虽然对 于 TM 波斜入射情况,在较宽的入射角上,一维三角形光栅结构没能在较宽谱带上 表现出良好的抗反射特性,但计算表明,对于 TM 波入射情况,一维三角形光栅结 构在 300nm-800nm 光谱区域内,在入射角小于 45时,均可以实现反射率小于 1% 的超吸收。 32 图 3.19 一维三角形光栅反射率波长变化。 (a)15 (b)30 (c)45 (d)60 33 论文小结 本文通过等效介质理论和有限元法分析了一维矩形光栅亚波长结构和一维三角 形光栅亚波长结构的光反射特性。发现对于 TE 波正入射情况下,在满足零级光栅 条件的波长段,可以应用等效介质理论对两种光栅结构的反射特性进行定性研究。 对于文中所研究的硅光栅而言,当波长满足 小于 0.125 且 TE 波入射时,可以/ 利用等效介质理论较为精确的计算两种光栅的反射系数。对于 TM 入射的情况,等 效介质理论得到的反射率与有限元计算结果相差较大,但随着光栅深度和入射波长 的增加,等效介质理论得到的反射率和有限元法得到的反射率的差距将会逐渐减小, 虽然 TM 入射条件下,等效介质理论在一维光栅传输特性计算上存在较大误差,但 可以在特定谱段对一维光栅结构的反射特性进行大体上的估计。 通过研究发现,一维矩形亚波长介质光栅与单层光学薄膜类似,在 TE 波入射 下,可以利用等效介质理论和光学薄膜理论设计特定波长下的零反射一维矩形光栅。 对于一维三角形光栅,发现在光垂直入射下,有良好的减反射特性,本文模拟的一 维三角形光栅结构,在光栅深度为 400nm 时,TE 正入射情况下,在波长 340nm798nm 内有小于 5%的反射率;T
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