均匀场中两无限长介质圆柱的柱心线电偶极子模型
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2004 年5 月 电 工 技 术 学 报 Vol.19 No.5 第 19 卷第 5 期 TRANSACTIONS OF CHINA ELECTROTECHNICAL SOCIETY May 2004 均匀场中两无限长介质圆柱的柱心线 电偶极子模型 叶齐政 张家聪 李 劲(华中科技大学环境工程系 武汉 430074)摘要 针对两无限长的介质圆柱在均匀外电场中的电场计算问题,提出一种考虑了圆柱相互作用的偶极子模型,该偶极子为线电偶极子,且位于圆柱中心。用该方法计算的偶极矩和镜像方法计算的结果作了比较、计算的圆柱表面的电场分布和有限元计算的结果也作了比较,结果表明该方法在柱体表面间距大于 0.1 倍圆柱半径时是可行的。关键词:柱心偶极子 柱体 偶极矩 中图分类号:TM15 A Line Dipole-at-the-Center Model for Two Infinitely Long Dielectric Cylinders in a Uniform Field Ye Qizheng Zhang Jiacong Li Jin(Huazhong University Wuhan 430074 China)Abstract A line dipole-at-the-center model for two infinitely long dielectric cylinders in a uniform field is proposed.The dipole moments of cylinders and the electric field distributions around the surfaces of cylinder calculated using the line dipole-at-the-center model are compared with those obtained with the image method and the finite-element method.The dipole method is a good approximation when the distance between two cylinders is greater than 0.1R.Keywords:Dipole-at-the-center,cylinder,dipole moment 1 引论 在很多科学和技术领域都涉及到由颗粒物组成的混合体在外加电场中的电场计算问题,一种简单可行的计算模型是电偶极子模型,即将混合体中的每一个颗粒当作一个位于球心或柱心的电偶极子(对球体为点电偶极子;对柱体为沿轴线排列的电偶极子组合,称为线电偶极子),在不考虑颗粒间相互作用时,计算宏观效应(如电偶极矩、有效介电常数)和局部效应(如颗粒受力)。当颗粒和环境介质的介电常数差异较小,颗粒间距较大时,这种近似计算模型是可行的。但是在相反条件下,模型开始失效。文献14 采用高阶多极子模型计算虽然可以获得较高精度的结果,但较为繁杂,在介电常数差异较大,颗粒间距较小时还会遇到收敛的困难。Poladian 5 通过一系列镜像线偶极子方法(位于不同位置),来解决两无限长介质圆柱在外加均匀电场中的偶极矩的计算问题,但在介电常数差异较大,颗粒间距较小时,也只能得到一个渐进的级数的表达式。Emets 和 Onofrichuk 6 通过复位函数法得到一个精确的解,但发现计算繁杂冗长,也仍然求助于本身就较为复杂的镜像法以期获得一个简单的解。Dhondt 和 Kohl 7 采用双柱坐标系分离变量方法来求解,但在柱体接近时,由于级数的非均匀收敛,也只能求助于一个渐进的表达式。由于精确的解法非常复杂,而目前的近似解法也仍然较为复杂,因此有必要提出一个近似简单的计算方法。受 Jones1和 Stoy8 在研究两球体系统 国家自然科学基金重点资助项目(50237010)。收稿日期 2003-06-05 改稿日期 2003-12-25 2 电 工 技 术 学 报 2004 年 5 月 时分别提出的考虑球体相互作用的点电偶极子模型启发,本文提出两柱体系统中考虑相互作用的位于柱心的线电偶极子模型。2 外加均匀电场中的一个无限长圆柱体 一个无限长介质圆柱,半径为 R,介电常数为i,外加均匀垂直圆柱体的横向电场为 E0。环境介质的介电常数为e,如图 1 所示。解拉氏方程可得9 jE20eieinE+=+=202eiei0outcoscosrERErE+202eiei0sinsinrERE 图 1 外加均匀场中的柱体 Fig.1 A cylinder in a uniform field 我们假设在柱心沿轴线有一列平行排列的电偶极子(方向为电场方向),其整体称为一个线电偶极子。因为内电场是均匀的,则柱体的线电偶极子的单位长度偶极矩为()02e2inei2ine02/EEEkRRllRlVP=(2)式中 P极化强度 V柱体体积 l柱长 极化率()()eiei/+=k 电偶极矩的单位是 cm,这里采用的是单位长度的偶极矩,因此单位是 c。这样式(1b)可以变为+=cos2cos2e00outrErE+sin2sin2e00rE 显然每个方向分量的第一项是外电场产生的,而第二项可以认为是线电偶极子产生的,因而可以得到线电偶极子在柱体外产生的电场分量为=sin2cos22e02e0rErEr (3)由于式(1b)是一个精确的表达式,因而式(3)精确反映了柱体外线电偶极子产生的电场,而柱体内的电场则无法通过线电偶极子模型求得,这和普通的电偶极子模型有一些区别和联系(普通的电偶极子模型的电场表达式只是一个近似表达式,只在r 非常大的情况下才有较高的精度,但仍不是精确表达式)。另外上述模型是在均匀外场中获得的(只在均匀外场中才有内电场是均匀场及后续结论),因而对非均匀外场(需要一组在不同位置的线电偶极子),将会带来误差。3 外加均匀电场中的两个相同的无限长圆柱体 对两个无限长圆柱体的情况,外加垂直圆柱体均匀横向电场有两个方向,一个是电场方向平行两个柱体的连线,一个是垂直两个柱体的连线,如图2 所示。由于每个柱体实际上是处于非均匀外场中,采用前面的线电偶极子模型不可能得到精确解,因此这里只能得到一个近似解。设位于柱心的线偶极子 A 经受的电场为 E10,由外加均匀电场 E0 和来自于另一个线偶极子 B 电场的合成场组成(由于求的是偶极子所受的电场,因此偶极子 A 本身的电场不考虑)。在横向平行电场时,可得()=+=210edip2edip010222RkEDREE (4)式中 dip柱体单位长度的偶极矩,由式(2)得到 解方程(4)可得()20dip2/1DRRk+=(5)(1a)(1b)x y E0 R(1b)O 第 19 卷第 5 期 叶齐政等 均匀场中两无限长介质圆柱的柱心线电偶极子模型 3 在横向垂直电场时,可得()=+=210edip2edip010222RkEDREE (6)解方程(6),可得()20dip2/1DRRk+=(7)图 2 外加均匀场中的两柱体系统 Fig.2 Two-cylinder system in a uniform field 4 与其他方法的比较 4.1 偶极矩的比较 偶极子位于柱心(dip)和镜像方法(img)计算的偶极矩的结果见表 1 和表 2。其中镜像法5的计算公式见附录。表 1 两个相同的无限长圆柱体在横向平行 电场中的偶极矩 Tab.1 Dipole moments for two identical cylinders in transverse parallel field i/e D/R 10 100 1000 10 img/0 1.00571 1.00685 1.00698 dip/0 1.00571 1.00685 1.00698 1 img/0 1.10278 1.12641 1.12909 dip/0 1.10000 1.12222 1.12472 0.1 img/0 1.27938 1.37766 1.39021 dip/0 1.22779 1.28579 1.29249 0.01 img/0 1.34676 1.52093 1.54853 dip/0 1.25394 1.32034 1.32806 0 img/0 1.35913 1.57783 1.63373 img/0 1.25714 1.32459 1.33244 表 2 两个相同的无限长圆柱体在横向垂直 电场中的偶极矩 Tab.2 Dipole moments for two identical cylinders in transverse perpendicular field i/e D/R 10 100 1000 10 img/0 0.99435 0.99324 0.99312 dip/0 0.99435 0.99324 0.99312 1 img/0 0.91844 0.90423 0.90270 dip/0 0.91667 0.90179 0.90018 0.1 img/0 0.85673 0.83542 0.83318 dip/0 0.84350 0.81815 0.81545 0.01 img/0 0.84811 0.82610 0.82379 dip/0 0.83159 0.80475 0.80191 0 img/0 0.84712 0.82504 0.82272 dip/0 0.83019 0.80318 0.80032 从表中可以看出,随着柱体间距的减小和介电常数差异的增加,两种方法计算的偶极矩差异增加。当 D/R0.1 时,平行场中两者误差在 7%以下,垂直场中误差在 2%以下。4.2 柱体表面电场的比较 根据电场唯一性定理,如果一个区域边界上的电场唯一确定,则该区域内的电场就唯一确定。为了比较该方法的计算精度,只需考察柱体表面电场的计算结果,考察的标准以有限元法的计算结果为准,有限元的计算区域为图 2 中的 LL。边界条件设置为:在横向平行电场中,当 y=0 或 y=L 时,0=y;当 x=(R+D/2)时,LE0=,x=L(R+D/2)时,0=。在横向垂直电场中,当 y=0 时,0=;y=L 时,LE0=;当 x=(R+D/2)或 x=L(R+D/2)时,0=x。计算软件采用 PDE 有限元计算软件。理论上 L 应趋近无穷大,但计算表明 L100R 时,计算结果基本上和 L 无关,故选择 L=100R。图 3、图 4 为横向平行电场中 D/R=0.1,i/e分别为 10、100 时沿弧面的电场绝对值分布,从图中可以看出除了在两柱体相邻位置差异较大外,其他区域有较好的一致性,随着介电常数差异的增加,误差加大。图 5、图 6 为横向垂直电场中 D/R=0.1,i/e分别为 10、100 时沿弧面的电场绝对值分布,从图中可以看出除了在两柱体相邻位置差异较大外,其他区域有较好的一致性,随着介电常数差异的增加,误差加大。在两柱体相邻位置,当 D/R0.1 时,误差较小,限于篇幅,这里不再列出比较图形。00.511.522.533.544.55-1-0.500.51F E MD I P x/R 图 3 横向平行电场中沿弧 1-2 的电场分布(D/R=0.1,i/e=10)Fig.3 Field distribution along the arc 1-2 in the transverse parallel field(D/R=0.1,i/e=10)01234567-1-0.500.51F E MD I P x/R 图 4 横向平行电场中沿弧 1-2 的电场分布(D/R=0.1,i/e=100)Fig.4 Field distribution along the arc 1-2 in the transverse parallel field(D/R=0.1,i/e=100)00.40.81.21.6-1-0.500.51F E MD I P x/R 图 5 横向垂直电场中沿弧 1-2 的电场分布(D/R=0.1,i/e=10)Fig.5 Field distribution along the arc 1-2 in the transverse perpendicular field(D/R=0.1,i/e=10)00.40.81.21.62-1-0.500.51F E MD I P x/R 图 6 横向垂直电场中沿弧 1-2 的电场分布(D/R=0.1,i/e=100)Fig.6 Field distribution along the arc 1-2 in the transverse perpendicular field(D/R=0.1,i/e=100)5 结论 对两无限长的介质圆柱在均匀外电场中的计算问题,柱心线电偶极子模型是将柱体等效为在柱心沿轴线有一列平行排列的电偶极子(方向为电场方向),其整体称为一个线电偶极子,进而考虑柱体间的相互作用求得偶极矩,然后计算柱体周围的电场。当柱体和环境介质的介电常数差异较小,柱体间距较大时,这种近似计算模型误差较小,当 D/R0.1时,该模型在计算偶极矩和柱体周围电场时是可行的。横向垂直电场中偶极矩的计算结果比横向平行电场中的结果误差要小;柱体表面电场分布的计算结果在柱体相邻处误差较大,其中横向垂直场中误差较小但电场反向(当 D/R0.1 时)。附 录 cosh22=+RRD 在横向平行电场中,=+=020img)1sinh(sinh/nnnk (A1)当 D=0 时,()kkLi20img/=(A2)式中 =122)(mmmkkLi 在横向垂直电场中,E/E0 E/E0 E/E0 E/E0 54.543.532.521.510.50-1 -0.5 0 0.5 1 76543210-1 -0.5 0 0.5 1 1.61.20.80.40-1 -0.5 0 0.5 1 21.61.20.80.40-1 -0.5 0 0.5 1 FEM DIP FEM DIP FEM DIP FEM DIP 第 19 卷第 5 期 叶齐政等 均匀场中两无限长介质圆柱的柱心线电偶极子模型 5()=+=020img)1sinh(sinh/nnnk (A3)当 D=0 时,()kkLi=20img/(A4)参考文献 1 Jones T B,Miller R D.Multipolar interactions of dielectric spheres.J.Electrostatics,1989,22:231244 2 Chen Y,Sprecher A F,Conrad H.Electrostatic particle-particle interactions in electrorheological fluids.J.Appl.Phys.,1991,70(11):67966803 3 Masao Washizu,Jones T B.Dielectrophoretic interaction of two spherical particles calculated by equivalent multipole-moment method.IEEE Trans.Ind.Appl.,1996,32(2):233242 4 Massao Washizu.Precise calculation of dielectrophoretic force in arbitrary field.J.Electrostatics,1992,29:177188 5 Leon Poladian.Long-wavelength absorption in composites.Phys.Rev.B,1991,44(5):20922107 6 Emets Yu P,Onofrichuk Yu.P.Interaction forces of dielectric cylinders in electric fields.IEEE Trans.on Dielectrics and Electrical Insulation,1996,3(1):8798 7 Guido Dohondt,Manfred Kohl.On the force between a dielectric cylinder in a constant electric field and a conducting half space.Quarterly of Applied Mathematics,1997,55(2):347359 8 Stoy R D.Interactive dipole model for two-sphere system.J.Electrostatics,1994,33:385392 9 冯慈璋.电磁场.北京:高等教育出版社,1983.204208 作者简介 叶齐政 男,1965 年生,博士,副教授,从事电磁场理论、等离子体环境工程应用技术的教学和研究。张家聪 男,1976 年生,硕士生,研究方向为等离子体环境工程应用技术。中中国国电电工工技技术术学学会会低低压压电电器器专专业业委委员员会会 第第十十二二届届学学术术年年会会征征文文通通知知 低压电器专业委员会拟定于 2004 年下半年在广东省召开第十二届学术年会。现广泛征集论文,经审查录用即编入论文集,专委会热诚欢迎广大热心会员及作者踊跃投稿,同时请专委会委员协助组织论文并踊跃投稿。现将有关事宜通知如下。应征论文必须是未公开发表的,提倡理论联系实际,文字简明扼要。应征论文应附有摘要(不超 300 字)。征文内容范围如下。1低压电器新产品的研发及动向。2计算机仿真技术在低压电器中的应用。3低压电器先进制造技术、辅助加工技术、检测技术。4现场总线在低压电器中的应用及其优势。5造型设计用于低压电器的实践。6电磁兼容及可靠性技术。7低压电器防雷新技术。8低压电器用于高原地区的对策。9新型的企业管理模式。10其他。论文初稿请于 2004 年 6 月 30 日前寄往低压电器专业委员会秘书处,来稿不退请自留底稿,初评录用后即通知论文作者按要求打印。低压电器专业委员会秘书处地址:上海市武宁路 505号上海电器科学研究所(集团)有限公司低压电器分所内。联系人:陈培国、周海麟 邮 编:200063 电 话:021-62439472 021-62574990-271、610 传 真:021-62576021
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