静定结构内力计算

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1、第三章静定结构的受力分析主要任务：要求灵活运用隔离体的平衡条件，熟练掌握静定梁内力图的作法。分析方法： 按构造特点将结构拆成杆单元，把结构的受力分析问题转化为杆件的受力分析问题。 3-1梁的内力计算的回顾一、截面上内力符号的规定：轴力 截面上应力沿杆轴切线方向的合力，使杆产生伸长变形为正，画轴力NN图要注明正负号；剪力 截面上应力沿杆轴法线方QQ向的合力 , 使杆微段有顺时针方向转动趋势的为正，画剪力图要注明正负号；弯矩 截面上应力对截面形心的MM力矩之和 , 不规定正负号。弯矩图画在杆件受拉一侧，不注符号。二、用截面法求指定截面内力计算如图所示结构截面1的内力P先计算左截面的内力，可取截面1

2、以左2Paa隔离体进行分析。P根据静力平衡条件求截面未知力：1PP1.5a1.5ax0N1ZPy 0Q1ZP 0Q1ZPM 1 0M 1ZP1.5a 0M 1Z1.5PaMZ计算右截面的内力 , 也可取截面 1以左P1Z隔离体进行分析。在这个隔离体上有1.5aN 1P集中力矩2Pa，三个未知力为：Q 1ZMUx0N1UP1P2PaUy0Q1UP0Q1UP1.5aN 1M 1UPM 102PaP 1.5a0Q 1UM 1U0.5PaP2PaaP3121.5a1.5aPP( a)P2PaM 22P1.5a1.5aQ( d)2PaN30,Q3P,Q3M 3M 3Pa.N3计算截面2 的内力现取截面

3、2 左边的隔离体进行分析，根据三个平衡条件就可得出截面 2 上的三个未知力：也可取截面2 右边隔离体计算PM 2 aN2P,N2 N2Q2P,M 2Pa.2PQ2计算截面3 的内力此时应取截面 3 以上的隔离体进行分析比较简单。结论：截面上内力求解简单方法1、轴力等于该截面任一侧所有外力沿该截面轴线方向投影的代数和。外力背离截面投影取正，指向该截面投影为负。2、剪力等于该截面任一侧所有外力沿该截面切线方向投影的代数和。如外力使隔离体有顺时针转动趋势，其投影取正，反之为负。3、弯矩等于该截面任一侧所有外力对该截面形心之矩代数和。三、荷载、内力之间的关系（平衡条件的几种表达方式）()（ 1）微分关

4、系dQq xqdxd xdMQdx水平杆件下侧受拉为正；竖向杆件右侧受拉为正。qPd 2MqM+dMQM+ Mdx2QMm（ 2）增量关系QPMd xd xQ+dQQ+ QMm（3）积分关系由 d Q = qdq( x)QBxQAxBMAq(x) dxMBxA由d M=Qd xQAx BQBM BM AQ( x) dxx A几种典型弯矩图和剪力图Pmql /2l /2l /2l /2lmqlP2Pl22mql22Plmql 24281、集中荷载作用点2、集中力矩作用3、均布荷载作用段点M图有一夹角，荷载向M图为抛物线，荷载向下M图有一突变，力矩下夹角亦向下；曲线亦向下凸；为顺时针向下突变；Q

5、图有一突变，荷载向Q 图为斜直线，荷载向Q 图没有变化。下突变亦向下。下直线由左向右下斜四、分段叠加法作弯矩图MqAYAMMAMMAM+MMMM4kNm4kN3m3mMPqBYBABMqMABMNANBBYAYBMAqMBMBYAYBMMMABM8kNm2kN/m3m3m（ 1）集中荷载作用下（1）悬臂段分布荷载作用下4kNm2kNm6kNm（2）跨中集中力偶作用下（ 2）集中力偶作用下4kNm4kNm2kNm4kNm（ 3）叠加得弯矩图（3）叠加得弯矩图4kNm6kNm4kNm4kNm2kNm分段叠加法作弯矩图的方法：（ 1）选定外力的不连续点（集中力作用点、集中力偶作用点、分布荷载的始点和

6、终点）为控制截面，首先计算控制截面的弯矩值；（ 2）分段求作弯矩图。当控制截面间无荷载时，弯矩图为连接控制截面弯矩值的直线；当控制截面间存在荷载时，弯矩图应在控制截面弯矩值作出的直线上在叠加该段简支梁作用荷载时产生的弯矩值。几点注意 ：1、弯矩图叠加是竖标相加，而不是图形的拼合。叠加上的竖标要垂直杆轴线。2、为了顺利地利用叠加法绘制弯矩图，应牢记简支梁在跨中荷载下的弯矩图。3、利用叠加法绘制弯矩图可以少求一些控制截面的弯矩图。4、利用叠加法绘制弯矩图还可以少求一些支座反力。5、对于任意直杆段，不论其内力是静定还是超静定，不论是等截面杆还是变截面杆，不论该段内各相邻截面间是连续的还是定向连接或者

7、是铰结的，弯矩叠加法均可适用。例：利用叠加法求作图示梁结构的内力图。分析该梁为简支梁，弯矩控制截P=8kN q=4 kN/mm=16kN.m面为： D、F、GACDEF GB叠加法求作弯矩图的关键是计算控制截面位置的弯矩值1m 1m2m2m1m 1m解：（ 1）先计算支座反力（ 2）求控制截面弯矩值RA17 kNRB 7 kN取 AD部分为隔离体，可计算M D1728 126 KNm得：取 FB部分为隔离体，可计算M F7 21630KNm得：17AC DEF GB9137+15AEFGB1723CD_267830M 图（ kN.m ）Q 图（ kN ）五、斜梁的计算qqBRB=ql/2RB=

8、ql/2cos 2AM1max=ql 2/8M2max=ql 2/8cos 2ll（ l（ 2）qBRB=ql/2cosAM2（3）=ql /8cos3maxl 3-2 静定多跨梁一、多跨静定梁的几何组成特性多跨静定梁常用于桥梁结构。从几何组成特点看，它的组成可以区分为基本部分和附属部分。如图所示梁，其中AC 部分不依赖于其它部分，独立地与大地组成一个几何不变部分，称它为基本部分 ；而 CE部分就需要依靠基本部分AC才能保证它的几何不变性，相对于AC 部分来说就称它为 附属部分 。ACECEAEAC（ a）（ b）（c）二、分析多跨静定梁的一般步骤对如图所示的多跨静定梁，应先从附属部分开始分析

9、：将支座C的CE支反力求出后，进行附属部分的内力分析、画内力图，然后将支座C 的反力反向加在基本部分AC 的 C 端作为荷载，再进行基本部分的内力分析和画内力图，将两部分的弯矩图和剪力图分别相连即得整个梁的弯矩图和剪力图。分析下列多跨连续梁结构几何构造关系，并确定内力计算顺序。Pq1BCDEFGHAqPEFGHCDABPq2BCDEFAPqABCDEF注意：从受力和变形方面看：基本部分上的荷载仅能在其自身上产生内力和弹性变形，而附属部分上的荷载可使其自身和基本部分均产生内力和弹性变形。 因此，多跨静定梁的内力计算顺序也可根据作用于结构上的荷载的传力路线来决定。例 140k N80k Nm20k

10、 N/mABCDIEFGH2m2m2m1m2m2m1m4m2m构造关系图40k NCAB80k Nm20k N/mIFGH80k NmDEI40k N20402020k N/m402020E FBCDGH25555854020AB 252010505040k N80kNmABCDEF252m2m2m1m2m2m1m555405020204050M 图（ k N m）40k N255552535152020k N/mGH4m2m85401020k N/m854045例3P2 AEBa aa3PPaAEBaaaPa1.5PaPaM图P+2PQ图Q 图（ k N ）PC FD 几何构造分析： ABC

11、为基本部分， CD为附属部分aa计算：先求 CD段，再求 ABC段。PaPPa0C FDABC FDaa PPaPaM图M图P+Q图 PP+2PQ图例P2Pa3AEBDaa aC2a4PaP2Pa2PaPAEBCD0ACE0BPFDP2aPaaa2Pa3PaM图4PaM图2Pa3Pa2Pa4PaAEBCDQ图PPPQ图qABCDEFlxlxl试选择铰的位置 x ，使中间跨的跨中弯矩与支座弯矩绝对值相等。qCDq(l-q(l-q(l-2x) 2/82x)/22x)/2qq(l-q(l-q2x)/22x)/2ABExqx(l-2x)/2+qx 2/8qx(l-2x)/2+qx2/8=q(l-2x)

12、 2/8120.1465lxl24 3-3 静定平面刚架一、平面刚架结构特点：刚架是由梁和柱以刚性结点相连组成的，其优点是将梁柱形成一个刚性整体，使结构具有较大的刚度，内力分布也比较均匀合理，便于形成大空间。下图是常见的几种刚架：图（a）是车站雨蓬，图（b）是多层多跨房屋，图（ c）是具有部分铰结点的刚架。( a)( b)( c)刚架结构优点：（ 1）内部有效使用空间大；（ 2）结构整体性好、刚度大；(d)(e)（ 3）内力分布均匀，受力合理。二、常见的静定刚架类型1、悬臂刚架2、简支刚架3、三铰刚架4、主从刚架三、静定刚架支座反力的计算刚架分析的步骤一般是先求出支座反力，再求出各杆控制截面的

13、内力，然后再绘制各杆的弯矩图和刚架的内力图。在支座反力的计算过程中，应尽可能建立独立方程。下图所示两跨刚架可先建立投影方程= 计算 RC ，再对 RC和 RB的交点Y 0O取矩，建立力矩方程MO= 0 ，计算 R ，最后建立投影方程X=0计算B。ARyxC0RCRA.OBRBA如图（ a）三铰刚架，具有四个支座反力，可以利用三个整体平衡条件和中间铰结点C 处弯矩等于零的局部平衡条件，一共四个平衡方程就可以求出这四个支座反力。CCqfqf( a)( b)ABXAA l /2l /2BXBl /2l /2YAYBM B 0X0YAlqf0qf2fYAX22lXM A0YBlqf0qf 2fYB22

14、lAqfX B0AX BqfOCqfXAA l /2l /2BXBYAYB( b)X AX BqfM C0X B fYBl02X Bqf于是 XA3 qf44OXCCYCfl /2BXB( c)YB对O点取矩即得：M O0X A 2 fqf 3 f02X A3 qf4OOCqfDqCBO，BOAAYDl /2l /2XDFRCXDYD注三铰刚架结构中，支座反力的计算是内力计算的关键意：所在。 通常情况下，支座反力是两两偶联的，需要通过解联立方程组来计算支座反力，因此寻找建立相互独立的支座反力的静力平衡方程，可以大大降低计算反力的复杂程度和难度。如右图 ( a) 是一个多q跨刚架，具有四个支座C

15、反力，根据几何组成分PQ析：以右是基本部分、以左是附属部分，D分析顺序应从附属部分BA到基本部分。( a)qqCXCCXCPYCYCQDXDBXA( b)AYBYA( c)四、刚架的内力分析及内力图的绘制分段：根据荷载不连续点、结点分段。 定形：根据每段内的荷载情况，定出内力图的形状。 求值：由截面法或内力算式，求出各控制截面的内力值。 画图：画 M图时，将两端弯矩竖标画在受拉侧，连以直线，再叠加上横向荷载产生的简支梁的弯矩图。Q，N 图要标，号；竖标大致成比例。例 1.试计算图 ( a) 所示简支刚架的支座反力，并绘制、 Q和 N图。 解(1) 支座反力H A80kN , VA20kN ,V

16、B60kN 。(2) 求杆端力并画杆单元弯矩图。X0QBA204800Y0N BA200M B0M BA204 280440 kNBCDM BAmm/VB 60m/NNk4k0022HA 80A80VA202m2m( a)40kNN BDM BDB2m2mD60QBDX0Y0NBD0QBD20kNBDQBA0N BA20kN0MBA160kN m（右侧受拉）N BA160 kNmQBA160BBBm/mNmk404402AAA20( b)( c)( d) M图160kNm40kNBD2m2mM D 0M BD160kN m（下拉）2020BN BD16040M 图060160N BAQ图（ k

17、N)MQBAN BABD BA80160Bm40/Nmk4004202A80AN图（ kN)M 图 (kN m）20例 2.试计算下图所示悬臂刚架的支座反力，并绘制、Q和 N图。解：（1）计算支座反力2qa2qx02q4aX A0C6qaEX A8qaa3y0YA6qaq4a 0DBaYA10 qa2qmA042qa2q4a2a6qa 2aAX A2q4a2a MA 02aM A 4a2aM A14qa2YA（ 2）计算各杆端截面力，绘制各杆M图1）杆 CD结点 D22a2qaqQDC020C2NDC02qaNDB0D0QDCQDB0NDBM DC2qa2DM DCM图M DBM DB2NDC

18、QDB2qa2）杆 DB3) 杆BE2qa26qaM BDqxN BD0DBNBDQ BD6qayEQBDaM BD10qa236qa 22M BEB10qaQBEN BE4a2qa2M图x0N BEq4asin0y0QBEq4acos04）杆 ABN BAM BABQBA2qaA14qa28qa10qa4qa 22qa2QBE4qa 43.2qa58qa 2mB0M BEq 4a2a0M BE 8qa2M图3N BE4qa2.4qa5N BA10qaa2qQBA028qa22M BA2qa 26qa210qa2qa22qa24qa 214qa 214qa2M图（ 4）绘制结构 Q图和 N图Q

19、DC0NDC0Q DB03.2 qaNDB02.4 qaQBD6qaNBD0QBE3.2qaN BE2.4qaQBA06qaNBA10qa 10qaX A8qa ()8qa YA10qa( )Q 图N 图例 3试绘制下图所示刚架的弯矩图。30kN20kNm40kNmDCE40kNmDEm410kNAB10kN2m2m10kN20kN20MDC20MEC 40DE4020kNm40kNm40DCE例 4.求绘图示结构的弯矩图。2qaG10kNAB10kN10kN20kN204040M图（ kNm）2qa22Dqa1.5qa 2qa2qqa0.9qa 2EC0.6qa 2F a5.1AB2qaaa

20、aG2qa2qa 2D0.6qaqa21.5qa2qaXqa0.9qa 2ECMqa20.6qa2 F a5.1AB0.6qaMqa 2qa作刚架 Q、 N图的另一种方法首先作出 M图；然后取杆件为分离体，建立矩平衡方程，由杆端弯矩求杆端剪力；最后取结点为隔离体，利用投影平衡由杆端剪力求杆端轴力。qa2/2q CBqa2/2CBqa2/2QCBQCBaM qa2/2+ Qa=0qa2/8CCBqa2/2qa/2AQBC=QCB=QCAM图a M qa2/2+ qa 2/2Q a=0q CACqa/2QAC=（qa2/2+ qa 2/2） /aNCBQAC=qa0M0X 0，NCB 0AN（22

21、）CAY 0，N qa/2Q CA=qa /2qa /2CA/a=0q=4kN/m3.58m1.79C566.D4.51Em3图（）Q图（ kN）7.16MkN.m2AB22kN2kN3kN3m3m9kNsin1cos2l DC l EC3.35m550.453.133.135.82 39N图（ kN）4kN/mNDCNECCC3.581.797.16QCE6 DQ CDNQE1.792. 35ECQDC2m3CEm953. 33 MC=6+3 4 1.5+3.35Q EC 0X=(NCE+a -(3.58+1.79) sina =3.13) cos0QEC= 7.16kN1.79sin2 0

22、XN cosME=6DC341.5+3.35Q CE0EC210X M2=6N Q3.357.160DCDN DC3.13kN55QCE= 3.58kNDCQCD=1.79(kN)=QN EC5.82kN弯矩图的绘制如静定刚架仅绘制其弯矩图，并不需要求出全部反力，只需求出与杆轴线垂直的反力。1、悬臂刚架可以不求反力，由自由端开始直接求作内力图。q2q? qL2qL2BBCLqL2M CBqL2 (下拉）M BC21 qL2AA(下拉）M BA12 qL2 ( 右拉）L6q2qC qD m2m22、简支型刚架弯矩图简支型刚架绘制弯矩图时，往往只须求出一个与杆件垂直的支座反力，然后由支座作起。q2

23、ql 2/2/lq2Dqa2 /2l/lCaBqqa2/2qa2 /aa8qL2/2qllA注意： BC杆和 CD杆的剪力等于零，相应的qa弯矩图与轴线平行3、三铰刚架弯矩图1 反力计算1）整体对左底铰建立矩平衡方程MA= qa2+2qa2-2aYB=0(1)2） 对中间铰 C建立矩平衡方程MB=0.5qa 2+2aXB -aY B=0(2)解方程 (1) 和(2) 可得XB=0.5qaYB=1.5qa3） 再由整体平衡X=0解得XA=-0.5qaY=0解得YA=0.5qa qa1/2qa 2qa20 qCa1/2qa 22 绘制弯矩图注意： 三铰刚架绘制弯矩图往往只须求一水平反力然后由支座作

24、起！画三铰刚架弯矩图C MaAB2Xqa /2B2XAqa /2,aaYBYAOMM/2M/2aABaaCABXBRAYBM =m 2aX =0,得X =M/2aoBB注意：1、三铰刚架仅半边有荷载，另半边为二力体，其反力沿两铰连线，对 O点取矩可求出B点水平反力，由B支座开始做弯矩图。2、集中力偶作用处，弯矩图发生突变，突变前后弯矩两条线平行。3、三铰刚架绘制弯矩图时，关键是求出一水平反力！OqqL2/4CqL2/4整体对 O点建立平衡方程得MO=qL 1.5L 2LXA=0L得XA=3qL/4B3/4qLARBYALL三铰刚架弯矩图！4、主从结构绘制弯矩图可以利用弯矩图与荷载、支承及连结之

25、间的对应关系，不求或只求部分约束力。qaqqaaaa2aaaaqa2qqa2/2qaqaFC GA BHDEqa2/22qa2/2qaM图（ kN.m）绘制图示刚架的弯矩图仅绘 M图, 并不需要求出全部反力 .先由 ADm Y=02得YA=80kNm再由整体平衡方程2X=0得XB=20kNm3然后先由 A.B支座开始作弯矩图 .整体： M 0A3qa a/2 XB a0 XB=1.5qaXA=4.5qaP2P2PhPhPh 2PhPhPh120MEA=80 6? 20 62=120180D60Eq=20kN/m120A120C9080kNF1806020kN62.520kNM图kN.mB4m2m5ma4.5qa 2q5qa2aAaYA=0BM图XB=1.5qaaaaYB=02Ph2Phaaa2a5、对称性的利用对称结构在对称荷载作用下，反力和内力都呈对称分布；对称结构在反对称荷载作用下，反力和内力都呈反对称分布。mmmh