新编高考数学人教a版理科题库：矩阵与变换含答案

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1、选修 4-2矩阵与变换1已知矩阵 A1223，B2312，C0110，求满足 AXBC 的矩阵 X.解AXBC，所以(A1A)XBB1A1CB1而 A1AXBB1EXBB1X(BB1)X，所以 XA1CB1因为 A13221，B12312，所以 XA1CB1322101102312231223121001.2设圆 F：x2y21 在(x，y)(x，y)(x2y，y)对应的变换下变换成另一图形 F，试求变换矩阵 M 及图形 F的方程解xyx2yy1201xy，M1201.圆上任意一点(x，y)变换为(x，y)(x2y，y)，来源:Z#xx#k.Comxx2yyy，即xx2yyy.x2y21，(x

2、2y)2(y)21.即 F的方程为(x2y)2y21.(1)求实数 a、b、c、d 的值；(2)求直线 y3x 在矩阵 M 所对应的线性变换作用下的像的方程解(1)由题设得：c02，2ad0，bc02，2bd0.解得a1，b1，c2，d2.(2)矩阵 M 对应的线性变换将直线变成直线(或点)，可取直线 y3x 上的两点(0，0)，(1，3)，得点(0，0)，(1，3)在矩阵 M 所对应的线性变换作用下的像是点(0，0)，(2，2)从而，直线 y3x 在矩阵 M 所对应的线性变换作用下的像的方程为 yx.4已知二阶矩阵 Aabcd，矩阵 A 属于特征值11 的一个特征向量为 a111，属于特征值

3、24 的一个特征向量为 a232，求矩阵 A.解由特征值、特征向量定义可知，Aa11a1，即abcd11111，得ab1，cd1.同理可得3a2b12，3c2d8.解得 a2，b3，c2，d1.因此矩阵 A2321.5设矩阵 Ma00b(其中 a0，b0)(1)若 a2，b3，求矩阵 M 的逆矩阵 M1；(2)若曲线 C：x2y21 在矩阵 M 所对应的线性变换作用下得到曲线 C：x24y21，求 a、b 的值解(1)设矩阵 M 的逆矩阵 M1x1y1x2y2，则 MM11001.又 M2003.2003x1y1x2y21001.2x11，2y10，3x20，3y21，即 x112，y10，x

4、20，y213，故所求的逆矩阵 M1120013.(2)设曲线 C 上任意一点 P(x， y)， 它在矩阵 M 所对应的线性变换作用下得到点P(x，y)，则a00bxyxy，即axx，byy，又点 P(x，y)在曲线 C上，x24y21.则a2x24b2y21 为曲线 C 的方程又已知曲线 C 的方程为 x2y21，故a24，b21.又 a0，b0，a2，b1.6给定矩阵 M23131323，N2112，向量11.(1)求证：M 和 N 互为逆矩阵；(2)求证：向量同时是 M 和 N 的特征向量；(3)指出矩阵 M 和 N 的一个公共特征值解(1)证明：因 MN2313132321121001，且 NM2112231313231001，所以 M 和N 互为逆矩阵(2)证明：因为 M231313231111，所以是 N 的特征向量因为 N21121111，所以是 N 的特征向量(3)由(2)知，M 对应于特征向量11的特征值为 1，N 对应于特征向量11的特征值也为 1，故 1 是矩阵 M 和 N 的一个公共特征值