(公开课)向量数乘运算及其几何意义公开课
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1、特点:特点:共起点,连终点,方向指向被减向量共起点,连终点,方向指向被减向量1.1.向量向量加法加法三角形法则三角形法则: :aABbCabaAbBOCab特点特点: :首尾相接,连首尾首尾相接,连首尾特点特点:同一起点同一起点,对角线对角线b a b Ba ABAab O2.2.向量向量加法加法平行四边形法则平行四边形法则: :3.3.向量向量减法减法三角形法则三角形法则: : 思考:思考:已知非零向量已知非零向量 , 作出作出 和和 , 你能说明它们的几何意义吗?你能说明它们的几何意义吗? aaaa()()()aaa aBACOaaaNMQPaaa 思考:思考:已知非零向量已知非零向量 ,
2、 作出作出 和和 , 你能说明它们的几何意义吗?你能说明它们的几何意义吗? aaaa()()()aaa aBACOaaaNMQPaaaOCOAABBCaaa PNPQQMMNaaa ()()()3a -记作 3a 记作 一般地,我们规定实数一般地,我们规定实数与向量与向量 的积是一的积是一个向量,这种运算叫做向量的数乘,记作个向量,这种运算叫做向量的数乘,记作 ,aa|;aa(1 1)(2 2)当)当 时,时, 的方向与的方向与 的方向的方向相同相同; 当当 时,时, 的方向与的方向与 的方向的方向相反相反。aa0aa0特别的,当特别的,当 时,时,00.a一.向量数乘的定义它的长度和方向规定
3、如下:它的长度和方向规定如下:设设 为实数,那么为实数,那么, (1) ()() ;(2)();(3) ().aaaaaabab 特别的,我们有特别的,我们有()()(),().aaaabab 向量的向量的加加、减减、数乘数乘运算统称为向量的运算统称为向量的线性运算线性运算.对于对于任意向量任意向量 ,以及任意实数,以及任意实数 ,恒有,恒有ab ,1212().abab 12, 结合律结合律分配律分配律分配律分配律二:运算律二:运算律:仍是向量仍是向量例例1.计算:计算:34322332();()();()().(1)(2)(3)aababaabcabc 13 412( )()aa 原原式式
4、233225( )ababab原原式式解解:例题讲解3233252( )abcabcabc 原原式式2 263 ) 3( 342 );3()2(2 )4()0 .abcabcxaxaxabx 计算:(1) (2)已知求141269126abcabc解:()原式13a2 33244440 xaxaxab( )由已知得:34xab 340 xab即练习练习: :?,),0() 1 (位置关系如何则若baaab?),0(/)2(是否成立则若abaab/ba成立成立课本课本P90,ex.5P90,ex.5练一练练一练: :思考:思考:三:向量共线定理三:向量共线定理0.),(,ababa向量与 共线
5、当且仅唯一一个当有实数使abab即 与 共线ba(0)a (重点)(重点)课本课本P90,ex.4P90,ex.4练一练练一练: :例例2.如图,已知任意两个向量如图,已知任意两个向量 ,试作,试作a b 、2 ,3 .OBab OCab ,OAab 你能判断你能判断A、B、C三点之三点之间的位置关系吗?为什么?间的位置关系吗?为什么?abab2b3bABCO解解: 2 -() 3 -()2ABOBOAababbACOCOAababb 2ACAB , ,A B C故三点共线小结小结:121212122362348:eeABee BCee CDeeAB 已知两个非零向量 和 不共线,如果,求证、
6、 、D三点共线. 如图:已知如图:已知 , ,试判断,试判断 与与 是否共线是否共线 ABAD 3BCDE3 ACAEABDECBCAB 33BCAB3AC 3 与与 共线共线 AEACDEADAE 解解:导学案导学案ABCMabD, ,.ABCDMABaADba bMA MB MCMD 例4.如图,的两条对角线相交与点且用表示和111222MCACab 1111()2222MDMBDBabab 1111()2222MAACabab 1111()2222MBDBabab :. ABCDACABADabDBABADab 解 在中() 如图所示,D是 ABC的边AB上的中点,则向量CD11221122 BCBABCBAC BCBA BCBA练习练习:DCBAa(0)a baab教材教材P91ex.2.2A组组9、10、 12、13和和B组组3;课后作业课后作业12124 eeeke解解:和和2 2向向量量共共线线12124,() ekeee存存在在实实2 2使使得得数数8k 24k 12124 ekeee即即2 2
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