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1、函 数 的 单 调 性 与 最 值第 2课 时 喷 泉 喷 出 的 抛 物 线 型 水 柱 到 达 “ 最 高 点 ” 后 便 下 落， 经 历 了 先 “ 增 ” 后 “ 减 ” 的 过 程 ， 从 中 我 们 发 现单 调 性 与 函 数 的 最 值 之 间 似 乎 有 着 某 种 “ 联 系 ” ，让 我 们 来 研 究 函 数 的 最 大 值 与 最 小 值 . 观 察 下 列 两 个 函 数 的 图 象 ： y xo x0图 2M B探 究 点 1 函 数 的 最 大 值思 考 1 这 两 个 函 数 图 象 有 何 共 同 特 征 ？ 【 解 答 】 第 一 个 函 数 图 象 有
2、 最 高 点 A,第 二 个 函 数 图象 有 最 高 点 B,也 就 是 说 ,这 两 个 函 数 的 图 象 都 有 最 高点 .思 考 2 设 函 数 y=f(x)图 象 上 最 高 点 的 纵 坐 标 为 M,则对 函 数 定 义 域 内 任 意 自 变 量 x,f(x)与 M的 大 小 关 系 如何 ?【 解 答 】 f(x) M 最 高 点 的 纵 坐 标 即是 函 数 的 最 大 值 ！ 最 大 值 一 般 地 ， 设 函 数 y=f(x)的 定 义 域 为 I， 如 果 存在 实 数 M满 足 ： （ 1 ） 对 于 任 意 的 x I， 都 有 f(x)M; （ 2 ） 存
3、在 x0 I， 使 得 f(x0 ) = M那 么 ， 称 M是 函 数 y=f(x)的 最 大 值 请 同 学 们 仿 此 给出 函 数 最 小 值 的定 义 最 小 值 一 般 地 ， 设 函 数 y=f(x)的 定 义 域 为 I， 如 果 存在 实 数 M满 足 ： （ 1 ） 对 于 任 意 的 x I， 都 有 f(x)M; （ 2 ） 存 在 x0 I， 使 得 f(x0 ) = M那 么 ， 称 M是 函 数 y=f(x)的 最 小 值 2 、 函 数 最 大 （ 小 ） 值 应 该 是 所 有 函 数 值 中 最大 （ 小 ） 的 ， 即 对 于 任 意 的 x I， 都 有
4、 f(x) M（ f(x) M） 注 意 ：1 、 函 数 最 大 （ 小 ） 值 首 先 应 该 是 某 一 个 函 数值 ， 即 存 在 x0 I， 使 得 f(x0 ) = M；思 考 ：是 否 每 一 个 函 数 都 有 最 值 ？ 举 例 说 明 . 例 1.求 函 数 在 区 间 2 ， 6 上 的 最 大 值 和 最小 值 12 xy解 ： 设 x1 ,x2 是 区 间 2 ,6 上 的 任 意 两 个 实 数 ， 且 x1 x2 ,则)1)(1( )(2 )1)(1( )1()1(2 1212)()( 12 12 12 12 2121 xx xx xx xx xxxfxf 典
5、例 讲 解 由 于 2 x1 x2 0 ,(x1 -1 )(x2 -1 )0 ,于 是)()(,0)()( 2121 xfxfxfxf 即所 以 ， 函 数 是 区 间 2 ,6 上 的 减 函 数 .12 xy 因 此 ,函 数 在 区 间 2 ,6 上 的 两 个 端 点上 分 别 取 得 最 大 值 和 最 小 值 ， 即 在 点 x=2 时 取 最大 值 ， 最 大 值 是 2 ， 在 x=6 时 取 最 小 值 ， 最 小 值 为0 .4 . 12 xy 12 xy 求 函 数 的 最 大 值 .16( ) , 2,10f x x xx 解 :任 取 x1 , x2 , x1 , x
6、2 2 ,1 0 ,且 x1 x2 ,1 2 1 21 216 16( ) ( ) ( ) ( )f x f x x xx x 1 2 1 21 2( )( 16)x x x xx x 当 时 ,1 22 4x x 1 2 1 20 16 0.x x x x ， 1 2 1 2( ) ( ) 0, ( ) ( ).f x f x f x f x 即所 以 函 数 f(x)在 2 ,4 上 是 减 函 数 .同 理 函 数 f(x)在 4 ,1 0 上 是 增 函 数 . 知 识 延 伸 ： 题 后 感 悟 (1)如 何 根 据 单 调 性 求 函 数 值 域 或最 值 ？ 求 函 数 的 定
7、义 域 ；证明函数在相应区间上的单调性；求出函数在定义域上的最值；写出值域或最值注 意 务必首先求出定义域(2)函 数 的 最 值 与 单 调 性 的 关 系若函数在闭区间a，b上是减函数，则f(x)在a，b上的最大值为f(a)，最小值为f(b)；若函数在闭区间a，b上是增函数，则f(x)在a，b上的最大值为f(b)，最小值为f(a) 例 2 .求 下 列 函 数 的 最 值 .（ 1） (2) .)3( 类 讨 论区 间 的 位 置 关 系 进 行 分 ， 就 对 称 轴 与 给 定配 方 ， 写 出 对 称 轴 方 程分 析 ：最 小 值 。 上 的在求 函 数 1,112)()3( 2
8、axxxf 2( ) ;f x x2( ) 2 1, 0,3)f x x x x 2 2 min 2min (3) ( ) 1( )1 ( ) 1,1( ) (1) 2 ;1 1 ( ) 1,1( ) ( ) 1;( )f xf x x aa f xf x f aa f xf x f a ax a a 函 数 图 像 的 对 称 轴 方 程 为且 函 数 图 像 开 口 向 上 。当 时 ， 在 上 单 调 递 减 ，故当 时 ， 在 上 先 减 后 增 ，故 2min ( )2 ( 1),( ) 1( 1 1),2 ( 1).f x a af x a aa a 综 上 ， 可 知 的 最 小
9、 值 为 ;2)1( 1,1-)(1)( min afxfa xf 故 上 单 调 递 增 ，在时 ，当 【 题 后 感 悟 】(1 )如 何 求 二 次 函 数 在 闭 区 间 m,n上 的 最 值 ？确 定 二 次 函 数 的 对 称 轴 ， 如 x=a;根 据 对 称 轴 与 给 定 区 间 的 位 置 关 系 分 类 讨论 ；结 合 图 象 明 确 函 数 的 单 调 区 间 进 而 求 解 .(2 )二 次 函 数 在 闭 区 间 上 的 最 值 只 可 能 在 区 间的 端 点 处 及 二 次 函 数 图 象 的 对 称 轴 处 取 得 . 跟 踪 练 习 .解 析 ： f(x)
10、x2 2x 3 (x 1)2 2， 其 对称 轴 为 x 1， 开 口 向 上(1)当 x 2,0时 ， f(x)在 2,0上 是 单 调 递 减的 ，故 当 x 2时 ， f(x)有 最 大 值 f( 2) 11；当 x 0时 ， f(x)有 最 小 值 f(0) 3. ).()(1,3 )(3,22 )(0,2)1( ,32)( 2 tgxfttx xfx xfx xxf x 的 最 小 值时 ， 求） 当（ 的 最 值 ；时 ， 求） 当（ 的 最 值 ；时 ， 求当已 知 二 次 函 数 (2)当 x 2,3)时 ， f(x)在 2,3)上 是 先 减 后 增的 ，故 当 x 1时 ，
11、 f(x)有 最 小 值 f(1) 2，又 | 2 1| |3 1|， f(x)的 最 大 值 为 f( 2) 11.(3) 当 t 1时 ，f(x)在 t， t 1上 单 调 递 增 ， 所 以 当 x t时 ，f(x)取 得 最 小 值 ，此 时 g(t) f(t) t2 2t 3. 利 用 函 数 单 调 性 判 断 函 数 的 最 大 (小 )值 的 方 法 2 .利 用 二 次 函 数 的 性 质 （ 配 方 法 ） 求 函 数 的 最 大 (小 )值 1 . 利 用 图 象 求 函 数 的 最 大 (小 )值 3 .利 用 函 数 单 调 性 判 断 函 数 的 最 大 (小 )值 （ 1） 如 果 函 数 y=f(x)在 区 间 a， b上 单 调 递 增 ， 则 函数 y=f(x)在 x=a处 有 最 小 值 f(a),在 x=b处 有 最 大 值 f(b) ； （ 2） 如 果 函 数 y=f(x)在 区 间 a， b上 单 调 递 减 ， 在区 间 b， c上 单 调 递 增 则 函 数 y=f(x)在 x=b处 有 最 小值 f(b)； 教 材 39页 A组 5、 B组 3.
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