原函数与不定积分柯西积分公式解析函数的高阶导数

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1、第 五 讲 原 函 数 与 不 定 积 分Cauchy积 分 公 式解 析 函 数 的 高 阶 导 数 3,3 ,0Re,31)1 2 ii zzC dzzC 终 点 为起 点 为 为 半 圆 周 ：其 中 解 1) 32|1211 ,00Re1 331222 izdzz zzz i iC 故 上 解 析，在 32319312 2222 22 ideideiedzz iiiC ：解 .,1 arg1)2 的 任 意 曲 线终 点 为起 点 为 内：为 单 连 通 区 域其 中 z zDC dzzC ).(ln1lnln1 1ln,1 Dzzzdzz zzDz C 故 的 一 个 原 函 数 ，

2、是又内 解 析在解 2) 例 3 计 算 下 列 积 分 ： 32|332 izdzz i iii 111 11|11 nnnn nzndzz iiizzzzdzz ii cossin|cossinsin 00 小 结 求 积 分 的 方 法knk knc xfdzzf 1 )(lim)()1( udyvdxivdyudxdzzfc )()2( dttztzfdzzf c )()()()3( 0)(,)()4( c dzzfBCBzf 则单 连 通解 析若 )()(,)()( ,)()5( 1010 zfzFzFdzzf BBzf zzzz 则单 连 通内 解 析在若 利 用 Cauchy-G

3、 oursat基 本 定 理 在 多 连 通 域 上的 推 广 ,即 复 合 闭 路 定 理 ,导 出 一 个 用 边 界 值 表 示 解析 函 数 内 部 值 的 积 分 公 式 ,该 公 式 不 仅 给 出 了 解 析函 数 的 一 个 积 分 表 达 式 ， 从 而 成 为 研 究 解 析 函 数的 有 力 工 具 ， 而 且 提 供 了 计 算 某 些 复 变 函 数 沿 闭路 积 分 的 方 法 . 内 容 简 介 3.5 Cauchy积 分 公 式 0)(.)( , ,)(, 000 00 一 般不 解 析在 则的 一 条 闭 曲 线内 围 绕是 内 解 析在单 连 通设 C dz

4、zz zfzzz zf zDCBz DzfD 1 00 )()( CC dzzz zfdzzz zf 的 内 部曲 线 在 内 部 的任 意 包 含 由 复 合 闭 路 定 理 得CC z1 0 ,分 析 DC z0C1 )(21)( )()( 000 000 1 1 zifdzzzzf dzzz zfdzzz zf C CC )0( 01 可 充 分 小 zzzC )()(,0 )(,)( 0zfzf zfCzf 时当 上 的 函 数 值在的 连 续 性 .,这 就 是 下 面 的 定 理这 个 猜 想 是 对 的 DC z0C1 猜 想 积 分特 别 取 定 理 (Cauchy 积 分 公

5、 式 )内 任 意 一 点为它 的 内 部 完 全 含 于 曲 线内 任 意 一 条 正 向 简 单 闭是 内 处 处 解 析在设 Cz DDC Dzf0)3 , ,)2 ,)()1 C dzzz zfizf 00 )(21)( ).(2)(lim: ,)()( . 000 00 0 zifdzzz zf RKdzzz zfdzzz zf CRzzzK KRC K 只 须 证 明 无 关的 半 径与 的 内 部设证 明 )(2)( ,0,0: 00 0zifdzzz zf RzzK即 要 证 kkk dzzzzfdzzz zfzifdzzz zf 00000 1)()()(2)( 2)()(

6、0 0 KK dsRdszz zfzf )()(0,0 )()(lim 0000 zfzfRzzzfzfzz k dzzz zfzf 0 0)()( )(2)(lim 000 zifdzzz zfKR C dzzz zfizf 00 )(21)( 积 分 公 式 仍 成 立 . 上 连 续及 在内 解 析 , 所 围 区 域在(1)若 定 理 条 件 改 为 CauchyBBC BCzf ,)(A . , f(z) .C积 分 公 式 (2) 定 了内 部 任 一 处 的 值 也 就 确 则 它 在 区 域确 定在 区 域 边 界 上 的 值 一 经 即 若值 来 表 示的 值 可 以 用 它

7、 在 边 界 的 内 部 任 一 点表 明 函 数 在Cauchy C i dzzz zfizf zzC 00 0 )(21)( Re:)3( 则若A 一 个 解 析 函 数 在 圆 心 处 的 值 等 于 它 在圆 周 上 的 平 均 值 . 20 0Re )Re(21 dRiezfi ii i 20 0 )Re(21 dzf i 44 3211)2sin21)1 zz dzzzdzz zi ）（求 ： 0sinsin21)1 04 zz zdzz zi iii dzzzdzdzzz zf zzz 62212 321)3211()2 21)( 444 及 例 1解 .1122 线在 内 的

8、任 意 简 单 正 向 曲为 包 含求 zC dzzzzC例 2 21 222 121212 CCC dzzzzdzzzzdzzzz解 CC1 C21 xyo 21 112112 CC dzz zzdzzzzi izzizz zzC 4 2122112 10 积 分 公 式由 ).1( ,173)(,3 222if dzzfyxC C 求 表 圆 周设 例 3解 )613(27)1(62)1( 3)76(2 30)( 3)173(2 30173)( 173 222 iiiif zzi zzf zzzi zdzzf zz C 故又 在 全 平 面 上 处 处 解 析 ， 内 容 简 介 本 节

9、研 究 解 析 函 数 的 无 穷 次 可 导 性 ， 并 导出 高 阶 导 数 计 算 公 式 。 研 究 表 明 ： 一 个 解 析 函数 不 仅 有 一 阶 导 数 ， 而 且 有 各 阶 导 数 ， 它 的 值也 可 用 函 数 在 边 界 上 的 值 通 过 积 分 来 表 示 。 这一 点 与 实 变 函 数 有 本 质 区 别 。 6 解 析 函 数 的 高 阶 导 数 求 导 得两 边 在 积 分 号 下 对对 积 分 公 式 0 000 )()(21)( z Dzdzzz zfizf C C dzzz zfizf 200 )( )(21)( C dzzz zfizf 300

10、)( )(2 !2)( ),2,1()( )(2 !)( 100)( ndzzz zfinzf Cn n 形 式 上 ，以 下 将 对 这 些 公 式 的 正 确 性 加 以 证 明 。 .,)( ),2,1()( )(2 !)( ,)( 000)( 1 DzDzfC ndzzz zfinzfn zf Cn n 而 且 它 的 内 部任 意 正 向 简 单 闭 曲 线 的内 围 绕的 解 析 区 域为 在其 中 阶 导 数 为它 的 的 导 数 仍 为 解 析 函 数解 析 函 数 定 理证 明 用 数 学 归 纳 法 和 导 数 定 义 。 z zfzzfzfDz n z )()(lim)(

11、 .1 00000 的 情 形先 证 C dzzzz zfizzf 00 )(21)( C dzzz zfizf 00 )(21)( 由 柯 西 积 分 公 式 C CCdzzzzzz zfi dzzz zfdzzzz zfziz zfzzf )( )(21 )()(2 1)()( 00 0000 令 为 I CC dzzzzzz zzfidzzz zfi 20020 )( )(21)( )(21 CC dszzzzz zfz dzzzzzz zzfI 200 200 )(21 )( )(21 则 有取则 上 连 续在上 解 析 ，在 ,21min,)(, )()( 0 dzzzdMzfM C

12、zfCzf Cz dzzzdzzzzzz dzzdzz 21,211, 000 00 ）（ *)( )(21)()(lim)( 200000 Cz dzzz zfiz zfzzfzf 从 而 有显 然 ， 的 长 度 ）,0lim (0 3 I CLdMLzI z .2)()( 的 情 形的 方 法 可 证式 及 推 导再 利 用 n C z dzzz zfi z zfzzfzf 30 0000 )( )(2 !2 )()(lim)( 依 次 类 推 ， 用 数 学 归 纳 法 可 得 C nn dzzz zfinzf 100)( )( )(2 !)( ., )()( 无 穷 次 可 导内 解

13、 析即 在具 有 各 阶 导 数 内在内 解 析平 面 上在定 理 表 明 D DzfDzzf一 个 解 析 函 数 的 导 数 仍 为 解 析 函 数 。 )(!2)( )(: 0)(10 zfn idzzz zf nC n 可 计 算 积 分用 途 C zC dzzedzz z rzC 225 )1()2)1(cos)1 1:求 下 列 积 分 值例 1 ii zidzz zz zC 12)(!42 )(cos!152)1(coscos)1 54 1)4(5 ）（在 全 平 面 处 处 解 析解 的 内 部不 相 交 且 在 取处 不 解 析在 CCCizC izCiziz ez 2122

14、 1122 ,: :.)()2 21 222222 )()()1( C zC zC z dzzi edzzi edzze 21 2222 )( )()( )( C zC z dziz iz edziz iz e izzizz izeiiz ei 22 )()!12( 2)()!12( 2 )41sin(2)1sin1(cos)1(2 )(1(2 2 ii ieei ii C nz dzzerzC ,1:,)3 求 下 列 积 分 值 4 23 )1(cos,)4 z dzzz z求 下 列 积 分 值 i )12( )!1( 2,1;2,1 n inin 原 式原 式 作 业 P100 7(3)(5)(7)(9) 8(1)(2) 9(3)(5)