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1、1/17 偏 微 分 方 程 数 值 解 法 7抛 物 型 方 程 差 分 法 2差 分 格 式 稳 定 性 概 念显 、 隐 格 式 稳 定 性 分 析稳 定 性 分 析 的 矩 阵 方 法 2/17 xt 2/hr 抛 物 型 方 程 kjkjxkjkj fuhauu 2221 kjkjkjkjkj fuuraurau )()21( 11221 ),(222 txfxuatu 简 单 显 式 差 分 格 式在 实 际 应 用 时 ,取 逐 层 计 算 形 式 .当 初 始 层 数 据 有 误差 时 ,误 差 会 逐 层 传 播 ,影 响 以 后 各 层 的 解 .记 的 误 差 为 , 设
2、 无 误 差 , 则 有 kju kj kjf )()21( 11221 kjkjkjkj rara 3/17 )(21 111 kjkjkj 2/12 ra取 )()21( 11221 kjkjkjkj rara 设 初 始 层 上 ,仅 有 ,其 它 点 处 无 误 差 00j 在 各 计 算 层 上 ,误 差 传 播 得 到 控 制 4/17 )()21( 11221 kjkjkjkj rara 12 ra取 )( 111 kjkjkjkj 设 初 始 层 上 ,仅 有 ,其 它 点 处 无 误 差 00j在 各 计 算 层 上 ,误 差 传 播 没 有 得 到 控 制 5/17 无 穷
3、 大 范 数 定 义双 层 差 分 格 式记 矩 阵双 层 格 式 的 矩 阵 形 式 kkkkk fuBuA )(1)(双 层 差 分 格 式 初 值 稳 定 概 念 : kkkk BA )(1)( 任 意 解 都 满 足 | 0kk M 其 中 M 与 无 关 . k k0 |max| 1 kjnjk uu kjnm kmkjmnm kmkjm fuu 1 )(1 1)( nnkjmkA )( )()( nnkjmkB )( )()( 6/17 简 单 显 式 差 分 格 式 )()21( 11221 kjkjkjkj uuraurau )(0 jj xu 010 knk uu ),2,1
4、( nj 稳 定 性 分 析 ,设 2/12 ra |)|(|)21(| 11221 kjkjkjkj uuraurau |2|)21( 22 kk uraura | 1 kkj uu | 1 kCk uu 此 时 差 分 格 式 稳 定 7/17 kkkk BA )(1)( 设 齐 次 方 程系 数 矩 阵 可 逆 kkkk BA )(1)(1 记 称 之 为 过 渡 矩 阵 )(1)()( kkk BAH kkk H )(1 kk H 1常 系 数 差 分 格 式 H 的 谱 半 径 : |)(|max)( 1 HH jnj 11)( MH 定 理 : 双 层 差 分 格 式 稳 定 的
5、必 要 条 件 是 ,存 在 与 无关 的 常 数 M1 ,使 得 8/17 定 理 若 H = A-1B 为 正 规 矩 阵 ,即 HH* = H*H, 则 条 件 11)( MH 是 双 层 差 分 格 式 按 欧 氏 范 数 稳 定 的 充 分 条 件注 ： 欧 氏 范 数 (或 离 散 L2范 数 ) 2/11 20 )(| nj kjk uhu 9/17 简 单 显 式 差 分 格 式 矩 阵 形 式 kkk fuCraIrau )21( 221 )21( 22 CraIraH 过 渡 矩 阵特 征 值 )1cos(2)21( 22 njraraj nnrarararara rara
6、 22222 22 212121 )1cos(121 2 njra )1(2sin41 22 njra 10/17 过 渡 矩 阵 的 谱 半 径 |)(|max)( 1 HH jnj |)1(2sin41|max 221 njranj | 1| n 2ra|)(| 2ra )( 2ra 1)1(2sin4)1(2sin41 2222 nnranra 极 值 点 满 足 212 ra 11cos)1(2sin21)( 22 nnra 显 式 差 分 格 式 稳 定 充 分 条 件 . 22 2/ ah 11/17 1122 )21( khkhkh fuuCraIra 简 单 隐 式 差 分 格
7、 式 矩 阵 形 式 1212121 rarararara rara 特 征 值 122 1cos2)21()( njraraHj 1)1cos1(21 njra 1)1(2sin41 122 njra 122 )21( CraIraH过 渡 矩 阵 12/17 过 渡 矩 阵 的 谱 半 径 |)(|max)( 11 HH jNj |)1(2/(sin41 1|max 21 njranj 1)1(2/(sin41 1 2 nra 隐 式 差 分 格 式 无 条 件 稳 定 . 13/17 C-N 格 式 矩 阵 形 式 122 2)1( kuCraIra )(22)1( 122 kkk ff
8、uCraIra 122 2)1( CraIraH 2)1( 22 CraIra 特 征 值 )1/(cos()1( )1/(cos()1( 22 22 njrara njraraj )1(2/(sin21 )1(2/(sin21 22 22 njra njra 14/17 过 渡 矩 阵 的 谱 半 径 |)(|max)( 1 HH jnj |)1(2/(sin21 )1(2/(sin21|max 22 221 njra njranj 1)( HC-N 格 式 是 无 条 件 稳 定 的 . 15/17 数 值 实 验 题 用 三 种 差 分 格 式 求初 边 值 问 题 数 值 解 0,0)
9、,1(),0( 10,sin)0,( 0,10, ttutu xxxu txuu xxt 并 与 准 确 解 比 较 xttxu sin)exp(),( 2显 格 式 kjxkjkj uhauu 2221 1 隐 格 式 12221 1 kjxkjkj uhauu C-N格 式 )(21 12221 kjkjxkjkj uuhauu 16/17 数 值 计 算 实 验 0 0.2 0.4 0.6 0.8 10 2 4 6 x 10 -5显 格 式 :input T:=1error = 7.9443e-006k = 200 CN格 式input T:=1error = 2.6227e-006k
10、= 50 0 0.2 0.4 0.6 0.8 10 2 4 6 x 10 -5 17/17 T=input(input T:=);h=1/10;ta=1/200;r=ta/(h*h);s=1-2*r;x=0:h:1;N=length(x);t=0;uk=sin(pi*x);II=2:N-1;k=0; %显 格 式 计 算 程 序while tT t=t+ta; un=s*uk(II)+r*(uk(II-1)+uk(II+1); uk=0,un,0;k=k+1;endux=exp(-pi*pi*t).*sin(pi*x);error=max(abs(ux-uk)plot(x,ux,x,uk,:or)
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