高中物理第11章机械振动11.4单摆课件新人教版选修34
4单摆一、单摆及单摆的回复力一、单摆及单摆的回复力1.1.单摆模型单摆模型:(1)(1)由细线和由细线和_组成。组成。(2)(2)细线的质量和小球相比细线的质量和小球相比_。(3)(3)小球的直径与线的长度相比小球的直径与线的长度相比_。2.2.摆动特点摆动特点:x-t:x-t图线是一条正弦曲线图线是一条正弦曲线,说明单摆的运说明单摆的运动是动是_。小球小球可以忽略可以忽略可以忽略可以忽略简谐运动简谐运动3.3.单摆的回复力单摆的回复力:(1)(1)回复力的来源回复力的来源:摆球的重力沿摆球的重力沿_方向的分方向的分力。力。(2)(2)回复力的特点回复力的特点:在偏角很小时在偏角很小时,摆球所受的回复力摆球所受的回复力与它偏离平衡位置的位移成与它偏离平衡位置的位移成_,_,方向总指向方向总指向_,_,即即F=_F=_。圆弧切线圆弧切线正比正比平衡位平衡位置置二、单摆的周期二、单摆的周期1.1.定性探究单摆的振幅、质量、摆长对周期的影响定性探究单摆的振幅、质量、摆长对周期的影响:(1)(1)探究方法探究方法:_:_法。法。(2)(2)实验结论实验结论单摆振动的周期与摆球的质量单摆振动的周期与摆球的质量_。振幅较小时振幅较小时,周期与振幅周期与振幅_。摆长越长摆长越长,周期周期_;_;摆长越短摆长越短,周期周期_。控制变量控制变量无关无关无关无关越长越长越短越短2.2.定量探究单摆的周期与摆长的关系定量探究单摆的周期与摆长的关系:(1)(1)周期的测量周期的测量:用停表测出单摆用停表测出单摆N(30N(3050)50)次全振动的次全振动的时间时间t,t,利用利用T=_T=_计算它的周期。计算它的周期。(2)(2)摆长的测量摆长的测量:用用_测出细线长度测出细线长度l0 0,用用_测出小球直径测出小球直径D,D,利用利用l=_=_求出摆长。求出摆长。(3)(3)数据处理数据处理:改变改变_,_,测量不同测量不同_及对应周期及对应周期,作出作出T-T-l、T-T-l2 2或或T-T-图象图象,得出结论。得出结论。刻度尺刻度尺游标卡游标卡尺尺摆长摆长摆长摆长3.3.周期公式周期公式:(1)(1)公式的提出公式的提出:周期公式是荷兰物理学家周期公式是荷兰物理学家_首先首先提出的。提出的。(2)(2)公式公式:T=_,:T=_,即即T T与摆长与摆长l的二次方根成正比的二次方根成正比,与重与重力加速度力加速度g g的二次方根成反比。的二次方根成反比。4.4.周期公式的应用周期公式的应用:由单摆周期公式可得由单摆周期公式可得g=_,g=_,只要只要测出单摆的摆长测出单摆的摆长l和周期和周期T T就可算出当地的重力加速度。就可算出当地的重力加速度。惠更斯惠更斯【预习诊断】【预习诊断】1.1.请判断下列说法的正误。请判断下列说法的正误。(1)(1)制作单摆的细线弹性越大越好。制作单摆的细线弹性越大越好。()(2)(2)制作单摆的细线不能太长也不能太短制作单摆的细线不能太长也不能太短,1m,1m左右为宜。左右为宜。()(3)(3)制作单摆的摆球越大越好。制作单摆的摆球越大越好。()(4)(4)单摆做简谐运动时的回复力是线的拉力。单摆做简谐运动时的回复力是线的拉力。()(5)(5)摆球经过平衡位置时摆球经过平衡位置时,合外力为零。合外力为零。()提示提示:(1)(1)。单摆摆动中摆线长应保持不变。单摆摆动中摆线长应保持不变,所以制作所以制作单摆的细线弹性越小越好。单摆的细线弹性越小越好。(2)(2)。制作单摆的摆线越长。制作单摆的摆线越长,运动中空气阻力越大运动中空气阻力越大;摆摆线越短线越短,小球直径的影响越大。所以小球直径的影响越大。所以,摆线不宜太长摆线不宜太长,也也不宜太短不宜太短,1m,1m左右较为合适。左右较为合适。(3)(3)。为减小空气阻力的影响。为减小空气阻力的影响,摆球尽量选质量大、摆球尽量选质量大、体积小的球。体积小的球。(4)(4)。回复力由摆球的重力沿圆弧切线方向的分力充。回复力由摆球的重力沿圆弧切线方向的分力充当当,不是线的拉力。不是线的拉力。(5)(5)。摆球经过平衡位置时。摆球经过平衡位置时,回复力为零回复力为零,但由于摆球但由于摆球在沿圆弧运动在沿圆弧运动,故合外力不为零。故合外力不为零。2.2.关于单摆关于单摆,下列说法正确的是下列说法正确的是()A.A.摆球运动的回复力是摆线张力和重力的合力摆球运动的回复力是摆线张力和重力的合力B.B.摆球在运动中经过轨迹上的同一点摆球在运动中经过轨迹上的同一点,加速度是不变的加速度是不变的C.C.摆球在运动过程中加速度的方向始终指向平衡位置摆球在运动过程中加速度的方向始终指向平衡位置D.D.摆球经过平衡位置时摆球经过平衡位置时,加速度为零加速度为零【解析】【解析】选选B B。单摆摆动过程中的回复力是重力沿圆弧。单摆摆动过程中的回复力是重力沿圆弧运动轨迹切线的分力运动轨迹切线的分力,故故A A选项错误选项错误;摆球在同一位置时摆球在同一位置时有相同的回复力有相同的回复力,即有相同的加速度即有相同的加速度,故故B B选项正确选项正确;摆摆球摆动中球摆动中,除了有回复力以外除了有回复力以外,还有向心力还有向心力,指向圆心指向圆心,即有回复加速度和向心加速度即有回复加速度和向心加速度,摆球的加速度是时刻变摆球的加速度是时刻变化的化的,在平衡位置时在平衡位置时,摆球受到向心力指向圆心摆球受到向心力指向圆心,加速度加速度不为零不为零,故故C C、D D选项错误。选项错误。3.3.将秒摆的周期变为将秒摆的周期变为4s,4s,下面措施正确的是下面措施正确的是()A.A.只将摆球质量变为原来的只将摆球质量变为原来的 B.B.只将振幅变为原来的只将振幅变为原来的2 2倍倍C.C.只将摆长变为原来的只将摆长变为原来的4 4倍倍D.D.只将摆长变为原来的只将摆长变为原来的1616倍倍【解析】【解析】选选C C。单摆的周期与摆球的质量和振幅均无。单摆的周期与摆球的质量和振幅均无关关,A,A、B B项均错项均错;对秒摆对秒摆,T,T0 0=2 =2s,=2 =2s,对周期为对周期为4s4s的的单摆单摆,T=2 =4s,T=2 =4s,故故l=4=4l0 0,C,C项对、项对、D D项错。项错。知识点一知识点一 对单摆的回复力及运动特征的理解对单摆的回复力及运动特征的理解探究导入探究导入:如图所示如图所示,一根细线上端固定一根细线上端固定,下端连接一个金属小球下端连接一个金属小球,用手使小球偏离竖直方向一个夹角用手使小球偏离竖直方向一个夹角,然后释放。然后释放。(1)(1)小球受到哪些力的作用小球受到哪些力的作用?(2)(2)什么力提供向心力什么力提供向心力?提示提示:(1)(1)小球受重力和细线的拉力。小球受重力和细线的拉力。(2)(2)细线的拉力和重力沿细线方向的分力的合力提供向细线的拉力和重力沿细线方向的分力的合力提供向心力。心力。【归纳总结】【归纳总结】1.1.单摆的回复力单摆的回复力:(1)(1)单摆受力单摆受力:如图所示如图所示,受细线拉力和重力作用。受细线拉力和重力作用。(2)(2)向心力来源向心力来源:细线拉力和重力沿径向的分力的合力。细线拉力和重力沿径向的分力的合力。(3)(3)回复力来源回复力来源:重力沿圆弧切线方向的分力重力沿圆弧切线方向的分力F=mgsinF=mgsin提供了使摆球振动的回复力。提供了使摆球振动的回复力。2.2.单摆做简谐运动的推证单摆做简谐运动的推证:在偏角很小时在偏角很小时,sin ,sin ,又因为回复力又因为回复力F=mgsin,F=mgsin,所以单摆的回复力为所以单摆的回复力为F=-xF=-x(式中式中x x表示摆球偏离平衡位置的位移表示摆球偏离平衡位置的位移,l表示单摆的摆长表示单摆的摆长,负号表示回复力负号表示回复力F F与位移与位移x x的方向相反的方向相反),),由此知回复力由此知回复力符合符合F=-kx,F=-kx,单摆做简谐运动。单摆做简谐运动。【典题过关】【典题过关】【典例】【典例】下列有关单摆运动过程中的受力下列有关单摆运动过程中的受力,说法正确的说法正确的是是()A.A.单摆运动的回复力是重力和摆线拉力的合力单摆运动的回复力是重力和摆线拉力的合力B.B.单摆运动的回复力是重力沿圆弧切线方向的一个分单摆运动的回复力是重力沿圆弧切线方向的一个分力力C.C.单摆经过平衡位置时合力为零单摆经过平衡位置时合力为零D.D.单摆运动的回复力是摆线拉力的一个分力单摆运动的回复力是摆线拉力的一个分力【正确解答】【正确解答】选选B B。单摆运动是在一段圆弧上运动。单摆运动是在一段圆弧上运动,因因此单摆运动过程不仅有回复力此单摆运动过程不仅有回复力,而且有向心力而且有向心力,即单摆即单摆的合外力不仅要提供回复力的合外力不仅要提供回复力,而且要提供向心力而且要提供向心力,故选故选项项A A错误错误;单摆的回复力是重力沿圆弧切线方向的一个单摆的回复力是重力沿圆弧切线方向的一个分力分力,而不是摆线拉力的分力而不是摆线拉力的分力,故选项故选项B B正确正确,D,D错误错误;单单摆经过平衡位置时摆经过平衡位置时,回复力为零回复力为零,向心力最大向心力最大,故其合外故其合外力不为零力不为零,所以选项所以选项C C错误。错误。【过关训练】【过关训练】1.1.对于单摆对于单摆,以下说法中正确的是以下说法中正确的是()A.A.单摆振动时单摆振动时,摆球受到的向心力大小处处相等摆球受到的向心力大小处处相等B.B.单摆运动的回复力就是摆球受到的合力单摆运动的回复力就是摆球受到的合力C.C.摆球经过平衡位置时所受回复力为零摆球经过平衡位置时所受回复力为零D.D.摆球经过平衡位置时所受合外力为零摆球经过平衡位置时所受合外力为零【解析】【解析】选选C C。单摆振动过程中受到重力和细线拉力的。单摆振动过程中受到重力和细线拉力的作用作用,把重力沿切向和径向分解把重力沿切向和径向分解,其切向分力提供回复其切向分力提供回复力力,细线拉力与重力的径向分力的合力提供向心力细线拉力与重力的径向分力的合力提供向心力,向向心力大小为心力大小为 ,可见最大偏角处向心力为零可见最大偏角处向心力为零,平衡位平衡位置处向心力最大置处向心力最大,而回复力在最大偏角处最大而回复力在最大偏角处最大,平衡位平衡位置处为零。故应选置处为零。故应选C C。2.2.一单摆做小角度摆动一单摆做小角度摆动,其振动图象如图所示其振动图象如图所示,以下说以下说法正确的是法正确的是()A.tA.t1 1时刻摆球速度最大时刻摆球速度最大,摆球的回复力最大摆球的回复力最大B.tB.t2 2时刻摆球速度为零时刻摆球速度为零,悬线对它的拉力最小悬线对它的拉力最小C.tC.t3 3时刻摆球速度为零时刻摆球速度为零,摆球的回复力最小摆球的回复力最小D.tD.t4 4时刻摆球速度最大时刻摆球速度最大,悬线对它的拉力最大悬线对它的拉力最大【解析】【解析】选选D D。由振动图象知。由振动图象知,t,t1 1和和t t3 3时刻摆球偏离平衡时刻摆球偏离平衡位置的位移最大位置的位移最大,此时摆球的速度为零此时摆球的速度为零,摆球的回复力摆球的回复力最大最大,A,A、C C错错;t;t2 2和和t t4 4时刻摆球位移为零时刻摆球位移为零,正在通过平衡正在通过平衡位置位置,速度最大速度最大,由于摆球做圆周运动由于摆球做圆周运动,由牛顿第二定律由牛顿第二定律得出悬线对摆球拉力最大得出悬线对摆球拉力最大,故故D D正确正确,B,B错误。错误。【补偿训练】【补偿训练】1.1.关于单摆关于单摆,下列说法中正确的是下列说法中正确的是()A.A.摆球受到的回复力方向总是指向平衡位置摆球受到的回复力方向总是指向平衡位置B.B.摆球受到的回复力是它的合力摆球受到的回复力是它的合力C.C.摆球经过平衡位置时摆球经过平衡位置时,所受的合力为零所受的合力为零D.D.摆角很小时摆角很小时,摆球受的合力的大小跟摆球对平衡位置摆球受的合力的大小跟摆球对平衡位置的位移大小成正比的位移大小成正比【解析】【解析】选选A A。单摆的回复力不是它的合力。单摆的回复力不是它的合力,而是重力而是重力沿圆弧方向的分力沿圆弧方向的分力;当摆球运动到平衡位置时当摆球运动到平衡位置时,回复力回复力为零为零,但合力不为零但合力不为零,因为小球还有向心力因为小球还有向心力,方向指向悬方向指向悬点点(即指向圆心即指向圆心););另外摆球所受的合力与位移大小不成另外摆球所受的合力与位移大小不成正比。正比。2.2.如图为一单摆的振动图象如图为一单摆的振动图象,则则()A.tA.t1 1和和t t3 3时刻摆线的拉力等大时刻摆线的拉力等大B.tB.t2 2和和t t3 3时刻摆球速度相等时刻摆球速度相等C.tC.t3 3时刻摆球速度正在减小时刻摆球速度正在减小D.tD.t4 4时刻回复力正在减小时刻回复力正在减小【解析】【解析】选选A A。t t1 1和和t t3 3时刻时刻,摆球在同一位置摆球在同一位置,摆线拉力摆线拉力等大等大,A,A正确。正确。t t2 2时刻摆球速度为零时刻摆球速度为零,t,t3 3时刻正向平衡位时刻正向平衡位置移动置移动,速度正在增大速度正在增大,B,B错错,C,C错。错。t t4 4时刻摆球正向最大时刻摆球正向最大位移处运动位移处运动,回复力正在增大回复力正在增大,D,D错。错。知识点二知识点二对单摆周期公式的理解及简单应用对单摆周期公式的理解及简单应用探究导入探究导入:单摆的周期公式为单摆的周期公式为T=2 T=2 。(1)(1)单摆的摆长单摆的摆长l等于悬线的长度吗等于悬线的长度吗?(2)(2)将一个单摆移送到不同的星球表面时将一个单摆移送到不同的星球表面时,周期会发生周期会发生变化吗变化吗?提示提示:(1)(1)单摆的摆长单摆的摆长l不等于悬线长度。不等于悬线长度。(2)(2)由于单摆的周期与单摆所处位置的重力加速度有关由于单摆的周期与单摆所处位置的重力加速度有关,故周期会发生变化。故周期会发生变化。【归纳总结】【归纳总结】1.1.伽利略发现了单摆运动的等时性伽利略发现了单摆运动的等时性,惠更斯得出了单摆惠更斯得出了单摆的周期公式并发明了摆钟。的周期公式并发明了摆钟。2.2.单摆的周期公式单摆的周期公式:T=2 :T=2 。3.3.对周期公式的理解对周期公式的理解:(1)(1)单摆的周期公式在单摆偏角很小时成立单摆的周期公式在单摆偏角很小时成立(偏角为偏角为55时时,由周期公式算出的周期和精确值相差由周期公式算出的周期和精确值相差0.01%)0.01%)。(2)(2)公式中公式中l是摆长是摆长,即悬点到摆球球心的距离即悬点到摆球球心的距离l=l线线+r+r球球。(3)(3)公式中公式中g g是单摆所在地的重力加速度是单摆所在地的重力加速度,由单摆所在的由单摆所在的空间位置决定。空间位置决定。(4)(4)周期周期T T只与只与l和和g g有关有关,与摆球质量与摆球质量m m及振幅无关。所以及振幅无关。所以单摆的周期也叫固有周期。单摆的周期也叫固有周期。【典题过关】【典题过关】【典例】【典例】如图所示如图所示,三根细线在三根细线在O O点处打结点处打结,A A、B B端固定在同一水平面上相距为端固定在同一水平面上相距为l的两点的两点上上,使使AOBAOB成直角三角形成直角三角形,BAO=30,BAO=30,已知已知OCOC线长也是线长也是l,下端下端C C点系着一个小球点系着一个小球,下列说法正确的是下列说法正确的是(以下皆指小角度摆动以下皆指小角度摆动)()()A.A.让小球在纸面内振动让小球在纸面内振动,周期周期T=2 T=2 B.B.让小球在垂直纸面内振动让小球在垂直纸面内振动,周期周期T=2 T=2 C.C.让小球在纸面内振动让小球在纸面内振动,周期周期T=2 T=2 D.D.让小球在垂直纸面内振动让小球在垂直纸面内振动,周期周期T=2T=2 【正确解答】【正确解答】选选A A。让小球在纸面内振动。让小球在纸面内振动,在偏角很小在偏角很小时时,单摆做简谐运动单摆做简谐运动,摆长为摆长为l,周期周期T=2 ;T=2 ;让小球在让小球在垂直纸面内振动垂直纸面内振动,在偏角很小时在偏角很小时,单摆做简谐运动单摆做简谐运动,摆长摆长为为 ,周期周期T=2 ,AT=2 ,A正确正确,B,B、C C、D D错错误。误。【过关训练】【过关训练】(2018(2018和平区高二检测和平区高二检测)如图如图所示所示,长度为长度为l的轻绳上端固定在的轻绳上端固定在O O点点,下端系下端系一小球一小球(小球可视为质点小球可视为质点)。在。在O O点正下方点正下方,距距O O点点 l处的处的P P点固定一颗小钉子。现将小球点固定一颗小钉子。现将小球拉到点拉到点A A处处,轻绳被拉直轻绳被拉直,然后由静止释放小球然后由静止释放小球,点点B B是小是小球运动的最低点球运动的最低点,点点C(C(图中未标出图中未标出)是小球能够到达的是小球能够到达的左方最高位置。已知点左方最高位置。已知点A A与点与点B B之间的高度差为之间的高度差为h,hh,hl。A A、B B、P P、O O在同一竖直平面内在同一竖直平面内,当地的重力加速度为当地的重力加速度为g,g,不计空气阻力及绳与钉子碰撞时的能量损失。下列说不计空气阻力及绳与钉子碰撞时的能量损失。下列说法正确的是法正确的是()A.A.小球受重力、弹力、向心力、回复力四个力的作用小球受重力、弹力、向心力、回复力四个力的作用B.B.小球运动到点小球运动到点B B时加速度为零时加速度为零C.C.点点C C与点与点B B高度差等于高度差等于h hD.D.小球摆动的周期等于小球摆动的周期等于22 【解析】【解析】选选C C。小球在运动的过程中只受到重力和绳子。小球在运动的过程中只受到重力和绳子的拉力的拉力,向心力与回复力都是效果力向心力与回复力都是效果力,故故A A错误错误;小球运小球运动的轨迹是圆弧的一部分动的轨迹是圆弧的一部分,小球运动到点小球运动到点B B时加速度为时加速度为向心加速度向心加速度,故故B B错误错误;小球摆动过程中小球摆动过程中,只有重力做功只有重力做功,机械能守恒机械能守恒,由于由于h hl,可知两侧最高点处动能均为零可知两侧最高点处动能均为零,故重力势能也相等故重力势能也相等,故最大高度相同故最大高度相同,故故C C正确正确;小球从小球从BABBAB的时间为的时间为t t1 1=T=T1 1=;=;小球从小球从BCBBCB的时间的时间为为t t2 2=T=T2 2=故小球摆动的周期为故小球摆动的周期为T=tT=t1 1+t+t2 2=,=,故故D D错误。错误。【补偿训练】【补偿训练】(多选多选)如图所示如图所示,在同一地点的在同一地点的A A、B B两个单摆做简谐运动两个单摆做简谐运动的图象的图象,其中实线表示其中实线表示A A的运动图象的运动图象,虚线表示虚线表示B B的运动图的运动图象。以下关于这两个单摆的判断中正确的是象。以下关于这两个单摆的判断中正确的是()A.A.这两个单摆的摆球质量一定相等这两个单摆的摆球质量一定相等B.B.这两个单摆的摆长一定不同这两个单摆的摆长一定不同C.C.这两个单摆的最大摆角一定相同这两个单摆的最大摆角一定相同D.D.这两个单摆的振幅一定相同这两个单摆的振幅一定相同【解析】【解析】选选B B、D D。从题图可知。从题图可知,两单摆的振幅相等两单摆的振幅相等,周周期不等期不等,所以两单摆的摆长一定不同所以两单摆的摆长一定不同,故故B B、D D对对;由振幅由振幅相等而摆长不等知相等而摆长不等知C C错错;单摆的周期与质量无关单摆的周期与质量无关,故故A A错。错。知识点三知识点三用单摆测定重力加速度用单摆测定重力加速度探究导入探究导入:某同学利用如图所示的装置测量当地的某同学利用如图所示的装置测量当地的重力加速度。重力加速度。(1)(1)测量周期从什么位置开始计时测量周期从什么位置开始计时?(2)(2)采用什么样的方法处理数据较好采用什么样的方法处理数据较好?提示提示:(1)(1)待摆球稳定后待摆球稳定后,从单摆处于最低位置开始计时。从单摆处于最低位置开始计时。(2)(2)采用图象法处理数据较好。采用图象法处理数据较好。【归纳总结】【归纳总结】1.1.实验原理实验原理:单摆在偏角很小单摆在偏角很小(不大于不大于5)5)时的运动时的运动,可看成简谐运可看成简谐运动动,其固有周期其固有周期T=2 ,T=2 ,可得可得g=g=。据此。据此,通过实验通过实验测出摆长测出摆长l和周期和周期T,T,即可计算得到当地的重力加速度值。即可计算得到当地的重力加速度值。2.2.实验器材实验器材:铁架台及铁夹、金属小球铁架台及铁夹、金属小球(上面有一个通过球心的小孔上面有一个通过球心的小孔)、秒表、细线、秒表、细线(长长1m1m左右左右)、刻度尺、刻度尺(最小刻度为最小刻度为1mm)1mm)、游标卡尺。游标卡尺。3.3.实验步骤实验步骤:(1)(1)让细线穿过球上的小孔让细线穿过球上的小孔,在细线的一端打一个比孔在细线的一端打一个比孔稍大一些的线结稍大一些的线结,制成一个单摆。制成一个单摆。(2)(2)把单摆上端固定在铁夹上把单摆上端固定在铁夹上,使摆球自由下垂。使摆球自由下垂。(3)(3)用刻度尺测量单摆的摆长用刻度尺测量单摆的摆长(摆线静止时从悬点到球摆线静止时从悬点到球心间的距离心间的距离)。(4)(4)把此单摆从平衡位置拉开一个角度把此单摆从平衡位置拉开一个角度,并使这个角度并使这个角度小于等于小于等于5,5,再释放小球。当摆球摆动稳定以后再释放小球。当摆球摆动稳定以后,过最过最低点位置时低点位置时,用秒表开始计时用秒表开始计时,测量单摆全振动测量单摆全振动3030次次(或或5050次次)的时间的时间,求出一次全振动的时间求出一次全振动的时间,即单摆的振动周即单摆的振动周期。期。(5)(5)改变摆长改变摆长,反复测量几次反复测量几次,将数据填入表格。将数据填入表格。4.4.数据处理数据处理:(1)(1)公式法公式法:每改变一次摆长每改变一次摆长,将相应的将相应的l和和T T代入公式代入公式g=g=中中,求出求出g g值值,最后求出最后求出g g的平均值。的平均值。(2)(2)图象法图象法:由由T=2 T=2 得得T T2 2=作出作出T T2 2-l图象图象,即以即以T T2 2为纵轴为纵轴,以以l为横轴为横轴,如图所示。其斜率如图所示。其斜率k=,k=,由图象的由图象的斜率即可求出重力加速度斜率即可求出重力加速度g g。【典题过关】【典题过关】【典例】【典例】在做在做“用单摆测定重力加速度用单摆测定重力加速度”的实验时的实验时,用用摆长摆长l和周期和周期T T计算重力加速度的公式是计算重力加速度的公式是g=_g=_。若已。若已知摆球直径为知摆球直径为2.00cm,2.00cm,让刻度尺的零点对准摆线的悬点让刻度尺的零点对准摆线的悬点,摆线竖直下垂摆线竖直下垂,如图所示如图所示,则单摆摆长是则单摆摆长是_m_m。若测定。若测定了了4040次全振动的时间为次全振动的时间为75.2 s,75.2 s,单摆摆动周期是单摆摆动周期是_。为了提高测量精度为了提高测量精度,需多次改变需多次改变l值值,并测得相应的并测得相应的T T值。值。现将测得的六组数据标示在以现将测得的六组数据标示在以l为横坐标为横坐标,以以T T2 2为纵坐标为纵坐标的坐标系上的坐标系上,即图中用即图中用“”表示的点表示的点,则则:(1)(1)单摆做简谐运动应满足的条件是单摆做简谐运动应满足的条件是_。(2)(2)试根据图中给出的数据点作出试根据图中给出的数据点作出T T2 2和和l的关系图线的关系图线,根根据图线可求出据图线可求出g=_m/sg=_m/s2 2。(结果取两位有效数字结果取两位有效数字)【正确解答】【正确解答】由由T=2 ,T=2 ,可知可知g=g=。由图可知。由图可知:摆摆长长l=(88.50-1.00)cm=87.50 cm=0.875 0 m=(88.50-1.00)cm=87.50 cm=0.875 0 m。T=T=1.88s=1.88s。(1)(1)单摆做简谐运动的条件是摆角小于单摆做简谐运动的条件是摆角小于5 5。(2)(2)把在一条直线上的点连在一起把在一条直线上的点连在一起,误差较大的点平均误差较大的点平均分布在直线的两侧分布在直线的两侧,则直线斜率则直线斜率k=k=。由。由g=g=可得可得g=9.8m/sg=9.8m/s2 2(9.9m/s(9.9m/s2 2也正确也正确)。答案答案:见正确解答见正确解答【过关训练】【过关训练】一单摆摆长为一单摆摆长为40cm,40cm,摆球在摆球在t=0t=0时刻正在从平衡位置向右时刻正在从平衡位置向右运动运动,若若g g取取10m/s10m/s2 2,则在则在1s1s时摆球的运动情况是时摆球的运动情况是()A.A.正向左做减速运动正向左做减速运动,加速度正在增大加速度正在增大B.B.正向左做加速运动正向左做加速运动,加速度正在减小加速度正在减小C.C.正向右做减速运动正向右做减速运动,加速度正在增大加速度正在增大D.D.正向右做加速运动正向右做加速运动,加速度正在减小加速度正在减小【解析】【解析】选选D D。由。由T=2 ,T=2 ,得周期得周期T=1.256s,T=1.256s,1sT1sT。所以从。所以从t=0t=0时刻时刻,经过经过1s1s后后,正由左端最大位移处正由左端最大位移处向平衡位置运动过程中向平衡位置运动过程中,选项选项D D正确。正确。【补偿训练】【补偿训练】1.1.在同一地点在同一地点,单摆甲的周期是单摆乙的周期的单摆甲的周期是单摆乙的周期的4 4倍倍,下下列说法正确的是列说法正确的是()A.A.甲的频率是乙的甲的频率是乙的4 4倍倍B.B.甲的摆长是乙的甲的摆长是乙的1616倍倍C.C.甲的振幅是乙的甲的振幅是乙的4 4倍倍D.D.甲的振动能量是乙的甲的振动能量是乙的4 4倍倍【解析】【解析】选选B B。由单摆的周期公式。由单摆的周期公式T=2 T=2 可知可知l=故故B B选项正确选项正确;甲的频率是乙的频率的甲的频率是乙的频率的 ,故故A A选项错误选项错误;虽然甲、乙两单摆的摆长有虽然甲、乙两单摆的摆长有l甲甲=16=16l乙乙,但两个单摆的摆但两个单摆的摆角不确定角不确定,两摆球质量不确定两摆球质量不确定,故故C C、D D选项错误。选项错误。2.(1)2.(1)在用单摆测定重力加速度的实验中在用单摆测定重力加速度的实验中,应选用的器应选用的器材为材为_。A.1 mA.1 m长的细线长的细线 B.1 mB.1 m长的粗线长的粗线C.10 cmC.10 cm长的细线长的细线 D.D.泡沫塑料小球泡沫塑料小球E.E.小铁球小铁球 F.F.秒表秒表G.G.时钟时钟 H.H.厘米刻度尺厘米刻度尺I.I.毫米刻度尺毫米刻度尺 J.J.游标卡尺游标卡尺(2)(2)在该实验中在该实验中,单摆的摆角单摆的摆角【解析】【解析】(1)(1)做摆长的细线要用不易伸长的细线做摆长的细线要用不易伸长的细线,一般一般不应短于不应短于1 1米米,选选A;A;小球应是密度较大小球应是密度较大,直径较小的金属直径较小的金属球球,选选E;E;计时仪器宜选用秒表计时仪器宜选用秒表F;F;测摆长应选用毫米刻度测摆长应选用毫米刻度尺尺I,I,用游标卡尺测摆球的直径。用游标卡尺测摆球的直径。(2)(2)根据单摆做简谐运动的条件知根据单摆做简谐运动的条件知答案答案:(1)A(1)A、E E、F F、I I、J J(2)(2)小于小于55平衡位置平衡位置 3.3.某实验小组在进行某实验小组在进行“用单摆测定重力加速度用单摆测定重力加速度”的实的实验中验中,已知单摆在摆动过程中的摆角小于已知单摆在摆动过程中的摆角小于5;5;在测量单在测量单摆的周期时摆的周期时,从摆球运动到最低点开始计时且记数为从摆球运动到最低点开始计时且记数为1,1,到第到第n n次经过最低点所用的时间为次经过最低点所用的时间为t;t;在测量单摆的摆长在测量单摆的摆长时时,先用毫米刻度尺测得摆球悬挂后的摆线长先用毫米刻度尺测得摆球悬挂后的摆线长(从悬点从悬点到摆球的最上端到摆球的最上端)为为L,L,再用螺旋测微器测得摆球的直径再用螺旋测微器测得摆球的直径为为d(d(读数如图所示读数如图所示)。(1)(1)该单摆在摆动过程中的周期为该单摆在摆动过程中的周期为_。(2)(2)用上述物理量的符号写出求重力加速度的一般表达用上述物理量的符号写出求重力加速度的一般表达式式g=_g=_。(3)(3)从图可知从图可知,摆球的直径为摆球的直径为_mm_mm。(4)(4)实验结束后实验结束后,某同学发现他测得的重力加速度的值某同学发现他测得的重力加速度的值总是偏大总是偏大,其原因可能是下述原因中的其原因可能是下述原因中的()A.A.单摆的悬点未固定紧单摆的悬点未固定紧,振动中出现松动振动中出现松动,使摆线增长使摆线增长了了B.B.把把n n次摆动的时间误记为次摆动的时间误记为(n+1)(n+1)次摆动的时间次摆动的时间C.C.以摆线长作为摆长来计算以摆线长作为摆长来计算D.D.以摆线长与摆球的直径之和作为摆长来计算以摆线长与摆球的直径之和作为摆长来计算【解析】【解析】(1)(1)根据记数的方式可知根据记数的方式可知全振动的次数全振动的次数N=N=所以周期所以周期T=T=(2)(2)摆长摆长l=L+,=L+,将将T T和和l代入代入g=g=得得(3)(3)直径直径d=5.5mm+0.01d=5.5mm+0.0148.0 mm=5.980 mm48.0 mm=5.980 mm。(4)(4)根据根据g=g=知知,当悬点松动后当悬点松动后,摆线增长摆线增长,则代入公则代入公式中的式中的l将偏小将偏小,故所测故所测g g值偏小值偏小,A,A错误错误;对对B B选项选项,T,T变小变小,g,g变大变大,B,B正确正确;对对C C选项选项,l变小变小,g,g应偏小应偏小,C,C错误错误;对对D D选选项项,l变大变大,g,g应偏大应偏大,D,D正确。正确。答案答案:(1)(1)(2)(2)(3)5.980(3)5.980(4)B(4)B、D D【拓展例题】【拓展例题】考查内容考查内容:摆钟问题的分析摆钟问题的分析【典例】【典例】将在地球上校准的摆钟拿到月球上去将在地球上校准的摆钟拿到月球上去,若此若此钟在月球记录的时间是钟在月球记录的时间是1h,1h,那么实际上的时间应是那么实际上的时间应是_h(_h(月球表面的重力加速度是地球表面的月球表面的重力加速度是地球表面的 )。若要把此摆钟调准若要把此摆钟调准,应将摆长应将摆长L L0 0调节为调节为_。【正确解答】【正确解答】设在地球上校准的摆钟周期为设在地球上校准的摆钟周期为T T0 0,指示时指示时间为间为t t0 0;在月球上的周期为在月球上的周期为T,T,指示时间为指示时间为t t。由于指示时。由于指示时间间t t与振动次数与振动次数N N成正比成正比,即即tN;tN;一定时间内振动次数一定时间内振动次数N N与振动周期与振动周期T T成反比成反比,即即N ;N ;由单摆周期公式可知由单摆周期公式可知T ,T ,由以上推知由以上推知:t ,:t ,则有则有 。所求实际。所求实际时间为时间为t t0 0=要把它调准要把它调准,需将摆长调为需将摆长调为答案答案:
收藏
- 资源描述：
-
4单摆一、单摆及单摆的回复力一、单摆及单摆的回复力1.1.单摆模型单摆模型:(1)(1)由细线和由细线和_组成。组成。(2)(2)细线的质量和小球相比细线的质量和小球相比_。(3)(3)小球的直径与线的长度相比小球的直径与线的长度相比_。2.2.摆动特点摆动特点:x-t:x-t图线是一条正弦曲线图线是一条正弦曲线,说明单摆的运说明单摆的运动是动是_。小球小球可以忽略可以忽略可以忽略可以忽略简谐运动简谐运动3.3.单摆的回复力单摆的回复力:(1)(1)回复力的来源回复力的来源:摆球的重力沿摆球的重力沿_方向的分方向的分力。力。(2)(2)回复力的特点回复力的特点:在偏角很小时在偏角很小时,摆球所受的回复力摆球所受的回复力与它偏离平衡位置的位移成与它偏离平衡位置的位移成_,_,方向总指向方向总指向_,_,即即F=_F=_。圆弧切线圆弧切线正比正比平衡位平衡位置置二、单摆的周期二、单摆的周期1.1.定性探究单摆的振幅、质量、摆长对周期的影响定性探究单摆的振幅、质量、摆长对周期的影响:(1)(1)探究方法探究方法:_:_法。法。(2)(2)实验结论实验结论单摆振动的周期与摆球的质量单摆振动的周期与摆球的质量_。振幅较小时振幅较小时,周期与振幅周期与振幅_。摆长越长摆长越长,周期周期_;_;摆长越短摆长越短,周期周期_。控制变量控制变量无关无关无关无关越长越长越短越短2.2.定量探究单摆的周期与摆长的关系定量探究单摆的周期与摆长的关系:(1)(1)周期的测量周期的测量:用停表测出单摆用停表测出单摆N(30N(3050)50)次全振动的次全振动的时间时间t,t,利用利用T=_T=_计算它的周期。计算它的周期。(2)(2)摆长的测量摆长的测量:用用_测出细线长度测出细线长度l0 0,用用_测出小球直径测出小球直径D,D,利用利用l=_=_求出摆长。求出摆长。(3)(3)数据处理数据处理:改变改变_,_,测量不同测量不同_及对应周期及对应周期,作出作出T-T-l、T-T-l2 2或或T-T-图象图象,得出结论。得出结论。刻度尺刻度尺游标卡游标卡尺尺摆长摆长摆长摆长3.3.周期公式周期公式:(1)(1)公式的提出公式的提出:周期公式是荷兰物理学家周期公式是荷兰物理学家_首先首先提出的。提出的。(2)(2)公式公式:T=_,:T=_,即即T T与摆长与摆长l的二次方根成正比的二次方根成正比,与重与重力加速度力加速度g g的二次方根成反比。的二次方根成反比。4.4.周期公式的应用周期公式的应用:由单摆周期公式可得由单摆周期公式可得g=_,g=_,只要只要测出单摆的摆长测出单摆的摆长l和周期和周期T T就可算出当地的重力加速度。就可算出当地的重力加速度。惠更斯惠更斯【预习诊断】【预习诊断】1.1.请判断下列说法的正误。请判断下列说法的正误。(1)(1)制作单摆的细线弹性越大越好。制作单摆的细线弹性越大越好。()(2)(2)制作单摆的细线不能太长也不能太短制作单摆的细线不能太长也不能太短,1m,1m左右为宜。左右为宜。()(3)(3)制作单摆的摆球越大越好。制作单摆的摆球越大越好。()(4)(4)单摆做简谐运动时的回复力是线的拉力。单摆做简谐运动时的回复力是线的拉力。()(5)(5)摆球经过平衡位置时摆球经过平衡位置时,合外力为零。合外力为零。()提示提示:(1)(1)。单摆摆动中摆线长应保持不变。单摆摆动中摆线长应保持不变,所以制作所以制作单摆的细线弹性越小越好。单摆的细线弹性越小越好。(2)(2)。制作单摆的摆线越长。制作单摆的摆线越长,运动中空气阻力越大运动中空气阻力越大;摆摆线越短线越短,小球直径的影响越大。所以小球直径的影响越大。所以,摆线不宜太长摆线不宜太长,也也不宜太短不宜太短,1m,1m左右较为合适。左右较为合适。(3)(3)。为减小空气阻力的影响。为减小空气阻力的影响,摆球尽量选质量大、摆球尽量选质量大、体积小的球。体积小的球。(4)(4)。回复力由摆球的重力沿圆弧切线方向的分力充。回复力由摆球的重力沿圆弧切线方向的分力充当当,不是线的拉力。不是线的拉力。(5)(5)。摆球经过平衡位置时。摆球经过平衡位置时,回复力为零回复力为零,但由于摆球但由于摆球在沿圆弧运动在沿圆弧运动,故合外力不为零。故合外力不为零。2.2.关于单摆关于单摆,下列说法正确的是下列说法正确的是()A.A.摆球运动的回复力是摆线张力和重力的合力摆球运动的回复力是摆线张力和重力的合力B.B.摆球在运动中经过轨迹上的同一点摆球在运动中经过轨迹上的同一点,加速度是不变的加速度是不变的C.C.摆球在运动过程中加速度的方向始终指向平衡位置摆球在运动过程中加速度的方向始终指向平衡位置D.D.摆球经过平衡位置时摆球经过平衡位置时,加速度为零加速度为零【解析】【解析】选选B B。单摆摆动过程中的回复力是重力沿圆弧。单摆摆动过程中的回复力是重力沿圆弧运动轨迹切线的分力运动轨迹切线的分力,故故A A选项错误选项错误;摆球在同一位置时摆球在同一位置时有相同的回复力有相同的回复力,即有相同的加速度即有相同的加速度,故故B B选项正确选项正确;摆摆球摆动中球摆动中,除了有回复力以外除了有回复力以外,还有向心力还有向心力,指向圆心指向圆心,即有回复加速度和向心加速度即有回复加速度和向心加速度,摆球的加速度是时刻变摆球的加速度是时刻变化的化的,在平衡位置时在平衡位置时,摆球受到向心力指向圆心摆球受到向心力指向圆心,加速度加速度不为零不为零,故故C C、D D选项错误。选项错误。3.3.将秒摆的周期变为将秒摆的周期变为4s,4s,下面措施正确的是下面措施正确的是()A.A.只将摆球质量变为原来的只将摆球质量变为原来的 B.B.只将振幅变为原来的只将振幅变为原来的2 2倍倍C.C.只将摆长变为原来的只将摆长变为原来的4 4倍倍D.D.只将摆长变为原来的只将摆长变为原来的1616倍倍【解析】【解析】选选C C。单摆的周期与摆球的质量和振幅均无。单摆的周期与摆球的质量和振幅均无关关,A,A、B B项均错项均错;对秒摆对秒摆,T,T0 0=2 =2s,=2 =2s,对周期为对周期为4s4s的的单摆单摆,T=2 =4s,T=2 =4s,故故l=4=4l0 0,C,C项对、项对、D D项错。项错。知识点一知识点一 对单摆的回复力及运动特征的理解对单摆的回复力及运动特征的理解探究导入探究导入:如图所示如图所示,一根细线上端固定一根细线上端固定,下端连接一个金属小球下端连接一个金属小球,用手使小球偏离竖直方向一个夹角用手使小球偏离竖直方向一个夹角,然后释放。然后释放。(1)(1)小球受到哪些力的作用小球受到哪些力的作用?(2)(2)什么力提供向心力什么力提供向心力?提示提示:(1)(1)小球受重力和细线的拉力。小球受重力和细线的拉力。(2)(2)细线的拉力和重力沿细线方向的分力的合力提供向细线的拉力和重力沿细线方向的分力的合力提供向心力。心力。【归纳总结】【归纳总结】1.1.单摆的回复力单摆的回复力:(1)(1)单摆受力单摆受力:如图所示如图所示,受细线拉力和重力作用。受细线拉力和重力作用。(2)(2)向心力来源向心力来源:细线拉力和重力沿径向的分力的合力。细线拉力和重力沿径向的分力的合力。(3)(3)回复力来源回复力来源:重力沿圆弧切线方向的分力重力沿圆弧切线方向的分力F=mgsinF=mgsin提供了使摆球振动的回复力。提供了使摆球振动的回复力。2.2.单摆做简谐运动的推证单摆做简谐运动的推证:在偏角很小时在偏角很小时,sin ,sin ,又因为回复力又因为回复力F=mgsin,F=mgsin,所以单摆的回复力为所以单摆的回复力为F=-xF=-x(式中式中x x表示摆球偏离平衡位置的位移表示摆球偏离平衡位置的位移,l表示单摆的摆长表示单摆的摆长,负号表示回复力负号表示回复力F F与位移与位移x x的方向相反的方向相反),),由此知回复力由此知回复力符合符合F=-kx,F=-kx,单摆做简谐运动。单摆做简谐运动。【典题过关】【典题过关】【典例】【典例】下列有关单摆运动过程中的受力下列有关单摆运动过程中的受力,说法正确的说法正确的是是()A.A.单摆运动的回复力是重力和摆线拉力的合力单摆运动的回复力是重力和摆线拉力的合力B.B.单摆运动的回复力是重力沿圆弧切线方向的一个分单摆运动的回复力是重力沿圆弧切线方向的一个分力力C.C.单摆经过平衡位置时合力为零单摆经过平衡位置时合力为零D.D.单摆运动的回复力是摆线拉力的一个分力单摆运动的回复力是摆线拉力的一个分力【正确解答】【正确解答】选选B B。单摆运动是在一段圆弧上运动。单摆运动是在一段圆弧上运动,因因此单摆运动过程不仅有回复力此单摆运动过程不仅有回复力,而且有向心力而且有向心力,即单摆即单摆的合外力不仅要提供回复力的合外力不仅要提供回复力,而且要提供向心力而且要提供向心力,故选故选项项A A错误错误;单摆的回复力是重力沿圆弧切线方向的一个单摆的回复力是重力沿圆弧切线方向的一个分力分力,而不是摆线拉力的分力而不是摆线拉力的分力,故选项故选项B B正确正确,D,D错误错误;单单摆经过平衡位置时摆经过平衡位置时,回复力为零回复力为零,向心力最大向心力最大,故其合外故其合外力不为零力不为零,所以选项所以选项C C错误。错误。【过关训练】【过关训练】1.1.对于单摆对于单摆,以下说法中正确的是以下说法中正确的是()A.A.单摆振动时单摆振动时,摆球受到的向心力大小处处相等摆球受到的向心力大小处处相等B.B.单摆运动的回复力就是摆球受到的合力单摆运动的回复力就是摆球受到的合力C.C.摆球经过平衡位置时所受回复力为零摆球经过平衡位置时所受回复力为零D.D.摆球经过平衡位置时所受合外力为零摆球经过平衡位置时所受合外力为零【解析】【解析】选选C C。单摆振动过程中受到重力和细线拉力的。单摆振动过程中受到重力和细线拉力的作用作用,把重力沿切向和径向分解把重力沿切向和径向分解,其切向分力提供回复其切向分力提供回复力力,细线拉力与重力的径向分力的合力提供向心力细线拉力与重力的径向分力的合力提供向心力,向向心力大小为心力大小为 ,可见最大偏角处向心力为零可见最大偏角处向心力为零,平衡位平衡位置处向心力最大置处向心力最大,而回复力在最大偏角处最大而回复力在最大偏角处最大,平衡位平衡位置处为零。故应选置处为零。故应选C C。2.2.一单摆做小角度摆动一单摆做小角度摆动,其振动图象如图所示其振动图象如图所示,以下说以下说法正确的是法正确的是()A.tA.t1 1时刻摆球速度最大时刻摆球速度最大,摆球的回复力最大摆球的回复力最大B.tB.t2 2时刻摆球速度为零时刻摆球速度为零,悬线对它的拉力最小悬线对它的拉力最小C.tC.t3 3时刻摆球速度为零时刻摆球速度为零,摆球的回复力最小摆球的回复力最小D.tD.t4 4时刻摆球速度最大时刻摆球速度最大,悬线对它的拉力最大悬线对它的拉力最大【解析】【解析】选选D D。由振动图象知。由振动图象知,t,t1 1和和t t3 3时刻摆球偏离平衡时刻摆球偏离平衡位置的位移最大位置的位移最大,此时摆球的速度为零此时摆球的速度为零,摆球的回复力摆球的回复力最大最大,A,A、C C错错;t;t2 2和和t t4 4时刻摆球位移为零时刻摆球位移为零,正在通过平衡正在通过平衡位置位置,速度最大速度最大,由于摆球做圆周运动由于摆球做圆周运动,由牛顿第二定律由牛顿第二定律得出悬线对摆球拉力最大得出悬线对摆球拉力最大,故故D D正确正确,B,B错误。错误。【补偿训练】【补偿训练】1.1.关于单摆关于单摆,下列说法中正确的是下列说法中正确的是()A.A.摆球受到的回复力方向总是指向平衡位置摆球受到的回复力方向总是指向平衡位置B.B.摆球受到的回复力是它的合力摆球受到的回复力是它的合力C.C.摆球经过平衡位置时摆球经过平衡位置时,所受的合力为零所受的合力为零D.D.摆角很小时摆角很小时,摆球受的合力的大小跟摆球对平衡位置摆球受的合力的大小跟摆球对平衡位置的位移大小成正比的位移大小成正比【解析】【解析】选选A A。单摆的回复力不是它的合力。单摆的回复力不是它的合力,而是重力而是重力沿圆弧方向的分力沿圆弧方向的分力;当摆球运动到平衡位置时当摆球运动到平衡位置时,回复力回复力为零为零,但合力不为零但合力不为零,因为小球还有向心力因为小球还有向心力,方向指向悬方向指向悬点点(即指向圆心即指向圆心););另外摆球所受的合力与位移大小不成另外摆球所受的合力与位移大小不成正比。正比。2.2.如图为一单摆的振动图象如图为一单摆的振动图象,则则()A.tA.t1 1和和t t3 3时刻摆线的拉力等大时刻摆线的拉力等大B.tB.t2 2和和t t3 3时刻摆球速度相等时刻摆球速度相等C.tC.t3 3时刻摆球速度正在减小时刻摆球速度正在减小D.tD.t4 4时刻回复力正在减小时刻回复力正在减小【解析】【解析】选选A A。t t1 1和和t t3 3时刻时刻,摆球在同一位置摆球在同一位置,摆线拉力摆线拉力等大等大,A,A正确。正确。t t2 2时刻摆球速度为零时刻摆球速度为零,t,t3 3时刻正向平衡位时刻正向平衡位置移动置移动,速度正在增大速度正在增大,B,B错错,C,C错。错。t t4 4时刻摆球正向最大时刻摆球正向最大位移处运动位移处运动,回复力正在增大回复力正在增大,D,D错。错。知识点二知识点二对单摆周期公式的理解及简单应用对单摆周期公式的理解及简单应用探究导入探究导入:单摆的周期公式为单摆的周期公式为T=2 T=2 。(1)(1)单摆的摆长单摆的摆长l等于悬线的长度吗等于悬线的长度吗?(2)(2)将一个单摆移送到不同的星球表面时将一个单摆移送到不同的星球表面时,周期会发生周期会发生变化吗变化吗?提示提示:(1)(1)单摆的摆长单摆的摆长l不等于悬线长度。不等于悬线长度。(2)(2)由于单摆的周期与单摆所处位置的重力加速度有关由于单摆的周期与单摆所处位置的重力加速度有关,故周期会发生变化。故周期会发生变化。【归纳总结】【归纳总结】1.1.伽利略发现了单摆运动的等时性伽利略发现了单摆运动的等时性,惠更斯得出了单摆惠更斯得出了单摆的周期公式并发明了摆钟。的周期公式并发明了摆钟。2.2.单摆的周期公式单摆的周期公式:T=2 :T=2 。3.3.对周期公式的理解对周期公式的理解:(1)(1)单摆的周期公式在单摆偏角很小时成立单摆的周期公式在单摆偏角很小时成立(偏角为偏角为55时时,由周期公式算出的周期和精确值相差由周期公式算出的周期和精确值相差0.01%)0.01%)。(2)(2)公式中公式中l是摆长是摆长,即悬点到摆球球心的距离即悬点到摆球球心的距离l=l线线+r+r球球。(3)(3)公式中公式中g g是单摆所在地的重力加速度是单摆所在地的重力加速度,由单摆所在的由单摆所在的空间位置决定。空间位置决定。(4)(4)周期周期T T只与只与l和和g g有关有关,与摆球质量与摆球质量m m及振幅无关。所以及振幅无关。所以单摆的周期也叫固有周期。单摆的周期也叫固有周期。【典题过关】【典题过关】【典例】【典例】如图所示如图所示,三根细线在三根细线在O O点处打结点处打结,A A、B B端固定在同一水平面上相距为端固定在同一水平面上相距为l的两点的两点上上,使使AOBAOB成直角三角形成直角三角形,BAO=30,BAO=30,已知已知OCOC线长也是线长也是l,下端下端C C点系着一个小球点系着一个小球,下列说法正确的是下列说法正确的是(以下皆指小角度摆动以下皆指小角度摆动)()()A.A.让小球在纸面内振动让小球在纸面内振动,周期周期T=2 T=2 B.B.让小球在垂直纸面内振动让小球在垂直纸面内振动,周期周期T=2 T=2 C.C.让小球在纸面内振动让小球在纸面内振动,周期周期T=2 T=2 D.D.让小球在垂直纸面内振动让小球在垂直纸面内振动,周期周期T=2T=2 【正确解答】【正确解答】选选A A。让小球在纸面内振动。让小球在纸面内振动,在偏角很小在偏角很小时时,单摆做简谐运动单摆做简谐运动,摆长为摆长为l,周期周期T=2 ;T=2 ;让小球在让小球在垂直纸面内振动垂直纸面内振动,在偏角很小时在偏角很小时,单摆做简谐运动单摆做简谐运动,摆长摆长为为 ,周期周期T=2 ,AT=2 ,A正确正确,B,B、C C、D D错错误。误。【过关训练】【过关训练】(2018(2018和平区高二检测和平区高二检测)如图如图所示所示,长度为长度为l的轻绳上端固定在的轻绳上端固定在O O点点,下端系下端系一小球一小球(小球可视为质点小球可视为质点)。在。在O O点正下方点正下方,距距O O点点 l处的处的P P点固定一颗小钉子。现将小球点固定一颗小钉子。现将小球拉到点拉到点A A处处,轻绳被拉直轻绳被拉直,然后由静止释放小球然后由静止释放小球,点点B B是小是小球运动的最低点球运动的最低点,点点C(C(图中未标出图中未标出)是小球能够到达的是小球能够到达的左方最高位置。已知点左方最高位置。已知点A A与点与点B B之间的高度差为之间的高度差为h,hh,hl。A A、B B、P P、O O在同一竖直平面内在同一竖直平面内,当地的重力加速度为当地的重力加速度为g,g,不计空气阻力及绳与钉子碰撞时的能量损失。下列说不计空气阻力及绳与钉子碰撞时的能量损失。下列说法正确的是法正确的是()A.A.小球受重力、弹力、向心力、回复力四个力的作用小球受重力、弹力、向心力、回复力四个力的作用B.B.小球运动到点小球运动到点B B时加速度为零时加速度为零C.C.点点C C与点与点B B高度差等于高度差等于h hD.D.小球摆动的周期等于小球摆动的周期等于22 【解析】【解析】选选C C。小球在运动的过程中只受到重力和绳子。小球在运动的过程中只受到重力和绳子的拉力的拉力,向心力与回复力都是效果力向心力与回复力都是效果力,故故A A错误错误;小球运小球运动的轨迹是圆弧的一部分动的轨迹是圆弧的一部分,小球运动到点小球运动到点B B时加速度为时加速度为向心加速度向心加速度,故故B B错误错误;小球摆动过程中小球摆动过程中,只有重力做功只有重力做功,机械能守恒机械能守恒,由于由于h hl,可知两侧最高点处动能均为零可知两侧最高点处动能均为零,故重力势能也相等故重力势能也相等,故最大高度相同故最大高度相同,故故C C正确正确;小球从小球从BABBAB的时间为的时间为t t1 1=T=T1 1=;=;小球从小球从BCBBCB的时间的时间为为t t2 2=T=T2 2=故小球摆动的周期为故小球摆动的周期为T=tT=t1 1+t+t2 2=,=,故故D D错误。错误。【补偿训练】【补偿训练】(多选多选)如图所示如图所示,在同一地点的在同一地点的A A、B B两个单摆做简谐运动两个单摆做简谐运动的图象的图象,其中实线表示其中实线表示A A的运动图象的运动图象,虚线表示虚线表示B B的运动图的运动图象。以下关于这两个单摆的判断中正确的是象。以下关于这两个单摆的判断中正确的是()A.A.这两个单摆的摆球质量一定相等这两个单摆的摆球质量一定相等B.B.这两个单摆的摆长一定不同这两个单摆的摆长一定不同C.C.这两个单摆的最大摆角一定相同这两个单摆的最大摆角一定相同D.D.这两个单摆的振幅一定相同这两个单摆的振幅一定相同【解析】【解析】选选B B、D D。从题图可知。从题图可知,两单摆的振幅相等两单摆的振幅相等,周周期不等期不等,所以两单摆的摆长一定不同所以两单摆的摆长一定不同,故故B B、D D对对;由振幅由振幅相等而摆长不等知相等而摆长不等知C C错错;单摆的周期与质量无关单摆的周期与质量无关,故故A A错。错。知识点三知识点三用单摆测定重力加速度用单摆测定重力加速度探究导入探究导入:某同学利用如图所示的装置测量当地的某同学利用如图所示的装置测量当地的重力加速度。重力加速度。(1)(1)测量周期从什么位置开始计时测量周期从什么位置开始计时?(2)(2)采用什么样的方法处理数据较好采用什么样的方法处理数据较好?提示提示:(1)(1)待摆球稳定后待摆球稳定后,从单摆处于最低位置开始计时。从单摆处于最低位置开始计时。(2)(2)采用图象法处理数据较好。采用图象法处理数据较好。【归纳总结】【归纳总结】1.1.实验原理实验原理:单摆在偏角很小单摆在偏角很小(不大于不大于5)5)时的运动时的运动,可看成简谐运可看成简谐运动动,其固有周期其固有周期T=2 ,T=2 ,可得可得g=g=。据此。据此,通过实验通过实验测出摆长测出摆长l和周期和周期T,T,即可计算得到当地的重力加速度值。即可计算得到当地的重力加速度值。2.2.实验器材实验器材:铁架台及铁夹、金属小球铁架台及铁夹、金属小球(上面有一个通过球心的小孔上面有一个通过球心的小孔)、秒表、细线、秒表、细线(长长1m1m左右左右)、刻度尺、刻度尺(最小刻度为最小刻度为1mm)1mm)、游标卡尺。游标卡尺。3.3.实验步骤实验步骤:(1)(1)让细线穿过球上的小孔让细线穿过球上的小孔,在细线的一端打一个比孔在细线的一端打一个比孔稍大一些的线结稍大一些的线结,制成一个单摆。制成一个单摆。(2)(2)把单摆上端固定在铁夹上把单摆上端固定在铁夹上,使摆球自由下垂。使摆球自由下垂。(3)(3)用刻度尺测量单摆的摆长用刻度尺测量单摆的摆长(摆线静止时从悬点到球摆线静止时从悬点到球心间的距离心间的距离)。(4)(4)把此单摆从平衡位置拉开一个角度把此单摆从平衡位置拉开一个角度,并使这个角度并使这个角度小于等于小于等于5,5,再释放小球。当摆球摆动稳定以后再释放小球。当摆球摆动稳定以后,过最过最低点位置时低点位置时,用秒表开始计时用秒表开始计时,测量单摆全振动测量单摆全振动3030次次(或或5050次次)的时间的时间,求出一次全振动的时间求出一次全振动的时间,即单摆的振动周即单摆的振动周期。期。(5)(5)改变摆长改变摆长,反复测量几次反复测量几次,将数据填入表格。将数据填入表格。4.4.数据处理数据处理:(1)(1)公式法公式法:每改变一次摆长每改变一次摆长,将相应的将相应的l和和T T代入公式代入公式g=g=中中,求出求出g g值值,最后求出最后求出g g的平均值。的平均值。(2)(2)图象法图象法:由由T=2 T=2 得得T T2 2=作出作出T T2 2-l图象图象,即以即以T T2 2为纵轴为纵轴,以以l为横轴为横轴,如图所示。其斜率如图所示。其斜率k=,k=,由图象的由图象的斜率即可求出重力加速度斜率即可求出重力加速度g g。【典题过关】【典题过关】【典例】【典例】在做在做“用单摆测定重力加速度用单摆测定重力加速度”的实验时的实验时,用用摆长摆长l和周期和周期T T计算重力加速度的公式是计算重力加速度的公式是g=_g=_。若已。若已知摆球直径为知摆球直径为2.00cm,2.00cm,让刻度尺的零点对准摆线的悬点让刻度尺的零点对准摆线的悬点,摆线竖直下垂摆线竖直下垂,如图所示如图所示,则单摆摆长是则单摆摆长是_m_m。若测定。若测定了了4040次全振动的时间为次全振动的时间为75.2 s,75.2 s,单摆摆动周期是单摆摆动周期是_。为了提高测量精度为了提高测量精度,需多次改变需多次改变l值值,并测得相应的并测得相应的T T值。值。现将测得的六组数据标示在以现将测得的六组数据标示在以l为横坐标为横坐标,以以T T2 2为纵坐标为纵坐标的坐标系上的坐标系上,即图中用即图中用“”表示的点表示的点,则则:(1)(1)单摆做简谐运动应满足的条件是单摆做简谐运动应满足的条件是_。(2)(2)试根据图中给出的数据点作出试根据图中给出的数据点作出T T2 2和和l的关系图线的关系图线,根根据图线可求出据图线可求出g=_m/sg=_m/s2 2。(结果取两位有效数字结果取两位有效数字)【正确解答】【正确解答】由由T=2 ,T=2 ,可知可知g=g=。由图可知。由图可知:摆摆长长l=(88.50-1.00)cm=87.50 cm=0.875 0 m=(88.50-1.00)cm=87.50 cm=0.875 0 m。T=T=1.88s=1.88s。(1)(1)单摆做简谐运动的条件是摆角小于单摆做简谐运动的条件是摆角小于5 5。(2)(2)把在一条直线上的点连在一起把在一条直线上的点连在一起,误差较大的点平均误差较大的点平均分布在直线的两侧分布在直线的两侧,则直线斜率则直线斜率k=k=。由。由g=g=可得可得g=9.8m/sg=9.8m/s2 2(9.9m/s(9.9m/s2 2也正确也正确)。答案答案:见正确解答见正确解答【过关训练】【过关训练】一单摆摆长为一单摆摆长为40cm,40cm,摆球在摆球在t=0t=0时刻正在从平衡位置向右时刻正在从平衡位置向右运动运动,若若g g取取10m/s10m/s2 2,则在则在1s1s时摆球的运动情况是时摆球的运动情况是()A.A.正向左做减速运动正向左做减速运动,加速度正在增大加速度正在增大B.B.正向左做加速运动正向左做加速运动,加速度正在减小加速度正在减小C.C.正向右做减速运动正向右做减速运动,加速度正在增大加速度正在增大D.D.正向右做加速运动正向右做加速运动,加速度正在减小加速度正在减小【解析】【解析】选选D D。由。由T=2 ,T=2 ,得周期得周期T=1.256s,T=1.256s,1sT1sT。所以从。所以从t=0t=0时刻时刻,经过经过1s1s后后,正由左端最大位移处正由左端最大位移处向平衡位置运动过程中向平衡位置运动过程中,选项选项D D正确。正确。【补偿训练】【补偿训练】1.1.在同一地点在同一地点,单摆甲的周期是单摆乙的周期的单摆甲的周期是单摆乙的周期的4 4倍倍,下下列说法正确的是列说法正确的是()A.A.甲的频率是乙的甲的频率是乙的4 4倍倍B.B.甲的摆长是乙的甲的摆长是乙的1616倍倍C.C.甲的振幅是乙的甲的振幅是乙的4 4倍倍D.D.甲的振动能量是乙的甲的振动能量是乙的4 4倍倍【解析】【解析】选选B B。由单摆的周期公式。由单摆的周期公式T=2 T=2 可知可知l=故故B B选项正确选项正确;甲的频率是乙的频率的甲的频率是乙的频率的 ,故故A A选项错误选项错误;虽然甲、乙两单摆的摆长有虽然甲、乙两单摆的摆长有l甲甲=16=16l乙乙,但两个单摆的摆但两个单摆的摆角不确定角不确定,两摆球质量不确定两摆球质量不确定,故故C C、D D选项错误。选项错误。2.(1)2.(1)在用单摆测定重力加速度的实验中在用单摆测定重力加速度的实验中,应选用的器应选用的器材为材为_。A.1 mA.1 m长的细线长的细线 B.1 mB.1 m长的粗线长的粗线C.10 cmC.10 cm长的细线长的细线 D.D.泡沫塑料小球泡沫塑料小球E.E.小铁球小铁球 F.F.秒表秒表G.G.时钟时钟 H.H.厘米刻度尺厘米刻度尺I.I.毫米刻度尺毫米刻度尺 J.J.游标卡尺游标卡尺(2)(2)在该实验中在该实验中,单摆的摆角单摆的摆角【解析】【解析】(1)(1)做摆长的细线要用不易伸长的细线做摆长的细线要用不易伸长的细线,一般一般不应短于不应短于1 1米米,选选A;A;小球应是密度较大小球应是密度较大,直径较小的金属直径较小的金属球球,选选E;E;计时仪器宜选用秒表计时仪器宜选用秒表F;F;测摆长应选用毫米刻度测摆长应选用毫米刻度尺尺I,I,用游标卡尺测摆球的直径。用游标卡尺测摆球的直径。(2)(2)根据单摆做简谐运动的条件知根据单摆做简谐运动的条件知答案答案:(1)A(1)A、E E、F F、I I、J J(2)(2)小于小于55平衡位置平衡位置 3.3.某实验小组在进行某实验小组在进行“用单摆测定重力加速度用单摆测定重力加速度”的实的实验中验中,已知单摆在摆动过程中的摆角小于已知单摆在摆动过程中的摆角小于5;5;在测量单在测量单摆的周期时摆的周期时,从摆球运动到最低点开始计时且记数为从摆球运动到最低点开始计时且记数为1,1,到第到第n n次经过最低点所用的时间为次经过最低点所用的时间为t;t;在测量单摆的摆长在测量单摆的摆长时时,先用毫米刻度尺测得摆球悬挂后的摆线长先用毫米刻度尺测得摆球悬挂后的摆线长(从悬点从悬点到摆球的最上端到摆球的最上端)为为L,L,再用螺旋测微器测得摆球的直径再用螺旋测微器测得摆球的直径为为d(d(读数如图所示读数如图所示)。(1)(1)该单摆在摆动过程中的周期为该单摆在摆动过程中的周期为_。(2)(2)用上述物理量的符号写出求重力加速度的一般表达用上述物理量的符号写出求重力加速度的一般表达式式g=_g=_。(3)(3)从图可知从图可知,摆球的直径为摆球的直径为_mm_mm。(4)(4)实验结束后实验结束后,某同学发现他测得的重力加速度的值某同学发现他测得的重力加速度的值总是偏大总是偏大,其原因可能是下述原因中的其原因可能是下述原因中的()A.A.单摆的悬点未固定紧单摆的悬点未固定紧,振动中出现松动振动中出现松动,使摆线增长使摆线增长了了B.B.把把n n次摆动的时间误记为次摆动的时间误记为(n+1)(n+1)次摆动的时间次摆动的时间C.C.以摆线长作为摆长来计算以摆线长作为摆长来计算D.D.以摆线长与摆球的直径之和作为摆长来计算以摆线长与摆球的直径之和作为摆长来计算【解析】【解析】(1)(1)根据记数的方式可知根据记数的方式可知全振动的次数全振动的次数N=N=所以周期所以周期T=T=(2)(2)摆长摆长l=L+,=L+,将将T T和和l代入代入g=g=得得(3)(3)直径直径d=5.5mm+0.01d=5.5mm+0.0148.0 mm=5.980 mm48.0 mm=5.980 mm。(4)(4)根据根据g=g=知知,当悬点松动后当悬点松动后,摆线增长摆线增长,则代入公则代入公式中的式中的l将偏小将偏小,故所测故所测g g值偏小值偏小,A,A错误错误;对对B B选项选项,T,T变小变小,g,g变大变大,B,B正确正确;对对C C选项选项,l变小变小,g,g应偏小应偏小,C,C错误错误;对对D D选选项项,l变大变大,g,g应偏大应偏大,D,D正确。正确。答案答案:(1)(1)(2)(2)(3)5.980(3)5.980(4)B(4)B、D D【拓展例题】【拓展例题】考查内容考查内容:摆钟问题的分析摆钟问题的分析【典例】【典例】将在地球上校准的摆钟拿到月球上去将在地球上校准的摆钟拿到月球上去,若此若此钟在月球记录的时间是钟在月球记录的时间是1h,1h,那么实际上的时间应是那么实际上的时间应是_h(_h(月球表面的重力加速度是地球表面的月球表面的重力加速度是地球表面的 )。若要把此摆钟调准若要把此摆钟调准,应将摆长应将摆长L L0 0调节为调节为_。【正确解答】【正确解答】设在地球上校准的摆钟周期为设在地球上校准的摆钟周期为T T0 0,指示时指示时间为间为t t0 0;在月球上的周期为在月球上的周期为T,T,指示时间为指示时间为t t。由于指示时。由于指示时间间t t与振动次数与振动次数N N成正比成正比,即即tN;tN;一定时间内振动次数一定时间内振动次数N N与振动周期与振动周期T T成反比成反比,即即N ;N ;由单摆周期公式可知由单摆周期公式可知T ,T ,由以上推知由以上推知:t ,:t ,则有则有 。所求实际。所求实际时间为时间为t t0 0=要把它调准要把它调准,需将摆长调为需将摆长调为答案答案:
展开阅读全文