高等数学微分方程复习

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1、微 分 方 程 求 解 总 结求解流程图 一阶齐次可分离变量一阶线性nyxQyxPy Bernoulli )()( )(0)()( xydUdyxyQdxxyP 全微分方程xQyP 齐次 0)( yxpy非齐次 )()( xQyxpy ）（或令uyxuxyxyyxfy )(),( dxxhdyyg )()( 变易先求齐次通解，再常数)( )()( CdxexQey dxxPdxxP 或公式ny zn 1 )1,0(令1.折线积分2.凑全微分3.定积分转为z的一阶线性关于u一阶 二阶线性方程0)()()( 210 yxayxayxa )()()( 21 xfyxayxay 二阶变系数二阶一阶)(

2、),( xpy yxfy 令)(),( xypy yyfy 令二阶常系 数齐次 0 qyypy非齐次 )(xfqyypy 解的结构0 2 qprry特征方程：代数解法，*2211 yycycy xrxr ececyrr 21 2121 .1 )( .2 2121 1 xcceyrr xr )sincos( .3 212,1 xcxceyir x 高阶次连续积分nxfy n )()( 方程Euler tnnnnnn exxfyyyxyx 令 )(ppp 1)1(11)( 高阶线性齐次常系数01)1(1)( ypypypy nnnn 0 111 nnnn prprpr 代数特征方程P338 P34

3、8 一 、 一 阶 微 分 方 程 求 解 1. 一 阶 标 准 类 型 方 程 求 解 关 键 : 辨 别 方 程 类 型 , 掌 握 求 解 步 骤2. 一 阶 非 标 准 类 型 方 程 求 解 (1) 变 量 代 换 法 代 换 自 变 量代 换 因 变 量代 换 某 组 合 式(2) 积 分 因 子 法 选 积 分 因 子 , 解 全 微 分 方 程四 个 标 准 类 型 : 可 分 离 变 量 方 程 , 齐 次 方 程 , 线 性 方 程 , 全 微 分 方 程 机 动 目 录 上 页 下 页 返 回 结 束 例 1. 求 下 列 方 程 的 通 解 ;01)1( 32 xyey

4、y提 示 : (1) ,33 xyxy eee 因 故 为 分 离 变 量 方 程 :通 解 ;)2( 22 yyxyx ;2 1)3( 2yxy .23 36)4( 32 23 yyx yxxy xeyey xy dd32 Cee xy 331 机 动 目 录 上 页 下 页 返 回 结 束 方 程 两 边 同 除 以 x 即 为 齐 次 方 程 , ,0时x yyxyx 22)2( 时 ，0 x 21 uux 21 uux xyxyy 21 xyxyy 21 令 y = u x ,化 为 分离 变 量 方 程 .调 换 自 变 量 与 因 变 量 的 地 位 ,22 1)3( yxy ,2

5、dd 2yxyx 用 线 性 方 程 通 解 公 式 求 解 . 化 为 机 动 目 录 上 页 下 页 返 回 结 束 32 23 23 36)4( yyx yxxy 方 法 1 这 是 一 个 齐 次 方 程 .方 法 2 化 为 微 分 形 式 0d)23(d)36( 3223 yyyxxyxx故 这 是 一 个 全 微 分 方 程 . xyu令 机 动 目 录 上 页 下 页 返 回 结 束 xQyxyP 6 例 2. 求 下 列 方 程 的 通 解 : )lnln()1( yxyyyx 提 示 : (1)令 u = x y , 得(2) 将 方 程 改 写 为 0d)1ln(dln2

6、)2( 2 xxyyyxx yyx xyxy 22 363)3( 22 0d)31(d)3()4( 22 yyxxyxy uxuxu lndd )(ln)( yxyyx xyyxxxy 2ln2 1dd 3 (贝 努 里 方 程 ) 2 yz令(分 离 变 量 方 程 )原 方 程 化 为 机 动 目 录 上 页 下 页 返 回 结 束 令 y = u tyyx xyxy 22 363)3( 22 )1(2 )1(3dd 22 xy yxxy (齐 次 方 程 )yt ytty 23dd 22 令 t = x 1 , 则 tyxttyxy dddddddd 可 分 离 变 量 方 程 求 解化

7、 方 程 为 机 动 目 录 上 页 下 页 返 回 结 束 0d)31(d)3()4( 22 yyxxyxy变 方 程 为 yxxy dd2 两 边 乘 积 分 因 子 2 y 0)dd(3dd 2 yxxyyyxx用 凑 微 分 法 得 通 解 : Cyxyx 321 12 0)dd(3 2 yxxyy 机 动 目 录 上 页 下 页 返 回 结 束 例 3. 机 动 目 录 上 页 下 页 返 回 结 束 设 F(x) f (x) g(x), 其 中 函 数 f(x), g(x) 在 ( ,+)内 满 足 以 下 条 件 : ,0)0(),()(),()( fxfxgxgxf 且(1)

8、求 F(x) 所 满 足 的 一 阶 微 分 方 程 ; (03考 研 ) (2) 求 出 F(x) 的 表 达 式 .解 : (1) )()()()()( xgxfxgxfxF )()( 22 xfxg )()(2)()( 2 xgxfxfxg )(2)2( 2 xFex 所 以 F(x) 满 足 的 一 阶 线 性 非 齐 次 微 分 方 程 :.2)()( xexgxf 机 动 目 录 上 页 下 页 返 回 结 束 (2) 由 一 阶 线 性 微 分 方 程 解 的 公 式 得 CxeeexF xxx d4)( d22d2 Cxee xx d4 42 代 入 上 式 ，将 0)0()0

9、()0( gfF 1C得于 是 xx eexF 22)( xexFxF 24)(2)( xx Cee 22 练 习 题 : (题 3只 考 虑 方 法 及 步 骤 )P353 题 2 求 以 1)( 22 yCx 为 通 解 的 微 分 方 程 .提 示 : 1)( 22 yCx 02)(2 yyCx 消 去 C 得 1)1( 22 yyP353 题 3 求 下 列 微 分 方 程 的 通 解 :xyyyx 2)1( 提 示 : 令 u = x y , 化 成 可 分 离 变 量 方 程 : uu 2)1ln(ln)2( xxayxyx提 示 : 这 是 一 阶 线 性 方 程 , 其 中,l

10、n1)( xxxP )ln11()( xaxQ P353 题 1， 2， 3(1), (2), (3), (4), (5), (9), (10) 机 动 目 录 上 页 下 页 返 回 结 束 )ln(2dd)3( xyyxy 提 示 : 可 化 为 关 于 x 的 一 阶 线 性 方 程 yyxyyx ln22dd 0dd)4( 33 yxyxxy提 示 : 为 贝 努 里 方 程 , 令 2 yz0dddd)5( 22 yx yxyyyyxx提 示 : 为 全 微 分 方 程 , 通 解 Cyxyx arctan)(21 220dd)3()9( 24 xyxyxy提 示 : 可 化 为 贝

11、 努 里 方 程 xyxyxy 43dd 令 2xz 微 分 倒 推 公 式 机 动 目 录 上 页 下 页 返 回 结 束 原 方 程 化 为 yxxy 2)10( xyxu 2 , 即 ,2 2uuxy 则xydd uxuuxu dd)(22故 原 方 程 通 解 Cyxxyx 23)( 332 22dd xuuxuuex d2 Cue uu d2 d2 Cuuu d21 22 2232 uCu u2 xuxdd2 xuudd2提 示 : 令 机 动 目 录 上 页 下 页 返 回 结 束 二 、 两 类 二 阶 微 分 方 程 的 解 法 1. 可 降 阶 微 分 方 程 的 解 法 降

12、 阶 法)(dd 22 xfxy )dd,(dd 22 xyxfxy 令 xyxp dd)( ),(dd pxfxp)dd,(dd 22 xyyfxy 令 xyyp dd)( ),(dd pyfypp 逐 次 积 分 求 解 机 动 目 录 上 页 下 页 返 回 结 束 2. 二 阶 线 性 微 分 方 程 的 解 法 )(xfqyypy 常 系 数 情 形 齐 次非 齐 次 代 数 法 欧 拉 方 程yx 2 yxp yq )(xf tDex t dd, 令 qpDDD )1( y )( tef 机 动 目 录 上 页 下 页 返 回 结 束 ,0 qyypy 二 阶 常 系 数 齐 次

13、线 性 微 分 方 程 求 通 解 的 一 般 步 骤 :(1) 写 出 相 应 的 特 征 方 程(2) 求 出 特 征 方 程 的 两 个 根 ;02 qprr(3) 根 据 特 征 方 程 的 两 个 根 的 不 同 情 况 ,按 照 下 列规 则 写 出 微 分 方 程 的 通 解 ；与 21 rr21 rr ，特 征 方 程 的 两 个 根 微 分 方 程 的 通 解21 rr，两 个 不 相 等 的 实 根 21 rr 两 个 相 等 的 实 根 ir 2,1一 对 共 轭 复 根 xrxr eCeCy 21 21 xrexCCy 1)( 21 )sincos( 21 xCxCey

14、 x 求 解 二 阶 常 系 数 线 性 方 程 非 齐 )(xfqyypy *2211* yycycyYy 通 解齐次通解非齐特解难 点 ： 如 何 求 特 解 ？方 法 ： 待 定 系 数 法 . 是重根是单根不是根2 ,10k .i1 ,i0 是 单 根不 是 根 k可以是复数） (),()()1( xPexf mx );(* xQexy mxk ,sin)(cos)()()2( xxPxxPexf nlx ;sin)(cos)( )2()1(* xxRxxRexy mmxk (3). 上 述 结 论 也 可 推 广 到 高 阶 方 程 的 情 形 .)(xfqyypy 解 答 提 示P

15、353 题 2 求 以 xx eCeCy 221 为 通 解 的 微 分 方 程 .提 示 : 由 通 解 式 可 知 特 征 方 程 的 根 为 ,2,1 21 rr故 特 征 方 程 为 ,0)2)(1( rr 0232 rr即因 此 微 分 方 程 为 023 yyyP353 题 3 求 下 列 微 分 方 程 的 通 解,01)6( 2 yyy .2sin52)7( xyyy 提 示 : (6) 令 ,)(ypy 则 方 程 变 为,01dd 2 pyppy yyppp d1 d 2 即 机 动 目 录 上 页 下 页 返 回 结 束 特 征 根 : xyyy 2sin52)7( ,2

16、12,1 ir 齐 次 方 程 通 解 : )2sin2cos( 21 xCxCeY x 令 非 齐 次 方 程 特 解 为 xBxAy 2sin2cos* 代 入 方 程 可 得 174171 , BA思 考若 (7) 中 非 齐 次 项 改 为 ,sin2x提 示 : ,sin 2 2cos12 xx xBxAy 2sin2cos* 故 D原 方 程 通 解 为 xx 2sin2cos 174171 )2sin2cos( 21 xCxCey x 特 解 设 法 有 何 变 化 ? 机 动 目 录 上 页 下 页 返 回 结 束 P354 题 4(2) 求 解 02 yay ,00 xy 1

17、0 xy提 示 : 令 ),(xpy 则 方 程 变 为 2dd paxp积 分 得 ,1 1Cxap 利 用 100 xx yp 11 C得再 解 ,1 1dd xaxy 并 利 用 ,00 xy 定 常 数 .2C思 考 若 问 题 改 为 求 解 0321 yy ,00 xy 10 xy则 求 解 过 程 中 得 ,112 xp 问 开 方 时 正 负 号 如 何 确 定 ? 机 动 目 录 上 页 下 页 返 回 结 束 P354 题 8 设 函 数 222,)( zyxrrfu 在 r 0内 满 足 拉 普 拉 斯 方 程 ,0222222 zuyuxu )(rf其 中二 阶 可 导

18、 , 且 ,1)1()1( ff 试 将 方 程 化 为 以 r 为 自 变量 的 常 微 分 方 程 , 并 求 f (r) .提 示 : rxrfxu )( 2222 )( rxrfxu )(rf r1 32rx利 用 对 称 性 , 0)(2)( rfrrf即 0)(2)(2 rfrrfr ( 欧 拉 方 程 )原 方 程 可 化 为 机 动 目 录 上 页 下 页 返 回 结 束 0)(2)(2 rfrrfr,lnrt令 1)1()1( ff .12)( rrf 解 初 值 问 题 : ,ddtD记 则 原 方 程 化 为 02)1( fDDD 0 2 fDD即通 解 : teCCrf

19、 21)( rCC 121利 用 初 始 条 件 得 特 解 : 机 动 目 录 上 页 下 页 返 回 结 束 xxCxCy sincos 21特 征 根 : ,2,1 ir 例 1. 求 微 分 方 程 2, xxyy,00 xy ,00 xy提 示 : ,2 时当 x故 通 解 为 )(sin 2 xxxy 2,04 xyy 满 足 条 件2x在解 满 足 xyy ,00 xy 00 xy处 连 续 且 可 微 的 解 .设 特 解 : ,BAxy 代 入 方 程 定 A, B, 得 xy ,0,0 00 xx yy利 用 得 机 动 目 录 上 页 下 页 返 回 结 束 2x由 处

20、的 衔 接 条 件 可 知 , ,2 时当 x04 yy ,1 22 xy 12 xy 解 满 足故 所 求 解 为y ,sin xx 2221 ,2cos)1(2sin xxx 2xxCxCy 2cos2sin 21 其 通 解 :定 解 问 题 的 解 : 2221 ,2cos)1(2sin xxxy 机 动 目 录 上 页 下 页 返 回 结 束 例 2. ,)( 二 阶 导 数 连 续设 xf 且 满 足 方 程 x tdtftxxxf 0 )()(sin)(.)(xf求 提 示 : ,)()(sin)( 00 xx tdtfttdtfxxxf 则xxf cos)( )(sin)( x

21、fxxf x tdtf0 )( )(xfx )(xfx问 题 化 为 解 初 值 问 题 : xxfxf sin)()( ,0)0( f 1)0( f最 后 求 得 xxxxf cos2sin21)( 机 动 目 录 上 页 下 页 返 回 结 束 思 考 : 设 ,0)0(,d)()( 0 xx uuxxex?)(x如 何 求提 示 : 对 积 分 换 元 , ,uxt令 则 有 xx ttex 0 d)()( )()( xex x 解 初 值 问 题 : xexx )()( ,0)0( 1)0( 答 案 : xx exex 41)12(41)( 机 动 目 录 上 页 下 页 返 回 结

22、束 的 解 . 例 3. 设 函 数 ),()( 在xyy ,)()(,0 的 函 数是 xyyyxxy 内 具 有 连 续 二 阶 导机 动 目 录 上 页 下 页 返 回 结 束 (1) 试 将 x x( y) 所 满 足 的 微 分 方 程 变 换 为 y y(x) 所 满 足 的 微 分 方 程 ;(2) 求 变 换 后 的 微 分 方 程 满 足 初 始 条 件 0)dd)(sin(dd 322 yxxyyx ,0)0( y数 , 且 23)0( y 解 : ,1dd yyx ,1dd yxy即上 式 两 端 对 x 求 导 , 得 : (1) 由 反 函 数 的 导 数 公 式 知

23、 (03考 研 ) 机 动 目 录 上 页 下 页 返 回 结 束 0)(dddd 222 yyxyxy 222 )( dddd y yxyyx 3)(yy代 入 原 微 分 方 程 得 xyy sin (2) 方 程 的 对 应 齐 次 方 程 的 通 解 为 xx eCeCY 21设 的 特 解 为 ,sincos xBxAy 代 入 得 A 0,21B ,sin21 xy 故 从 而 得 的 通 解 : 题 目 录 上 页 下 页 返 回 结 束 xeCeCy xx sin2121 由 初 始 条 件 ,23)0(,0)0( yy 得1,1 21 CC故 所 求 初 值 问 题 的 解

24、为 xeey xx sin21 例 4. 解 : 欲 向 宇 宙 发 射 一 颗 人 造 卫 星 , 为 使 其 摆 脱 地 球 引 力 , 初 始 速 度 应 不 小 于 第 二 宇 宙 速 度 , 试 计 算 此 速 度 .设 人 造 地 球 卫 星 质 量 为 m , 地 球 质 量 为 M , 卫 星的 质 心 到 地 心 的 距 离 为 h , 由 牛 顿 第 二 定 律 得 : 222dd h mMGthm 00 dd, vthRh t ,0v为 (G 为 引 力 系 数 )则 有 初 值 问 题 : 222dd hMGth 又 设 卫 星 的 初 速 度 ，已 知 地 球 半 径

25、 51063R 机 动 目 录 上 页 下 页 返 回 结 束 ),(dd hvth设 ,dddd 22 hvvth则 代 入 原 方 程 , 得2dd hMGhvv hhMGvv dd 2两 边 积 分 得 ChMGv 221利 用 初 始 条 件, 得 RMGvC 2021因 此 RhMGvv 112121 202 221lim vh RMGv 121 20 注 意 到 机 动 目 录 上 页 下 页 返 回 结 束 为 使 ,0v 应 满 足0v RMGv 20 因 为 当 h = R (在 地 面 上 ) 时 , 引 力 = 重 力 , )sm81.9( 22 ggmh mMG 即,2

26、gRMG 故 代 入 即 得 81.9106322 50 gRv )s(m102.11 3这 说 明 第 二 宇 宙 速 度 为 skm2.11 机 动 目 录 上 页 下 页 返 回 结 束 求 质 点 的 运 动 规例 5. 上 的 力 F 所 作 的 功 与 经 过 的 时 间 t 成 正 比 ( 比 例 系 数, 00 vs 初 始 速 度 为初 始 位 移 为).(tss律 提 示 : ,d0 tksFss 由 题 设 两 边 对 s 求 导 得 :stkF dd 牛 顿 第 二 定 律 stktsm dddd 22 mktsts 22dddd tdd 2ddts mk2 2ddts

27、 12 Ctmk 为 k), 开 方 如 何 定 + ?已 知 一 质 量 为 m 的 质 点 作 直 线 运 动 , 作 用 在 质 点 机 动 目 录 上 页 下 页 返 回 结 束 例 6. 一 链 条 挂 在 一 钉 子 上 , 启 动 时 一 端 离 钉 子 8 m ,另 一 端 离 钉 子 12 m , 如 不 计 钉 子 对 链 条 所 产 生 的 摩 擦 力 , 求 链 条 滑 下 来 所 需 的 时 间 .解 : 建 立 坐 标 系 如 图 . 设 在 时 刻 t , 链 条 较 长 一 段 xox下 垂 x m ,又 设 链 条 线 密 度 为 常 数 , 此 时 链 条

28、受 力F gx gx )20( gx )10(2 由 牛 顿 第 二 定 律 , 得22dd20 tx gx )10(2 ,120 tx 0dd 0 ttx gxgtx 10dd 22 机 动 目 录 上 页 下 页 返 回 结 束 101.021.01 tgtg eCeCx由 初 始 条 件 得 ,121 CC 故 定 解 问 题 的 解 为解 得 2 4)10(10 21.0 xxe tg ),1( 舍 去 另 一 根左 端 当 x = 20 m 时 , (s)625ln(10 gt微 分 方 程 通 解 : 101.01.0 tgtg eex思 考 : 若 摩 擦 力 为 链 条 1 m

29、 长 的 重 量 , 定 解 问 题 的数 学 模 型 是 什 么 ? 机 动 目 录 上 页 下 页 返 回 结 束 摩 擦 力 为 链 条 1 m 长 的 重 量 时 的 数 学 模 型 为 xox不 考 虑 摩 擦 力 时 的 数 学 模 型 为 g1 (s)3 22419ln10 gt22dd20 tx gx )10(2 ,120 tx 0dd 0 ttx22dd20 tx gx )10(2 ,120 tx 0dd 0 ttx此 时 链 条 滑 下 来所 需 时 间 为 机 动 目 录 上 页 下 页 返 回 结 束 yoy 练 习 题 从 船 上 向 海 中 沉 放 某 种 探 测

30、仪 器 , 按 探 测要 求 , 需 确 定 仪 器 的 下 沉 深 度 y 与 下 沉 速 度 v 之 间 的 函数 关 系 . 设 仪 器 在 重 力 作 用 下 从 海 平 面 由 静 止 开 始 下 沉 , 在 下 沉 过 程 中 还 受 到 阻 力 和 浮 力 作 用 , 设 仪 器 质 量 为 m,体 积 为 B , 海 水 比 重 为 ,仪 器 所 受 阻 力 与 下 沉 速 度 成 正 比 , 比 例 系 数 为 k ( k 0 ) , 试 建 立 y 与 v 所 满 足 的 微 分方 程 , 并 求 出 函 数 关 系 式 y = y (v) . ( 95考 研 )提 示 :

31、 建 立 坐 标 系 如 图 . 质 量 m体 积 B由 牛 顿 第 二 定 律B22ddtym vk重 力 浮 力 阻 力mg tvty dddd 22 tyyvdddd yvvdd注 意 : 机 动 目 录 上 页 下 页 返 回 结 束 Bgm vkBgmk Bgmmvkmy ln)( 2 vkBgmyvvm dd初 始 条 件 为 00 yv用 分 离 变 量 法 解 上 述 初 值 问 题 得 yoy质 量 m体 积 B得 机 动 目 录 上 页 下 页 返 回 结 束 )()( xfyxy 有 特,1xy解 而 对 应 齐 次 方 程 有 解 ,2xy 及求 )(,)( xfx微

32、分 方 程 的 通 解 . 解 : ,0)(2 yxyxy 代 入将 xx 1)( 得代 入再 将 xy 1 )(1 xfyxy 33)( xxf 得故 所 给 二 阶 非 齐 次 方 程 为 331 xyxy ),(xpy 令 方 程 化 为 331 xpxp 1. 设 二 阶 非 齐 次 方 程一 阶 线 性 非 齐 次 方 程 机 动 目 录 上 页 下 页 返 回 结 束 331 xpxp 故 py xxe d1 xCx 121 再 积 分 得 通 解 2211 CxCxy )( 1211 CC 1d13 d3 Cxex xx )()( xfyxpy Cxexfey xxpxxp d)

33、( d)(d)(复 习 : 一 阶 线 性 微 分 方 程 通 解 公 式 机 动 目 录 上 页 下 页 返 回 结 束 2. !)3(!9!6!31)( 3963 nxxxxxy n(1) 验 证 函 数 )( x满 足 微 分 方 程 ;xeyyy (2) 利 用 (1)的 结 果 求 幂 级 数 !)3( 30 nx nn 的 和 .解 : (1) !)3(!9!6!31)( 3963 nxxxxxy n !)13(!8!5!2)( 13852 nxxxxxy n !)23(!7!4)( 2374 nxxxxxy n 机 动 目 录 上 页 下 页 返 回 结 束 (02考 研 ) !

34、0 nxnn所 以 yyy xe(2) 由 (1)的 结 果 可 知 所 给 级 数 的 和 函 数 满 足xeyyy ,1)0( y 0)0( y其 特 征 方 程 : ,012 rr 特 征 根 : ir 23212,1 齐 次 方 程 通 解 为 )23sin23cos( 2121 xCxCeY x 设 非 齐 次 方 程 特 解 为 ,xeAy 代 入 原 方 程 得 ,31A故 非 齐 次 方 程 通 解 为 机 动 目 录 上 页 下 页 返 回 结 束 xe31)23sin23cos( 2121 xCxCey x 代 入 初 始 条 件 可 得 0,32 21 CC故 所 求 级 数 的 和 )(3123cos32 21 xexe xx!)3( 30 nx nn 机 动 目 录 上 页 下 页 返 回 结 束