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1、典型难题(一)1、已知:如图,O是半圆的圆心,C、E是圆上的两点，CDAB，EFAB,EGC.求证：=GF(初二)AFGCEBOD、已知:如图，是正方形ABD内一点，PPA=150APCDB 求证:PBC是正三角形.(初二)D2C2B2A2D1C1B1CBDAA13、如图，已知四边形BC、A1B1C1D都是正方形,2、B2、2、D2分别是A、BB1、C1、DD1的中点.求证:四边形A2B2C2D2是正方形.（初二)ANFECDMB、已知:如图，在四边形ABD中，ADB，、N分别是AB、CD的中点，D、B的延长线交MN于E、F求证:DE=.典型难题（二）、已知：AC中,H为垂心(各边高线的交点）
2、,为外心，且MB于MADHEMCBO(1)求证:AH=2M；(2）若B=60,求证:AHA（初二）GAODBECQPNM2、设是圆O外始终线，过O作OAMN于A，自A引圆的两条直线，交圆于、C及D、，直线E及CD分别交M于P、Q.求证：AP=.(初二)3、如果上题把直线MN由圆外平移至圆内，则由此可得如下命题:OQPBDECNMA设是圆O的弦,过MN的中点A任作两弦BC、DE，设CD、B分别交N于P、Q求证：AQ.（初二)PCGFBQADE4、如图,分别以C的AC和BC为一边,在ABC的外侧作正方形ACDE和正方形CBFG,点P是EF的中点.求证:点到边AB的距离等于AB的一半.(初二)典型难
3、题（三）1、如图，四边形ACD为正方形，DEAC，AEAC，AE与CD相交于AFDECB求证：CE=（初二)2、如图,四边形ABCD为正方形,EAC,且CE=CA，直线EC交DA延长线于F.EDACBF求证:AEAF（初二）、设是正方形AD一边C上的任一点,PFAP,C平分DEDFEPCBA求证:PAF（初二）ODBFAECP4、如图，PC切圆O于C,A为圆的直径，PF为圆的割线，A、F与直线PO相交于B、D求证:A=D，C=A（初三）典型难题（四)1、已知：ABC是正三角形，是三角形内一点,PA,PB=，P.APCB求:APB的度数（初二)2、设P是平行四边形ABCD内部的一点,且PBA=P
4、D求证：PABPCB.(初二)PADCB3、设ABCD为圆内接凸四边形，求证:ABDC=ABD.CBDA(初三）4、平行四边形BCD中，设E、F分别是BC、AB上的一点，AE与CF相交于P,且AECF求证：DDPC（初二)FPDECBA典型难题(五)1、设P是边长为1的正B内任一点,L=P+PB+PC,求证:L2.APCB、已知:P是边长为的正方形ABC内的一点,求PPBPC的最小值.ACBPD ACBPD、P为正方形ABD内的一点，并且A=a,PBa,PC=3，求正方形的边长.EDCBA4、如图,ABC中，CAB8，、分别是AB、AC上的点，DC300，EB20,求ED的度数典型难题(一）1
5、.如下图做GH,连接O。由于OFE四点共圆,因此GHOE,即GHFOGE，可得=,又CO=O，因此CD=GF得证。. 如下图做DC使与AD全等,可得PDG为等边，从而可得DCAPDCP,得出PC=AD=，和DCGP=15因此DP30 ，从而得出PB是正三角形3如下图连接C1和AB1分别找其中点F,E.连接与A2并延长相交于Q点,连接并延长交C2Q于H点，连接FB并延长交A2Q于点,由AE=A1B1=1C1=FB2 ,EB2=B=FC1 ,又GFQ+Q=90和2+Q9，因此GEB=GF又B2FC2=A2EB2 ,可得2C2A2EB2 ，因此A2B2=B22 ， 又GFQ+B2F=900和GFEB
6、22,从而可得AB2 =900，同理可得其她边垂直且相等,从而得出四边形AB2CD2是正方形。4如下图连接C并取其中点Q，连接N和M,因此可得QF，Q=EN和QM=QNM,从而得出D=F。典型难题(二)1.(1)延长AD到连BF,做GF，又F=AC=BHD,可得B=BF,从而可得HD=DF，又AHGF+HG=GH+HD+DF+HG=2(H+H)=OM(2)连接O,C,既得BOC=120，从而可得O=600, 因此可得OBOM=AH=,得证。.作OFD,OBE，连接OP,OA，OF,A，OG，AG,OQ。 由于， 由此可得ADFAG,从而可得AFC=AG。 又由于PFOA与QGA四点共圆，可得A
7、FC=AOP和AGE=AQ， AOP=AO，从而可得AP=AQ。4.过,C,F点分别作AB所在直线的高EG，CI，H。可得PQ=。 由GAI,可得G=AI，由I，可得FH=BI。 从而可得Q= = ，从而得证。典型难题(三)1顺时针旋转ADE，到A，连接CG. 由于ABG=ADE=900+5=1350 从而可得B,，D在一条直线上，可得AGBGB。 推出AE=AG=AC=GC，可得AGC为等边三角形。 AG=0,既得AC=0,从而可得A EC=50。 又E=A=50+3=7. 可证:C=CF。2.连接D作HD，可得四边形GDH是正方形。由AC=C2C=2CH， 可得CH=300,因此CA=CE
8、=D=50，又FAE9005050=00,从而可懂得10,从而得出A=A。3作FD,FEBE,可以得出GFC为正方形。 令B=Y,BP=X ,CE= ,可得PC=Y-X 。 tanBPtanE=,可得YXY-2+XZ, 即Z（Y-）X(-) ，既得X=Z，得出ABPEF ， 得到PA=F ，得证 。典型难题(四）1. 顺时针旋转ABP 600 ，连接Q ,则PB是正三角形。可得C是直角三角形。因此B50 。2作过P点平行于AD的直线，并选一点,使ED，E可以得出ABPADP=AP，可得:AEBP共圆(一边所对两角相等）。可得A=BEP=，得证。.在BD取一点E，使BEACD，既得BECADC,
9、可得： ，即ABC=AC， 又CBCE,可得ACDC,既得 =，即ABC=DEAC, 由可得：ABC+ADC=AC(E+DE)= ACBD ，得证。4过D作 ，AGF ,由,可得: =，由AF。 可得DQ=DG，可得DPA=DPC（角平分线逆定理)。典型难题(五).（1)顺时针旋转BPC 60，可得PE为等边三角形。既得A+B+C=AP+PEEF要使最小只要A,P，EF在一条直线上，即如下图：可得最小L= ;（)过P点作B的平行线交AB,A与点,F。 由于ADTP=AP,推出AD 又BPPP 和PF+CC 又DF=AF 由可得：最大L2 ； 由()和（)既得:L 。 2顺时针旋转BPC 60 ，可得PB为等边三角形。既得PAP+PC=+E+EF要使最小只要AP，PE,E在一条直线上，即如下图:可得最小+PB+P=F。既得AF= = = 。3顺时针旋转ABP 90 ，可得如下图: 既得正方形边长L = 。4.在AB上找一点，使BCF=600, 连接EF,D，既得BGC为等边三角形， 可得CF=10 ,CE20，推出ABEACF , 得到E=CF ， F=GE 。 推出 ： FG为等边三角形,可得AF, 既得：DF=400 又BD=B ,既得BGD80 ,既得DG=00 推得:DDG ,得到：DFEDG , 从而推得:EDBE=3 。
初中数学经典几何难题及答案
