【培优题】四年级数学奥数培训课程第1讲至第20讲

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1、第讲 找 规律（一）一、知识要点 观测是解决问题的根据。通过观测,得以揭示出事物的发展和变化规律，在一般状况下,我们可以从如下几种方面来找规律：根据每组相邻两个数之间的关系，找出规律,推断出所要填的数;2根据相隔的每两个数的关系，找出规律,推断出所要填的数;3.要善于从整体上把握数据之间的联系，从而不久找出规律;4.数之间的联系往往可以从不同的角度来理解,只要言之有理，所得出的规律都可以觉得是对的的。二、精讲精练【例题】 先找出下列数排列的规律,并根据规律在括号里填上合适的数。，4,7，10,( ）,1,19【思路导航】在这列数中，相邻的两个数的差都是3,即每一种数加上3都等于背面的数。根据这

2、一规律,括号里应填的数为：103=1或1631。像上面按照一定的顺序排列的一串数叫做数列。练习1:先找出下列各列数的排列规律，然后在括号里填上合适的数。（）,6,10，1，(),22，26（)3,6，9，2,( ),2(3）3,2，23，( ），13，( )，（4)5，49,，( )，31,（)，9(5），6，12,( )，48，（）,2（6)，6,1,（ ），162，( ）(7）128,64,2,（ ),8，（ ),2(8）1，,17，3，15,( )，（ ），1，3.【例题2】先找出下列数排列的规律,然后在括号里填上合适的数。1,，4,7，（ ),6,22【思路导航】在这列数中,前4个数每

3、相邻的两个数的差依次是1，2，。由此可以推算比括号里的数少4,括号里应填：+4=1。经验证，所填的数是对的的。应填的数为：7+4=或15=1。练习2：先找出下列数排列的规律，然后在括号里填上合适的数。()10,1，13，16,20，（）,31（），4,，16，25，（）,4，6(3)3，2，2,7，2,（）,（)，11，2(4)53,44,3,29,( ),8，（ ),11,9，8（5）1,6,49，36，( ），16,( ),4,1，0(6）28,1，6,1，4，1,( )，()，20,1（7)，,26，2，22，2,（）,（),4,2（8）,，7,10,（ ），（ ),3，4【例题3】先找

4、出规律，然后在括号里填上合适的数。，20，6,7，,（)，（ ），1,2【思路导航】在这列数中，第一种数减去的差是第三个数，第二个数加上2的和是第四个数,第三个数减去3的差是第五个数，第四个数加上2的和是第六个数依此规律，8背面的一种数为：1-=14,11前面的数为：8+210练习3:先找出规律，然后在括号里填上合适的数。（1)1,6,，10,9,14，13，（ )，( )（2）13,2，15，17,6，( )，（ )（3）,2,4,2，6，26，9，3，( ）,( )，,1(4)2,2，9，5，8,( ）,()（)32，20，29，18，26,1，（ ），（)，20,12（6）2，,10,1

5、8，11,5,( ），（ ),13，486（7）1,8,4,11，1,(），( ）（8）30，1,0，3，0,9,40,27,（），(）【例题4】在数列1，1，5,8,1,( ),3,5中，括号里应填什么数？【思路导航】经仔细观测、分析，不难发现:从第三个数开始，每一种数都等于它前面两个数的和。根据这一规律,括号里应填的数为：8+12或3-13=1上面这个数列叫做斐波那切(意大利古代出名数学家)数列,也叫做“兔子数列”。练习4:先找出规律，然后在括号里填上合适的数。（1),，4,6,1,，()，( ）(）34,21,13，8，5，（），2,（ )(3）0,，1，（ ）,144(4），7,15,

6、31,3，( ）,（）()33，17,9,5，3,(）（)0，1，4,15，56，( ）（7)1，3,6,8，6,8，(),( ）,76，78（)0，1，2，4,12，20，（ )【例题】下面每个括号里的两个数都是按一定的规律组合的,在里填上合适的数。（,4)（5,7)（10，2）(，9)【思路导航】经仔细观测、分析，不难发现：每个括号里的两个数相加的和都是12。根据这一规律,里所填的数应为:12-9=练习:下面括号里的两个数是按一定的规律组合的,在里填上合适的数。（1)(6,9)(7,8）(10,5）(,）（2)（，24）(,12)(,8）（,)（3）(18，17)（4,10）(10，）(,

7、)（4)(,3）(5，9）（7,3)(，)（5）(2，3）(5，7）（,10）（0,）（）（64，62)（48，6）（2，7)(15，)（7)（10,50）（8，43）(64,32）(,1)（8)(,6）（16，3）(24,)(12，)第2讲 找 规 律（二）一、知识要点 对于较复杂的按规律填数的问题,我们可以从如下几种方面来思考:1.对于几列数构成的一组数变化规律的分析，需要我们灵活地思考，没有一成不变的措施，有时需要综合运用其她知识，一种措施不行，就要及时调节思路，换一种措施再分析；2.对于那些分布在某些图中的数，它们之间的变化规律往往与这些数在图形中的特殊位置有关,这是我们解此类题的突破

8、口。3对于找到的规律,应当适合这组数中的所有数或这组算式中的所有算式。二、精讲精练【例题1】根据下表中的排列规律,在空格里填上合适的数。【思路导航】经仔细观测、分析表格中的数可以发现:12+6,8=1，即每一横行中间的数等于两边的两个数的和。依此规律,空格中应填的数为:4+82。练习1:找规律,在空格里填上合适的数。【例题】根据前面图形中的数之间的关系,想一想第三个图形的括号里应填什么数？【思路导航】经仔细观测、分析可以发现前面两个圈中三个数之间有这样的关系：512=6 4200=8根据这一规律,第三个圈中右下角应填的数为：8301=24练习2:根据前面图形中数之间的关系，想一想第三个图形的空

9、格里应填什么数。(1） （2） （3）【例题3】先计算下面一组算式的第一题，然后找出其中的规律，并根据规律直接写出后几题的得数。13456799= 12456798=23675= 1245791【思路导航】题中每个算式的第一种因数都是13469，它是有趣的“缺8数”，与9相乘，成果是由九个1构成的九位数，即:。不难发现，这组题得数的规律是:只要看每道算式的第二个因数中涉及几种9,乘积中就涉及几种。由于：123456799=因此：1234567918=2345679=2345675=123456996= 12345781=135699=.练习：找规律,写得数。（1） 1+09= +19=+19=

10、 4+123 9+12456789=（） 1= 11=11111= (3）9+99 18+989= 117979=116+98769 1115+865=【例题4】找规律计算。（1） 8118=(8-1）9=963(2) 727=(7-）9=9=5 (3) 6336（-)9=【思路导航】经仔细观测、分析可以发现:一种两位数与互换它的十位、个位数字位置后的两位数相减，只要用十位与个位数字的差乘9，所得的积就是这两个数的差。练习4:1.运用规律计算。（1)5335 (2）828 (3）92-29 （4）61-16（)59.找规律计算。（) 62+26=（6+)=81=88（2) 8+78（8+7)1

11、=1511=165（3） 54+4（+）11=11=【例题5】计算（1）21（2）3811【思路导航】一种两位数与11相乘，只要把这个两位数的两个数字的和插入这两个数字中间，就是所求的积。() 2611=2(2+6）=286（） 811=3()8=4注意:如果两个数字的和满十，要向前一位进一。练习5：计算下面各题。(1)271(2)211（3） 3911（4)611(5)911 （6)811第3讲 简 单 推 理 一、知识要点 解答推理问题,要从许多条件中找出核心条件作为推理的突破口。推理要有条理地进行，要充足运用已经得出的结论，作为进一步推理的根据。二、精讲精练【例题】 一包巧克力的重量等于

12、两袋饼干的重量，4袋牛肉干的重等于一包巧克力的重量,一袋饼干等于几袋牛肉干的重量?【思路导航】根据“一包巧克力的重量=两袋饼干的重量”与“4袋牛肉干的重量一包巧克力的重量”可推出:两袋饼干的重量=袋牛肉干的重量。因此，一袋饼干的重量=两袋牛肉干的重量。练习1:（1）一只菠萝的重量等于4根香蕉的重量，两只梨子的重量等于一只菠萝的重量,一只梨子的重量等于几根香蕉的重量？ （2）3包巧克力的重量等于两袋糖的的重量，12袋牛肉干的重量等于3包巧克力的重量，一袋糖的重量等于几袋牛肉干的重量? （）一只小猪的重量等于只鸡的重量,3只鸡的重量等于4只鸭的重量。一只小猪的重量等于几只鸭的重量? 【例题2】一头

13、象的重量等于4头牛的重量,一头牛的重量等于匹小马的重量,一匹小马的重量等于3头小猪的重量。一头象的重量等于几头小猪的重量?【思路导航】根据“一头象的重量等于4头牛的重量”与“一头牛的重量等于匹小马的重量”可推出:“一头象的重量等于12匹小马的重量”,而“一匹小马的重量等于头小猪的重量”,因此，一头象的重量等于头小猪的重量。练习2:(1）一只西瓜的重量等于两个菠萝的重量，个菠萝的重量等于个苹果的重量,1个苹果的重量等于两个橘子的重量。只西瓜的重量等于几种橘子的重量? （)一头牛一天吃草的重量和一只兔子9天吃草的重量相等，也和6只羊一天吃草的重量相等。已知一头牛每天吃青草1公斤，一只兔子和一只羊一

14、天共吃青草多少公斤？(3)一只小猪的重量等于6只鸡的重量,3只鸡的重量等于4只鸭的重量,两只鸭的重量等于6条鱼的重量。问:两只小猪的重量等于几条鱼的重量？【例题】根据下面两个算式,求与各代表多少？+=18 =0【思路导航】在第一种算式中，3个相加的和是1,因此代表的数是：13,又由第二个算式可求出代表的数是:106=4练习：(1)根据下面两个算式,求与各代表多少?+2 -=0（2）根据下面两个算式，求与各代表多少？1 +=40（)根据下面两个算式,求与各代表多少？-=8 +=【例题】根据下面两个算式,求与各代表多少？=2 +=56【思路导航】由第一种算式可知,比多2；如果将第二个算式的都换成,

15、那么个=522，=12,再由第一种算式可知,122练习4:()根据下面两个算式求与各代表多少？-=8 +=20(2）根据下面两个算式，求与各代表多少?+= +=72(3）根据下面两个算式,求与各代表多少？+-=12 -=2【例题5】甲、乙、丙三人分别是一小、二小和三小的学生，在区运动会上她们分别获得跳高、跳远和垒球冠军。已知:二小的是跳远冠军；一小的不是垒球冠军,甲不是跳高冠军;乙既不是二小的也不是跳高冠军。问:她们三个人分别是哪个学校的?获得哪项冠军？【思路导航】由“二小的是跳远冠军”可知垒球、跳高冠军是一小或三小的；由于“一小的不是垒球冠军”，因此一小一定是跳高冠军,三小的是垒球冠军;由“

16、甲不是跳远冠军”，“乙既不是二小的也不是跳高冠军”可知,一小的甲是跳高冠军，二小的丙是跳远冠军,三小的乙是垒球冠军。练习5：（）有三个女孩穿着崭新的连衣裙去参与游园会。一种穿花的,一种穿白的,一种穿红的。但不知哪一种姓王、哪一种姓李、哪一种姓刘。只懂得姓刘的不喜欢穿红的，姓王的既不是穿红裙子，也不是穿花裙子。你能猜出这三个女孩各姓什么吗?(2)小兔、小猫、小狗、小猴和小鹿参与00米比赛，比赛结束后小猴说：“我比小猫跑得快。”小狗说：“小鹿在我前面冲过终点线。”小兔说：“我们的名次排在小猴前面,小狗在背面。”请根据它们的回答排出名次。(3)五个女孩并排坐着,甲坐在离乙、丙距离相等的座位上,丁坐在

17、离甲、丙距离相等的座位上,戌坐在她两个姐姐之间。请问谁是戌的姐姐？第4讲 应用题(一）一、知识要点 解答应用题时，必须认真审题,理解题意，进一步细致地分析题目中数量间的关系,通过对条件进行比较、转化、重新组合等多种手段,找到解题的突破口，从而使问题得以顺利解决。二、精讲精练【例题1】 某玩具厂把6件玩具分别装在5个塑料箱和个纸箱里,1个塑料箱与个纸箱装的玩具同样多。每个塑料箱和纸箱各装多少件玩具?【思路导航】如果玩具所有装在塑料箱或所有装在纸箱里,那么可以求出一种纸箱或一种塑料箱装多少件。由于3个纸箱与一种塑料箱装的同样多，因此个纸箱与2个塑料箱装的同样多。这样,5个塑料箱装的玩具件数和个塑料

18、箱装的就同样多。由此，可求出一种塑料箱装多少件。练习:(1）百货商店运来300双球鞋分别装在个木箱和个纸箱里。如果两个纸箱同一种木箱装的球鞋同样多，每个木箱和每个纸箱各装多少双球鞋?(2）新华小学买了两张桌子和把椅子，共付款195元。已知每张桌子的价钱是每把椅子的4倍,每张桌子多少元？（3)王叔叔买了3公斤荔枝和4公斤桂圆,共付款56元。已知5公斤荔枝的价钱等于2公斤桂圆的价钱。每公斤荔枝和每公斤桂圆各多少元？【例题2】一桶油，连桶重18公斤，用去一半油后，连桶尚有1公斤。问:油和桶各重多少公斤？【思路导航】本来油和桶共重18公斤,用去一半油后，连桶尚有100公斤，阐明用去的一半油的重是180

19、10=80(公斤),一桶油的重量就是2=1(公斤)，油桶的重量就是80-16=20(公斤)。练习:(1）一筐梨，连筐重38公斤，吃去一半后,连筐尚有20公斤。问：梨和筐各重多少公斤?（2）一筐苹果，连筐共重公斤,先拿一半送给幼儿园小朋友，再拿剩余的一半送给一年级小朋友，余下的苹果连筐重1公斤。这筐苹果重多少公斤？（3）一只油桶里有某些油，如果把油加到本来的倍，油桶连油重38公斤；如果把油加到本来的4倍,这里油和桶共重公斤。本来油桶里有油多少公斤?【例题】有盒茶叶,如果从每盒中取出200克，那么5盒剩余的茶叶正好和本来盒茶叶的重量相等。本来每盒茶叶有多少克?【思路导航】由条件“每盒取出20克,盒

20、剩余的茶叶正好和本来4盒茶叶重量相等”可以推出，拿出的20=1000（克)茶叶正好等于本来的5-4（盒)茶叶的重量。练习3：（1)有筐梨子，每筐梨子个数相等,如果从每筐中拿出40个，6筐梨子剩余的个数总和正好和本来两筐的个数相等。本来每筐有多少个？（2）在个木箱中放着同样多的橘子。如果从每个木箱中拿出60个橘子，那么5个木箱中剩余的橘子的个数的总和等于本来两个木箱里橘子个数的和。本来每个木箱中有多少个橘子?(）某食品店有5箱饼干，如果从每个箱子里取出20公斤，那么5个箱子里剩余的饼干正好等于本来3箱饼干的重量。本来每个箱子里装多少公斤饼干？【例题】一种木器厂要生产一批课桌。原筹划每天生产60张

21、,实际每天比原筹划多生产4张，成果提前一天完毕任务。原筹划要生产多少张课桌？【思路导航】这道题的核心是规定出工作时间。由于实际比原筹划提前1天完毕任务,这就相称于把原筹划最后1天的任务平均分到前面的几天去做,正好分完。实际比原筹划每天多生产4张,因此实际生产的天数是04=15天，原筹划生产的天数是15+116天。因此原筹划要生产606=96张。练习:（1）电视机厂接到一批生产任务，筹划每天生产0台,可以按期完毕。实际每天多生产5台,成果提前1天完毕任务。这批电视机共有多少台？()小明看一本故事书,筹划每天看12页,实际每天多看8页,成果提前2天看完。这本故事书有多少页?(3)修一条公路，筹划每

22、天修米,实际每天比筹划多修5米,成果提前天修完。一共修了多少米？【例题】有两盒图钉，甲盒有7只,乙盒有48只，从甲盒拿出多少只放入乙盒,才干使两盒中的图钉相等?【思路导航】由条件可知，甲盒比乙盒多7=2只。要盒两盒中的图钉相等，只要把甲盒比乙盒多的2只图钉平均提成2份，取其中的1份放入乙盒就行了。因此应拿出242=1只。练习:（1）有两袋面粉，第一袋面粉有2公斤，第二袋面粉有18公斤。从第一袋中取出几公斤放入第二袋，才干使两袋中的面粉重量相等?(）有两盒图钉，甲盒有72只,乙盒有48只。每次从甲盒中拿4只放到乙盒,拿几次才干使两盒相等？(3)有两袋糖，一袋是8粒，另一袋是2粒。每次从多的一袋中

23、拿出6粒放到少的一袋里,拿几次才干使两袋糖同样多？第5讲 算式谜(一）一、知识要点 “算式谜”一般是指那些具有未知数字或缺少运算符号的算式。解决此类问题,可以根据已学过的知识,运用对的的分析推理措施，拟定算式中的未知数字和运用符号。由于此类题目的解答过程类似全平时进行的猜谜语游戏,因此，我们把此类题目称为“算式谜题”。解答算式谜问题时，要先仔细审题,分析数据之间的关系，找到突破口，逐渐实验,分析求解,一般要运用倒推法、凑整法、估值法等。二、精讲精练【例题1】 在下面算式的括号里填上合适的数。【思路导航】根据题目特点,先看个位：7+512,在和的个位()中填2,并向十位进一；再看十位，（ ）+4

24、+1的和个位是,因此，第一种加数的()中只能填6，并向百位进；最后来看百位、千位，6+（ ）+1的和的个位是,第二个加数的( )中只能填5，并向千位进1；因此，和的千位( )中应填8。练习1：(1)在括号里填上合适的数。 ()在方框里填上合适的数。()下面的竖式里,有个数字被遮住了，求竖式中被盖住的4个数字的和。【例题2】下面各式中“巨”、“龙”、“腾”、“飞”分别代表不同的数字,相似的中文代表相似的数字。当它们各代表什么数字时，下列的算式成立。【思路导航】先看个位，3个“飞”相加的和的个位数字是1，可推知“飞”代表7；再看十位,3个“腾”相加,再加上个位进来的2，所得的和的个位是0,可推知“

25、腾”代表6;再看百位，两个“龙”相加,加上十位进上来的2,所得和的个位是0,“龙”也许是4或9，考虑到千位上的“巨”不也许为0，因此“龙”只能代表，“巨”只能代表。练习2:【例题3】下面各式中的“兵”、“炮”、“马”、“卒”各代表09这十个数字中的某一种,相似的中文代表相似的数字。这些中文各代表哪些数字?【思路导航】这道题应以“卒”入手来分析。“卒”和“卒”相加和的个位数字仍然是“卒”,这个数字只能是0。拟定“卒”是0后,所有是“卒”的地方,都是0。注意到百位上是“兵”“兵”=“卒”,容易懂得“兵”是5，“车”是;再由十位上的状况可推知“马”是4，进而推得“炮”是。练习3：【例题4】将0、1、

26、2、3、4、5、6这七个数字填在圆圈和方格内，每个数字正好浮现一次，构成一种整数算式。 =【思路导航】规定用七个数字构成五个数,这五个数有三个是一位数，有两个是两位数。显然，方格中的数和被除数是两位数,其她是一位数。和1不能填入乘法算式，也不能做除数。由于612（2将浮现两次)，510（经实验不合题意)，28（7个数字中没有）,23=（6不能成为商)。因此,、1、2只能用来构成两位数。经实验可得:4=16=5.练习:（1)将0、1、3、6、8、9这七个数字填在圆圈和方筐里,每个数字正好浮现一次构成一种整数算式。 =(2）填入1、2、3、9，使等式成立。 =（3）用1、2、3、7、8这五个数字可

27、以列成一种算式：(1+3）728。请你用、3、4、6这六个数字列成一种算式。【例题】把“+、”分别放在合适的圆圈中(运算符号只能用一次），并在方框中填上合适的数,使下面的两个等式成立。3605= 2135=【思路导航】先从第一种等式入手,等式右边是15,与等式左边最后一种数15相似,由于0+515，因此，只要使3与的运算成果为就行。显然，30+15=5由于第一种等式已填“”、“+”,在第二个等式中只有“”、“”可以填，题目规定在方框中填整数,已知3不能被整除,因此“”只能填在2与之间，而3与5之间填“-”。练习5：(1)把“、-、”分别填入下面的圆圈中,并在方框中填上合适的整数,使下面每组的两

28、个等式成立。 9137=1 14=162=100 47=（2)将19这九个数字填入中（每个数字只能用一次),构成三个等式。+= - =第6讲 算式谜(二）一、知识要点 解决算式谜题,核心是找准突破口,推理时应注意如下几点：认真分析算式中所涉及的数量关系,找出隐蔽条件,选择有特性的部分作出局部判断;2.运用列举和筛选相结合的措施，逐渐排除不合理的数字；3.实验时，应借助估值的措施,以缩小所求数字的取值范畴,达到迅速而精确的目的；.算式谜解出后,要验算一遍。二、精讲精练【例题1】 在下面的方框中填上合适的数字。【思路导航】由积的末尾是0，可推出第二个因数的个位是5；由第二个因数的个位是5,并结合第

29、一种因数与5相乘的积的状况考虑,可推出第一人个因数的百位是3；由第一种因数为376与积为31,可推出第二个因数的十数上是8。题中别的数字就容易填了。练习：在里填上合适的数。 【例题】在下面方框中填上适合的数字。【思路导航】由商的十位是1,以及1与除数的乘积的最高位是可推知除数的十位是。由第一次除后余下的数是，可推知被除数的十位只也许是7、9。如果是7,除数的个位是0，那么最后必有余数;如果被除数是8,除数的个位就是1，也不能除尽;只有当被除数的十位是9时,除数的个位是2时,商的个位为6，正好除尽。完整的竖式是：练习2:在内填入合适的数字,使下列除法竖式成立。【例题3】下面算式中的a、b、c、这

30、四个字母各代表什么数字?【思路导航】由于四位数abd乘的积是四位数,可知a是1；d和9相乘的积的个位是1，可知只能是9;由于第二个因数9与第一种因数百位上的数相乘的积不能进位,因此b只能是（1已经用过)；再由0，可推知8。练习3：花= 红 = 柳 = 绿 =华 = 罗 = 庚 = 金 = 杯 =盼 = 望 = 祖 = 国 = 早 = 日 = 统 = 一 =求下列各题中每个中文所代表的数字。【例题4】在1、2、3、4、5、6、7、8、9这九个数字中间加上“、-”两种运算符号，使其成果等于(数字的顺序不能变化）。 23 4 5 6 9 10【思路导航】先凑出与00比较接近的数,再根据需要把相邻的几

31、种数构成一种数。例如：13与10比较接近,因此把前三个数字构成3，背面的数字凑出23就行。由于4与67相差22，与9相差1，因此得到一种解法：3+45-8-9=1再例如：89与0比较接近,78与67正好相差11，所此可得另一种解法：13456789=10.练习4：:（1)在下面等号左边的数字之间添上某些加号,使其成果等于9(数字的顺序不能变化)。 87 54 3 2 1 = (2）一种乘号和七个加号添在下面的算式中合适的地方，使其成果等于10（数字的顺序不能变化)。 1 2 4 56 7 = 10()添上合适的运算符号和括号，使下列等式成立。 1 2 34 5 = 1【例题5】在下面的式子里添

32、上括号，使等式成立。 7922 【思路导航】采用逆推法,从最后一步运算开始考虑。如果最后一步是用前面计算的成果减，那么前面式子的运算成果应等25,又由于2=75,而前面9+2又正好等于7，因此，应给前面两步运算加括号。 （79+12)3- =23练习5：1.在下面的式子里添上括号,使等式成立。(1)9+13-2 = (2）79122 = 47(3）88+33-112=5在1、2、6、7、8、9这九个数字中间加上“、-”两种运算符号,使其成果等于10（数字的顺序不能变化）。第讲 最优化问题一、知识要点 在平常生活和生产中,我们常常会遇到下面的问题:完毕一件事情，如何合理安排才干做到用的时间至少，

33、效果最佳。此类问题在数学中称为统筹问题。我们还会遇到“费用最省”、“面积最大”、“损耗最小”等等问题，这些问题往往可以从极端状况去探讨它的最大(小）值，此类问题在数学中称为极值问题。以上的问题事实上都是“最优化问题”。二、精讲精练【例题1】 用一只平底锅煎饼，每次只能放两个，剪一种饼需要2分钟(规定正背面各需要分钟）。问煎3个饼至少需要多少分钟?【思路导航】先将两个饼同步放入锅中一起煎，一分钟后两个饼都熟了一面，这时可将一种取出，另一种翻过去，再放入第三个。又煎了一分钟,将两面都熟的那个取出,把第三个翻过去,再将第一种放入煎，再煎一分钟就会所有煎好。因此,煎3个饼至少需要3分钟。练习1:1.烤

34、面包时,第一面需要2分钟，第二面只要烤分钟,即烤一片面包需要3分钟。小丽用来烤面包的架子，一次只能放两片面包，她每天早上吃3片面包,至少要烤多少分钟？2.用一只平底锅烙大饼,锅里只能同步放两个。烙熟大饼的一面需要3分钟,目前要烙个大饼，至少要用几分钟?3.小华用平底锅烙饼，这只锅同步能放个大饼,烙一种要用4分钟（每面各需要2分钟）。可小华烙6个大饼只用了6分钟，她是如何烙的?【例题】妈妈让小明给客人烧水沏茶。洗水壶需要分钟，烧开水需要分钟,洗茶壶需要1分钟,洗茶杯需要1分钟。要让客人喝上茶,至少需要多少分钟?【思路导航】经验表白，能同步做的事，尽量同步做,这样可以节省时间。水壶不洗,不能烧开水

35、,因此，洗水壶和烧开水不能同步进行。而洗茶壶、洗茶杯和拿茶叶与烧开水可以同步进行。根据以上的分析,可以这样安排：先洗水壶用1分钟，接着烧开水用15分钟，同步洗茶壶、洗茶杯、拿茶叶，水开了就沏茶,共需要16分钟。练习2：1.小虎上午要完毕这样几件事：烧一壶开水需要10分钟,把开水灌进热水瓶需要分钟,取奶需要5分钟,整顿书包需要4分钟。她完毕这几件事至少需要多少分钟?2小强给客人沏茶,烧开水需要1分钟，洗茶杯要分钟,买茶叶要8分钟，放茶叶泡茶要1分钟。为了让客人早点喝上茶,你觉得最合理的安排,多少分钟就可以了?3.在上午起床后的1小时内,小欣要完毕如下事情：叠被3分钟，洗脸刷牙8分钟，读外语30分

36、钟，吃早餐10分钟,收碗擦桌分钟，收听广播30分钟。至少需要多少分钟？【例题3】五（1）班赵明、孙勇、李佳三位同窗同步达到学校卫生室，等待校医治病。赵明打针需要5分钟,孙勇包纱布需要3分钟，李佳点眼药水需要1分钟。卫生室只有一位校医,校医如何安排三位同窗的治病顺序，才干使三位同窗留在卫生室的时间总和最短?【思路导航】校医应当给治疗时间最短的先治病,治疗时间长的最后治疗，才干使三位同窗在卫生室的时间总和最短。这样，三位同窗留在卫生室的时间分别是：李佳1分钟，赵1+=4分钟,赵明1+3+5=9分钟。时间总和是1+4+9=14分钟。练习：1甲、乙、丙三人分别拿着2个、3个、个热水瓶同步达到开水供应点

37、打热水。热水龙头只有一种,如何安排她们打水的顺序，可以使她们打热水所花的总时间至少?甲、乙、丙三人到商场批发部洽谈业务，甲、乙、丙三人需要的时间分别是0分钟、16分钟和分钟。如何安排，使3人所花的时间至少？至少时间是多少?3甲、乙、丙、丁四人同步到一水龙头处用水,甲洗托把需要3分钟,乙洗抹布需要分钟,丙洗衣服需要10分钟,丁用桶注水需要1分钟。如何安排四人用水的顺序,使她们所花的总时间至少?至少时间是多少?【例题4】用1厘米长的铁丝围成多种长方形，规定长和宽的长度都是整厘米数。围成的长方形的面积最大是多少?【思路导航】根据题意,围成的长方形的一条长与一条宽的和是82=厘米。显然,当长与宽的差越

38、小,围成的长方形的面积越大。又已知长和宽的长度都是整厘米数，因此,当长是5厘米，宽是4厘米时，围成的长方形的面积最大:54=20平方厘米。练习:1.用长2厘米的铁丝围成多种长方形,规定长和宽的长度都是整厘米数，围成的长方形的面积最大是多少？一种长方形的周长是2分米,它的面积最大是多少？一种长方形的面积是36平方厘米，并且长和宽的长度都是整厘米数。这个长方形的周长最长是多少厘米?【例题5】用36这四个数字分别构成两个两位数，使这两个两位数的乘积最大。【思路导航】解决这个问题应考虑两点:（1)尽量把大数放在高位；（2)尽量使两个数的差最小。因此应把6和5这两个数字放在十位，4和3放在个位。根据“两

39、个因数的差越小,积越大”的规律,3应放在6的背面，4应放在的背面。354=3402.练习5：.用14这四个数字分别构成两个两位数，使这两个两位数的乘积最大。2用58这四个数字分别构成两个两位数，使这两个两位数的乘积最大。3用38这六个数字分别构成两个三位数，使这两个三位数的乘积最大。第8讲 巧妙求和(一）一、知识要点若干个数排成一列称为数列。数列中的每一种数称为一项。其中第一项称为首项,最后一项称为末项,数列中项的个数称为项数。从第二项开始，后项与其相邻的前项之差都相等的数列称为等差数列,后项与前项的差称为公差。在这一章要用到两个非常重要的公式:“通项公式”和“项数公式”。通项公式：第n项=首

40、项+（项数1）公差项数公式:项数=（末项-首项)公差+1二、精讲精练【例题1】 有一种数列:4，10，16，2.,2这个数列共有多少项?【思路导航】容易看出这是一种等差数列，公差为6，首项是,末项是52规定项数,可直接带入项数公式进行计算。项数=（4)6+=,即这个数列共有项。练习1:1.等差数列中，首项=1.末项=，公差=2这个等差数列共有多少项?2.有一种等差数列:2.5，8,11.,0.这个等差数列共有多少项？3.已知等差数列1.16,2.26,，101.这个等差数列共有多少项?【例题2】有一等差数列:3.7,11.15，,这个等差数列的第100项是多少？【思路导航】这个等差数列的首项是

41、3.公差是,项数是10。规定第100项，可根据“末项=首项+公差(项数1)”进行计算。第00项=3+4(10-)399.练习2：.一等差数列,首项=.公差=2项数=10,它的末项是多少？2.求1.,0这个等差数列的第30项。3.求等差数列2.，0，1的第100项。【例题3】有这样一种数列：1.2.,9,100。祈求出这个数列所有项的和。【思路导航】如果我们把234，,9,00与列10,99,，3.2.1相加,则得到（1+00）+（2+99)+（398）（992）(1001），其中每个小括号内的两个数的和都是101一共有10个101相加,所得的和就是所求数列的和的2倍,再除以2.就是所求数列的和

42、。1+2+9+00（+00）102=5050上面的数列是一种等差数列，经研究发现,所有的等差数列都可以用下面的公式求和:等差数列总和=(首项+末项）项数2这个公式也叫做等差数列求和公式。练习:计算下面各题。()1+2+49+50(2）67+8+74+7（3）1009+98+1+60【例题】求等差数列2,6,8,5的和。【思路导航】这个数列是等差数列,我们可以用公式计算。规定这一数列的和，一方面规定出项数是多少：项数=（末项首项）公差+1（50-2）+=2首项=2.末项=5,项数=25等差数列的和=（20）252=65.练习4:计算下面各题。(）+6+114+18+22(）5+10+52+15+

43、200(3)9+3+6127【例题】计算（246+100）-（+35+9)【思路导航】容易发现,被减数与减数都是等差数列的和，因此,可以先分别求出它们各自的和,然后相减。进一步分析还可以发现，这两个数列其实是把1 00这100个数提成了奇数与偶数两个等差数列,每个数列均有50个项。因此，我们也可以把这两个数列中的每一项分别相应相减，可得到5个差，再求出所有差的和。（2+4+6+10)(1+35+9）=(2)(4-3）(6-5）+（10-9)=1+1+1+1=50练习5：用简便措施计算下面各题。(1)(+199997+1995)-（+98+196+194)（)(2+6+）(+3+5+1999）(

44、3)(+3+5+99）-(2+6+19）第9讲 变化规律(一)一、知识要点和、差的规律见下表（m0)一种加数()另一种加数(b)和(c）m不变不变mmm不变被减数（a）减数（b）差()不变m不变mmm不变二、精讲精练【例题1】 两个数相加，一种加数增长9，另一种加数减少9,和与否发生变化?【思路导航】一种加数增长，如果另一种加数不变,和就增长9;如果一种加数不变,另一种加数减少9,和就减少9；和先增长9，接着又减少9,因此不发生变化。练习1：1两个数相加，一种数减8,另一种数加8,和与否变化？2两个数相加,一种数加.另一种数也加3.和起什么变化?3.两个数相加,一种数减6,另一种数减2.和起什

45、么变化?【例题】两个数相加，如果一种加数增长10,要使和增长6，那么另一种加数应有什么变化?【思路导航】一种加数增长10,如果另一种加数不变，和就增长10。目前要使和增长，那么另一种加数应减少14。练习2:1.两个数相加，如果一种加数增长,要使和增长15，另一种加数应有什么变化?两个数相加，如果一种加数增长8,要使和减少1,另一种加数应有什么变化?3.两个数相加，如果一种加数减少，要使和减少，另一种加数应有什么变化？【例题】两数相减，如果被减数增长8，减数也增长8，差与否起变化?【思路导航】被减数增长8,如果减数不变,差就增长8;如果被减数不变，减数增长8,差就减少8。两个数的差先增长8，接着

46、又减少8,因此不起什么变化。练习3:.两数相减,被减数减少6，减数也减少6，差与否起变化？2.两数相减,被减数增长2减数减少12.差起什么变化？3两数相减,被减数减少1,减数增长10,差起什么变化？【例题4】两数相乘，如果一种因数扩大倍,另一种因数缩小2倍，积将有什么变化？【思路导航】如果一种因数扩大8倍，另一种因数不变，积将扩大倍；如果一种因数不变，另一种因数缩小2倍,积将缩小2倍。积先扩大8倍又缩小2倍，因此，积扩大了824倍。练习4：1.两数相乘,如果一种因数缩小倍,另一种因数扩大倍，和与否起变化？2.两数相乘,如果一种因数扩大3倍，另一种因数缩小2倍，积将有什么变化？3.两数相乘，如果

47、一种因数扩大3倍，另一种因数扩大6倍，积将有什么变化?【例题5】两数相除，如果被除数扩大4倍，除数缩小2倍，商将如何变化？【思路导航】如果被除数扩大4倍,除数不变，商就扩大4倍;如果被除数不变，除数缩小2倍，商就扩大2倍。商先扩大倍,接着又扩大倍,商将扩大=8倍。练习5:1.两数相除，被除数扩大0倍，除数缩小5倍,商将如何变化？2.两数相除,被除数缩小12倍,除数缩小2倍，商将如何变化？3.两数相除，除数扩大6倍，要使商扩大3倍，被除数应如何变化?第1讲 变化规律一、知识要点乘、除变化规律见下表(0)被乘数（a）乘数（)积（c)m不变不变mmmm不变被除数（a)除数(b)商(c）m不变m不变m

48、mm不变我们学习了和、差、积、商的变化规律，这一周,我们运用这些规律来解决某些较简朴的问题。二、精讲精练【例题1】 两数相减，被减数减少8,要使差减少1.减数应有什么变化?【思路导航】被减数减少,如果减数不变，差也减少8；目前要使差减少2.减数应增长128=4。练习：1.两数相减，如果被减数增长6,要使差增长，减数应有什么变化?两数相减，如果被减数增长20,要使差减少12.减数应有什么变化？3两数相减，减数减少9，要使差增长16，被减数应有什么变化？【例题】两个数相除，商是，余数是20,如果被除数和除数同步扩大1倍，商是多少？余数是多少？【思路导航】两数相除,被除数和除数同步扩大相似的倍数,商

49、不变,余数扩大相似的倍数。因此商是8,余数是010=0。练习2：1.两数相除，商是6,余数是3，如果被除数和除数同步扩大1倍，商是多少？余数是多少？2.两个数相除，商是9，余数是3。如果被除数和除数同步扩大20倍，商是多少?余数是多少?3.两个数相除，商是，余数是600。如果被除数和除数同步缩小00倍，商是多少?余数是多少？【例题3】两数相乘,积是48。如果一种因数扩大2倍，另一种因数缩小3倍，那么积是多少？【思路导航】一种因数扩大2倍，积扩大倍;另一种因数缩小3倍，积缩小倍。因此最后的积是4823=32。练习3：1.两数相乘,积是20。如果一种因数扩大3倍，另一种因数缩小4倍，那么积是多少？

50、2.两数相除,商是19。如果被除数扩大0倍,除数缩小4倍，那么商是多少？3两数相除，商是27。如果被除数扩大2倍,除数扩大6倍,那么商是多少?【例题】小华在计算两个数相加时,把一种加数个位上的1错误地写成7,把另一种加数十位上的错误地写成8,所得的和是1996。本来两个数相加的对的答案是多少？【思路导航】根据题意,一种加数个位上的1被写成了7,这样错写一种加数比本来增长了；另一种加数十位上的3写成8，增长了50。这样，所得的成果就比本来增长了6+5=56。因此，本来两数相加的对的答案是:196-（656)=194。练习4：.小明在计算加法时，把一种加数十位上的错写成8,把另一种加数个位上的6错

51、写成9，所得的和是532。对的的和是多少？2.小强在计算加法时，把一种加数十位上的7错写成1把个位上的错写成0，所得的和是285。对的的和是多少?3.小亮在计算加法时，把一种加数个位上的5错写成3把另一种加数十位上的3错写成，所得的和是650。对的的和是多少？【例题5】王霞在计算题时，由于粗心大意，把被减数个位上的3错写成5，把十位上的6错写成0,这样算得差是8。对的的差是多少?【思路导航】根据题意，被减数个位上的3写成,因此增长了；十位上的6写成，因此减少0。这样错写的被减数比本来减少了-=5。由于减数不变，根据差的变化规律，对的的差要比错误的差多0。对的的差是：189+58=27。练习:.

52、小军在做题时，把被减数个位上的3错写成8,把十位上的0错写成6,这样算得的差是198。对的的差是多少?小刚在做题时,把减数个位上的9错写成6,把十位上的3错写成8，这样算得的差是26。对的的差是多少?3.小红在做题时，把被减数十位上的错写成，把减数个位上的8错写成3.这样算得的差是632。对的的差是多少?第1讲 错中求解一、知识要点 在加、减、乘、除式的计算中,如果粗心大意将算式中的某些运算数或符号抄错,就会导致计算成果发生错误。这一周，我们就来讨论如何运用错误的答案求出对的的结论。二、精讲精练【例题1】小玲在计算除法时，把除数65写成56，成果得到的商是3还余5。对的的商是多少?【思路导航】

53、规定出对的的商，必须先求出被除数是多少。我们可以先抓住错误的得数，求出被除数:3562=70。因此,对的的商是：70612。练习1:.小星在计算除法时，把除数87错写成8,成果得到的商是,余数是45。对的的商应当是多少？.甜甜和蜜蜜在用同一种数做被除数。甜甜用12清除，蜜蜜用5清除,甜甜得到的商是32还余，蜜蜜计算的成果应当是多少?小虎在计算除法时,把被除数125写成1205,成果得到的商是4,余数是5。对的的商应当是多少？【例题】小芳在计算除法时，把除数3错写成32，成果得到商是。对的的商应当是多少?【思路导航】根据题意，把除数32改成30扩大到本来的10倍,又由于被除数不变，根据商的变化规

54、律，对的的商应当是错误商的1倍。因此对的的商应当是4810=40。练习2:1小丽在计算除法时，把除数53末尾的0漏写了,得到的商是40。对的的商应当是多少？.小马在计算除法时,把被除数1280误写成1800，得到的商是2。对的的商应当是多少？3小欣在计算除法时，把被除数420错写成20，成果得到商是48。对的的商应当是多少?【例题3】小冬在计算有余数的除法时,把被除数7错写成13.这样商比本来多了3.而余数正好相似。对的的商和余数是多少?【思路导航】由于被除数137被错写成了173.被除数比本来多了3137=6，又由于商比本来多了3.并且余数相似，因此除数是363=2。又由13712115,因

55、此余数是。练习：1.小军在计算有余数的除法时，把被除数208错写成6,成果商增长了，而余数正好相似。对的的除数和余数是多少？2.李明在计算有余数的除法时，把被除数171错写成117，成果商比本来少了3而余数正好相似。求这道除法算式对的的商和余数。3刘强在计算有余数的除法时,把被除数13错写成1，成果商比本来多3.余数比本来多。求这道除法算式的除数和余数。【例题4】小龙在做两位数乘两位数的题时,把一种因数的个位数字4错当作1.乘得的成果是525,实际应为0。这两个两位数各是多少？【思路导航】一种因数的个位4错当作1.所得的成果比本来少了（-1)个另一种因数；实际的成果与错误的成果相差600-52

56、575，73=25，60025=24。因此一种因数是2，另一种因数是2。练习4:1.小锋在计算乘法时,把一种因数的个位数8错当作3得345，实际应为42。这两个因数各是多少?2.小菊做两位数乘两位数的乘法时,把一种因数的个位数字1误写成，成果得646,实际应为418。这两个两位数各是多少?.李晓在计算两位数乘两位数的题目时,把一种因数十位上的3误当作8,成果得2，这道题的对的积应是900。这两个两位数各是多少?【例题5】方方和圆圆做一道乘法式题,方方误将一种因数增长1，计算的积增长了84，圆圆误将另一种因数增长14，积增长了168。那么，对的的积应是多少？【思路导航】由“方方将一种因数增长1，计算成果增长了84”可知另一种因数是414=6；又由“圆圆误将另一种因数增长，积增长了168”可知,这个因数是61412。因此对的的积应是12672。练习5：1.两个数相乘,如果一种因数增长0，另一种因数不变，那么积增长0;如果一种因数