热力学统计物理试题

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1、简述题1. 写出系统处在平衡态的自由能判据。一个处在温度和体积不变条件下的系统，处在稳定平衡态的充要条件是，对于各种可 能的有限虚变动，所引起的自由能的改变均大于零。即AF 0。2. 写出系统处在平衡态的吉布斯函数判据。一个处在温度和压强不变条件下的系统，处在稳定平衡态的充要条件是，对于各种可 能的有限虚变动，所引起的吉布斯函数的改变均大于零。即& 0。3. 写出系统处在平衡态的熵判据。一个处在内能和体积不变条件下的系统，处在稳定平衡态的充要条件是，对于各种可能的有限虚变动，所引起的熵变均小于零。即AS04. 熵的统计解释。由波耳兹曼关系S = k 口ln Q可知，系统熵的大小反映出系统在该宏

2、观状态下所具有 的可能的微观状态的多少。而可能的微观状态的多少，反映出在该宏观平衡态下系统的 混乱度的大小。故，熵是系统内部混乱度的量度。5. 为什么在常温或低温下原子内部的电子对热容量没有贡献？不考虑能级的精细结构时，原子内的电子激发态与基态的能量差为10 eV，相应的特征温度为104105k。在常温或低温下，电子通过热运动获得如此大的能量而跃迁到激发态的概 率几乎为零，平均而言电子被冻结基态，因此对热容量没有贡献。6. 为什么在常温或低温下双原子分子的振动对热容量贡献可以忽略？因为双原子分子的振动特征温度气103K，在常温或低温下kT 0 且 S。；平衡稳定性条件是4.均匀开系的克劳修斯方

3、程组包含如下四个微分方程:dU = TdS - pdV + 日 dndH = TdS + Vdp + 日 dndG = SdT+ Vd+ dndF = SdT pdV + 日 dn5, 对于含N个分子的双原子分子理想气体，在一般温度下，原子内部电子的运动对热容量C = - Nk无贡献；温度大大于振动特征温度时，2；温度小小于转动特征温度时，C = - NkC = - Nky 2。温度大大于转动特征温度而小小于动特征温度时,。6准静态过程是指过程进彳亍中的每一个中间态均可视为平衡态的过程；无摩擦准静态过程的特点是 外界对系综的作用力，可用系统的状态参量表示出来。7绝热过程是指，系统状态的改变，完

4、全是机械或电磁作用的结果，而没有受到其他任何影 响 的过程。在绝热过程中，外界对系统所做的功与具体的过程 无关，仅由初终两态 决定。8, 费米分布是指，处在平衡态、孤立的费米系统，粒子在能级上的最概然分 布。9, 弱简并理想玻色气体分子间存在 统计吸引作用：弱简并理想费米气体分子间存在 统 计排斥作用。10玻色分布是指，处在平衡态、孤立的玻色系统，粒子在能级上的最概然分 布。11. 对于一单元复相系，未达到热平衡时，热量从 高温相 传至 低温相：未达到相变 平衡时，物质从高化学势相向低化学势相作宏观迁移。12. 微正则系综是大量的结构完全相同的且处于平衡态的故里系统的集合；微正则分布是指；微正

5、则分布是平衡态统计物理学的基本假设，它与等概率原理等价。8 ln ZU = 一 N113. 玻耳兹曼系统粒子配分函数用Z1表示，内能统计表达式为理广义力统计表达式为y = 一 N 外8 ，熵的统计表达式为S = Nk(ln Z1 - P ap 1)F = -NkT In ZL，自由能的统计表达式一 1心分制相应的，玻色系统微观状态数为土牛 ；费米LQ-E顼a !（a）!系统的微观状态数，/；玻耳兹曼系统微观状态数为Q-广成h几严。当满足条件经典近似条件时，三种微观状态数之间Q - - Q . = Q .的关系为 BE F D N ! ME 。15. 热力学系统的四个状态量S、V、P、T所满足的

6、麦克斯韦关系为UG 八v )=G )G)=S(p )=_G)dVS.。dV矛6S p6P s 6P t=X7 / dTdS16. 设一多元复相系有个甲相，每相有个化组元，组元之间不起化学反应。此系统平衡时必同时满足条件:Ta= T 3 =T 中Pa= P 3= P 9 、 、=W (i = 1,2,幻i选择题1. 系综理论所涉及三种系综有：微正则系综、正则系综、巨正则系综，它们分别适合的系统是（A）孤立系、闭系、开系（B）闭系、孤立系、开系（C）孤立系、开系、闭系（D）开系、孤立系、闭系2. 封闭系统指（A）与外界无物质和能量交换的系统（B）能量守衡的系统（C）与外界无物质交换但可能有能量交换

7、的系统（D）孤立的系统3. 有关系统与系综关系的表述是正确的是（A）系综是大量的结构相同，外界条件相同，且彼此独立的系统的集合。（B）系综是大量的结构不同，外界条件相同，且彼此独立的系统的集合。（C）系综是大量的结构相同，外界条件不同，且彼此独立的系统的集合。（D）系综是大量的结构不同，外界也条件不同的系统的集合。4. 气体的非简并条件是（A）气体分子平均动能远远大于kT（B）气体分子间平均距离远远大于分子德布罗意波的平均热波长（C）气体分子数密度远远小于1（D）气体分子间平均距离极大于它的尺度 5.由热力学基本方程dG = -SdT + Vdp可得麦克斯韦关系(A)(C)PP18T )V)S

8、3V )T-(纠Es 1V(B)(D)儒1k CS )-(?1 kdp )T6. 孤立系统指（A）与外界有能量交换但无物质交换的系统（B）与外界既无物质交换也无能量交换的系统（C）能量守恒的系统（D）温度和体积均保持不变的任意系统7. 吉布斯函数作为特性函数应选取的独立态参量是（A）温度和体积（B）温度和压强（C）熵和体积（D）熵和压强8. 自由能作为特性函数应选取的独立态参量是（A）温度和体积（C）熵和体积（B）温度和压强（D）熵和压强9. 下列各式中不正确的是(B)(D)(dH 1 (A)R = k ons , P(判k Onp ,v10. 当经典极限条件成立时，玻色分布和费米分布均过渡到

9、（A）麦克斯韦分布（B）微正则分布（C）正则分布（D）玻尔兹曼分布11. 下列说法正确的是（A）一切与热现象有关的实际宏观物理过程都是不可逆的。（B）热力学第二定律的表述只有克氏和开氏两种说法。（C）第一类永动机违背热力学第二定律。（D）第二类永动机不违背热力学第二定律。12.由热力学方程dF = -SdT - pdV可得麦克斯韦关系(dT )(A)昂S(dV )(C)|8T Jp(坐1 Es JV (8S1 dpT(B)(D)1dpS(纠8T JV(当EsJp(当3 J T13.已知粒子能量表达式为 = -! (p 2 + p 2 + p 2) + ax 2 + bx2mx y z其中a、b

10、为常量，则依据能量均分定理粒子的平均能量为3 ,一 (A) kT2(B) 2kTb 2(C)2kTF(D)14.具有确定的粒子数、确定的体积、（A）微正则分布 （B）正则分布确定的能量的系统满足（C）巨正则分布 （D）以上都不对15.玻耳兹曼统计中用粒子配分函数Z1表示的内能是 a ln Z （B）U =-N1apd In Z(A)U = 一Z -i1 ap1 d ln Z(C)U = ipap口 N a ln Z(D) U = 一-tt1p ap16.不考虑粒子自旋，在长度L内，子态数为L （A） dp hL 7(B) dp h x动量处在p p + dp范围的一维自由粒子的可能的量 x x

11、 x2L 7(C) dph2L(D) dphx(B)(D)dG = - SdT + Vdp + |i dn dH = TdS + Vdp + |i dn17. 均匀开系的热力学基本方程是(A)dF = -SdT - pdV + r dn(C)dU = TdS - pdV + r dn推导与证明(aP 1矛jV、市打as 1(as 1证 CpCv= T 后 J 一 T 3 JPVS (T, p) = S (T, V (T, p)1.证明：Cp -CV = T竺1aT JP(1)(2)为=pq +pq(当 aTJp aTJv avJtaTJp（2）代入（1）(3)空1ST )P将麦氏关系:SV)T

12、 st)v代入（3）得Cp - CVSV ) ST Jp2证明，0K时电子气体中电子的平均速率为7=4mPF （七为费米动量）。证明:f 1 ( 8目(0)0K 时，f = 0 ( sR(o)在单位体积内，动量在pp + dp范围内的电子的量子态数为： 也p2dp h在此范围内的电子数为：dN = f -匪p2dp ph 3pf p 3 dp3E = 4 Pp，3 0=3 p4 F3.一容积为V的巨大容器，器壁上开有一个极小的孔与外界大气相通，其余部分与外界绝热。 开始时，内部空气的温度、压强与外界相同为九，P。假定空气可视为理想气体，且定压 摩尔热容量cp为常量。给容器内的空气以极其缓慢的速

13、率均匀加热，使其温度升至T。p_m证明，所需热量为Q = P0VCplnT。R T0证明：系统经历准静态过程，每一中间态均可视为平衡态对于容器内的气体，初态：PV = n 0 RT，任一中间态：p0V = n（ t）RTQ = fTn (T).c dT = Tn c fTdT = Tn c InTTp0 0 p t T 0 0 p% %4.将空窖辐射视为平衡态光子气体系统，光子是能量为方s的玻色子，由玻色分布，每个量子态上平均光子数f= . 1 ,e 方 c kT 1，试导出普朗克黑体辐射公式:V3U (,T) d=&d兀 2 c 3 e 1kT 一 18兀V解：在体积V内，动量在Pp+dp范

14、围的光子的量子态数为：二P dph3由圆频率与波矢关系：们=ck及德布罗意关系，可得：p = C二理 c c故，在体积V内，能量在3 3 +d范围内的光子的量子态数为：D(3 ) d3 = 8V 332 d3 = - 3 2 d3 h3c3兀2 c3在此范围内的光子数为：N d3 = f - D(3 ) d3 = -甲 3_- d3故，在此范围内的辐射能量为：U ( T, 3 ) d3 =力3 N d3 = -V - e 方,3 1 d31证：选T、p作为状态参量时，有5.证明焓态方程:dH =jHJ dT +p而，竺1(dS 1 7售1dp (1) dS =I dT +dp （2）dp )d

15、T )dp )TpTdH = TdS + Vdp（3）Pdp（4）dH =（2）代入（3）得:，竺1dT +，dSTV + TdT )p0P /T（5）比较（1）、（4）得:俘1I（6）将麦氏关系空1dT Jp芸V - TT代入（6），即得6.证明能态方程:一 p证：选T、V作为状态参量时，有而，(dU jCdV jTdU = TdS - pdVdV (1)dS =Hj dT +7 V（2）代入（3）得:dU =(dS j (查jT1 dT +TpdT JVdV JTdV比较（1）、（4）得:dT JV将麦氏关系囹V(dU j亦jT代入（6）,即得=T-PdV(2)(3)(4)(6)7.证明，

16、对于一维自由粒子，在长度L内能量在8 + de的范围内可能的量子态数为D (e)de = (2 m)1/2 8-1/2 de。 h证：由量子态与相空间体积元之间的对应关系，对于一维自由粒子，在相空间体积元dxdpx 内的可能的量子态数为 哗。h因此在长度L内，动量大小在pp + dp范围内粒子的可能的量子态数为2L dph而，em , d e2e故，在长度L内，能量在ee + de范围内，可能的量子态数为D (e)d e = (2 m)1/2 e -1/2 de。h8.证明，对于二维自由粒子，在面积内，能量在ee + de范围内，可能的量子态数为D (e ) d e = 2 m d e。 h2

17、证：由量子态与相空间体积元之间的对应关系，对于二维自由粒子，在相空间体积元 dxdydp dp内的可能的量子态数为竺。x yh 2因此，在面积内，动量大小在pp + dp范围内粒子的可能的量子态数为2兀,云PdP1而，8p2，pdp = md82m故，在面积L2内，能量在E8 +赤范围内，可能的量子态数为D(8)d 8 = 2 兀 m d 8。h 29.导出含有N个原子的爱因斯坦固体的内能和热容量表达式:Cv = 3 Nk/TU = 3 N柘 5 3 N2力e。肿一 1，解：按爱因斯坦假设，将N个原子的运动视为3N个线性谐振子的振动，且所有谐振子的振 动频率相同。谐振子的能级为：8= (n +

18、1/2)舟 (n = 0,1,2.)则，振子的配分函数为：Z =e-即玲(n+1/2) = e-防/2 .(e-w)n =11 - e-防n=0n=0,/ ln Z = - 。力一 ln(1-e-。松) U = -3 N 牛=3 N 舟 + 3 N 佬e-四 d。2 1 - e-所C=(竺 Iv VdT 1(e 伽一1)22e。方京玲1 = 3 Nkv引入爱因斯坦特征温度。e :必=臂，即得：C = 3 Nk I t10.对于给定系统，若已知Rv-b(STsV dvT2a (v-b )，求此系统的物v-bRv3v态方程。解：设物态方程为p = p(T, v)，则dp =dT +dv(1).(d

19、p I(dTa?=-1(2).(dp IRv-b(dT I和Vdv 1pTv - bRv32a (y-b )代入(2)得dp I _ a?)- Tdp I (dT | =_ R F T _2a (v-b )一 dT J V dv Jv-b|v-bRv3vp_2a _ RTv3(v-b(3)代入(1)得Rdp =dT 7vv-b(v-b)2RT , 2a RT , a , dv + dv d ddV3 v-bv 2光nV v-b v 2 J,RT a积分得：p = b 2，即:(v-b )= RT11.将空窖辐射视为平衡态光子气体系统，导出普朗克黑体辐射公式:/, VS3U (s, T) d s

20、 =S=Ad 兀 2 c 3 e 方S/kT 1解：在体积y内，动量在pp+dp范围的光子的量子态数为& V由p2 dph3因为，光子气体是玻色系统遵从玻色分布，由于系统的光子数不守恒，每个量子态上平均光子数为8, Sp =花c c所以，在体积V内，圆频率在Ss +dS范围内的光子的量子态数为D (s ) dS 8V 3 dS = - S2 dSh3c3在此范围内的光子数为NSdS = f -D(s)dS =故，在此范围内的辐射能量为:U (T, S ) dS = S N dS = 丫舟3 d S e 力 s / kT 112.单原子分子理想气体孤立系统的可能的微观运动状态数为：Q =皂竺 (

21、E)，2 E其中(E)= (V IN (2兀 mE)3N/2_VhJ Wvh。由此导出系统熵的表达式:F V(4兀 mE I3/2NV 3h2 J_S = Nk ln+ 5 Nk2解：ln Q = InV + N In + N ln(2兀 mE)3/2 ln(N!) In h3M 1 I /、v I 3AQ 3N、3N 3N Nl, :. n(N.) = NnN N , In !=In - 2 J 222.5 =牛卜血N 3Nh2 )5N+2:通h, N - 1023, kT - 10-21, -102, In3N &2E10-13 0lnQ = NlnV f 4n mE、3Nh2 ?3/25

22、N+2由玻耳兹曼关系：S = *ln。，得:3/25 = Mln+ Nk213.试用麦克斯韦关系，导出方程TdS = C dT + T vdV假定七可视为常量，由此导出理想气体的绝热过程方程TVy-r = C（常量）。解：dS =TdS = TdS dTJVarjdT +dV = C dT + TvdV由麦氏关系(as可、,TdS = C dT + TJVbrjdT + TdVv(V，TilR绝热过程dS = 0 ,理想气体p = -Tdp、VnRVdT dVCv + nR = 0 积分得CnT + nRlnV = C (常量): C /C =y , nR = C -C =C T)p Vp V

23、 V故：ln7Vy-i = C,即：TVy-i = C（常量）14.证明，理想气体的摩尔自由能为:证明：选T,V为独立变量，则p dv,du = c dT + T v _cds = * dT + 5 dvT dTv理想气体的物态方程为：pv = RT. &) = R , T v v故：u = J c dT + u导出玻耳兹曼关系S = k ln Qdu = cdT , ds = TdT + Rdvs = J 京 dT + R In v + s 0 T0dT - RT In v + u - Ts0 f = u - Ts = Jc dT - TJT15-证明:萨)dnT, n T，P证明：选T,

24、V为独立变量，则dG = - SdT + Vdp + 日 dn.)0)”). dn dpLn dpT,PT，nT, n t , p而埠)=v，故 M)=n)TnT, nT，p16. 导出爱因斯坦固体的熵表达式：S = 3Nk -ln(-e-肿 e o 肿i解：设固体系统含有N个原子，按爱因斯坦假设，将N个原子的运动视为3N个线性谐振子的振动，且所有谐振子的振动频率相同。谐振子的能级为：8 =力3 (n + 2), ( n = 0, 1,2, .)贝IJ，振子的配分函数为：Z =产 e-o扁(n+2)= e-2。扁i1e-o扁n = 0lnZ1=-2o 必-ln(1-顷。),1=-2舟-eI.

25、S = 3Nk (ln Z1 -0 dlnZ1 ) = 3Nk *舟-ln(1-e-o知)17. 已知处在平衡态的孤立的玻耳兹曼系统，其可能的微观运动状态数由麦克斯韦-玻耳兹曼系统计公式给出：q=fEna叫试由玻耳兹曼系统的熵的统计表达式 11。!i i 。icd_S = NkI mZ-P带mzj，18. 平衡态的玻色系统可能的微观运动状态数由玻-爱统计公式Q = n给 a !(cd 一 1)!那Inu导出玻耳(合出：试由此和玻色系统的嫡的统计表达式S =k InS-aInS-p (da兹曼关系S =*ln。TTCD !19. 平衡态的费米系统可能的微观运动状态数由费-狄统计公式。二口 一 给a !(cd -a )!I I I I出：试由此和玻色系统的嫡的统计表达式s =k InS-otInS-p导出玻耳, 弛 ap )兹曼关系S=kln。