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1、平面向量知识点总结基本知识回顾：1. 向量的概念：既有大小又有方向的量叫向量,有二个要素：大小、方向.2. 向量的表示方法： 用有向线段表示AB（几何表示法）； 用字母a、b等表示（字母表示法）; 平面向量的坐标表示（坐标表示法）：章分别取与x轴、y轴方向相同的两个单位向量i、j作为基底。任作一个向量a，由平面向量基本定理知，有且只有一对实数x、y，使得axi+yj，（x,y）叫做向量a的（直角）坐标，记作a=（x,y），其中x叫做a在x轴丄的海标y叫做a在y轴上的坐标,特别地，i=(1,0),j=(0,1),0(0,0)。ax2+討若A(xi，yi)，B(x2,丁则AB=(xxiry2y)，
2、IAB|(xx)2+(yy)2212121213. 零向量、单位向量：卜 长度为0的向量叫零向量，记为0；长度为1个单位长度的向量，叫单位向量.a（注：就是单位向量）IaI4. 平行向量：方向相同或相反的非零向量叫平行向量; 我们规定0与任一向量平行向量a、b、c平行，记作abc.共线向量与平行向量关系：平行向量就是共线向量.性质：5. 相等向量和垂直向量：相等向量:长度相等且方向相同的向量叫相等向量垂直向量两向量的夹角为e，；性质：a丄bab，06.向量的加法、减法:12(其中a,q,b,电,叮)三角形法则C求两个向量和的运算，叫做向量的加法。向量加法的三角形法则和平行四边形法则。平行四边形
3、法则:AC，a+b(起点相同的两向量相加，常要构造平行四边形)加法首尾相连减法终点相连，方向指向被减数加法法则的推广：AB，AB+BB+BBn112n-1n即n个向量a,a,a首尾相连成一个封闭图形，则有a+a+a，012n12n向量的减法向量a加上的b相反冋量，叫做a与b的差。即：a一b=a+(b莎卜差向量的意义:OA=a,OB二b,%BA二a-b平面向量的坐标运算：若a=(x1,人)b，(X2,吵则a+b，(x+x,y+y)，1212a-b，(x一x,y一y)，尢a，(尢x,尢y)。1212 向量加法的交换律：a+b=7之向量加法的结合律:(a+b円c=a+(b+c) 常用结论：1(1)若
4、AD，_(AB+AC)，则D是AB的中点2(2)或G是AABC的重心，则GA+GB+GC，07.向量的模:1、定义：向量的大小，记为|a|或|AB|2、模的求法：若a(x,y)，则丨a|=若人),Eg,打，则1AB|(1) 1aI2a2；Ia=b(b0)IaI2=b2(实数与向量的转化关系)(2) abIaI2bI2，反之不然(3)三角不等式:IaI，IbIIa+bIIa初IbI(4)IabIaIIbI(当且仅当a,b共线时取“二”即当a,b同向时，ab=IaIIbI；即当a,bl反向时ab，IaIIbI(5)平行四边形四条边的平方和等于其对角线的平方和,即2IaI2+2IbI2II2+1a一
5、bI28实数与向量的积：实数入与向量a的积是一个向量，记作：入a(1)(2)入0时入a与a方向相同;入0时入a与a方向相反；入=o时入a=0；了(3) 运算定律入(卩a)=(入卩)a，(入+卩)a二入a+卩a，入(a+b)=入a+入b(心0)(X(为a与n的夹角,n为的方向向量)其投影的长为A/B/=_(_为n的单位向量)他1n1(6)a与b的夹角0和ab的关系：(1) 当0=0时，a与b同向;当0协时,a与b反向(2) 0为锐角时，则有nbM址；o为钝角时，则有a,b不共线亠ab0a,b不共线9向量共线定理:向量b与非零向量a共线(也是平行)的充要条件是:有且只有一个非零实数入*使b=入a。
6、10. 平面向量基本定理：如果e，e是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内的任一向量a，有12且只有一对实数入，入使a二入e+入e。121122(1) 不共线向量e、e叫做表示这一平面内所有向量的一组基底；12(2) 基底不惟一，关键是不共线；(3) 由定理可将任一向量a在给出基底e、e的条件下进行分解；12(4) 基底给定时，分解形式惟一.入，入是被a，e，e唯一确定的数量。1212向量坐标与点坐标的关系：当向量起点在原点时，定义向量坐标为终点坐标，即若A(x,y)，则OA=(x,y)；当向量起点不在原点时，向量AB坐标为终点坐标减去起点坐标，即若A(x1，y1)，B(x2，y2)
7、，则aB=(x2-x1，y2-y1)11. 向量a和b的数量积:ab=|a|b|cos，其中W0,n为a和b的夹角。|b|cos称为b在a的方向上的投影。 ab的几何意义是：b的长度|b|在a的方向上的投影的乘积，是一个实数（可正、可负、也可是零），而不是向量。2(a+b)c=ac+bc。 若a=(X1，yi),b=(x2,y2)，则ab，X1X2+yiy 运算律：ab=ba,(入a)b=a(入b)二入(ab). a和b的夹角公式：cos=x2+abx2+y211|ab|W|12. 两个向量平行的充要条件：符号语言：若ab，a工o，则a二入bIx,九X坐标语言为：设a=(xi,yi)，b=(x2,y2),则abo(xi,yi)=入(x?,y2),即12,11221122y,九y或xy-xy=01221在这里，实数入是唯一存在的，当a与b同向时，入o；当a与b异向时，入0。i入i=巴，入的大小由a及b的大小确定。因此，当a，b确定时，入的符号与大小就确ibi定了。这就是实数乘向量中入的几何意义。13. 两个向量垂直的充要条件：符号语言：a丄boab=0坐标语言：设a=(xi,yi),b=(x2,y2)，贝ya丄boxix2+yiy2=011221212
平面向量知识点总结
