第三版详细《概率论与数理统计》课后习题答案._

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1、习题一：1.1 写出下列随机试验的样本空间：(1) 某篮球运动员投篮时, 连续5 次都命中, 观察其投篮次数; 解：连续5 次都命中，至少要投5次以上，故；(2) 掷一颗匀称的骰子两次, 观察前后两次出现的点数之和; 解：；(3) 观察某医院一天内前来就诊的人数; 解：医院一天内前来就诊的人数理论上可以从0到无穷，所以；(4) 从编号为1，2，3，4，5 的5 件产品中任意取出两件, 观察取出哪两件产品; 解：属于不放回抽样，故两件产品不会相同，编号必是一大一小，故： (5) 检查两件产品是否合格; 解：用0 表示合格, 1 表示不合格，则；(6) 观察某地一天内的最高气温和最低气温(假设最低

2、气温不低于T1, 最高气温不高于T2); 解：用表示最低气温, 表示最高气温;考虑到这是一个二维的样本空间，故： ；(7) 在单位圆内任取两点, 观察这两点的距离; 解：；(8) 在长为的线段上任取一点, 该点将线段分成两段, 观察两线段的长度. 解：；1.2 (1) A 与B 都发生, 但C 不发生; ；(2) A 发生, 且B 与C 至少有一个发生;；(3) A,B,C 中至少有一个发生; ；(4) A,B,C 中恰有一个发生;；(5) A,B,C 中至少有两个发生; ；(6) A,B,C 中至多有一个发生;；(7) A;B;C 中至多有两个发生;(8) A,B,C 中恰有两个发生. ；注

3、意：此类题目答案一般不唯一，有不同的表示方式。1.3 设样本空间, 事件=, 具体写出下列各事件：(1) ; (2) ; (3) ; (4) （1） ； (2) =； (3) =; (4) = 1.6 按从小到大次序排列, 并说明理由. 解：由于故，而由加法公式，有：1.7 解：(1) 昆虫出现残翅或退化性眼睛对应事件概率为：(2) 由于事件可以分解为互斥事件，昆虫出现残翅, 但没有退化性眼睛对应事件 概率为：(3) 昆虫未出现残翅, 也无退化性眼睛的概率为：.1.8 解：(1) 由于，故显然当时P(AB) 取到最大值。 最大值是0.6.(2) 由于。显然当时P(AB) 取到最小值，最小值是0

4、.4.1.9 解：因为 P(AB) = 0，故 P(ABC) = 0.至少有一个发生的概率为：1.10 解（1） 通过作图，可以知道，（2） 1.11 解：用表示事件“杯中球的最大个数为个” =1,2,3。三只球放入四只杯中，放法有种，每种放法等可能。对事件：必须三球放入三杯中，每杯只放一球。放法432种，故 (选排列：好比3个球在4个位置做排列)。对事件：必须三球都放入一杯中。放法有4种。(只需从4个杯中选1个杯子，放入此3个球，选法有4种)，故。1.12 解：此题为典型的古典概型，掷一颗匀称的骰子两次基本事件总数为36。.出现点数和为“3”对应两个基本事件（1，2），（2，1）。故前后两次

5、出现的点数之和为3的概率为。同理可以求得前后两次出现的点数之和为4，5 的概率各是。(1) 1.13 解：从10个数中任取三个数，共有种取法，亦即基本事件总数为120。(1) 若要三个数中最小的一个是5，先要保证取得5，再从大于5的四个数里取两个，取法有种，故所求概率为。(2) 若要三个数中最大的一个是5，先要保证取得5，再从小于5的五个数里取两个，取法有种，故所求概率为。1.14 解：分别用表示事件：(1) 取到两只黄球; (2) 取到两只白球; (3) 取到一只白球, 一只黄球.则。1.15 解：由于，故1.16(1) （2）解：（1） （2）注意：因为，所以。1.17 解：用表示事件“第

6、次取到的是正品”（），则表示事件“第次取到的是次品”（）。(1) 事件“在第一、第二次取到正品的条件下, 第三次取到次品”的概率为：。(2) 事件“第三次才取到次品”的概率为：（3） 事件“第三次取到次品”的概率为：此题要注意区分事件（1）、(2）的区别，一个是求条件概率，一个是一般的概率。再例如，设有两个产品，一个为正品，一个为次品。用表示事件“第次取到的是正品”（），则事件“在第一次取到正品的条件下, 第二次取到次品”的概率为：；而事件“第二次才取到次品”的概率为：。区别是显然的。1.18。解：用表示事件“在第一箱中取出两件产品的次品数”。用表示事件“从第二箱中取到的是次品”。则，根据全概

7、率公式，有：1.19解：设表示事件“所用小麦种子为等种子”，表示事件“种子所结的穗有50 颗以上麦粒”。则，根据全概率公式，有：1.20 解：用表示色盲，表示男性，则表示女性，由已知条件，显然有：因此：根据贝叶斯公式，所求概率为：1.21 解：用表示对试验呈阳性反应，表示癌症患者，则表示非癌症患者，显然有：因此根据贝叶斯公式，所求概率为：1.22 (1) 求该批产品的合格率;(2) 从该10 箱中任取一箱, 再从这箱中任取一件, 若此件产品为合格品, 问此件产品由甲、乙、丙三厂生产的概率各是多少?解：设，则（1） 根据全概率公式，该批产品的合格率为0.94.（2） 根据贝叶斯公式，同理可以求得

8、，因此，从该10 箱中任取一箱, 再从这箱中任取一件, 若此件产品为合格品, 此件产品由甲、乙、丙三厂生产的概率分别为：。1.23解：记=目标被击中，则1.24 解：记=四次独立试验，事件A 至少发生一次，=四次独立试验，事件A 一次也不发生。而，因此。所以三次独立试验中, 事件A 发生一次的概率为：。二、第一章定义、定理、公式、公理小结及补充：（10）加法公式P(A+B)=P(A)+P(B)-P(AB)当P(AB)0时，P(A+B)=P(A)+P(B)（11）减法公式P(A-B)=P(A)-P(AB)当BA时，P(A-B)=P(A)-P(B)当A=时，P()=1- P(B)（12）条件概率定

9、义 设A、B是两个事件，且P(A)0，则称为事件A发生条件下，事件B发生的条件概率，记为。（16）贝叶斯公式，i=1，2，n。此公式即为贝叶斯公式。第二章 随机变量2.1 X23456789101112P1/361/181/121/95/361/65/361/91/121/181/362.2解：根据，得，即。 故 2.3解：用X表示甲在两次投篮中所投中的次数，XB(2,0.7)用Y表示乙在两次投篮中所投中的次数, YB(2,0.4)(1) 两人投中的次数相同PX=Y= PX=0,Y=0+ PX=1,Y=1 +PX=2,Y=2=(2)甲比乙投中的次数多PXY= PX=1,Y=0+ PX=2,Y=

10、0 +PX=2,Y=1=2.4解:（1）P1X3= PX=1+ PX=2+ PX=3=(2) P0.5X2.5=PX=1+ PX=2=2.5解：（1）PX=2,4,6,=（2）PX3=1PX3=1PX=1- PX=2=2.6解：设表示第i次取出的是次品，X的所有可能取值为0，1，2=2.6解：(1)设X表示4次独立试验中A发生的次数，则XB(4,0.4)(2)设Y表示5次独立试验中A发生的次数，则YB(5,0.4)2.7 （1）XP()=P(0.53)= P(1.5) =（2）XP()=P(0.54)= P(2)2.8解：设应配备m名设备维修人员。又设发生故障的设备数为X，则。依题意，设备发生

11、故障能及时维修的概率应不小于0.99，即，也即因为n=180较大，p=0.01较小，所以X近似服从参数为的泊松分布。查泊松分布表，得，当m+1=7时上式成立，得m=6。故应至少配备6名设备维修人员。2.9解：一个元件使用1500小时失效的概率为 设5个元件使用1500小时失效的元件数为Y，则。所求的概率为2.10（1）假设该地区每天的用电量仅有80万千瓦时，则该地区每天供电量不足的概率为：（2）假设该地区每天的用电量仅有90万千瓦时，则该地区每天供电量不足的概率为：2.11解:要使方程有实根则使解得K的取值范围为,又随机变量KU(-2,4)则有实根的概率为2.12解：XP()= P()(1)

12、（2）（3）2.13解：设每人每次打电话的时间为X，XE(0.5)，则一个人打电话超过10分钟的概率为又设282人中打电话超过10分钟的人数为Y，则。因为n=282较大，p较小，所以Y近似服从参数为的泊松分布。所求的概率为2.14解：(1)(2)2.15解：设车门的最低高度应为a厘米，XN(170,62)厘米2.19解：X的可能取值为1,2,3。因为； ；所以X的分布律为X123P0.60.30.1X的分布函数为 2.20(1)Y040.20.70.1(2)Y-110.70.32.21（1）当时，当时，当时，X-112P0.30.50.2（2）Y120.80.22.22（1）设FY(y)，分别

13、为随机变量Y的分布函数和概率密度函数，则对求关于y的导数，得 （2）设FY(y)，分别为随机变量Y的分布函数和概率密度函数，则当时，当时，有对求关于y的导数，得 （3）设FY(y)，分别为随机变量Y的分布函数和概率密度函数，则当时，当时，对求关于y的导数，得 2.23 （1）对求关于y的导数，得到 （2），,对求关于y的导数，得到 （3）， 对求关于y的导数，得到 第三章 随机向量3.1 P1X2,3Y5=F(2,5)+F(1,3)-F(1,5)F(2,3)= 3.2YX1220=3=03.4（1）a=（2）（3） 3.5解：（1）（2）3.6解：3.7参见课本后面P227的答案3.8 3.9

14、解：X的边缘概率密度函数为：当时，当时，Y的边缘概率密度函数为： 当时， 当时，3.10 （1）参见课本后面P227的答案（2） 3.11参见课本后面P228的答案3.12参见课本后面P228的答案3.13（1） 对于时，所以 对于时，所以 3.14X Y025X的边缘分布10.150.250.350.7530.050.180.020.25Y的边缘分布0.20.430.371由表格可知 PX=1;Y=2=0.25PX=1PY=2=0.3225故所以X与Y不独立3.15X Y123X的边缘分布12ab+a+bY的边缘分布a+b+1由独立的条件则可以列出方程解得 3.16 解（1）在3.8中 当，

15、 时，当或时，当或时，所以，X与Y之间相互独立。 （2）在3.9中， 当，时， ，所以X与Y之间不相互独立。3.17解：故X 与Y相互独立3.18参见课本后面P228的答案第四章 数字特征4.1 解：甲机床生产的零件次品数多于乙机床生产的零件次品数，又两台机床的总的产量相同乙机床生产的零件的质量较好。4.2 解：X的所有可能取值为：3，4，54.3参见课本230页参考答案4.4解：4.6参考课本230页参考答案4.7解：设途中遇到红灯次数为X，则 4.8解 500+1000 1500 4.9参见课本后面230页参考答案4.10参见课本后面231页参考答案4.11 解:设均值为,方差为,则XN(

16、,)根据题意有: ,解得t=2即=12所以成绩在60到84的概率为 4.124.13解：4.14解：设球的直径为X,则： 4.15参看课本后面231页答案4.16解: 4.17解X与Y相互独立，4.18，4.19，4.20参看课本后面231，232页答案4.21设X表示10颗骰子出现的点数之和，表示第颗骰子出现的点数，则，且是独立同分布的，又所以4.22参看课本后面232页答案4.234.244.25 4.26因为XN(0,4),YU(0,4)所以有Var(X)=4 Var(Y)= 故：Var(X+Y)=Var(X)+Var(Y)=4+=Var(2X-3Y)=4Var(X)+9Var(Y)=

17、4.27参看课本后面232页答案4.28后面4题不作详解第五章 极限理5.3解：用表示每包大米的重量，则, 5.4解：因为 服从区间0,10上的均匀分布， 5.5解：方法1：用表示每个部件的情况，则，,方法2：用X表示100个部件中正常工作的部件数，则5.6略 第六章样本与统计6.16.3.1证明:由=+b可得，对等式两边求和再除以n有 由于 所以由 可得=6.3.2因为 所以有6.2 证明：6.3（1）（2）由于所以有两边同时除以（n-1）可得 即 6.4 同例6.3.3可知得 查表可知=1.96 又 根据题意可知n=436.5解（1）记这25个电阻的电阻值分别为,它们来自均值为=200欧姆

18、，标准差为=10欧姆的正态分布的样本则根据题意有：(2)根据题意有6.6 解：（1）记一个月（30天）中每天的停机时间分别为，它们是来自均值为=4小时，标准差为=0.8小时的总体的样本。根据题意有：（注：当时，的值趋近于1，相反当时，其值趋近于0）（2）根据题意有：6.7证明：因为T ，则，随机变量的密度函数为 显然，则为偶函数，则6.8 解：记，则XN(,),n=25故6.9 解：记这100人的年均收入为，它们是来自均值为万元，标准差为万元的总体的样本，n=100则根据题意有：（1）（2）（3）6.10 解：根据题意可知此样本是来自均值为，标准差为的总体，样本容量为n=5 （1）依题意有（2

19、）要求样本的最小值小于10概率，即5个数中至少有一个小于10的概率，首先计算每个样本小于10的概率：设X是5个样本中小于10的样本个数则X服从二项分布B(5,0.1587)故有即样本的最小值小于10的概率是0.5785.（3）同（2）要求样本的最大值大于15的概率，即5个数中至少有一个大于15的概率，首先计算每个样本大于15的概率：设X是5个样本中大于15的样本个数则X服从二项分布B(5,0.0668)故有即样本的最大值大于15的概率是0.2923第七章参数估计7.1解因为:是抽自二项分布B（m,p）的样本，故都独立同分布所以有用样本均值代替总体均值，则p的矩估计为7.2解： 用样本均值代替总

20、体均值，则的矩估计为由概率密度函数可知联合密度分布函数为： 对它们两边求对数可得 对求导并令其为0得 即可得的似然估计值为7.3解:记随机变量x服从总体为0,上的均匀分布，则 故的矩估计为X的密度函数为故它的是似然函数为要使达到最大，首先一点是示性函数的取值应该为1，其次是尽可能大。由于是的单调减函数，所以的取值应该尽可能小，但示性函数为1决定了不能小于,因此给出的最大似然估计（示性函数I= ，=min =max）7.4解:记随机变量x服从总体为,上的均匀分布，则 所以的矩估计为X的密度函数为故它的是似然函数为要使达到最大，首先一点是示性函数的取值应该为1，其次是尽可能大。由于是的单调减函数，

21、所以的取值应该尽可能小，但示性函数为1决定了不能小于,因此给出的最大似然估计7.5 解:似然函数为:它的对数为:对求偏导并令它等于零有 解得的似然估计值为 7.6解:根据所给的概率密度函数是指数函数的密度函数可知 (1) 故这四个估计都是的无偏估计.（2）故有 7.7证明（1）因为X服从上的均匀分布，故 故样本均值不是的无偏估计（2）由（1）可知的矩估计为 又 故它是无偏估计.7.8解;因为要使最小则对关于c求一阶导并令其等于零可得解得 因为对关于c求二阶导可得 故当时达到最小。7.9 解(1)根据题意和所给的数据可得,所以的置信区间为(2) 即所以的置信区间为7.10解:根据所给的数据计算: , 则X 和Y构成的总体的方差为 所以置信系数的置信区间为=-0.002,0.0067.11 解: 则比例p的区间估计为：=7.12 解：根据题意有， 则的置信区间为：