全国版2017版高考数学一轮复习第三章三角函数解三角形3.3三角函数的图象与性质课件理

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1、第三节 三角函数的图象与性质,【知识梳理】 1.三个基本三角函数的图象和性质,x=2k,kZ,x=2k-,kZ,k2-,k2(k,Z),k2,k2+(kZ),2,2,(k,0),kZ,x=k,kZ,kZ,2.周期函数 (1)周期函数:对于函数f(x),如果存在一个_, 使得当x取_内的每一个值时,都有f(x+T)=f(x), 那么函数f(x)就叫做周期函数,_叫做这个函 数的周期.,非零常数T,定义域,非零常数T,(2)最小正周期:如果在周期函数f(x)的所有周期中存 在一个_,那么这个_就叫做f(x)的 最小正周期.,最小的正数,最小正数,【特别提醒】 1.函数的对称性和周期之间的几个关系

2、(1)正弦曲线和余弦曲线相邻的两个对称轴之间距离的2倍是一个周期. (2)正弦曲线和余弦曲线相邻的两个对称中心之间距离的2倍是一个周期.,(3)正弦曲线和余弦曲线相邻的一个对称轴和一个对称中心之间距离的4倍是一个周期. (4)正切曲线相邻的两个对称中心之间距离的2倍是一个周期.,2.正切函数的单调性 y=tanx不能认为其在定义域上为增函数,应在每个区间 (kZ)内为增函数.,【小题快练】 链接教材练一练 1.(必修4P40练习T3(2)改编)函数f(x)=4-2cos x的最 小值是,取得最小值时,x的取值集合为_ .,【解析】f(x)min=4-2=2,此时, x=2k(kZ),x=6k

3、(kZ),所以x的取值集合为x|x=6k,kZ 答案:2x|x=6k,kZ,2.(必修4P47习题1.4B组T2改编)函数y= 的单调递减区间为.,【解析】因为y=tanx的单调递增区间为 (kZ),y=-tanx的单调递减区间为 (kZ),所以 (kZ),解得 (kZ),所以 的单调 递减区间为 (kZ). 答案: (kZ),感悟考题试一试 3.(2014陕西高考)函数f(x)= 的最小正周 期是() A. B. C.2 D.4 【解析】选B.由题意得:T= =.,4.(2016宜昌模拟)函数y= 的图象() A.关于x轴对称 B.关于y轴对称 C.关于原点对称 D.关于直线x= 对称,【解

4、析】选B.因为y= =cosx,又因为cos(-x) =cosx,为偶函数,所以根据余弦函数的图象和性质可知 其图象关于y轴对称.,5.(2016长沙模拟)函数y=sinx-cosx+sinxcosx, x0,的最小值是.,【解析】设sinx-cosx=t, 因为x0,所以 所以t-1, ,sinxcosx= 所以 当t=-1时,ymin=-1. 答案:-1,考向一三角函数的定义域及简单的三角方程或不等 式 【典例1】(1)(2016武汉模拟)定义在区间 上的 函数y=6cosx的图象与y=5tanx的图象的交点为P,过点P 作PP1x轴于点P1,直线PP1与y=sinx的图象交于点P2, 则

5、线段P1P2的长为.,(2)满足cosx ,且x0,2的x的集合为. (3)函数f(x)= +log2(2sinx-1)的定义域是.,【解题导引】(1)根据图象的意义及同角关系,列出 关于sinx的方程,求解. (2)根据余弦函数的图象可得不等式的解集为x kZ,结合函数的定义域即可得到答 案. (3)根据表达式有意义,列出不等式组求解.,【规范解答】(1)由题意得线段P1P2的长即为sinx的值,且其中的x满足6cosx=5tanx, 即6cosx=5 ,所以6cos2x=5sinx, 即6sin2x+5sinx-6=0,解得sinx= ,或sinx=- (舍). 所以线段P1P2的长为 .

6、 答案:,(2)因为cosx , 所以 又因为x0,2, 所以x的集合为 答案:,(3)由题意,得 由得-8x8,由得sinx , 由正弦曲线得 所以不等式组的解集为 答案:,【母题变式】1.若本例题(3)中函数改为f(x)= , 求其定义域. 【解析】因为函数f(x)= , 所以cosx1, 所以x2k,kZ, 所以函数的定义域为x|x2k,kZ.,2.在本例题(3)中函数改为 求其定 义域. 【解析】由 由余弦曲线得 所以函数的定义域为,【规律方法】 1.三角函数方程、不等式的求解策略 (1)由同角关系、诱导公式转化为关于sinx或cosx的方程、不等式. (2)用换元法求出sinx或co

7、sx的值或范围.,(3)根据正弦曲线、余弦曲线求出相对应的x的值或范围. (4)解不等式时可以先求出区间长度为一个周期上的范围,再加上周期.,2.三角函数定义域的求法 求三角函数定义域实际上是构造简单的三角不等式(组),常借助三角函数线或三角函数图象来求解. 易错提醒:(1)对表达式进行化简变形时,尽量等价变形,注意不要产生增解,也不要丢掉方程的解.,(2)注意sinx或cosx的值域是-1,1,换元后新变量的范围为-1,1. (3)解不等式时要注意周期,不可以忽略.,【变式训练】(2016衡水模拟)设条件p: 条件q:cos 0,则p是q的() A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充

8、分必要条件 D.既不充分也不必要条件,【解析】选C.由 所以p是q的充分必要条件.,【加固训练】1.(2016长春模拟)已知集合E=cossin, 02,F=tansin,那么EF为区 间(),【解析】选A.由sin,cos,tan的图象,得集合,2.若sin2xcos2x,则x的取值范围是(),【解析】选D.由题意可知cos2x0,所以 所以,3.在ABC中, 则A的大小为. 【解析】由已知得A为锐角.两边平方,2sin2A=3cosA,设t=cosA,则2t2+3t-2=0,解得t= 或t=-2(舍),所以cosA= ,A=60.答案:60,4.函数y= +lg cosx的定义域为. 【解

9、析】由得所以函数的定义域为 答案:,考向二三角函数的值域和最值 【典例2】(1)函数y=-2sinx-1,x 的值域 是() A.-3,1B.-2,1C.(-3,1D.(-2,1,(2)(2016成都模拟)函数y=cos2x-2sinx的最大值与最小值分别为() A.3,-1 B.3,-2 C.2,-1 D.2,-2,【解题导引】(1)弄清角x的取值范围,结合正弦曲线求解. (2)换元转化为求二次函数的最值.,【规范解答】(1)选D.由正弦曲线知y=sinx在 上,-1sinx ,所以函数y=-2sinx-1,x 的 值域是(-2,1.,(2)选D.y=cos2x-2sinx=1-sin2x-

10、2sinx =-sin2x-2sinx+1, 令t=sinx,则t-1,1, y=-t2-2t+1=-(t+1)2+2, 所以ymax=2,ymin=-2.,【规律方法】三角函数最值或值域的三种求法 (1)直接法:利用sinx,cosx的值域. (2)化一法:化为y=Asin(x+)+k的形式,确定x+的范围,根据正弦函数单调性写出函数的值域. (3)换元法:把sinx或cosx看作一个整体,转化为二次函数,求在给定区间上的值域(最值)问题.,【变式训练】函数y=2sin (0 x9)的最大值 与最小值之和为() A.2- B.0 C.-1 D.-1-,【解析】选A.因为0 x9, 所以 所以

11、 所以 所以ymax+ymin=,【加固训练】1.(2016南昌模拟)函数y=sin2x+sinx-1的值域 为(),【解析】选C.换元,设t=sinx,则y=t2+t-1(-1t1),所以值域为,2.函数y= 的值域为. 【解析】由y= ,得cosx= 因为-1cosx1,所以-1 1,解得 y6.因此,原函数的值域为 答案:,【一题多解】本题还可如下求解: 因为-1cosx1,所以12-cosx3. 即原函数的值域为 答案:,考向三三角函数的性质 【考情快递】,【考题例析】 命题方向1:三角函数的奇偶性、对称性和周期性问题 【典例3】(1)(2016洛阳模拟)若函数y=sin (0,2)是

12、偶函数,则=(),(2)(2016潍坊模拟)下列函数中,最小正周期为,且 图象关于直线x= 对称的是(),【解题导引】(1)利用偶函数的定义求解. (2)将x= 代入各个关系式,看看能否取到最值即可.,【规范解答】(1)选C. 观察选项, 当= 时,等式恒成立. (2)选B.因为y=f(x)的最小正周期为,可排除D; 其图象关于直线x= 对称, 所以A中, 故A不满足;,对于B, 满足题意; 对于C, 故C不满足.,命题方向2:三角函数的单调性问题 【典例4】(1)(2016济南模拟)若函数f(x)=sinx (0)在区间 上单调递增,在区间 上单调递 减,则等于(),(2)(2016银川模拟

13、)函数f(x)= 的单调减 区间为.,【解题导引】(1)根据正弦函数的单调性解不等式求解. (2)先用诱导公式化简函数表达式,再根据正弦函数的减区间解不等式求解.,【规范解答】(1)选B.因为f(x)=sinx(0)过原点, 所以当 y=sinx是增函数; 当 y=sinx是减函数. 由f(x)=sinx(0)在 上单调递增, 在 上单调递减知,(2)由已知函数为 欲求函数的单调减区间,只需求 的单调增区间. 由 得 故所给函数的单调减区间为 答案:,【技法感悟】 1.三角函数的奇偶性、对称性和周期问题的解题思路 (1)奇偶性的判断方法:由正、余弦函数的奇偶性可判断出y=Asinx和y=Aco

14、sx分别为奇函数和偶函数.,(2)周期的计算方法:利用函数y=Asin(x+),y=Acos(x+)(0)的周期为 , 函数y=Atan(x+)(0)的周期为 求解. (3)解决对称性问题的关键:熟练掌握三角函数的对称 轴、对称中心.,2.三角函数的单调性问题的解题方法 (1)求三角函数单调区间的两种方法 代换法:就是将比较复杂的三角函数含自变量的代数式整体当作一个角u(或t),利用基本三角函数的单调性列不等式求解.,图象法:画出三角函数的正、余弦曲线,结合图象求它的单调区间. 易错提醒:求解三角函数的单调区间时若x的系数为负应先化为正,同时切莫漏掉考虑函数自身的定义域.,(2)已知三角函数的

15、单调区间求参数的取值范围的三种方法 子集法:求出原函数的相应单调区间,由已知区间是所求某区间的子集,列不等式(组)求解.,反子集法:由所给区间求出整体角的范围,由该范围 是某相应正、余弦函数的某个单调区间的子集,列不等 式(组)求解. 周期法:由所给区间的两个端点到其相应对称中心的 距离不超过 周期列不等式(组)求解.,【题组通关】 1.(2016郑州模拟)函数y=2cos2 -1是() A.最小正周期为的奇函数 B.最小正周期为的偶函数 C.最小正周期为 的奇函数 D.最小正周期为 的偶函数,【解析】选A. 为奇函 数,2.(2016太原模拟)如果函数y=3cos(2x+)的图象关于点 中心对称,那么|的最小值为(),【解析】选A.由题意得 所以 所以=k- ,kZ,取k=0,得|的最小值为 .,3.(2016洛阳模拟)已知0,函数 在上单调递减,则的取值范围是(),【解析】选A.由 由题意知 所以 所以,