习题课教学大纲微积分I

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1、 习题课教学大纲（微积分I）（征求意见稿）课程名称：大学数学-微积分I英文名称：Calculus课程性质：必修 课程代码：20113740(上册) 20112630（下册）面向专业：理、工类各专业习题课指导丛书名称：高等数学(第五版)出版单位： 高等教育出版社 出版日期：2002年7月 主编：同济大学应用数学系习题课讲义名称：大学数学习题课系列教材-微积分编写单位：四川大学数学学院 编写日期：2006年8月 主编：四川大学数学学院高等数学教研室一、课程学时学分：课程总学时：172 课程总学分：9习题课总学时：24 习题课总学分：0二：习题课的地位、作用与目的：微积分习题课是微积分课程的重要组成

2、部分，是学生学习这门课程的一个必要环节。通过对微积分学习各类习题的讲解，能使学生加深对该课程内容的理解，获得对求解微分积分等数学习题所必要的技能技巧；也能使学生在学习过程中，获得应用微积分知识解决实际问题的能力，为学生进一步学习概率统计、数学物理方程等课程以及为将来可能从事的科研工作打下良好的基础。三、习题课课程基本要求：第一章 函数与极限1函数与极限 2学时（1）基本内容函数的概念，函数的表示，函数的几种特性，复合函数，分段函数，极限的概念及性质，极限存在准则，重要极限，无穷小量与无穷大量，极限的计算，函数的连续与间断，闭区间上连续函数的性质。（2）基本要求 处理作业批改中发现的问题。通过具

3、体例子讲解极限的计算问题，连续性讨论问题，复合函数定义域及分段函数的复合问题。第二章导数与微分 2学时（1）基本内容：导数及高阶导数的定义；复合函数 隐函数 参数方程决定的函数和分段函数的求导；微分。（2）基本要求：处理作业批改中发现的问题；举列说明复合函数 隐函数 参数方程决定的函数和分段函数的一阶二阶求导；会求微分。第三章 微分中值定理与导数的应用 2学时1.中值定理及洛必达法则 (1) 基本内容:中值定理的应用;洛必达法则求极限.(2)基本要求:处理作业批改中发现的问题;通过具体例子讲解中值定理的题型和解题步骤;求各种不定形的极限并注意化简和变形技巧.2.不等式的证明和函数曲线 (1)基

4、本内容:函数单调性 凹凸性的判定;函数的最值;泰勒定理.(2)基本要求:处理作业批改中发现的问题;举例说明函数 导数 二阶导数曲线关系;举例讲解利用曲线特征证明函数不等式;举例说明函数最值的应用;泰勒中值定理的应用方法.第四章 不定积分 2学时一、基本内容：复习原函数和不定积分的概念，不定积分的基本性质及基本积分公式，总结换元积分法和分部积分法，有理函数、三角函数的有理式和简单无理函数的积分的计算方法。二、基本要求:处理作业批改中发现的问题，举例说明原函数与不定积分之间的关系，讲解，演练换元积分法与分部积分法，补充求有理函数、三角函数的有理式和简单无理函数的积分的例题讲解。第五章 定积分一、

5、基本内容：定积分的概念和性质，积分上限函数及其导数，牛顿莱布尼茨公式，定积分的换元积分法和分部积分法。无穷限广义积分和无界函数的广义积分，函数。 二、基本要求复习定积分的概念和定积分的基本性质，理解变上限函数并掌握其求导方法，举例说明掌握牛顿莱布尼茨公式的应用，定积分的换元积分法与分部积分法，广义积分的概念和计算广义积分，了解函数，通过课堂练习消化上述内容。第六章 定积分的应用(1) 基本内容 微元法的应用，能正确使用定积分表达和计算一些几何量与物理量(平面图的面积、平面曲线的弧长、旋转体的体积及侧面积，平行截面积已知的主体体积、变力作功、引力、压力)及函数的平均值。(2)基本要求:处理作业批

6、改中发现的问题;举例说明利用定积分计算一些几何量与物理量(平面图的面积、平面曲线的弧长、旋转体的体积及侧面积，平行截面积已知的主体体积、变力作功、引力、压力)及函数的平均值。第七章 空间解析几何与向量代数 2学时1、基本内容矢量的概念，矢量的运算，矢量的坐标表达式及其运算；平面方程、直线方程、直线间的夹角以及平行、垂直的条件；曲面方程和空间曲线方程的概念；球面、旋转曲面、柱面的方程；二次曲面方程及其图形；空间曲线再坐标面上的投影曲线方程。2、基本要求 处理作业批改中发现的问题，复习用坐标表达式进行向量运算的实例，通过具体实例讲解平面的方程和直线的方程及其求法，讲解以坐标轴为旋转轴的旋转曲面及母

7、线平行于坐标轴的柱面方程的例题，通过例题讨论空间曲线在坐标平面上的投影。第八章 多元函数微分法极其应用 2学时基本内容 复习多元函数的概念，二元函数的极限与连续以及有界闭区域上连续函数的性质，偏导数和全微分的概念,全微分存在的必要条件和充分条件；方向导数和梯度的概念及计算方法，复合函数一阶、二阶偏导数的求法，计算隐函数的偏导数和全导数，曲线的切线和法平面及曲面的切平面和法线的概念及计算方法，多元函数极值和条件极值的概念，二元函数极值的充分条件，计算二元函数的无条件极值和条件极值地方法和简单函数的最大值和最小值的应用题解法。基本要求 1、讲评本章批改作业中的典型问题2、讲解多元函数的一、二阶偏导

8、数与全微分的例题，重点举多元复合函数及隐函数求导例子， 使学生能熟练掌握它们的计算方法。本章的基本应用拉格朗日条件极值求最大值应用问题，方向导数与梯度。3、讲解一些简单例子，使学生理解空间中曲线的切线和法平面方程及曲面的切平面和法线方程，讲评作业中多元函数极值、最值的问题。第九章 重积分 2学时第九章 重积分 2学时（1）基本内容：二重积分的定义及性质，二重积分的计算直角坐标与极坐标方法，三重积分的定义与性质，三重积分的计算直角坐标、柱面坐标与球面坐标，重积分的应用。（2）基本要求：复习整章内容，处理各节作业批改中发现的问题，从习题教材中选择例题进行选讲,注意将计算重积分的技巧融入例题当中。最

9、后，可以选择一两道综合程度较高的习题留给学生选做。第十章 曲线积分与曲面积分 2学时曲线积分（1）基本内容 对弧长的曲线积分 对坐标的曲线积分 格林公式 平面上曲线积分与路径无关的条件（2）基本要求 处理作业批改中发现的问题 针对作业中的问题补充一些例题 在教材内容和习题的基础上补充一些拓宽知识面、提高解题技巧的例题（例如，利用对称性简化对弧长的曲线积分、利用格林公式和曲线积分与路径无关的条件计算平面上的第二类曲线积分。）。曲面积分（1）基本内容 对面积的曲面积分 对坐标的曲面积分 两类曲面积分之间的联系 高斯公式与散度 斯托克斯公式与旋度（2）基本要求 处理作业批改中发现的问题 针对作业中的

10、问题补充一些例题 在教材内容和习题的基础上补充一些拓宽知识面、提高解题技巧的例题（例如，利用对称性简化对面积的曲面积分、两类曲面积分的转化、利用高斯公式和向量点积法计算第二类曲面积分、利用斯托克斯公式计算空间曲线的第二类曲线积分。）。第十一讲 无穷级数 2学时（1）基本内容： 常数项级数的概念和性质和审敛法。幂级数以及函数展开成幂级数。函数幂级数展开式的应用。傅里叶级数和一般周期的傅里叶级数。 （2）基本要求： 处理作业批改中发现的问题。讲解常数项级数的常用审敛法应用实例，以及如何求幂级数的收敛半径。对于函数展开成幂级数的性质和应用，可以选择用方法复习讲解。对于傅里叶级数则重点讲解和函数的表示以及傅里叶系数的求法。第十二讲 微分方程 2学时（1）基本内容 常微分方程的阶、解、通解、特解等基本概念，线性微分方程解的性质与通解的结构，一阶（高阶）微分方程可积类型和二阶常系数线性齐次（非齐次）微分方程的解法，微分方程的简单应用。（2） 基本要求 处理作业批改中发现的问题，复习本讲微分方程的基本概念、解的结构和例题，举例说明如何对实际问题分析等量关系并建立微分方程，举例讲解求微分方程的通解或特解的解题思路和技巧，特别是二阶常系数线性齐次（非齐次）微分方程的解法。