三次样条插值法与最小二值 法的分析及比较

《三次样条插值法与最小二值 法的分析及比较》由会员分享，可在线阅读，更多相关《三次样条插值法与最小二值 法的分析及比较（17页珍藏版）》请在装配图网上搜索。

1、数值计算方法期末论文-同等要求下三次样条插值法与最小二值 法的分析及比较。在实际中，常常要处理由实验或测量所得到的一批离散数据插值与拟合方 法就是要通过这些数据去确定某一类已知函数的参数或寻找某个近似函数，使所 得到的近似函数与已知数据有较高的拟合程度如果要求这个近似函数（曲线或 曲面）经过已知的所有数据点，贝U称此类问题为插值问题。当所给的数据较多时，用插值方法所得到的插值函数会很复杂，所以，通常 插值方法用于数据较少的情况但数据一般都是由观测或试验得到的，往往会带 有一定的随机误差，因而，要求近似函数通过所有的数据点也是不必要的如果 不要求近似函数通过所有数据点，而是要求它能较好地反应数据

2、的整体变化趋 势，则解决这类问题的方法称为数据拟合.插值和拟合都是要根据一组数据构造一个函数作为近似，由于近似的要求不 同，二者的数学方法上是完全不同的。而面对一个实际问题，究竟应该用插值还 是拟合，有时容易确定，有时则并不明显。本文由具体题目为基础，主要论述了在同等要求下三次样条插值法与最小二 值法的分析及比较。关键词：数值计算方法、三次样条插值法、最小二值法引言 2第一章三次样条插值 41.1三次样条插值函数 41.2分段线性插值51.3插值理论 6第二章最小二乘法 72.1线性最小二乘拟合法72.2 一般线性最小二乘拟合法82.3非线性最小二乘拟合法 9第三章算法对比与实现103.1对比

3、实例一103.2对比实例二113.3结果及分析15第四章总结16第一章三次样条插值11三次样条插值函数：若函数S(X)e c2 a,b,且在每个小区间x , x上是三次多项式，其j j+1中a = x x x = b是给定节点，则称S(x)是节点x , x x上的 01n01n三次样条函数。若在节点x上给定函数值儿=f(x.)(j = 0丄,n),并成立 jjjs(x ) = y (j = 0,1, .n ,则称S(x)为三次样条插值函数。jj三次样条插值的计算方法: 因为在每个小区间上S (x)是三次多项式，所以S(x)在每个小i区间上是直线，可以写出它的表达式x - xii + 1i +

4、1i(x x ) 3无 + cx +6 hix - xS ( x ) = mi+ mi + 1i其中m ,m 是待定参数。ii + 1 把它积分两次，得到(x - x ) 3S (x ) = m 亠ii 6 hi这里的c和d是积分常数,利用 S (x ) = y 和 S (x )i iii i +1y 可以确定c,d,于是有i +1(x x ) 3i6 him h 2 x _1i) 6xJ, hi(x - x) 3S (x) = mii 6 him h2 x x+ ( y ia ) +4+i 6将其求导数得到(X - x )2( x - x )2S (x)二一 m i+ m*i*2 h* +1

5、2 hiiy - y m - m+ i I 1J i I 11 h .h6i至此，我们把S (x)以及它的一、二阶导函数都用两个参数表示出来。i我们令S (x ) = S (x ), i = 0,1,. n - 2,得到一个关于ii +1i +1 i +1m , m m 的线性方程组01n卩 m + 2 m + X m = d , ii 1ii i +1i=1, 2,., n 1,(1.1)其中，p1,九=1 i h + h iii 1y y y y i+1iii1hhp , d = 6 ii1i i该方程有n + 1个未知数，n 1个方程。针对不同的边界条件可以有相应的附加方程，最常用到的是

6、m = a , m =卩.解出(1.1)及其附加方程得到0nm再代进S ( x )的表达式，就得到了全部解。ii12分段线性插值:所谓分段线性插值就是通过插值点用折线段连接起来逼近f (x).设已知节点a = x x x = b上的函数值f，/，,f ,记h = x x ,h = max h ,求 01n0 1nkk+1kkk一折线函数I (x)满足：h10 1 (x) e a, b,h2 0 I (x ) = f ( k = 0,1,n)，k kk3 0 I (x)在每个小区间x , x 上是线性函数。hk k +1则称I (x)为分段线性插值函数。h1.3插值理论:设函数y=f(x)在区间

7、a,b上连续，在a,b上有互异点x ,x ,x处取值01ny,y,，y。如果函数屮(x)在点x上满足屮(x)=y (i=0,1,2,n)，则称屮01niii(x)是函数y=f(x)的插值函数，x,x,X是插值节点。若此时屮(x)是代数多01n项式P(x),则称P(x)为插值多项式。显然f(x)f (x), xWa,b。第二章最小二乘法在实际生活中，往往需要从一组实验数据(x,y )中寻找出变量x,y之间的i i函数关系.由于观测数据不可避免出现误差，因此并不需要y=f(x) 定要经过所 有的点，而只要求在给定点x上误差 i=f(x)-y按某种标准达到最小通常用ii i欧式范数I | 2作为误差

8、量度的标准.这就是所谓的最小二乘拟合法最小二乘 拟合法可以分为线性最小二乘拟合法和非线性最小二乘拟合法。2.1线性最小二乘拟合法设W (x) m是一个线性无关的函数系，则称线性组合Q (x)=为a Q (x)kk = 0k kk 二 0为广义多项式如三角多项式：0 (x) = Ta cos kx +b sin kx kkk 二 0k 二 0设由给定的一组测量数据(x , y )和一组正数w (i = 1,2,n),求一个广义多i ii项式0 (x) = Za 0 (x)使得目标函数k kk 二 0S =为 w 0 (x ) 一 y 2(3.1)iiii 二 1达到最小，则称函数0(x)为数据(

9、x ,y ) 1.,. 2n,关于权函数i iw ( i= 1,2, n的最小二乘拟合函数，由于0 (x)关于待定系数a是线性的，故此 ii问题又称为线性最小二乘问题.要使最小二乘问题的目标函数(3.1)达到最小,则由多元函数取得极值的必要条件得空=0( k = 0,1, 2, 2 , m)d ak即为 w 为 a 0 (x ) 一 y 0 (x ) = 0( k = 0,1, 2,，m)ik k ii k ii = 1k = 0亦即工工w 0(x0(x) a=工wy(x(k= 0,1, 2, 2 , m)是未知量为i j i k iji i k ij = 0 i = 1i = 0a , a，

10、,a的线性方程组，称之为正规方程组。01m实际中可适当选择函数系W (x) m ,由正规方程组解出a , a，,a ,于是可kk = 00 1m得最小二乘拟合函数(x) = f a e (x)。k kk 二 02.2 般线性最小二乘拟合法将上面一元函数的最小二乘拟合问题推广到多元函数,即为多维线性最小二乘拟合问题.假设已知多元函数y = f (x , x ,x )的一组测量数据(x , x ,，x y )1 2n1i2 ini ; i(i = 1,2,m)和一组线性无关的函数系 (x , x , x ) n ,求函数k 12n k = 0 (x , x ，,x )=乙 a (x , x，,x

11、)k 12nk k 12nk 二 0对于一组正数w , w,. , w，使得目标函数12mS =乙 w y - (x , x ，,x )2i i1i 2 inii 二 1达到最小,其中待定系数a , a , a,a由正规方程组012Nf ( , ) a = ( , y)(k = 0,1, 2,N)j k jkj 二 0确定，此处( , )=f w (x , x ，,x ) (x , x ，x ),j ki j 1i 2 ini k 1i 2 inii = 1( , y)=乙 w (x , x ,，x ) yki k 1i 2 ini ii = 1上面的函数关于a都是线性的,这就是线性最小二乘拟

12、合问题，对于这类i问题的正规方程组总是容易求解的如果关于a都是非线性的，则相应的问题i称为非线性最小二乘拟合问题。2.3非线性最小二乘拟合法假设已知多元函数y = f (x , X,X )的一组测量数据12n(X , X ,X y )(i = 1, 2,m)，1 i 2 ini ; i要求一个关于参数鋼(j = 0丄2,N)是非线性的函数0 = 0 ( x , x ,x ; a , a ,a )，12n 01N对于一组正数w , w,. , w，使得目标函数12mS (a , a ,a ) =w y - 0 ( x , x ,x ; a , a ,a )20 1Ni i1i 2 ini 0 1

13、Ni = 1达到最小，则称之为非线性最小二乘问题。第三章算法对比与实现3.1对比实例一对函数，在-5, 5上对函数作插值计算。用三次样条插值选取10个基点计算插值Matlab程序如下：xO=li nspace(-5,5,10);yO=1./(1+2O*xO42);x=li nspace(-5,5,100);用分段线性插值法求插值，并观察插值误差在-5,5中平均选取11个点作插值Matlab程序如下：x=li nspace(-5,5,100);y=1./(20*x42+1);x1=li nspace(-5,5,11);y1=1./(20*x1.A2+1);plot(x,y,x1,y1,x1,y1

14、,o,Li neWidth,1.5),gtext( n=10)结果如下:3.2对比实例二给出函数：X1.a3456-789101112131415y1.12,2.3, a.5.S4. 76.67.18.08.910. 411-612. 313.014.9.16.2分别用一次、二次、三次多项式来拟合这些数据点，并通过作图，找出哪一种拟合多项式对这些数据点的拟合效果最好。用一次多项式来拟合这些数据点时，可在MATLAB命令空间键入以下命令：x=1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15;y=1.1,223O584.7,667.1,8.0,8.9,10.4,1161231

15、3.0,14.9,16.2;p1=polyfit(x,y,1)y1=polyval(p1,x)plot(x,y,x)hold onplot(x,y1)得到图形用二次多项式来拟合这些数据时，可在MATLAB命令空间键入以下命令: x=1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15;y=1.1,2.2,3.0,5.8,4.7,6.6,7.1,8.0,8.9,10.4,11.6,12.3,13.0,14.9,16.2;p1=polyfit(x,y,1)y1=polyval(p1,x)hold onp2=polyfit(x,y,2);y2=polyval(p2,x); plot

16、(xyx) hold on plot(x,y2)得到图形：用三次多项式来拟合这些数据时，可在MATLAB命令空间键入以下命令: x=1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15;y=1.1,223O584.7,667.1,8.0,8.9,10.4,11612313.0,14.9,16.2; y1=polyval(p1,x)hold onp2=polyfit(x,y,2);y2=polyval(p2,x);hold onp3=polyfit(x,y,3);y3=polyval(p3,x);plot(x,y,x)hold onplot(x,y3)得到图形:3.3结果及分析

17、从题中可以看出，插值点的个数、精度、插值点的选择都会影响实验的结果; 我们通常会选择与插值点最接近的节点，可以提高精度；在可以计算出结果的情 况下，插值点越多，结果越精确。由于曲线拟合的最小二乘法一般是经过描点，确定其近似多项式的形式，但 由于给定的点有误差，所以拟合曲线的数学模型并不是一开始就能选的好的，往 往要通过分析确定若干模型后，再经过实际计算，才能选到较好的模型。第四章总结计算方法中插值与拟合的区别与联系是：插值和拟合都是函数逼近或者数值逼近的重要组成部分，他们的共同点都是 通过已知一些离散点集M上的约束，求取一个定义在连续集合S（M包含于S）的 未知连续函数，从而达到获取整体规律的

18、目的。简单的讲，所谓拟合是指已知某 函数的若干离散函数值fl,f2,fn,通过调整该函数中若干待定系数f （入1, 入2,，入3）,使得该函数与已知点集的差别（最小二乘意义）最小。如果待定函 数是线性，就叫线性拟合或者线性回归（主要在统计中），否则叫作非线性拟合或 者非线性回归。表达式也可以是分段函数，这种情况下叫作样条拟合。而插值 是指已知某函数的在若干离散点上的函数值或者导数信息，通过求解该函数中待 定形式的插值函数以及待定系数，使得该函数在给定离散点上满足约束。插值函 数又叫作基函数，如果该基函数定义在整个定义域上，叫作全域基，否则叫作分 域基。如果约束条件中只有函数值的约束，叫作Lagrange插值，否则叫作Hermite 插值。从几何意义上将，拟合是给定了空间中的一些点，找到一个已知形式未知 参数的连续曲面来最大限度地逼近这些点；而插值是找到一个（或几个分片光滑 的）连续曲面来穿过这些点。