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1、核心必知1反证法先假设要证的命题不成立，以此为出发点，结合已知条件，应用公理、定义、定理、性质等，进行正确的推理，得到和命题的条件(或已证明的定理、性质、明显成立的事实等)矛盾的结论，以说明假设不正确，从而证明原命题成立，我们称这种证明问题的方法为反证法2放缩法证明不等式时，通常把不等式中的某些部分的值放大或缩小，简化不等式，从而达到证明的目的我们把这种方法称为放缩法问题思考1用反证法证明不等式应注意哪些问题？提示：用反证法证明不等式要把握三点：(1)必须先否定结论，对于结论的反面出现的多种可能要逐一论证，缺少任何一种可能，证明都是不完全的(2)反证法必须从否定结论进行推理，且必须根据这一条件
2、进行论证；否则，仅否定结论，不从结论的反面出发进行论证，就不是反证法(3)推导出来的矛盾可以是多种多样的，有的与已知条件相矛盾，有的与假设相矛盾，有的与定理、公理相违背，有的与已知的事实相矛盾等，但推导出的矛盾必须是明显的2运用放缩法证明不等式的关键是什么？提示：运用放缩法证明不等式的关键是放大(或缩小)要适当如果所要证明的不等式中含有分式，那么我们把分母放大时相应分式的值就会缩小；反之，如果把分母缩小，则相应分式的值就会放大有时也会把分子、分母同时放大，这时应该注意不等式的变化情况，可以与相应的函数相联系，以达到判断大小的目的，这些都是我们在证明中的常用方法与技巧，也是放缩法中的主要形式设a
3、，b，c，d都是小于1的正数，求证：4a(1b)，4b(1c)，4c(1d)，4d(1a)这四个数不可能都大于1.精讲详析本题考查反证法的应用解答本题若采用直接法证明将非常困难，因此可考虑采用反证法从反面入手解决假设4a(1b)1，4b(1c)1，4c(1d)1，4d(1a)1，则有a(1b)，b(1c)，c(1d)，d(1a).，.又，.将上面各式相加得22，矛盾4a(1b)，4b(1c)，4c(1d)，4d(1a)这四个数不可能都大于1.(1)当证明的结论中含有“不是”，“不都”，“不存在”等词语时，适于应用反证法，因为此类问题的反面比较具体(2)用反证法证明不等式时，推出的矛盾有三种表现
4、形式：与已知相矛盾，与假设矛盾，与显然成立的事实相矛盾1已知f(x)是R上的单调递增函数，且f(a)f(b)f(a)f(b)求证：ab.证明：假设ab，则当ab时ba，于是有f(a)f(b)f(b)f(a)与已知矛盾当ab时，ab，于是有f(a)f(b)，f(b)b.实数a、b、c、d满足abcd1，acbd1，求证：a、b、c、d中至少有一个是负数精讲详析本题考查“至多”、“至少”型命题的证明方法解答本题应假设a、b、c、d都是非负数，然后证明并得出矛盾假设a、b、c、d都是非负数，即a0，b0，c0，d0，则1(ab)(cd)(acbd)(adbc)acbd，这与已知中acbd1矛盾，原假
5、设错误，a、b、c、d中至少有一个是负数(1)在证明中含有“至少”、“至多”、“最多”等字眼时，或证明否定性命题、唯一性命题时，可使用反证法证明在证明中常见的矛盾可以与题设矛盾，也可以与已知矛盾，与显然的事实矛盾，也可以自相矛盾(2)在用反证法证明的过程中，由于作出了与结论相反的假设，相当于增加了题设条件，在证明过程中必须使用这个增加的条件，否则就不是反证法2已知函数yf(x)在区间(a，b)上是增函数，求证：yf(x)在区间(a，b)上至多有一个零点证明：假设函数yf(x)在区间(a，b)上至少有两个零点，不妨设x1，x2(x1x2)为函数yf(x)在区间(a，b)上的两个零点，且x1x2，
6、则f(x1)f(x2)0.函数yf(x)在区间(a，b)上为增函数，x1，x2(a，b)且x1x2，f(x1)f(x2)，与f(x1)f(x2)0矛盾，原假设不成立函数yf(x)在(a，b)上至多有一个零点.求证：12(nN且n2)精讲详析本题考查放缩法在证明不等式中的应用，解答本题要注意欲证的式子中间是一个和的形式，但我们不能利用求和公式或其他方法求和，因此可考虑将分母适当放大或缩小成可以求和的形式，进而求和，并证明该不等式k(k1)k2k(k1)，即(kN且k2)分别令k2，3，n得1，将这些不等式相加得1，即1，1111，即12(nN且n2)成立(1)放缩法证不等式主要是根据不等式的传递
7、性进行变换，即欲证ab，可换成证ac且cb，欲证ab，可换成证ac且c12340n.，an0，y0，A，B，则A、B的大小关系为()AAB BABCAB DAB解析：选BBA，即Ab与ab与a2，则loga(a1)loga(a1)_1(填“”、“”或“”)解析：a2，loga(a1)0，loga(a1)0，又loga(a1)loga(a1)，而loga(a21)logaa21，loga(a1)loga(a1)1.答案：三、解答题9已知0x2，0y2，0z1且y(2z)1且z(2x)1均成立，则三式相乘有：xyz(2x)(2y)(2z)1.由于0x2，0x(2x)x22x(x1)211.同理：0y(2y)1，且0z(2z)1，三式相乘得：0(xyz)证明： |x|x.同理可得：y，z.由于x、y、z不全为零，故上述三式中至少有一式取不到等号，所以三式累加得：(xyz)11已知数列an满足a12，an122an(nN)，(1)求a2，a3并求数列an的通项公式；(2)设cn，求证：c1c2c3cn.解：(1)a12，an12an(nN)，a22a116，a32a272.又2，nN，为等比数列2n12n，ann22n.(2)证明：cn，c1c2c3cn，所以结论成立
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