新课标创新人教A版数学选修452.3反证法与放缩法

核心必知1反证法先假设要证的命题不成立，以此为出发点，结合已知条件，应用公理、定义、定理、性质等，进行正确的推理，得到和命题的条件(或已证明的定理、性质、明显成立的事实等)矛盾的结论，以说明假设不正确，从而证明原命题成立，我们称这种证明问题的方法为反证法2放缩法证明不等式时，通常把不等式中的某些部分的值放大或缩小，简化不等式，从而达到证明的目的我们把这种方法称为放缩法问题思考1用反证法证明不等式应注意哪些问题？提示：用反证法证明不等式要把握三点：(1)必须先否定结论，对于结论的反面出现的多种可能要逐一论证，缺少任何一种可能，证明都是不完全的(2)反证法必须从否定结论进行推理，且必须根据这一条件进行论证；否则，仅否定结论，不从结论的反面出发进行论证，就不是反证法(3)推导出来的矛盾可以是多种多样的，有的与已知条件相矛盾，有的与假设相矛盾，有的与定理、公理相违背，有的与已知的事实相矛盾等，但推导出的矛盾必须是明显的2运用放缩法证明不等式的关键是什么？提示：运用放缩法证明不等式的关键是放大(或缩小)要适当如果所要证明的不等式中含有分式，那么我们把分母放大时相应分式的值就会缩小；反之，如果把分母缩小，则相应分式的值就会放大有时也会把分子、分母同时放大，这时应该注意不等式的变化情况，可以与相应的函数相联系，以达到判断大小的目的，这些都是我们在证明中的常用方法与技巧，也是放缩法中的主要形式设a，b，c，d都是小于1的正数，求证：4a(1b)，4b(1c)，4c(1d)，4d(1a)这四个数不可能都大于1.精讲详析本题考查反证法的应用解答本题若采用直接法证明将非常困难，因此可考虑采用反证法从反面入手解决假设4a(1b)1，4b(1c)1，4c(1d)1，4d(1a)1，则有a(1b)，b(1c)，c(1d)，d(1a).，.又，.将上面各式相加得22，矛盾4a(1b)，4b(1c)，4c(1d)，4d(1a)这四个数不可能都大于1.(1)当证明的结论中含有“不是”，“不都”，“不存在”等词语时，适于应用反证法，因为此类问题的反面比较具体(2)用反证法证明不等式时，推出的矛盾有三种表现形式：与已知相矛盾，与假设矛盾，与显然成立的事实相矛盾1已知f(x)是R上的单调递增函数，且f(a)f(b)f(a)f(b)求证：a>b.证明：假设ab，则当ab时ba，于是有f(a)f(b)f(b)f(a)与已知矛盾当ab时，ab，于是有f(a)<f(b)，f(b)<f(a)，f(a)f(b)f(b)f(a)与已知矛盾a>b.实数a、b、c、d满足abcd1，acbd>1，求证：a、b、c、d中至少有一个是负数精讲详析本题考查“至多”、“至少”型命题的证明方法解答本题应假设a、b、c、d都是非负数，然后证明并得出矛盾假设a、b、c、d都是非负数，即a0，b0，c0，d0，则1(ab)(cd)(acbd)(adbc)acbd，这与已知中acbd1矛盾，原假设错误，a、b、c、d中至少有一个是负数(1)在证明中含有“至少”、“至多”、“最多”等字眼时，或证明否定性命题、唯一性命题时，可使用反证法证明在证明中常见的矛盾可以与题设矛盾，也可以与已知矛盾，与显然的事实矛盾，也可以自相矛盾(2)在用反证法证明的过程中，由于作出了与结论相反的假设，相当于增加了题设条件，在证明过程中必须使用这个增加的条件，否则就不是反证法2已知函数yf(x)在区间(a，b)上是增函数，求证：yf(x)在区间(a，b)上至多有一个零点证明：假设函数yf(x)在区间(a，b)上至少有两个零点，不妨设x1，x2(x1x2)为函数yf(x)在区间(a，b)上的两个零点，且x1x2，则f(x1)f(x2)0.函数yf(x)在区间(a，b)上为增函数，x1，x2(a，b)且x1x2，f(x1)f(x2)，与f(x1)f(x2)0矛盾，原假设不成立函数yf(x)在(a，b)上至多有一个零点.求证：12(nN且n2)精讲详析本题考查放缩法在证明不等式中的应用，解答本题要注意欲证的式子中间是一个和的形式，但我们不能利用求和公式或其他方法求和，因此可考虑将分母适当放大或缩小成可以求和的形式，进而求和，并证明该不等式k(k1)k2k(k1)，即(kN且k2)分别令k2，3，n得1，将这些不等式相加得1，即1，1111，即12(nN且n2)成立(1)放缩法证不等式主要是根据不等式的传递性进行变换，即欲证a>b，可换成证a>c且c>b，欲证a<b，可换成证a<c且c<b.(2)放缩法是不等式证明中最重要的变形方法之一，放缩必须有目标而且要恰到好处，目标往往要从证明的结论考察常用的放缩方法有增项、减项、利用分式的性质、利用不等式的性质、利用已知不等式、利用函数的性质进行放缩等比如：舍去或加上一些项：；将分子或分母放大(缩小)：，(kR，k1)等3已知：an(nN)，求证：an.证明：，n，an>12340n.<，an<(23n).综上得：an.反证法和放缩法在高考中单独命题的可能性不大，一般以解答题一问的形式出现，但反证法和放缩法是一种重要的思维模式，在逻辑推理中有着广泛的应用考题印证(安徽高考)设直线l1：yk1x1，l2：yk2x1，其中实数k1，k2满足k1k220.(1)证明l1与l2相交；(2)证明l1与l2的交点在椭圆2x2y21上命题立意本题考查直线与直线的位置关系，线线相交的判断与证明，点在曲线上的判断与证明，考查学生推理论证的能力证明(1)反证法假设l1与l2不相交，则l1与l2平行，有k1k2.代入k1k220，得k20，此与k1为实数的事实相矛盾从而k1k2，即l1与l2相交(2)法一 ：由方程组解得交点P的坐标(x，y)为而2x2y221.此即表明交点P(x，y)在椭圆2x2y21上法二：l1与l2的交点P的坐标(x，y)满足故知x0，从而代入k1k220，得·20，整理后，得2x2y21，所以交点P在椭圆2x2y21上一、选择题1否定“自然数a、b、c中恰有一个为偶数”时正确的反设为()Aa、b、c都是奇数Ba、b、c都是偶数Ca、b、c中至少有两个偶数Da、b、c中至少有两个偶数或都是奇数解析：选D三个自然数的奇偶情况有“三偶、三奇、二偶一奇、二奇一偶”4种，而自然数a、b、c中恰有一个为偶数包含“二奇一偶”的情况，故反面的情况有3种，只有D项符合2设x>0，y>0，A，B，则A、B的大小关系为()AAB BABCAB DA>B解析：选BB>A，即A<B.3设a，b，c(，0)，则三数a，b，c的值()A都不大于2B都不小于2C至少有一个不大于2 D至少有一个不小于2解析：选C假设都大于2，则abc6，a，b，c0，a2，b2，c2，abc6，这与假设矛盾，则选C.4对“a、b、c是不全相等的正数”，给出下列判断：(ab)2(bc)2(ca)20；a>b与a<b及ac中至少有一个成立；ac，bc，ab不能同时成立其中判断正确的个数为()A0个B1个C2个D3个解析：选C对，若(ab)2(bc)2(ca)20，这时abc，不符合题意，故(ab)2(bc)2(ca)20符合题意，对对，当a>b与a<b及ac都不成立时，有abc，不符合题意，故对对，显然不正确二、填空题5M与1的大小关系为_解析：M1.即M1.答案：M16用反证法证明“已知平面上有n(n3)个点，其中任意两点的距离最大为d，距离为d的两点间的线段称为这组点的直径，求证直径的数目最多为n条”时，假设的内容为_解析：对“最多”的否定应当是“最少”，二者之间应该是完全对应的，所以本题中的假设应为“直径的数目最少为n1条”答案：直径的数目最少为n1条7A1与(nN)的大小关系是_解析：An项 .答案：A8已知a>2，则loga(a1)loga(a1)_1(填“”、“”或“”)解析：a>2，loga(a1)0，loga(a1)>0，又loga(a1)loga(a1)，而loga(a21)logaa21，loga(a1)loga(a1)1.答案：<三、解答题9已知0<x<2，0<y<2，0<z<2，求证：x(2y)，y(2z)，z(2x)不都大于1.证明：法一：假设x(2y)>1且y(2z)>1且z(2x)>1均成立，则三式相乘有：xyz(2x)(2y)(2z)>1.由于0<x<2，0x(2x)x22x(x1)211.同理：0y(2y)1，且0z(2z)1，三式相乘得：0<xyz(2x)(2y)(2z)1与矛盾，故假设不成立x(2y)，y(2z)，z(2x)不都大于1.法二：假设x(2y)1且y(2z)1且z(2x)1.3.又3，与矛盾，故假设不成立，原题设结论成立10已知实数x、y、z不全为零，求证： >(xyz)证明： |x|x.同理可得：y，z.由于x、y、z不全为零，故上述三式中至少有一式取不到等号，所以三式累加得：>(xyz)11已知数列an满足a12，an122·an(nN)，(1)求a2，a3并求数列an的通项公式；(2)设cn，求证：c1c2c3cn.解：(1)a12，an12·an(nN)，a22·a116，a32·a272.又2·，nN，为等比数列·2n12n，ann2·2n.(2)证明：cn，c1c2c3cn<···，所以结论成立