2019高中数学第1章导数及其应用学案(打包7套)新人教B版.zip
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1.4.1曲边梯形面积与定积分1了解曲边梯形的面积,掌握“分割、近似代替、求和、取极限”的数学思想2掌握定积分的概念,会用定义求定积分,理解定积分的几何意义,理解定积分的性质1一般函数定积分的定义设函数yf(x)定义在区间a,b上,用分点ax0x1x2xn1xnb把区间a,b分为n个小区间,其长度依次为xi_,i0,1,2,n1.记为这些小区间长度的最大者,当趋近于0时,所有的小区间长度都趋近于0.在每个小区间内任取一点i,作和式Inf(i)xi.当0时,如果和式的极限存在,我们把_叫做_的定积分,记作f(x)dx,即f(x)dxf(i)xi.其中f(x)叫做_,a叫_,b叫_,f(x)dx叫做被积式此时称函数f(x)在区间a,b上_(1)定积分f(x)dx是一个常数(2)用定义求定积分的一般步骤:分割:n等分区间a,b;近似代替:在每个小区间任取i.求和:f(i);取极限:f(x)dxf(i).【做一做11】“求和式极限”所得的面积(或路程)是_值(填“近似”或“精确”);定积分f(x)dx是_(填“函数”或“常数”)【做一做12】利用定积分定义计算(1x)dx_.2曲边梯形的面积根据定积分的定义,曲边梯形的面积S等于_的定积分,即_【做一做21】定积分cdx(c为常数)的几何意义是_【做一做22】由ysin x,x0,x,y0所围成图形的面积写成定积分的形式是_1定积分有哪些性质?剖析:(1)定积分有三条主要的性质:kf(x)dxkf(x)dx(k为常数);f(x)g(x)dxf(x)dxg(x)dx;f(x)dxf(x)dxf(x)dx(acb)(2)性质称为定积分的线性性质,性质称为定积分对积分区间的可加性(3)性质的等式左边是一个定积分,等式右边是常数与一个定积分的乘积(4)性质对于有限个函数(两个以上)也成立性质对于把区间a,b分成有限个(两个以上)区间也成立(5)对于定积分的性质可以用图直观地表示出来,即S曲边梯形AMNB=S曲边梯形AMPC+S曲边梯形CPNB.(6)定义中区间的分法和xi的取法都是任意的(7)在定积分的定义中,f(x)dx限定下限小于上限,即ab.为了方便计算,人们把定积分的概念扩大,使下限不一定小于上限,并规定:f(x)dxf(x)dx,f(x)dx0.2怎样计算曲边梯形的面积?剖析:(1)由三条直线xa,xb(ab),x轴,一条曲线yf(x)(f(x)0)围成的曲边梯形的面积Sf(x)dx(如图)(2)由三条直线xa,xb(ab),x轴,一条曲线yf(x)(f(x)0)围成的曲边梯形的面积f(x)dx(如图)(3)由两条直线xa,xb(ab),两条曲线yf(x),yg(x)(f(x)g(x)围成的平面图形的面积Sf(x)g(x)dx(如图)(4)由三条直线xa,xb(ab),x轴,一条曲线yf(x)(如图)围成的曲边梯形的面积Sf(x)dxf(x)dx.题型一 利用定义求定积分【例题1】已知一物体做自由落体运动,运动速度vgt,用定积分的定义求在时间区间0,t内,物体下落的距离s.分析:利用定义求定积分可分为四步:分割、近似代替、求和、取极限,按步骤求解即可反思:(1)根据定义求定积分的步骤:分割;近似代替;求和;取极限(2)物体作变速直线运动所经过的路程s等于其速度函数vv(t)在时间区间0,t上的定积分,即.题型二 定积分的几何意义【例题2】用定积分的几何意义求dx(ba)的值分析:明确定积分的几何意义曲边梯形的面积,结合曲线特点求解反思:f(x)dx(f(x)0)表示曲边梯形的面积,而半圆可看作是特殊的曲边梯形(有两边缩为点),求出面积,从而得出定积分的值题型三 易错辨析易错点:用定积分表示曲边梯形的面积时,不注意曲边梯形的位置,从而导致错误,当对应的曲边梯形位于x轴上方时,定积分的值为正值,且等于曲边梯形的面积,当对应的曲边梯形位于x轴下方时,定积分的值为负值,且等于曲边梯形面积的相反数【例题3】用定积分表示由曲线ysin x与直线x,x0,y0所围成的图形的面积错解:所求面积为.1设函数f(x)定义在区间a,b上,用分点ax0x1xi1xixnb,把区间a,b等分成n个小区间,在每个小区间上任取一点i(i0,1,2,n1),作和式Snf(i)x(其中x为小区间的长度),那么和式Sn的大小()A与f(x)和区间a,b有关,与分点的个数n和i的取法无关B与f(x)、区间a,b和分点个数n有关,与i的取法无关C与f(x)、区间a,b和i的取法有关,与分点的个数n无关D与f(x)、区间a,b、分点的个数n、i的取法都有关2设连续函数f(x)0,则当ab时,定积分f(x)dx的符号()A一定是正的B一定是负的C当0ab时是正的,当ab0时是负的D以上结论都不对3下列式子中不成立的是()Asin xdxcos xdxBsin xdxcos xdxCsin xdxcos xdxD|sin x|dx|cos x|dx4直线x0,y0,x2与曲线y()x所围成的图形的面积用定积分表示为_5若f(x)dx6,则f(i)_.答案:基础知识梳理1xi1xi和式In的极限函数f(x)在区间a,b上被积函数积分下限积分上限可积【做一做11】精确常数【做一做12】因为f(x)1x在区间1,2上连续,将区间1,2分成n等份,则每个区间的长度为xi,在xi1,xi上取ixi11(i1,2,3,n),于是f(i)f(xi1)112,从而f(i)xi(2)()n012(n1)22,所以(1x)dx,2.2其曲边所对应的函数yf(x)在区间a,b上Sf(x)dx【做一做21】表示由直线xa,xb(ab),y0和yc所围成的矩形的面积【做一做22】sin xdx典型例题领悟【例题1】解:(1)分割把区间0,t等分成n个小区间(i1,2,n),每个小区间所表示的时间tt.在各个小区间物体下落的距离依次记为s1,s2,sn.(2)近似代替在每个小区间上以匀速运动的路程近似代替变速运动的路程在小区间上任取一时刻i(i1,2,n),为计算方便,取i为小区间的左端点,用时刻i的速度v(i)gt近似代替第i个小区间上的速度,因此在每个小区间上物体在t内所经过的距离,可以近似地表示为sigt(i1,2,n)(3)求和Sn012(n1)gt2.从而得到s的近似值,即sSngt2.(4)取极限当所分时间区间愈短,即t愈小时,Sn的值就愈接近s,因此,当n,即t0时,Sn的极限,就是所求的做自由落体运动的物体在时间区间0,t内所经过的距离sSngt2gt2.【例题2】解:令yf(x),则有2y22(y0)表示以为圆心,半径为的上半圆,而这个上半圆的面积为Sr22,由定积分的几何意义可知dx.【例题3】错因分析:图形在x轴下方,故其面积应等于定积分的相反数正解:图形面积为sin xdx.随堂练习巩固1D2A3C分别作出被积函数f(x)sin x和g(x)cos x在各区间上的图象,由定积分的几何意义,易得只有C选项不成立4()xdx,5661.1导数1理解函数在某点的平均变化率的概念,并会求此平均变化率2理解运动物体在某时刻的瞬时变化率(瞬时速度)3理解导数的几何意义,并会求曲线在某点处的切线方程1函数的平均变化率一般地,已知函数yf(x),x0,x1是其定义域内不同的两点,记xx1x0,yy1y0f(x1)f(x0)f(x0x)f(x0),则当x0时,商_称作函数yf(x)在区间x0,x0x(或x0x,x0)的平均变化率x,y的值可正、可负,但x的值不能为0,y的值可以为0.若函数f(x)为常数函数,则y0.【做一做11】已知函数yf(x)x21,则在x2,x0.1时,y的值为()A0.40 B0.41C0.43 D0.44【做一做12】在x1附近,取x0.3,在四个函数:yx;yx2;yx3;y中,平均变化率最大的是()A B C D2瞬时变化率与导数(1)设函数yf(x)在x0及其附近有定义,当自变量在xx0附近改变量为x时,函数值相应地改变yf(x0x)f(x0)如果当x趋近于0时,平均变化率趋近于一个常数l,那么常数l称为函数f(x)在点x0的_(2)“当x趋近于0时,趋近于常数l”可以用符号“”记作“当x0时,l”,或记作“l”,符号“”读作“趋近于”函数yf(x)在点x0的瞬时变化率,通常称为f(x)在点x0处的_,并记作f(x0)这时又称f(x)在点x0处是可导的于是上述变化过程,可以记作“当x0时,_”或“_”(3)如果f(x)在开区间(a,b)内每一点x都是可导的,则称f(x)在区间(a,b)_这样,对开区间(a,b)内每个值x,都对应一个确定的导数f(x)于是,在区间(a,b)内,f(x)构成一个新的函数,我们把这个函数称为函数yf(x)的_,记为f(x)或y(或yx)导函数通常简称为_(1)x是自变量x在x0处的改变量,x0,而y是函数值的改变量,可以是零(2)对于导函数的定义的几种形式表示如下:y;y;y;y.【做一做21】若质点按规律s3t2运动,则在t3时的瞬时速度为()A6 B18 C54 D81【做一做22】已知函数f(x)在xx0处可导,则()A与x,x0都有关B仅与x0有关而与x无关C仅与x有关而与x0无关D与x0,x均无关3导数的几何意义设函数y=f(x)的图象如图所示AB是过点A(x0,f(x0)与点B(x0+x,f(x0+x)的一条割线由此割线的斜率是,可知曲线割线的斜率就是函数的平均变化率当点B沿曲线趋近于点A时,割线AB绕点A转动,它的最终位置为直线AD,这条直线AD叫做此曲线在点A的切线于是,当x0时,割线AB的斜率趋近于在点A的切线AD的斜率,即切线AD的斜率由导数意义可知,曲线yf(x)在点(x0,f(x0)的切线的斜率等于_【做一做31】曲线y3x22在点(0,2)处的切线的斜率为()A6 B6 C0 D不存在【做一做32】下面说法正确的是()A若f(x0)不存在,则曲线yf(x)在点(x0,f(x0)处没有切线B若曲线yf(x)在点(x0,f(x0)处有切线,则f(x0)必存在C若f(x0)不存在,则曲线yf(x)在点(x0,f(x0)处的切线斜率不存在D若曲线yf(x)在点(x0,f(x0)处没有切线,则f(x0)有可能存在1“函数f(x)在点xx0处的导数”“导函数”“导数”三者有何关系?剖析:(1)函数在点xx0处的导数f(x0)是一个数值,不是变量(2)导函数也简称导数,所以(3)函数yf(x)在点xx0处的导数f(x0)就是导函数f(x)在点xx0处的函数值所以求函数在一点处的导数,一般是先求出函数的导函数,再计算导函数在这点的函数值2曲线的切线与曲线只有一个公共点吗?剖析:回答是否定的这就是我们为什么要用割线的极值位置来定义切线,而不说与曲线只有一个公共点的直线叫切线,其理由如下:在初中我们学习过圆的切线:直线和圆有唯一公共点时,叫做直线和圆相切,这时直线叫做圆的切线,唯一的公共点叫做切点圆是一种特殊的曲线,能不能将圆的切线的定义推广为一般曲线的切线的定义:直线和曲线有唯一公共点时,该直线叫做曲线在该点的切线,显然这种推广是不妥当的观察图中的曲线C,直线l1虽然与曲线C有唯一的公共点M,但我们不能说直线l1与曲线C相切;而直线l2尽管与曲线C有不止一个公共点,我们还是说直线l2是曲线C在点N处的切线因此,对于一般的曲线,必须重新寻求曲线切线的定义一般地,过曲线yf(x)上一点P(x0,y0)作曲线的割线PQ,当点Q沿着曲线无限趋近于点P时,若割线PQ趋近于某一确定的位置,则称这一确定位置的直线为曲线yf(x)在点P处的切线在这里,要注意,曲线yf(x)在点P处的切线:(1)与点P的位置有关;(2)要依据割线PQ是否存在极限位置来判定与求解如有极限,则在此点处有切线,且切线是唯一的;如不存在,则在此点处无切线题型一 求瞬时速度【例题1】已知物体的运动方程如下:求此物体在t1和t3时的瞬时速度(位移的单位:m,时间的单位:s)分析:先求平均变化率,即平均速度,再取极限(注意定义域的限制)反思:质点运动的瞬时速度不同于质点在某段时间内运动的平均速度题型二 导数定义的应用【例题2】过曲线yf(x)x3上两点P(1,1)和Q(1x,1y)作曲线的割线,求出当x0.1时割线的斜率分析:割线PQ的斜率即为函数f(x)在x1到x1x之间的平均变化率.反思:一般地,设曲线C是函数yf(x)的图象,P(x0,y0)是曲线上的定点,点Q(x0x,y0y)是C上与点P邻近的点,有y0f(x0),y0yf(x0x),yf(x0x)f(x0),割线PQ的斜率为tan ,曲线C在点P处的斜率为tan .题型三 求切线方程【例题3】已知曲线C:yx3.(1)求曲线C上横坐标为1的点处的切线方程;(2)第(1)问中的切线与曲线C是否还有其他公共点?分析:求切线方程可先求出切线的斜率,再应用点斜式写出切线方程;判断直线与曲线的交点个数,可联立方程组求其解的个数反思:(1)求曲线的切线的斜率的步骤:求函数值的增量yf(x0x)f(x0);求割线的斜率tan ;求极限;若极限存在,则切线的斜率.(2)由导数的几何意义得出求切线方程的步骤:先求出函数yf(x)在点x0处的导数f(x0);根据点斜式得切线方程为yy0f(x0)(xx0)题型四 易错辨析易错点:在求曲线过某点的切线方程时,不注意判断该点是否在曲线上,而直接把点当成在曲线上求切线方程,导致方程求错,避免错误的方法是看到此类题目先判断该点是否在曲线上,然后根据不同情况求解【例题4】试求过点M(1,1)且与曲线yx31相切的直线方程错解:3xx3x2(x)2,3x2,因此y3x2,所以切线在x1处的斜率k3.故切线方程为y13(x1),即3xy20.1一质点运动的方程为s53t2,则在时间1,1t内的平均速度为()A3t6 B3t6C3t6 D3t62设函数f(x)ax32,若f(1)3,则a()A1 B C1 D3设f(x)为可导函数且满足,则过曲线yf(x)上的点(1,f(1)的切线的斜率为()A2 B1C1 D24一木块沿某一斜面自由下滑,测得下滑的水平距离s(m)与时间t(s)之间的函数关系为st2,则t2 s时,此木块在水平方向的瞬时速度为_ m/s.5已知函数f(x)x,则它与x轴交点处的切线方程为_答案:基础知识梳理【做一做11】Bx2,x0.1,yf(xx)f(x)f(2.1)f(2)0.41.【做一做12】B根据平均变化率的定义可求得四个函数的平均变化率依次为1,2.3,3.99,.2(1)瞬时变化率(2)导数f(x0)f(x0)(3)可导导函数导数【做一做21】B瞬时速度v(3t18)18.【做一做22】B由导数的定义,对给定的可导函数f(x)有f(x0)显然,f(x0)仅与x0有关而与x无关3f(x0)【做一做31】Cf(0)(3x)0.【做一做32】C函数f(x)在一点xx0处的导数f(x0)的几何意义是yf(x)在这一点处切线的斜率,但f(x0)不存在,并不能说明这一点处不存在切线,而是说明在这一点处的切线的斜率不存在,即若在这一点处的切线的斜率不存在,曲线在该点处也可能有切线所以函数f(x)在某点可导,是相应曲线上过该点存在切线的充分不必要条件典型例题领悟【例题1】解:当t1时,s3t21,v6(m/s)当t3时,s23(t3)2,v3t0 (m/s)物体在t1和t3时的瞬时速度分别为6 m/s和0 m/s.【例题2】解:yf(1x)f(1)(1x)313x3(x)2(x)3.割线PQ的斜率(x)23x3.当x0.1时,设割线PQ的斜率为k,则k(0.1)230.133.31.【例题3】解:(1)将x1代入曲线C的方程,得y1,所以切点为P(1,1)因为y3x23xx(x)23x2,所以.所以过点P的切线方程为y13(x1),即3xy20.(2)由可得(x1)2(x2)0,解得x1x21,x32.从而求得公共点为P(1,1)或P(2,8),说明切线与曲线C有除切点外的公共点【例题4】错因分析:错解中将点M(1,1)当成了曲线yx31上的点因此在求过某点的切线时,一定要先判断点是否在曲线上,再根据不同情况求解正解:由错解可知y3x2,因为点M(1,1)不在曲线yx21上,所以设过点M(1,1)的切线与yx31相切于点P(x0,x1),依据导数的几何意义,函数在点P处的切线的斜率为k3x ,过点M(1,1)的切线的斜率k,由得,3x,解之得x00或x0,所以k0或k,因此曲线yx31过点M(1,1)的切线方程有两条,分别为y1(x1)和y1,即27x4y230和y1.随堂练习巩固1D3t6.2Cf(1)a(x)23ax3a3a3,a1.3Bf(1)1.4t2 s时瞬时速度为(4t).52xy20和2xy20令x0,得x1,曲线与x轴的交点坐标为(1,0),又f(x)1,f(1)2,所求切线方程为y2(x1),即2xy20.71.2导数的运算1掌握基本初等函数的导数公式,并能利用这些公式求基本初等函数的导数2熟练运用导数的运算法则3正确地对复合函数进行求导,合理地选择中间变量,认清是哪个变量对哪个变量求导数1基本初等函数的导数公式表yf(x)yf(x)ycy0yxn(nN)y_,n为正整数yx(x0,0且Q)yx1,为有理数yax(a0,a1)y_ylogax(a0,a1,x0)y_ysin xy_ycos xy_(1)求导公式在以后的求导数中可直接运用,不必利用导数的定义去求(2)幂函数的求导规律:求导幂减1,原幂作系数【做一做11】给出下列结论:若y,则y;若y,则y;若y,则y2x3;若yf(x)3x,则f(1)3;若ycos x,则ysin x;若ysin x,则ycos x其中正确的个数是()A3 B4 C5 D6【做一做12】下列结论中正确的是()A(logax) B(logax)C(5x)5x D(5x)5xln 52导数的四则运算法则(1)函数和(或差)的求导法则:设f(x),g(x)是可导的,则(f(x)g(x)_,即两个函数的和(或差)的导数,等于这两个函数的_(2)函数积的求导法则:设f(x),g(x)是可导的,则f(x)g(x)_,即两个函数的积的导数等于第一个函数的导数乘上第二个函数,加上第一个函数乘上第二个函数的导数由上述法则立即可以得出Cf(x)Cf(x),即常数与函数之积的导数,等于常数乘以_(3)函数的商的求导法则:设f(x),g(x)是可导的,g(x)0,则_.(1)比较:f(x)g(x)f(x)g(x)f(x)g(x),注意差异,加以区分(2),且.(3)两函数的和、差、积、商的求导法则,称为可导函数四则运算的求导法则(4)若两个函数可导,则它们的和、差、积、商(商的分母不为零)必可导若两个函数不可导,则它们的和、差、积、商不一定不可导例如,设f(x)sin x,g(x)cos x,则f(x),g(x)在x0处均不可导,但它们的和f(x)g(x)sin xcos x在x0处可导【做一做2】下列求导运算正确的是()A1B(log2x)C(3x)3xlog3eD(x2cos x)2xsin x3复合函数的求导法则对于两个函数yf(u)和ug(x),如果通过变量u,y可以表示成x的函数,那么称这个函数为函数yf(u)和ug(x)的复合函数,记作yfg(x)如函数y(2x3)2是由yu2和u2x3复合而成的复合函数yfg(x)的导数和函数yf(u),ug(x)的导数间的关系为yxyuux.即y对x的导数等于y对u的导数与u对x的导数的乘积对于复合函数的求导应注意以下几点:(1)分清复合函数是由哪些基本函数复合而成的,适当选定中间变量(2)分步计算的每一步都要明确是对哪个变量进行求导的,而其中要特别注意的是中间变量的导数如(sin 2x)2cos 2x,而(sin 2x)cos 2x.(3)根据基本初等函数的导数公式及导数的运算法则,求出各函数的导数,并把中间变量转换成自变量的函数如求ysin的导数,设ysin u,u2x,则yxyuuxcos u22cos.(4)复合函数的求导熟练后,中间步骤可省略不写【做一做3】函数yln(2x3)的导数为_1如何看待导数公式与用定义法求导数之间的关系?剖析:导数的定义本身给出了求导数的最基本的方法,但由于导数是用极限定义的,因此求导数总是归结到求极限,这在运算上很麻烦,有时甚至很困难,利用导数公式就可以比较简捷地求出函数的导数2导数公式表中y表示什么?剖析:y是f(x)的另一种写法,两者都表示函数yf(x)的导数3如何理解yC(C是常数),y0;yx,y1?剖析:因为yC的图象是平行于x轴的直线,其上任一点的切线即为本身,所以切线的斜率都是0;因为yx的图象是斜率为1的直线,其上任一点的切线即为直线本身,所以切线的斜率为1.题型一 利用公式求函数的导数【例题1】求下列函数的导数:(1)yx;(2)y;(3)y;(4)ylog2x2log2x;(5)y2sin(12cos2)分析:熟练掌握常用函数的求导公式运用有关的性质或公式将问题转化为基本初等函数后再求导数反思:通过恒等变形把函数先化为基本初等函数,再应用公式求导题型二 利用四则运算法则求导【例题2】求下列函数的导数:(1)yx43x25x6;(2)yxtan x;(3)y(x1)(x2)(x3);(4)y.分析:仔细观察和分析各函数的结构规律,紧扣求导运算法则,联系基本函数求导公式,不具备求导法则条件的可适当进行恒等变形,然后进行求导反思:对于函数求导问题,一般要遵循先化简再求导的基本原则求导时,不但要重视求导法则的应用,而且要特别注意求导法则对求导的制约作用在实施化简时,必须注意变换的等价性,避免不必要的运算错误题型三 求复合函数的导数【例题3】求下列函数的导数:(1)y(2x1)n(xN);(2)y5;(3)ysin3(4x3);(4)yxcos x2.分析:选择中间变量是复合函数求导的关键必须正确分析复合函数是由哪些基本函数经过怎样的顺序复合而成的,分清其间的复合关系要善于把一部分量、式子暂时当作一个整体,这个暂时的整体就是中间变量求导时需要记住中间变量,注意逐层求导,不遗漏,其中还应特别注意中间变量的关系,求导后,要把中间变量转换成自变量的函数反思:对于复合函数的求导,要注意分析问题的具体特征,灵活恰当地选择中间变量易犯错误的地方是混淆变量,或忘记中间变量对自变量求导复合函数的求导法则,通常称为链条法则,因为它像链条一样,必须一环一环套下去,而不能丢掉其中的一环题型四 易错辨析易错点:常见函数的导数公式、导数的四则运算法则、复合函数的求导法则等,记忆不牢或不能够灵活运用,所以在求导时容易出错牢记公式、灵活应用法则是避免求导出错的关键【例题4】求函数y(exex)的导数错解:y(exex)(ex)(ex)(exex)1下列各组函数中导数相同的是()Af(x)1与f(x)xBf(x)sin x与f(x)cos xCf(x)1cos x与f(x)sin xDf(x)x1与f(x)x12已知函数f(x)ax33x22,若f(1)4,则a的值为()A B C D3函数y的导数是()A Bsin xC D4设y(a是常数),则y等于()A BC D5已知抛物线yax2bx5(a0),在点(2,1)处的切线方程为y3x7,则a_,b_.答案:基础知识梳理1nxn1axln acos xsin x【做一做11】B由求导公式可知,正确【做一做12】D2(1)f(x)g(x)导数和(或差)(2)f(x)g(x)f(x)g(x)函数的导数(3)【做一做2】B由求导公式知,B选项正确.x(x1)1x21.(3x)3xln 3,(x2cos x)(x2)cos xx2(cos x)2xcos xx2sin x.【做一做3】y函数yln(2x3)可看作函数yln u和u2x3的复合函数,于是yxyuux(ln u)(2x3)2.典型例题领悟【例题1】解:(1)y(x)x1.(2)y(x4)4x414x5.(3)y()x1x.(4)ylog2x2log2xlog2x,y(log2x).(5)y2sin2sin2sincossin x,ycos x.【例题2】解:(1)y(x43x25x6)(x4)3(x2)5x64x36x5.(2)y(xtan x).(3)方法1:y(x1)(x2)(x3)(x1)(x2)(x3)(x1)(x2)(x1)(x2)(x3)(x1)(x2)(x2x1)(x3)(x1)(x2)(2x3)(x3)(x1)(x2)3x212x11.方法2:yx36x211x6,y3x212x11.(4)方法1:y.方法2:y1,y.【例题3】解:(1)y(2x1)nn(2x1)n1(2x1)2n(2x1)n1.(2)y54.(3)ysin3(4x3)3sin2(4x3)sin(4x3)3sin2(4x3)cos(4x3)(4x3)12sin2(4x3)cos(4x3)(4)y(xcos x2)xcos x2(cos x2)xcos x22x2sin x2.【例题4】错因分析:yex的求导错误,yex由yeu与ux复合而成,因此其导数应按复合函数的求导法则进行正解:令yeu,ux,则yxyuux,所以(ex)(eu)(x)ex(1)ex,所以y(ex)(ex)(exex)随堂练习巩固1D2Bf(x)3ax26x,f(1)3a64,a.3Cy.4D由x是自变量,a是常数,可知()0,所以y()()(1x)(1x)(1x).539y2axb,y4ab,方程y1(4ab)(x2)与方程y3x7相同,即即4ab3,又点(2,1)在yax2bx5上,4a2b51.即4a2b6.由得61.3.1利用导数判断函数的单调性1理解可导函数单调性与其导数的关系,会用导数确定函数的单调性2通过比较体会用导数求函数单调区间的优越性用函数的导数判定函数单调性的法则1如果在(a,b)内,f(x)0,则f(x)在此区间是_,(a,b)为f(x)的单调增区间;2如果在(a,b)内,f(x)0,则f(x)在此区间是_,(a,b)为f(x)的单调减区间(1)在(a,b)内,f(x)0(0)只是f(x)在此区间是增(减)函数的充分条件而非必要条件(2)函数f(x)在(a,b)内是增(减)函数的充要条件是在(a,b)内f(x)0(0),并且f(x)0在区间(a,b)上仅有有限个点使之成立【做一做11】已知函数f(x)1xsin x,x(0,2),则函数f(x)()A在(0,2)上是增函数B在(0,2)上是减函数C在(0,)上是增函数,在(,2)上是减函数D在(0,)上是减函数,在(,2)上是增函数【做一做12】设f(x)是函数f(x)的导数,f(x)的图象如图所示,则f(x)的图象最有可能是()1函数的单调性与其导数有何关系?剖析:(1)求函数f(x)的单调增(或减)区间,只需求出其导函数f(x)0(或f(x)0)的区间(2)若可导函数f(x)在(a,b)内是增函数(或减函数),则可以得出函数f(x)在(a,b)内的导函数f(x)0(或f(x)0)2利用导数判断函数单调性及单调区间应注意什么?剖析:(1)在利用导数讨论函数的单调区间时,首先要确定函数的定义域,解决问题时只能在定义域内,通过讨论导数的符号,来判断函数的单调区间(2)在对函数划分单调区间时,要注意定义域内的不连续点和不可导点(3)如果一个函数具有相同单调性的单调区间不止一个,这些单调区间不能用“”连接,而只能用“逗号”或“和”字隔开题型一 求函数的单调区间【例题1】求下列函数的单调区间:(1)f(x)xx3;(2)f(x)x(a0)分析:先求f(x),然后解不等式f(x)0得单调增区间,f(x)0得单调减区间反思:运用导数讨论函数的单调性需注意如下几点:(1)确定函数的定义域,解决问题时,只能在函数的定义域内,通过讨论函数导数的符号,来判断函数的单调区间;(2)在对函数划分单调区间时,要注意定义域内的不连续点和不可导点;(3)在某一区间内f(x)0(或f(x)0)是函数f(x)在该区间上为增(或减)函数的充分不必要条件题型二 根据函数的单调性求参数的取值范围【例题2】已知函数f(x)2ax,x(0,1,若f(x)在x(0,1上是增函数,求a的取值范围分析:函数f(x)在(0,1上是增函数,则f(x)0在(0,1上恒成立反思:函数f(x)在区间M上是增(减)函数,即f(x)0(0)在xM上恒成立题型三 证明不等式【例题3】已知x1,求证:xln(1x)分析:构造函数f(x)xln(1x),只要证明在x(1,)上,f(x)0恒成立即可反思:利用可导函数的单调性证明不等式,是不等式证明的一种重要方法,其关键在于构造一个合理的可导函数此法的一般解题步骤为:令F(x)f(x)g(x),xa,其中F(a)f(a)g(a)0,从而将要证明的不等式“当xa时,f(x)g(x)”转化为证明“当xa时,F(x)F(a)”题型四 易错辨析易错点:应用导数求函数的单调区间时,往往因忘记定义域的限制作用从而导致求解结果错误,因此在求函数的单调区间时需先求定义域【例题4】求函数f(x)2x2ln x的单调减区间错解:f(x)4x,令0,得x或0x,所以函数f(x)的单调减区间为,.1在区间(a,b)内f(x)0是f(x)在(a,b)内为增函数的()A充分不必要条件 B必要不充分条件C充要条件 D既不充分也不必要条件2函数yxcos xsin x在下面哪个区间内是增函数()A B(,2)C D(2,3)3若f(x)ax3bx2cxd为增函数,则一定有()Ab24ac0 Bb23ac0Cb24ac0 Db23ac04如果函数f(x)x3bx(b为常数)在区间(0,1)上是增函数,则b的取值范围是_5函数yx3x25的单调增区间为_,单调减区间为_答案:基础知识梳理1增函数2减函数【做一做11】Af(x)1cos x,当x(0,2)时,f(x)0恒成立,故f(x)在(0,2)上是增函数【做一做12】C由f(x)的图象知,x(,0)或x(2,)时,f(x)0,故f(x)的增区间为(,0),(2,),同理可得f(x)的减区间为(0,2)典型例题领悟【例题1】解:(1)f(x)13x2.令13x20,解得x.因此函数f(x)的单调增区间为.令13x20,解得x或x.因此函数f(x)的单调减区间为和.(2)由axx20得0xa,即函数的定义域为0,a又f(x)x(axx2)(a2x),令f(x)0,得0x;令f(x)0,得x0或xa,又x0,a,函数f(x)的单调增区间为,单调减区间为.【例题2】解:由题意,得f(x)2a.f(x)在(0,1内是增函数,f(x)0在x(0,1上恒成立即a在x(0,1上恒成立令g(x),g(x)在(0,1内是增函数,g(x)maxg(1)1,a1,故a的取值范围是1,)【例题3】证明:设f(x)xln(1x)(x1)f(x)1,(x1),f(x)0.f(x)在(1,)上是增函数又f(1)1ln 21ln e0,即f(1)0,f(x)0,即xln(1x)(x1)【例题4】错因分析:错解未注意函数的定义域正解:函数f(x)的定义域为(0,),又f(x),令0,得x或0x,又x0,f(x)的单调减区间为.随堂练习巩固1A如f(x)x3在R上是增函数,但f(0)0.2Bycos xxsin xcos xxsin x,当x(,2)时,xsin x0,故函数在(,2)上为增函数3Bf(x)3ax22bxc0恒成立,所以a0,(2b)212ac0,即b23ac0.43,)f(x)3x2b0(0x1)恒成立,b3x2(0x1)恒成立,故b3.5(0,2)(,0),(2,)yx22x,令y0,得0x2,令y0,得x0或x2,故函数yx3x25的单调增区间为(0,2),单调减区间为(,0),(2,)41.3.2利用导数研究函数的极值1理解函数极值、极值点的有关概念,掌握利用导数求函数极值的方法2注意结合函数的图象理解用导数求函数极值(最值)的方法,逐步养成用数形结合的思想方法去分析问题和解决问题的思维习惯1函数的极值与最值(1)已知函数yf(x),设x0是定义域内任一点,如果对x0附近的所有点x,都有_f(x0),则称函数f(x)在点x0处取极大值,记作y极大f(x0),并把x0称为函数f(x)的一个_如果在x0附近都有_,则称函数f(x)在点x0处取极小值,记作y极小f(x0),并把x0称为函数f(x)的一个_(2)极大值与极小值统称为_,极大值点与极小值点统称为_(3)函数f(x)的最大(小)值是函数在指定区间上的最大(小)的值(1)极值是一个局部概念由定义,极值只是某个点的函数值与它附近点的函数值比较是最大或最小,并不意味着它在函数的整个定义域内最大或最小(2)函数的极值不是唯一的,即一个函数在某区间上或定义域内极大值或极小值可以不止一个(3)极大值与极小值之间无确定的大小关系,即一个函数的极大值未必大于极小值如图所示,x1是极大值点,x4是极小值点,而f(x4)f(x1)(4)函数的极值点一定出现在区间的内部,区间的端点不能成为极值点而使函数取得最大值、最小值的点可能在区间的内部,也可能是区间的端点【做一做11】下列说法中正确的是()A若f(x)f(x0),则f(x0)为f(x)的极小值B若f(x)f(x0),则f(x0)为f(x)的极大值C若f(x0)为f(x)的极大值,则f(x)f(x0)D以上都不对【做一做12】若函数在闭区间上有唯一的极大值和极小值,则()A极大值一定是最大值,且极小值一定是最小值B极大值一定是最大值,或极小值一定是最小值C极大值不一定是最大值,极小值也不一定是最小值D极大值必大于极小值2求函数yf(x)极值的步骤第1步:求_;第2步:求方程_的所有实数根;第3步:考察在每个根x0附近,从左到右,导函数f(x)的符号如何变化如果f(x)的符号由正变负,则f(x0)是_;如果由负变正,则f(x0)是_如果在f(x)0的根xx0的左、右侧,f(x)的符号不变,则f(x0)不是极值可导函数的极值点必须是导数为零的点,但导数为零的点不一定是极值点,如f(x)x3在x0处导数f(0)0,但x0不是它的极值点,即可导函数在点x0处的导数f(x0)0是该函数在x0处取得极值的必要不充分条件【做一做21】函数yx2x1的极小值是()A1 B C D不存在【做一做22】若函数y2x33x2a的极大值是6,则a_.3求函数yf(x)在a,b上的最大(小)值的步骤第1步:求f(x)在开区间(a,b)内所有使f(x)0的点第2步:计算函数f(x)在区间(a,b)内使f(x)0的所有点和端点的_,其中最大的一个为最大值,最小的一个为最小值利用导数法求最值,实质是比较某些特殊点的函数值来得到最值因此,我们可以在导数法求最值的基础上进行变通,令f(x)0得到方程的根x1,x2,直接求得函数值f(x1),f(x2),然后再与端点的函数值比较就可以了,省略了判断极值的过程当然导数法与函数的单调性结合,也可以求最值【做一做3】函数f(x)x3x2x在区间2,1上的最大值为_,最小值为_函数的极值与最值有何关系?剖析:如果函数在某些点处不可导,也需要考虑这些点是否是极值点、函数的最大值和最小值点观察下图中一个定义在区间a,b上的函数f(x)的图象图中f(x1)与f(x3)是极小值,f(x2)是极大值函数f(x)在a,b上的最大值是f(b),最小值是f(x3)一般地,在区间a,b上如果函数f(x)的图象是一条连续不间断的曲线,那么该函数在a,b上必有最大值与最小值注意:(1)在区间(a,b)内函数f(x)的图象是一条连续不间断的曲线,则该函数不一定有最大值与最小值,如函数f(x)在(0,)内连续,但没有最大值与最小值(2)函数的最值是比较整个定义域内的函数值得出的;函数的极值是比较极值点附近的函数值得出的(3)函数f(x)在区间a,b上的图象是一条连续不间断的曲线,是f(x)在区间a,b上有最大值与最小值的充分而不必要条件(4)函数在其定义域上的最大值、最小值最多各有一个,而函数的极值可能不止一个,也可能一个也没有题型一 求函数的极值【例题1】求下列各函数的极值:(1)f(x)x2ex;(2)y.分析:按照求极值的方法,首先从方程f(x)0入手,求出函数f(x)在定义域内所有可解的极值点,然后按极值的定义判断并求值反思:函数的极值研究是导数应用的关键知识点,可加深对函数单调性与其导数关系的理解,yf(x)的导数存在时,f(x0)0是yf(x)在xx0处有极值的必要条件,只有再加上x0两侧附近的导数的符号相反,才能断定yf(x)在xx0处取得极值题型二 求函数在区间a,b上的最值【例题2】已知函数f(x)x,求函数f(x)的最大值分析:求出f(x)的极值及定义域区间端点处的函数值,比较得到最大值反思:如果在区间a,b上函数yf(x)的图象是一条连续不断的曲线,那么它必有最大值和最小值如果函数yf(x)在区间(a,b)内可导,求f(x)在区间a,b上的最值可简化过程,即直接将极值点的函数值与端点的函数值比较,即可判定最大(或最小)的函数值,就是最大(或最小)值题型三 由函数的最值求参数的值【例题3】已知函数f(x)ax36ax2b,问是否存在实数a,b使f(x)在区间1,2上取得最大值3,最小值29,若存在,求出a,b的值;若不存在,请说明理由分析:利用求最值的方法确定a,b的值,注意对a的讨论反思:此类题目属于逆向思维题,但仍可根据求函数最值的步骤来求解,借助于待定系数法求其参数值题型四 易错辨析易错点:对于可导函数,极值点处的导数为0,但导数为0的点不一定是极值点,因此已知函数的极值点求某些参变量的值时,应验证所得结果是否符合题意【例题4】已知f(x)x33ax2bxa2在x1处有极值0,求常数a,b的值错解:因为f(x)在x1处有极值0,且f(x)3x26axb,所以即解得或综上所述,a1,b3或a2,b9.1下列结论中,正确的是()A导数为零的点一定是极值点B如果在x0附近的左侧f(x)0,右侧f(x)0,那么f(x0)是极大值C如果在x0附近的左侧f(x)0,右侧f(x)0,那么f(x0)是极小值D如果在x0附近的左侧f(x)0,右侧f(x)0,那么f(x0)是极大值2下列说法正确的是()A函数在其定义域内若有最值与极值,则其极大值便是最大值,极小值便是最小值B闭区间上图象连续不断的函数一定有最值,也一定有极值C若函数在其定义域上有最值,则一定有极值,反之,若有极值则一定有最值D若函数在给定区间上有最值,则最多有一个最大值,一个最小值;但若有极值,则可有多个极值甚至无穷多个3函数f(x)2x33x212x5在0,3上的最大值和最小值分别是()A5,15 B5,4C4,15 D5,164函数f(x)2x36x218x7的极大值为_,极小值为_5函数y2x36x2m(m为常数),在区间2,2上有最大值3,那么它在区间2,2上的最小值为_答案:基础知识梳理1(1)f(x)极大值点f(x)f(x0)极小值点(2)极值极值点【做一做11】D【做一做12】C2导数f(x)f(x)0极大值极小值【做一做21】B【做一做22】6y6x26x6x(x1),当x(,0)或x(1,)时,y0,原函数为增函数,当x(0,1)时,y0,原函数为减函数,故当x0时,y极大值a6.3函数值【做一做3】12f(x)3x22x1,令f(x)0,得x11,x2,又f(1)1,f(),f(2)2,f(1)1,故函数的最大值为1,最小值为2.典型例题领悟【例题1】解:(1)函数f(x)的定义域为R,f(x)2xexx2ex(x)x(2x)ex,令f(x)0,得x0或x2,当x变化时,f(x),f(x)的变化情况如下表:x(,0)0(0,2)2(2,)f(x)00f(x)极小值0极大值4e2从表中可以看出,当x0时,函数有极小值,且f(0)0;当x2时,函数有极大值,且f(2)4e2.(2)y,令y0,得x,当x在R上取值时,y,y的变化情况如下表:xy0y极大值当x时,函数取得极大值,且f().【例题2】解:f(x)1,令f(x)0,得x21ln x,显然x1是方程的解令g(x)x2ln x1,x(0,),则g(x)2x0,函数g(x)在(0,)上单调,x1是方程f(x)0的唯一解当0x1时,f(x)10,当x1时,f(x)0,函数f(x)在(0,1)内单调递增,在(1,)内单调递减,当x1时,函数有最大值f(x)maxf(1)1.【例题3】解:显然a0,f(x)3ax212ax3ax(x4),令f(x)0,解得x10,x24(舍去)(1)当a0,x变化时,f(x),f(x)的变化状态如下表:x1,000,2f(x)0f(x)极大值所以当x0时,f(x)取得最大值所以b3.又f(2)16a3,f(1)7a3,f(1)f(2),所以当x2时,f(x)取得最小值,所以16a329,即a2.(2)当a0,x变化时,f(x),f(x)的变化状态如下表:x1,000,2f(x)0f(x)极小值所以当x0时,f(x)取得最小值所以b29.又f(2)16a29,f(1)7a29,f(2)f(1),所以当x2时,f(x)取得最大值,所以16a293,即a2.综上所述,a2,b3或a2,b29.【例题4】错因分析:根据极值定义,函数先减后增为极小值,函数先增后减为极大值,错解中未验证x1两侧函数的单调性,故求错正解:因为f(x)在x1处有极值0,且f(x)3x26axb,所以即解得或当a1,b3时f(x)3x26x33(x1)20,所以f(x)在R上为增函数,无极值,故舍去,当a2,b9时,f(x)3x212x93(x1)(x3),当x(3,1)时,f(x)为减函数;当x1,)时,f(x)为增函数所以f(x)在x1处取得极小值,因此a2,b9.随堂练习巩固1B2D3A由f(x)6x26x126(x1)(x2)0,得x1或x2.因为f(0)5,f(2)15,f(3)4,所以f(2)f(3)f(0)所以f(x)maxf(0)5,f(x)minf(2)15.41747由f(x)6x212x186(x1)(x3)0,得x1或x3,当x(,1)时,f(x)0,当x(1,3)时,f(x)0,当x(3,)时,f(x)0,所以极大值为f(1)17,极小值为f(3)47.537y6x212x6x(x2),在(2,2)上,只有x0是f(x)的极值点,且为极大值点f(x)极大值f(0)m,又f(2)1624mm40,f(2)1624mm8.容易判断m40m8m,m3.f(x)minm4037.5
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