最新高等数学向量代数与空间解析几何总结

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1、一、主要内容一、主要内容（一）向量代数（一）向量代数（二）空间解析几何（二）空间解析几何空间解析几何与向量代数空间解析几何与向量代数习习 题题 课课向量的向量的线性运算线性运算向量的向量的表示法表示法向量积向量积数量积数量积向量的积向量的积向量概念向量概念（一）向量代数（一）向量代数1 1、向量的概念、向量的概念定义定义:既有大小又有方向的量称为向量既有大小又有方向的量称为向量.自由向量、自由向量、 相等向量、相等向量、 负向量、负向量、向径向径.重要概念重要概念:零向量、零向量、向量的模、向量的模、单位向量、单位向量、平行向量、平行向量、(1) 加法：加法：cba 2 2、向量的线性运算、向

2、量的线性运算dba ab(2) 减法：减法：cba dba (3) 向量与数的乘法：向量与数的乘法：设设 是一个数，向量是一个数，向量a与与 的乘积的乘积a 规定为规定为, 0)1( a 与与a同向，同向，|aa , 0)2( 0 a , 0)3( a 与与a反向，反向，|aa 向量的分解式：向量的分解式：,zyxaaaa .,轴上的投影轴上的投影分别为向量在分别为向量在其中其中zyxaaazyxkajaiaazyx 在三个坐标轴上的分向量：在三个坐标轴上的分向量：kajaiazyx,向量的坐标表示式：向量的坐标表示式：向量的坐标：向量的坐标：zyxaaa,3 3、向量的表示法、向量的表示法向

3、量的加减法、向量与数的乘积等的坐标表达式向量的加减法、向量与数的乘积等的坐标表达式,zyxaaaa ,zyxbbbb ,zzyyxxbabababa ,zzyyxxbabababa ,zyxaaaa kbajbaibazzyyxx)()()( kbajbaibazzyyxx)()()( kajaiazyx)()()( 222|zyxaaaa 向量模长的坐标表示式向量模长的坐标表示式222coszyxxaaaa 222coszyxyaaaa 222coszyxzaaaa 向量方向余弦的坐标表示式向量方向余弦的坐标表示式)1coscoscos(222 4 4、数量积、数量积 cos|baba 其其

4、中中 为为a与与b的的夹夹角角(点积、内积点积、内积)zzyyxxbabababa 数量积的坐标表达式数量积的坐标表达式ba 0 zzyyxxbababa222222coszyxzyxzzyyxxbbbaaabababa 两向量夹角余弦的坐标表示式两向量夹角余弦的坐标表示式5 5、向量积、向量积 sin|bac 其其中中 为为a与与b的的夹夹角角c的方向既垂直于的方向既垂直于a，又垂直于，又垂直于b，指向符合，指向符合右手系右手系.(叉积、外积叉积、外积)kbabajbabaibabaxyyxzxxzyzzy)()()( 向量积的坐标表达式向量积的坐标表达式ba zyxzyxbbbaaakji

5、ba ba/zzyyxxbababa 请归纳向量的数量积和向量积在几何中的用途（1）数量积求向量的模：求两向量的夹角：.|)1(2aaa cos|baba ,|cosbaba 222222coszyxzyxzzyyxxbbbaaabababa 请归纳向量的数量积和向量积在几何中的用途（续）（1）数量积求一个向量在另一个向量上的投影：两向量垂直的充要条件为两向量垂直的充要条件为. 3|Pr bbaajb ba0 zzyyxxbababa请归纳向量的数量积和向量积在几何中的用途（续）（2）向量积求与两个非共线向量a、b同时垂直的向量n,可取其中是某个非零的数（通常在不考虑向量模的大小时可取 =1）

6、；nab 请归纳向量的数量积和向量积在几何中的用途（续）（2）向量积几何上几何上|ba 表表示示以以a和和b为为邻邻边边的的平平行行四四边边形形的的面面积积.abbac ba)2(/. 0 ba)0, 0( ba直直 线线曲面曲面曲线曲线平平 面面参数方程参数方程旋转曲面旋转曲面柱柱 面面二次曲面二次曲面一般方程一般方程参数方程参数方程一般方程一般方程对称式方程对称式方程 点法式方程点法式方程一般方程一般方程空间直角坐标系空间直角坐标系（二）空间解析几何（二）空间解析几何x横轴横轴y纵轴纵轴z竖轴竖轴 定点定点o1 1、空间直角坐标系、空间直角坐标系空间的点空间的点有序数组有序数组),(zyx

7、xyoz空空间间直直角角坐坐标标系系共有一个原点共有一个原点,三个坐标轴三个坐标轴,三个坐标面三个坐标面,八个卦限八个卦限. 21221221221zzyyxxMM 它们距离为它们距离为设设),(1111zyxM、),(2222zyxM为为空空间间两两点点两点间距离公式两点间距离公式:曲面方程的定义：曲面方程的定义：如果曲面如果曲面S与三元方程与三元方程0),( zyxF有下述关系：有下述关系：(1) 曲面曲面S上任一点的坐标都满足方程；上任一点的坐标都满足方程；那那么么，方方程程0),( zyxF就就叫叫做做曲曲面面S的的方方程程，而而曲曲面面S就就叫叫做做方方程程的的图图形形.2 2、曲面

8、、曲面(2) 不在曲面不在曲面S上的点的坐标都不满足方程；上的点的坐标都不满足方程；研究空间曲面的两个基本问题：研究空间曲面的两个基本问题：（2）已知坐标间的关系式，研究曲面形状）已知坐标间的关系式，研究曲面形状.（1）已知曲面作为点的轨迹时，求曲面方程）已知曲面作为点的轨迹时，求曲面方程.1 旋转曲面旋转曲面定义：以一条平面曲线绕其平面上的定义：以一条平面曲线绕其平面上的一条直线旋转一周所成的曲面称之一条直线旋转一周所成的曲面称之.这条定直线叫旋转曲面的这条定直线叫旋转曲面的轴轴.方程特点方程特点:0),()2(0),()1(00),(:2222 yzxfyLzyxfxLzyxfL方程为方程

9、为轴旋转所成的旋转曲面轴旋转所成的旋转曲面绕绕曲线曲线方程为方程为轴旋转所成的旋转曲面轴旋转所成的旋转曲面绕绕曲线曲线设有平面曲线设有平面曲线（2）圆锥面）圆锥面222zyx （1）球面）球面（3）旋转双曲面）旋转双曲面1222222 czayax1222 zyx2 柱面柱面定义：定义：平行于定直线并沿定曲线平行于定直线并沿定曲线C移动的直线移动的直线L所形成的曲面称之所形成的曲面称之.这条定曲线叫柱面的这条定曲线叫柱面的准线准线，动直线叫柱，动直线叫柱面的面的母线母线.从柱面方程看柱面的特征：从柱面方程看柱面的特征： 只只含含yx,而而缺缺z的的方方程程0),( yxF，在在空空间间直直角角

10、坐坐标标系系中中表表示示母母线线平平行行于于z轴轴的的柱柱面面，其其准准线线为为xoy面面上上曲曲线线C.(1) 平面平面 xy (3) 抛物柱面抛物柱面 )0(22 ppyx(4) 椭圆柱面椭圆柱面 12222 byax(2) 圆柱面圆柱面 222Ryx 3 二次曲面二次曲面定义定义:三元二次方程所表示的曲面称为二次曲面三元二次方程所表示的曲面称为二次曲面.（1）椭球面）椭球面1222222 czbyaxzqypx 2222（2）椭圆抛物面）椭圆抛物面)(同号同号与与qpzqypx 2222（3）马鞍面）马鞍面)(同号同号与与qp（4）单叶双曲面）单叶双曲面1222222 czbyax（5）

11、圆锥面）圆锥面222zyx 3 3、空间曲线、空间曲线 0),(0),(zyxGzyxF1 空间曲线的一般方程空间曲线的一般方程 )()()(tzztyytxx2 空间曲线的参数方程空间曲线的参数方程 22222)21()21(1yxyxz 2sinsin2121cos21tztytx如图空间曲线如图空间曲线一般方程为一般方程为参数方程为参数方程为3 空间曲线在坐标面上的投影空间曲线在坐标面上的投影 0),(0),(zyxGzyxF消去变量消去变量z后得：后得：0),( yxH设空间曲线的一般方程：设空间曲线的一般方程： 00),(zyxH曲线在曲线在 面上的投影曲线为面上的投影曲线为xoy

12、00),(xzyR 00),(yzxT面上的投影曲线面上的投影曲线yoz面上的投影曲线面上的投影曲线xoz如图如图:投影曲线的研究过程投影曲线的研究过程.空间曲线空间曲线投影曲线投影曲线投影柱面投影柱面4 空间立体或曲面在坐标面上的投影空间立体或曲面在坐标面上的投影空间立体空间立体曲面曲面4 4、平面、平面,CBAn ),(0000zyxMxyzon0MM1 平面的点法式方程平面的点法式方程0)()()(000 zzCyyBxxA2 平面的一般方程平面的一般方程0 DCzByAx1 czbyax3 平面的截距式方程平面的截距式方程xyzoabc0:11111 DzCyBxA0:22222 Dz

13、CyBxA4 平面的夹角平面的夹角222222212121212121|cosCBACBACCBBAA 5 两平面位置特征：两平面位置特征：21)1( 0212121 CCBBAA21)2( /212121CCBBAA 1 1n2 2n 5 5、空间直线、空间直线0:11111 DzCyBxA0:22222 DzCyBxA 00:22221111DzCyBxADzCyBxAL1 空间直线的一般方程空间直线的一般方程xyzo1 2 LxyzosL0M M 3 空间直线的参数方程空间直线的参数方程pzznyymxx000 2 空间直线的对称式方程空间直线的对称式方程 ptzzntyymtxx000

14、),(0000zyxM,pnms 直线直线:1L111111pzznyymxx 直线直线:2L222222pzznyymxx 22222221212121212121|),cos(pnmpnmppnnmmLL 两直线的夹角公式两直线的夹角公式4 两直线的夹角两直线的夹角5 两直线的位置关系：两直线的位置关系：21)1(LL 0212121 ppnnmm21)2(LL/212121ppnnmm pzznyymxxL000: 0: DCzByAx6 直线与平面的夹角直线与平面的夹角222222|sinpnmCBACpBnAm 直线与平面的夹角公式直线与平面的夹角公式)20( 7 直线与平面的位置关

15、系直线与平面的位置关系 L)1(pCnBmA L)2(/0 CpBnAm二、典型例题二、典型例题例例1 1解解共面共面且且，使使，求一单位向量求一单位向量，已知已知bancnnkjickjbia,22,2000 ,0kzj yi xn 设设由题设条件得由题设条件得10 ncn 0ban 0 020221222zyzyxzyx解得解得).323132(0kjin 例例2 2解解.401284, 0405:角的平面方程角的平面方程组成组成且与平面且与平面求过直线求过直线 zyxzxzyx过已知直线的平面束方程为过已知直线的平面束方程为, 0)4(5 zxzyx , 04)1(5)1( zyx即即.

16、1 , 5 ,1 n其其法法向向量量.8, 4, 1 n又又已已知知平平面面的的法法向向量量由题设知由题设知114cosnnnn 222222)1(5)1()8()4(1)8()1()4(51)1( ,2723222 即即由此解得由此解得.43 代回平面束方程为代回平面束方程为. 012720 zyx例例3 3解解.1243:,12:)1 , 1 , 1(210LxzxyLxzxyLM都相交的直线都相交的直线且与两直线且与两直线求过点求过点 将两已知直线方程化为参数方程为将两已知直线方程化为参数方程为 1243:,12:21tztytxLtztytxL的交点分别为的交点分别为与与设所求直线设所

17、求直线21, LLL).12 , 43 ,()1,2 ,(222111 tttBtttA和和,)1 , 1 , 1(0三三点点共共线线与与BAM).(00为为实实数数故故 BMAM 即有即有,00对对应应坐坐标标成成比比例例于于是是BMAM,1)12(1)1(1)43(1211212121 tttttt, 0, 021 tt解之得解之得)3 , 2 , 2(),1, 0 , 0(BA ,)3 , 2 , 2()1 , 1 , 1(0上上同同在在直直线线和和点点LBM的方程为的方程为故故 L.211111 zyx例例4 4解解.02:01012:上的投影直线的方程上的投影直线的方程在平面在平面求

18、直线求直线 zyxzyxzyxL的的平平面面束束方方程程为为过过直直线线 L, 0)1()12( zyxzyx . 0)1()1()1()2( zyx即即 L, 014 即即41 故故,代代入入平平面面束束方方程程将将 . 013 zyx得得所求投影直线方程为所求投影直线方程为.02013 zyxzyx, 垂直于平面垂直于平面又又. 0)1()1(2)1(1)2( 例例5 5解解.,1101:求旋转曲面的方程求旋转曲面的方程轴旋转一周轴旋转一周绕绕直线直线zzyxL ), 1(111zyM设直线上一点设直线上一点,11zy 有有位置位置到达到达旋转后旋转后),(), 1(111zyxMzyM由

19、于高度不变由于高度不变,1zz 有有,1不不因因旋旋转转而而改改变变轴轴的的距距离离到到和和又又rzMM2121yr 故故,22yx ,11yzz 由于由于故所求旋转曲面方程为故所求旋转曲面方程为. 1222 zyxabaxabxabax)(lim,60为非零向量，证明、已知例)()(lim)(lim00abxaxabxaabxaxabxaxx 解解：axabxax2)(lim220 axabxbaxax22lim22220 abxbax22lim20 .aba 的最小值。时，满足关系式：求当常数向量：已知例rcbacrcjibjia),(,3,37cba 解：解： sincb sinbr s

20、inbar 10 ba又又. 1min r例例8 8、已知点、已知点A(1,2,5)A(1,2,5)，B(-2,0,-3), C(1,-3,0)B(-2,0,-3), C(1,-3,0)，求点，求点D(4,3,0)D(4,3,0)关于平面关于平面ABCABC的对称点。的对称点。解解 平面平面ABC: 2x+y-z+1=0ABC: 2x+y-z+1=0过过D D且垂直于平面的直线为且垂直于平面的直线为 tztytxzyx324:,11324即即设对称点的坐标（设对称点的坐标（4+2t,3+t,-t)4+2t,3+t,-t)，有距离公式，有距离公式103421)()3()24(2 tttt=4(t

21、=4(舍去舍去0 0）对称点为（对称点为（-4-4，-2-2，4 4）。）。例例9 9、求证两直线、求证两直线,021100332 yxzyx 06702zxyx相交，并求出交点坐标及包含两直线的平面。相交，并求出交点坐标及包含两直线的平面。解：解：直线的标准式是直线的标准式是 7621:,7112101:21zyxLtzyxL令：令：,672324对应坐标相等对应坐标相等与与 zyxtztytx1, 0671722110 tttt有解有解方程组方程组两直线的交点两直线的交点(1,2,-1)(1,2,-1)包含两直线的平面：包含两直线的平面：x+3y+z-6=0 x+3y+z-6=0。向量共共

22、面面7, 2 , 1,7, 2 , 1,7 , 1 ,102121 ppss两直线相交。两直线相交。例例1010. .求直线求直线11111: zyxl在平面在平面012: zyx上的投影上的投影直线直线l l0 0的方程，并求的方程，并求l l0 0绕绕 y y 轴旋转一周所成曲面的方程。轴旋转一周所成曲面的方程。解法解法1 1 设经过设经过l l且垂直于且垂直于的平面方程为的平面方程为0)1()1(:1 zCByxA则由条件可知则由条件可知0, 02 CBACBA由此解得由此解得. 2:3:1: CBA于是于是1 1的方程为的方程为0123 zyx从而从而l l0 0的方程为：的方程为：

23、, 0123, 012zyxzyx即即 )1(21,2yzyx于是于是l l0 0绕绕y y轴旋转一周所成曲面的方程为轴旋转一周所成曲面的方程为2222)1(414 yyzx( A,B,Cs, n )解法解法2 2 由于直线由于直线l l的方程可写为的方程可写为 , 01, 01zyyx所以过直线所以过直线l l的平面方程可设为的平面方程可设为, 0)1(1 zyyx即即0)1()1( zyx由它与平面由它与平面垂直，得垂直，得, 02)1(1 . 2 于是经过直线于是经过直线l l且垂直于且垂直于的平面方程为的平面方程为0123 zyx从而从而l l0 0： , 0123, 012zyxzy

24、x（下同解法一）（下同解法一）l 的方向向量为的方向向量为s=1,1, s=1,1, 11，的法线向量为的法线向量为n=1n=1，1 1，22经过经过 l 且垂直于且垂直于的平面的平面1 1的法线向量为的法线向量为kjikjinsn232111111 又因为又因为1 1经过经过l ，1 1当然经过当然经过l l上的点（上的点（1 1，0 0，1 1），所以），所以 1 1的方程为的方程为, 0)1(2)0(3)1( zyx即即0123 zyx（下同解法一）（下同解法一）解法解法3 3一一、 选选择择题题： 1 1、 若若a，b为为共共线线的的单单位位向向量量， 则则它它们们的的数数量量积积 b

25、a （ ）. . （A A） 1 1； （B B）- -1 1； （C C） 0 0； （D D）),cos(ba. .2 2、 向向量量 ba与与二二向向量量a及及b的的位位置置关关系系是是（ ）. .（A A） 共共面面； （B B）共共线线；（C C） 垂垂直直； （D D）斜斜交交 . .测测 验验 题题 3 3、设设向向量量Q与与三三轴轴正正向向夹夹角角依依次次为为 ,，当当 0cos 时时，有有（ ）4 4、设设向向量量Q 与与三三轴轴正正向向夹夹角角依依次次为为 ,当当 1cos 时时有有（ ）面面面面面面面；面；xozQDxozQCyozQBxoyQA )(;)(;)()(面面

26、面面面面面；面；xoyQDxozQCyozQBxoyQA)(;)(;)()( 5 5、 2)( （ ）（A A）22 ； （B B）222 ；（C C）22 ； （D D）222 . .6 6、 设平面方程为、 设平面方程为0 DCzBx， 且， 且0, DCB， 则则 平面平面（ ）. .（A A） 轴轴平行于平行于 x；（B B） 轴轴平行于平行于 y；（C C） 轴轴经过经过 y；（D D） 轴轴垂直于垂直于 y. .7 7、设直线方程为、设直线方程为 00221111DyBDzCyBxA且且 0,221111 DBDCBA, ,则直线则直线（ ）. .（A A） 过原点；过原点； （B

27、 B）轴轴平行于平行于 z； （C C）轴轴垂直于垂直于 y； （D D）轴轴平行于平行于 x. .8 8、曲曲面面052 xyzxyz与与直直线线351 yx 710 z的的交交点点是是（ ）. .（A A）)4,1,2(,)3,2,1( ；（B B）)3,2,1(；（C C）)4,3,2(；（D D）.)4,1,2( 9 9、已知球面经过、已知球面经过)1,3,0( 且与且与xoy面交成圆周面交成圆周 01622zyx，则此球面的方程是，则此球面的方程是（ ）. . （A A）0166222 zzyx； （B B）016222 zzyx； （C C）0166222 zzyx； （D D）0

28、166222 zzyx. .1010、下列方程中所示曲面是双叶旋转双曲面的是、下列方程中所示曲面是双叶旋转双曲面的是 （ ）. . （A A）1222 zyx； （B B）zyx422 ； （C C）14222 zyx； （D D）1169222 zyx. .二、二、 已知向量已知向量ba,的夹角等于的夹角等于3 ，且，且5,2 ba，求，求)3()2( baba . .三、三、 求向量求向量4 , 3, 4 a在向量在向量1,2,2 b上的投上的投影影 . .四、四、 设平行四边形二边为向量设平行四边形二边为向量;1 , 3, 1 a 3 , 1, 2 b，求其面积，求其面积 . .五、五、

29、 已 知已 知,ba为 两 非 零 不 共 线 向 量 ， 求 证 ：为 两 非 零 不 共 线 向 量 ， 求 证 ：)()( baba)(2 ba. .六、六、 一动点与点一动点与点)0,0,1(M的距离是它到平面的距离是它到平面4 x的的距离的一半，试求该动点轨迹曲面与距离的一半，试求该动点轨迹曲面与yoz面的交线面的交线方程方程 . .七、七、 求直线求直线L：,85213 tztytx在三个坐标面上及平面在三个坐标面上及平面: 083 zyx上的投影方程上的投影方程 . .八、八、 求通过直线求通过直线223221 zyx且垂直于平面且垂直于平面0523 zyx的平面方程的平面方程

30、. .九、九、 求点求点)3,4,1( 并与下面两直线并与下面两直线1L： 53142yxzyx，:2L tztytx23142都垂直的直都垂直的直线方程线方程 . .十、求通过三平面：十、求通过三平面：022 zyx，013 zyx和和03 zyx的交点，且平的交点，且平行于平面行于平面02 zyx的平面方程的平面方程 . .十一、十一、 在平面在平面01 zyx内，求作一直线，使它通内，求作一直线，使它通过直线过直线 0201zxzy与平面的交点，且与已知直与平面的交点，且与已知直线垂直线垂直 . .十二、十二、 判断下列两直线判断下列两直线 21111:1 zyxL, ,42311:2 zyxL, ,是否在同一平面上，在同是否在同一平面上，在同 一一平面上求交点，不在同一平面上求两直线间的距平面上求交点，不在同一平面上求两直线间的距离离 . .