圆锥曲线经典中点弦问题.

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1、中点弦问题专题练习一选择题（共8 小题）1已知椭圆，以及椭圆内一点P（ 4，2），则以P 为中点的弦所在直线的斜率为（）A BC 2D22已知 A （ 1， 2）为椭圆内一点，则以A 为中点的椭圆的弦所在的直线方程为（）A x+2y+4=0B x+2y 4=0C 2x+y+4=0D 2x+y 4=03 AB 是椭圆（ a b 0）的任意一条与x 轴不垂直的弦， O 是椭圆的中心， e 为椭圆的离心率，M 为AB 的中点，则 K AB ?K OM 的值为（）C e2 1D 1 e2A e 1B 1 e22内有一点 P（ 3， 2）过点 P 的弦恰好以 P 为中点，那么这弦所在直线的方程为（）4椭

2、圆 4x +9y =144A 3x+2y 12=0B 2x+3y 12=0C 4x+9y 144=0D 9x+4y 144=05若椭圆的弦中点（ 4， 2），则此弦所在直线的斜率是（）A 2B2CD 6已知椭圆的一条弦所在直线方程是xy+3=0 ，弦的中点坐标是（2，1），则椭圆的离心率是（）A BCD 22）7直线 y=x+1 被椭圆 x +2y=4 所截得的弦的中点坐标是（A （）B（ ， ）C（ ， ）D（ ， ）8以椭圆内一点 M （ 1， 1）为中点的弦所在的直线方程为（）A 4x 3y3=0B x 4y+3=0C 4x+y 5=0D x+4y 5=0二填空题（共9 小题）9过椭圆内

3、一点 M （ 2， 0）引椭圆的动弦 AB ，则弦 AB 的中点 N 的轨迹方程是_10已知点（ 1， 1）是椭圆某条弦的中点，则此弦所在的直线方程为：_22内有一点 P（3，2）过点 P 的弦恰好以 P 为中点， 那么这弦所在直线的斜率为_ ，11椭圆 4x +9y =144直线方程为_ 22内有一点 P（ 3，2）过点 P 的弦恰好以 P 为中点， 那么这弦所在直线的方程为_12椭圆 4x +9y =14413过椭圆=1内一定点（ 1，0）作弦，则弦中点的轨迹方程为_ 14设 AB 是椭圆的不垂直于对称轴的弦， M 为 AB 的中点，O 为坐标原点， 则 kAB?kOM =_15以椭圆内的

4、点 M （1， 1）为中点的弦所在直线方程为_ 16在椭圆+=1 内以点P（ 2， 1）为中点的弦所在的直线方程为_ 2217直线 y=x+2 被椭圆 x +2y=4 截得的线段的中点坐标是_三解答题（共13 小题）18求以坐标轴为对称轴，一焦点为且截直线 y=3x 2 所得弦的中点的横坐标为的椭圆方程19已知 M （4， 2）是直线22所截的弦 AB 的中点，其直线l 的方程l 被椭圆 x +4y=3622M （ 1， 1），求直线 AB 的方程20已知一直线与椭圆 4x +9y =36 相交于 A 、B 两点，弦 AB 的中点坐标为21已知椭圆，求以点 P（ 2， 1）为中点的弦AB 所在

5、的直线方程22已知椭圆与双曲线2 2y2共焦点，且过（）2x=1（ 1）求椭圆的标准方程（ 2）求斜率为 2 的一组平行弦的中点轨迹方程2223直线 l ： x 2y 4=0 与椭圆 x +my =16 相交于 A 、 B 两点，弦 AB 的中点为 P（ 2， 1）（1）求 m 的值；（ 2）设椭圆的中心为 O，求 AOB 的面积24 AB 是椭圆中不平行于对称轴的一条弦，M 是 AB 的中点， O 是椭圆的中心，求证：kAB ?kOM 为定值25已知椭圆C：+=1 和点 P（ 1，2），直线 l 经过点 P 并与椭圆C 交于 A 、B 两点，求当l 的倾斜角变化时，弦中点的轨迹方程26已知椭

6、圆（ 1）求斜率为 2 的平行弦的中点轨迹方程；（ 2）过 A （ 2， 1）的直线 l 与椭圆相交，求 l 被截得的弦的中点轨迹方程；（ 3）过点 P（）且被 P 点平分的弦所在的直线方程27已知椭圆（ 1）求过点且被点 P 平分的弦所在直线的方程；（ 2）求斜率为 2 的平行弦的中点轨迹方程；（ 3）过点 A （ 2， 1）引直线与椭圆交于 B、 C 两点，求截得的弦 BC 中点的轨迹方程28已知某椭圆的焦点是（ 4，0）、F（ 4，0），过点 F并垂直于 x 轴的直线与椭圆的一个交点为B，且|F，F1221B|+|F2B|=10椭圆上不同的两点A （ x1，y1）、 C（ x2， y2

7、）满足条件： |F2A|、 |F2B| 、 |F2C|成等差数列（）求该椭圆的方程；（）求弦AC 中点的横坐标29（ 2010?永春县一模）过椭圆内一点 M （ 1， 1）的弦 AB （ 1）若点 M 恰为弦 AB 的中点，求直线 AB 的方程；（ 2）求过点 M 的弦的中点的轨迹方程30已知椭圆C 方程为，直线与椭圆 C 交于 A 、 B 两点，点，（ 1）求弦 AB 中点 M 的轨迹方程；（ 2）设直线 PA、 PB 斜率分别为 k1、 k2，求证： k1+k 2 为定值2014 年 1 月 panpan781104的高中数学组卷参考答案与试题解析一选择题（共8 小题）1已知椭圆，以及椭圆

8、内一点P（ 4，2），则以P 为中点的弦所在直线的斜率为（）A BC 2D2考点 ： 椭圆的简单性质专题 ： 圆锥曲线的定义、性质与方程分析：利用中点坐标公式、斜率计算公式、“点差法 ”即可得出解答：解：设以点P 为中点的弦所在直线与椭圆相交于点A （ x1， y1）， B （x2， y2），斜率为 k则，两式相减得，又 x1+x 2=8， y1+y 2=4，代入得，解得 k=故选 A点评：熟练掌握中点坐标公式、斜率计算公式、“点差法 ”是解题的关键2已知A （ 1， 2）为椭圆内一点，则以A 为中点的椭圆的弦所在的直线方程为（）A x+2y+4=0B x+2y 4=0C 2x+y+4=0D

9、2x+y 4=0考点 ： 直线的一般式方程专题 ： 计算题分析：首先根据题意设出直线的方程，再联立直线与椭圆的方程，然后结合题意与跟与系数的关系得到答案解答： 解：设直线的方程为y 2=k （x 1），联立直线与椭圆的方程代入可得： （ 4+k2） x2+2k（ 2 k） x+k2 4k 12=0因为 A 为椭圆的弦的中点，所以，解得 k= 2，所以直线的方程为2x+y 4=0故选 D点评：解决此类问题的关键是熟练掌握直线与椭圆的位置关系的判定，以及掌握弦中点与中点弦问题3 AB 是椭圆（ a b 0）的任意一条与 x 轴不垂直的弦， O 是椭圆的中心， e 为椭圆的离心率， M 为AB 的中

10、点，则 K AB ?K OM 的值为（）22A e 1B 1 eC e 1D 1 e考点 ： 椭圆的简单性质专题 ： 综合题分析： 设出弦 AB 所在的直线方程，与椭圆方程联立消去y，根据韦达定理求得x1+x2，的表达式，根据直线方程求得 y1+y2 的表达式，进而根据点M 为 AB 的中点，表示出 M 的横坐标和纵坐标，求得直线OM 的斜率，进而代入 kAB ?kOM 中求得结果解答： 解：设直线为： y=kx+c联立椭圆和直线消去 y 得222222，即22 222222）=0b x +a （ kx+c ） a b =0（ b +k a ） x +2a kcx+a（c b所以： x1+x2

11、=所以， M 点的横坐标为：M x=（ x1+x 2）=又： y1=kx1 +cy2=kx 2+c所以 y1+y2=k （ x1+x 2）+2c=所以，点M 的纵坐标 M y=（ y1+y 2） =所以： Kom=所以：kAB ?kOM =k （）=e2 1点评：本题主要考查了椭圆的应用涉及弦长问题，利用弦长公式及韦达定理求解，涉及弦的中点及中点弦问题，利用差分法较为简便22内有一点 P（ 3， 2）过点 P的弦恰好以 P 为中点，那么这弦所在直线的方程为（）4椭圆 4x +9y =144A 3x+2y 12=0B 2x+3y 12=0C 4x+9y 144=0D 9x+4y 144=0考点

12、： 直线与圆锥曲线的关系；直线的一般式方程专题 ： 圆锥曲线的定义、性质与方程分析： 利用平方差法：设弦的端点为A （ x1， y1）， B（ x2， y2），代入椭圆方程，两式作差，利用中点坐标公式及斜率公式可求得直线斜率，再用点斜式即可求得直线方程解答：解：设弦的端点为A （ x1， y1）， B（ x2， y2），则 x1+x 2=6， y1+y 2=4，把 A、B坐标代入椭圆方程得，两式相减得，4（） +9（ y22 ）=0，即4（ x1+x 2）（x1 x2） +9（ y1+y 2）（ y1 y2） =0 ，所以=，即 kAB =，所以这弦所在直线方程为：y 2=（ x 3），即 2

13、x+3y 12=0故选 B点评：本题考查直线与圆锥曲线的位置关系、直线方程的求解，涉及弦中点问题常运用平方差法，应熟练掌握5若椭圆的弦中点（4， 2），则此弦所在直线的斜率是（）A 2B2CD 考点 ： 直线与圆锥曲线的关系；直线的斜率专题 ： 圆锥曲线的定义、性质与方程分析：设此弦所在直线与椭圆相交于点A （ x1， y1）， B（ x2 ，y2）利用中点坐标公式和“点差法 ”即可得出解答：解：设此弦所在直线与椭圆相交于点A （ x1，y1）， B（ x2， y2）则，两式相减得=0，代入上式可得，解得 kAB =故选 D点评： 本题考查了椭圆的标准方程及其性质、中点坐标公式和“点差法 ”等

14、基础知识与基本技能方法，属于中档题6已知椭圆的一条弦所在直线方程是xy+3=0 ，弦的中点坐标是（2，1），则椭圆的离心率是（）A BCD 考点 ： 椭圆的简单性质专题 ： 计算题分析：设出以 M 为中点的弦的两个端点的坐标，代入椭圆的方程相减，把中点公式代入，可得弦的斜率与的关系式，从而求得椭圆的离心率解答：解：显然M（ 2， 1）在椭圆内，设直线与椭圆的交点A （ x1， y1）， B （x2， y2），a， b则+=1，+=1，相减得：=0，整理得： k=1，又弦的中点坐标是（2， 1），则椭圆的离心率是e=故选 B点评：本题考查椭圆的标准方程和简单性质，中点公式及斜率公式的应用，以及直

15、线方程，属于基础题本题解题中直接利用点差法巧妙用上了中点坐标公式与弦的斜率，方法极为巧妙，此方法即为通常所说的点差法，研究弦中点问题时经常采用此方法22）7直线 y=x+1 被椭圆 x +2y=4 所截得的弦的中点坐标是（A （）B（ ， ）C（ ， ）D（ ， ）考点 ： 直线与圆锥曲线的关系专题 ： 计算题；圆锥曲线的定义、性质与方程分析： 将直线 y=x+1 代入椭圆22x +2y =4 中，利用韦达定理及中点坐标公式，即可求得结论解答： 解：将直线 y=x+1代入椭圆222（x+12x+2y =4中，得 x +2） =42 3x +4x 2=0弦的中点横坐标是x= ，代入直线方程中，得

16、y=弦的中点是（， ）故选 B点评：本题考查直线与椭圆的位置关系，考查韦达定理的运用，属于基础题8以椭圆内一点M （ 1， 1）为中点的弦所在的直线方程为（）A 4x 3y3=0B x 4y+3=0C 4x+y 5=0D x+4y 5=0考点 ： 直线与圆锥曲线的关系专题 ： 计算题分析：设直线方程为y 1=k（x1），代入椭圆化简，根据x1+x 2=2，求出斜率 k 的值，即得所求的直线方程解答：解：由题意可得直线的斜率存在，设直线方程为y 1=k （ x 1），代入椭圆化简可得，222） x+4k2 8k 12（ 4k +1） x +8（ k k由题意可得x1+x 2=2， k= ，故 直

17、线方程为y 1=（ x1），即x+4y 5=0，故选 D点评：本题考查直线和圆锥曲线的位置关系，一元二次方程根与系数的关系，中点公式的应用，求出直线的斜率，是解题的关键二填空题（共9 小题）9过椭圆内一点 M（ 2，0）引椭圆的动弦AB ，则弦 AB 的中点 N 的轨迹方程是考点 ： 直线与圆锥曲线的综合问题；轨迹方程专题 ： 综合题分析：设出 N， A ， B 的坐标，将A ，B 的坐标代入椭圆方程，结合N 为 AB 的中点，求出AB 的斜率，再利用动弦 AB 过点 M（ 2， 0），弦 AB 的中点 N，求出 AB 的斜率，从而可得方程，化简即可解答： 解：设 N（ x，y）， A （ x

18、1， y1）， B （x2， y2），则 ， ，可得：动弦 AB 过点 M （ 2，0），弦 AB 的中点 N，当 M 、 N 不重合时，有，（m2）当 M、N 重合时，即M 是 A、B 中点， M（2，0）适合方程，则 N 的轨迹方程为，故答案为：点评：本题考查直线与椭圆的综合，考查点差法的运用，这是解决弦中点问题，常用的一种方法10已知点（ 1， 1）是椭圆某条弦的中点，则此弦所在的直线方程为：x+2y 3=0考点 ： 直线与圆锥曲线的关系专题 ： 圆锥曲线的定义、性质与方程分析：设以 A（1，1）为中点椭圆的弦与椭圆交于E（ x1，y1），F（ x2，y2），A（ 1，1）为 EF 中点

19、， x1+x 2=2，y1+y 2=2，利用点差法能够求出以A （ 1， 1）为中点椭圆的弦所在的直线方程解答：解：设以A （ 1， 1）为中点椭圆的弦与椭圆交于E（ x1， y1 ）， F（ x2，y2）， A （1， 1）为 EF 中点， x1+x 2=2， y1+y 2=2，把 E（ x1， y1）， F（ x2， y2 ）分别代入椭圆，可得，两式相减，可得（x1+x 2）（ x1x2） +2 （ y1+y 2）（ y1y2） =0 ， 2（ x1 x2） +4（ y1 y2） =0 ，=以 A （ 1， 1）为中点椭圆的弦所在的直线方程为：y 1= （ x 1），整理，得x+2y 3=

20、0故答案为： x+2y 3=0点评：本题考查以 A （1， 1）为中点椭圆的弦所在的直线方程的求法，考查点差法的运用，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题22，直11椭圆 4x +9y =144 内有一点 P（3， 2）过点 P 的弦恰好以 P 为中点，那么这弦所在直线的斜率为线方程为 2x+3y 12=0 考点 ： 直线与圆锥曲线的关系；直线的一般式方程专题 ： 计算题；圆锥曲线的定义、性质与方程分析： 平方差法：设弦端点为A （ x1， y1）， B （ x2， y2），代入椭圆方程后作差，利用斜率公式及中点坐标公式可得斜率；根据点斜式可得直线方程解答：解：设弦端点为A （ x1， y1

21、）， B（ x2， y2 ），则 x1+x 2=6， y1+y 2=4， ，=144 ，得，+9=0 ，即 4（ x1+x 2）（ x1 x2） +9（y1+y 2）（ y1 y2） =0，所以=，即，所以弦所在直线方程为：y2=（ x 3），即 2x+3y 12=0故答案为：； 2x+3y 12=0 点评：本题考查直线与抛物线的位置关系、直线方程的求解，弦中点问题常利用平方差法解决，应熟练掌握2212椭圆 4x +9y =144 内有一点 P（ 3，2）过点 P 的弦恰好以 P 为中点，那么这弦所在直线的方程为2x+3y 12=0考点 ： 直线与圆锥曲线的关系专题 ： 计算题；圆锥曲线的定义

22、、性质与方程分析： 设以 P（ 3，2）为中点椭圆的弦与椭圆交于E（ x1，y1），F（ x2，y2），P（ 3，2）为 EF 中点， x1+x 2=6，y1+y 2=4，利用点差法能够求出这弦所在直线的方程解答： 解：设以 P（ 3， 2）为中点椭圆的弦与椭圆交于E（ x1， y1）， F（ x2， y2）， P（ 3， 2）为 EF 中点， x1+x 2=6， y1+y 2=4，把 E（ x1， y1）， F（ x2， y2 ）分别代入椭圆4x22，+9y=144得， 4（ x1+x2 ）（ x1 x2）+9（ y1+y 2）（ y1 y2） =0， 24（ x1x2） +36 （y1 y

23、2） =0， k=，以 P（ 3， 2）为中点椭圆的弦所在的直线方程为：y2=（ x 3），整理，得2x+3y 12=0故答案为： 2x+3y 12=0 点评：本题考查直线方程的求法，解题时要认真审题，注意椭圆的简单性质、点差法、直线方程等知识点的合理运用13过椭圆=1 内一定点（ 1，0）作弦，则弦中点的轨迹方程为22 4x=04x +9y考点 ： 椭圆的应用；轨迹方程专题 ： 计算题分析：设弦两端点坐标为（x1， y1），（x2 y2），诸弦中点坐标为（x， y）弦所在直线斜率为k，把两端点坐标代入椭圆方程相减，把斜率看的表达式代入后整理即可得到弦中点的轨迹方程解答：解：设弦两端点坐标为（

24、x1， y1），（ x2 y2），诸弦中点坐标为（x， y）弦所在直线斜率为k两式相减得；（ x1+x 2）（x1 x2） +（ y1+y 2）（ y1 y2） =0即又 k=，代入上式得2x/9+2y2/4 （x 1） =0整理得诸弦中点的轨迹方程：4x2+9y 2 4x=0故答案为4x2+9y 2 4x=0点评：本题主要考查了椭圆的应用及求轨迹方程的问题考查了学生对圆锥曲线知识综合的把握14设 AB 是椭圆的不垂直于对称轴的弦，M 为 AB 的中点， O 为坐标原点，则kAB ?kOM=考点 ： 椭圆的应用专题 ： 计算题分析：设 M（ a， b），A （ x1，y1），B（ x2，y2）

25、，易知 kOM =，再由点差法可知kAB =，由此可求出kAB ?kOM=解答：解：设 M （ a， b）， A （ x1， y1）， B （x2， y2）， M 为 AB 的中点， x1+x 2=2a， y1+y 2=2b，把 A、B 代入椭圆得， 得（ x1+x 2）（ x1x2） +2（ y1+y 2）（ y1y2） =0， 2a（ x1 x2） +4b （ y1 y1） =0 ， kAB ?kOM =答案：点评：本题考查椭圆的性质和应用，解题时要注意点差法的合理运用15以椭圆内的点 M （1， 1）为中点的弦所在直线方程为x+4y 5=0考点 ： 直线与圆锥曲线的关系；直线的一般式方程

26、专题 ： 圆锥曲线的定义、性质与方程分析：设点 M （ 1，1）为中点的弦所在直线与椭圆相交于点A （ x1， y1），B （ x2，y2）利用 “点差法 ”即可得出直线的斜率，再利用点斜式即可得出解答：解：设点M（ 1， 1）为中点的弦所在直线与椭圆相交于点A（ x1， y1）， B（ x2， y2）则，相减得=0，解得 kAB= 故所求的直线方程为，化为 x+4y 5=0故答案为 x+4y 5=0点评： 本题考查了直线与椭圆相交的中点弦问题和“点差法 ”等基础知识与基本方法，属于中档题16在椭圆+=1 内以点 P（ 2， 1）为中点的弦所在的直线方程为x 2y+4=0考点 ： 直线与圆锥曲

27、线的综合问题专题 ： 计算题分析：设以点 P（ 2， 1）为中点的弦所在的直线与椭圆+=1 交于 A （ x1， y1）， B （x2， y2），由点 P（ 2，1）是线段AB 的中点，知，把 A（ x1， y1）， B （x2， y2）代入椭圆x2+4y2=16 ，由点差法得到 k=，由此能求出以点P（ 2， 1）为中点的弦所在的直线方程解答：解：设以点P（ 2， 1）为中点的弦所在的直线与椭圆+=1交于A （ x1， y1）， B（ x2， y2），点P（ 2， 1）是线段AB的中点，把 A （x1， y1），B（ x2， y2）代入椭圆x2+4y2=16，得， 得（ x1+x 2）（ x

28、1x2） +4（ y1+y 2）（ y1y2） =0， 4（ x1 x2） +8（y1 y2） =0，k=，以点 P（ 2， 1）为中点的弦所在的直线方程为，整理，得x 2y+4=0 故答案为： x 2y+4=0 点评：本题主要考查椭圆标准方程， 简单几何性质， 直线与椭圆的位置关系 考查运算求解能力， 推理论证能力 解题时要认真审题，注意点差法的合理运用22截得的线段的中点坐标是17直线 y=x+2 被椭圆 x +2y=4考点 ： 直线和圆的方程的应用；直线与圆的位置关系专题 ： 计算题分析：直线方程与椭圆方程联立，可得交点横坐标，从而可得线段的中点坐标解答：解：将直线y=x+2 代入椭圆x

29、2+2y2=4，消元可得3x2+8x+4=0 x= 2 或 x= 中点横坐标是= ，代入直线方程可得中点纵坐标为+2= ，22直线 y=x+2 被椭圆 x +2y =4 截得的线段的中点坐标是故答案为：点评：本题考查中点坐标的求解，解题的关键是直线与椭圆方程联立，求得交点横坐标三解答题（共13 小题）18求以坐标轴为对称轴，一焦点为且截直线y=3x 2 所得弦的中点的横坐标为的椭圆方程考点 ： 椭圆的标准方程专题 ： 计算题；圆锥曲线的定义、性质与方程；圆锥曲线中的最值与范围问题分析：由题意，设椭圆方程为，与直线y=3x 2 消去 y 得关于 x 的一元二次方程利用根与系数的关系结合中点坐标公

30、式， 得 x1+x2=1，再由椭圆的 c=22，两式联解得22，得 ab =50a =75，b =25从而得到所求椭圆的方程解答： 解：椭圆一个焦点为，椭圆是焦点在y 轴的椭圆，设方程为（ ab 0）将椭圆方程与直线2222222y=3x 2 消去 y，得（ a +9b）x 12bx+4b a b =0设直线 y=3x 2 与椭圆交点为 A （x1， y1），B （ x2， y2） x1+x 2=1 又 a2 b2=（） 2=50 2 2 联解，得 a =75 ，b =25因此，所求椭圆的方程为：点评：本题给出焦点在 y 轴上的一个椭圆，在已知椭圆被直线截得弦的中点横坐标的情况下，求椭圆的方程

31、，着重考查了椭圆的标准方程、简单几何性质和直线与椭圆位置关系等知识，属于中档题2219已知 M （4， 2）是直线l 被椭圆 x +4y =36 所截的弦AB 的中点，其直线l 的方程考点 ： 直线与圆相交的性质专题 ： 计算题分析：设直线 l 的方程为y2=k （ x 4），代入椭圆的方程化简，由x1+x 2=8 解得 k 值，即得直线l的方程解答：解：由题意得，斜率存在，设为 k，则直线 l 的方程为 y 2=k （x 4），即 kx y+2 4k=0， 22 22 x1+x 2= =8，解得： k= ，则直线 l 的方程为 x+2y 8=0 22点评：本题考查了直线与圆相交的性质，一元二

32、次方程根与系数的关系，线段的中点公式，得到（ 1+4k ）x +（ 16k 32k2） x+64k 2 64k 20=0 ，是解题的关键20已知一直线与椭圆22、B 两点，弦 AB 的中点坐标为M （ 1， 1），求直线 AB 的方程4x +9y =36 相交于 A考点 ： 直线与圆锥曲线的综合问题专题 ： 综合题分析： 设出直线方程代入椭圆方程，利用韦达定理及弦AB 的中点坐标为M （1， 1），求出斜率，即可求得直线AB 的方程解答： 解：设通过点M （ 1，1）的直线方程为 y=k （ x 1） +1，代入椭圆方程，整理得（ 9k22（ 1 k）x+92 36=0+4） x +18k（

33、1 k）设 A 、B 的横坐标分别为x1、 x2，则解之得故AB方程为，即所求的方程为4x+9y 13=0点评：本题考查直线与椭圆的综合，考查弦中点问题，解题的关键是直线方程代入椭圆方程，利用韦达定理求解21已知椭圆，求以点 P（ 2， 1）为中点的弦AB 所在的直线方程考点 ： 直线的一般式方程；中点坐标公式；直线与圆锥曲线的关系专题 ： 计算题分析：先设出弦所在的直线方程，然后与椭圆方程联立；设两端点的坐标，根据韦达求出解答：解：设弦AB 所在的直线方程为y（ 1） =k （ x 2），即 y=kx 2k 1x1+x 2，进而求得弦所在22，消去 y 得 x +4（ kx 2k 1） 16

34、=0整理得（ 1+4k2） x28k（ 2k+1 ） x+4 （ 2k+1） 2 16=0（ 1）因为 P（ 2， 1）为弦 AB 中点，代入方程（ 1），验证 0，合题意点评：本题主要考查了椭圆的性质以及直线与椭圆的关系在解决弦长的中点问题，联立直线方程和椭圆方程，利用韦达定理，将弦所在直线的斜率、弦的中点坐标联系起来，相互转化，达到解决问题的目的22已知椭圆与双曲线2 2y2共焦点，且过（）2x=1（ 1）求椭圆的标准方程（ 2）求斜率为 2 的一组平行弦的中点轨迹方程考点 ： 椭圆的标准方程；轨迹方程专题 ： 计算题分析：（ 1）求出双曲线的焦点，由此设出椭圆方程，把点（， 0）代入椭圆

35、方程，求出待定系数即得所求的椭圆方程（ 2）设斜率为2 的弦所在直线的方程为y=2x+b ，弦的中点坐标为（x， y），把 y=2x+b代入椭圆的方程，利用一元二次方程根与系数的关系，求出轨迹方程为y=x，求出直线y=2x+b和椭圆相切时的b 值，即得轨迹方程中自变量的范围x解答：解：（ 1）依题意得，将双曲线方程标准化为=1，则c=1椭圆与双曲线共焦点，设椭圆方程为=1，椭圆过（， 0），=2，椭圆方程为=1 （ 2）依题意，设斜率为2 的弦所在直线的方程为y=2x+b ，弦的中点坐标为（x， y），则y=2x+b且=12得， 9x +8xb+2b2 2=0 ， x1+x 2=即 x= 两式

36、消掉b 得y= x令 =0， 64b2 36（2b2 2） =0，即b=3，所以斜率为2 且与椭圆相切的直线方程为y=2x 3即当x= 时斜率为2 的直线与椭圆相切所以平行弦得中点轨迹方程为：y= x（）点评：本题考查用待定系数法求椭圆的标准方程，以及简单性质的应用；求点的轨迹方程的方法，求轨迹方程中自变量 x 的范围，是解题的易错点2223直线 l ： x 2y 4=0 与椭圆 x +my =16 相交于 A 、 B 两点，弦 AB 的中点为 P（ 2， 1）（1）求 m 的值；（ 2）设椭圆的中心为 O，求 AOB 的面积考点 ： 椭圆的应用；中点坐标公式；点到直线的距离公式专题 ： 计算

37、题；压轴题分析：（ 1）先把直线方程与椭圆方程联立消去y，根据韦达定理求得x1+x2 的表达式，进而根据其中点的坐标求得 m（ 2）把（ 1）中求得椭圆方程与直线方程联立消去y，进而根据韦达定理求得x1x2 的值，进而求得出 |AB|的距离和坐标原点到直线的距离，进而根据三角形面积公式求得答案解答：+1） x22mx+4m 16=0解：（ 1）：消去 y，整理得（ x1+x 2=4，则 m=4（ 2）由（ 1）知，消去 y， x1x2=0 |AB|=2坐标原点O 到直线 x 2y 4=0 的距离为d=三角形ABC 的面积为|AB| d=4点评：本题主要考查了椭圆的应用，直线与椭圆的关系，点到直

38、线的距离公式等，考查了学生综合分析问题和推理的能力24 AB 是椭圆中不平行于对称轴的一条弦，M 是 AB 的中点， O 是椭圆的中心，求证：kAB ?kOM 为定值考点 ： 椭圆的应用专题 ： 证明题分析：设出直线方程，与椭圆方程联立消去 y，根据韦达定理求得 x1+x 2，的表达式，根据直线方程求得表达式，进而根据点 M 为 AB 的中点，表示出 M 的横坐标和纵坐标， 求得直线 OM 的斜率，进而代入中求得结果为定值，原式得证解答：证明：设直线为：y=kx+cy 1+y 2 的k AB ?kOM联立椭圆和直线消去 y 得22222222 222222）=0b x +a （ kx+c ）

39、a b =0，即（ b +k a ） x +2a kcx+a（c b所以： x1+x2=所以， M 点的横坐标为：M x=（ x1+x 2）=又： y1=kx1 +cy2=kx 2+c所以 y1+y2=k （ x1+x 2）+2c=所以，点M 的纵坐标 M y=（ y1+y 2） =所以： Kom=所以：kAB ?kOM =k =点评：本题主要考查了椭圆的应用涉及弦长问题，利用弦长公式及韦达定理求解，涉及弦的中点及中点弦问题，利用差分法较为简便25已知椭圆C：+=1和点P（ 1，2），直线l 经过点P 并与椭圆C 交于A 、B两点，求当l 的倾斜角变化时，弦中点的轨迹方程考点 ： 轨迹方程专题

40、 ： 综合题分析：设弦中点为M（ x，y），交点为 A（ x1，y1），B（ x2，y2）当 M 与 P 不重合时， A 、B、M 、P 四点共线故（ y2 y1）（x 1）=（ x2 x1）（ y 2）再由点差法知=，由此可得：22 9x 32y=09x +16y解答：解：设弦中点为M （x， y），交点为A（ x1， y1）， B （x2， y2）当 M 与 P 不重合时， A 、 B、 M 、 P 四点共线（ y2 y1）（ x 1）=（ x2 x1）（ y 2）， 由=1，+=1 两式相减得+=0 又 x1+x 2=2x， y1+y 2=2y，=，由 可得： 9x2+16y2 9x 3

41、2y=0 ， 当点 M 与点 P 重合时，点M 坐标为（1，2）适合方程 ，弦中点的轨迹方程为：9x2+16y2 9x32y=0 点评：本题考查轨迹方程的求法，解题时要注意点差法的合理运用26已知椭圆（ 1）求斜率为 2 的平行弦的中点轨迹方程；（ 2）过 A （ 2， 1）的直线 l 与椭圆相交，求 l 被截得的弦的中点轨迹方程；（ 3）过点 P（）且被 P 点平分的弦所在的直线方程考点 ： 直线与圆锥曲线的综合问题；圆锥曲线的轨迹问题专题 ： 综合题分析：（ 1）设弦的两端点分别为M（ x1，y1），N（x2，y2），中点为 R（x，y），则，两式相减得=，由此能求出斜率为2 的平行弦的中

42、点轨迹方程（ 2）设直线方程为y1=k（ x2），设两交点分别为 （ x3，y3），（x4，y4），则，两式相减得，故+，令中点坐标为（x，y），则 x+2y ?=0 ，由此能求出l 被截得的弦的中点轨迹方程（ 3）设过点P（）的直线与交于 E（ x5， y5 ）， F（ x6，y6），由 P（）是 EF 的中点，知 x5+x 6=1，y5+y6=1 ，把 E（ x5， y5），F（ x6， y6）代入与，得 k=，由此能求出过点 P（）且被 P 点平分的弦所在的直线方程解答：解：（ 1）设弦的两端点分别为M （ x1， y1 ）， N （x2， y2） 的中点为R（ x，y），则，两式相减并

43、整理可得， 将代入式 ，得所求的轨迹方程为x+4y=0 （椭圆内部分） （ 2）可设直线方程为 y 1=k（ x 2）（k0，否则与椭圆相切） ，设两交点分别为（ x3， y3），（ x4， y4），则，两式相减得，显然 x3x4（两点不重合） ，故+，令中点坐标为（x， y），则 x+2y ?=0，又（ x， y）在直线上，所以，显然，故 x+2y ?k=x+2y=0，即所求轨迹方程为x2+2y2 2x 2y=0（夹在椭圆内的部分） （ 3）设过点P（）的直线与交于 E（ x5， y5 ）， F（ x6，y6）， P（）是 EF 的中点， x5+x 6=1， y5+y 6=1，把 E（ x5， y5）， F（ x6， y6 ）代入与，得，（ x5+x 6）（x5 x6）+2 （ y5+y6）（ y5 y6） =0 ，（ x5 x6） +2（ y5 y6） =0， k=，过点 P（）且被 P 点平分的弦所在的直线方程：，即 2x+4y 3=0 点评：本题考查直线与椭圆的位置关系的应用，是中档题解题时要认真审题，注意点差法的合理运用27已知椭圆（ 1）求过点且被点 P 平分的弦所在直线的方程；（ 2）求斜率为 2 的平行弦的中点轨迹方程；（ 3）过点 A （ 2， 1）