高考数学 5.5数列的综合应用配套课件 文 新人教A版

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1、第五节 数列的综合应用三年三年14考考 高考指数高考指数:能运用数列的等差关系或等比关系解决实际问题能运用数列的等差关系或等比关系解决实际问题. 1.1.数列的综合应用常以递推关系为背景，考查等差数列、等比数列的综合应用常以递推关系为背景，考查等差数列、等比数列的通项公式和前数列的通项公式和前n n项和公式项和公式. .2.2.常在与其他知识的交汇处命题，考查学生的转化化归能力，常在与其他知识的交汇处命题，考查学生的转化化归能力，如与函数、不等式、解析几何等交汇考查如与函数、不等式、解析几何等交汇考查. .3.3.各种题型都有可能出现各种题型都有可能出现. .数列的综合应用数列的综合应用(1)

2、(1)解答数列应用题的步骤解答数列应用题的步骤审题审题仔细阅读材料，认真理解题意仔细阅读材料，认真理解题意. .建模建模将已知条件翻译成数学将已知条件翻译成数学( (数列数列) )语言，将实际问题转语言，将实际问题转化成数学问题，弄清该数列的结构和特征化成数学问题，弄清该数列的结构和特征. .求解求解求出该问题的数学解求出该问题的数学解. .还原还原将所求结果还原到原实际问题中将所求结果还原到原实际问题中. .具体解题步骤用框图表示如图：具体解题步骤用框图表示如图： 实际应用题实际应用题 构建数列模型构建数列模型 与数列有关的与数列有关的数学问题数学问题 数学问题的解数学问题的解 审题，找出题

3、意审题，找出题意中的数学关系中的数学关系 分析分析 转化转化运用数列知识求解运用数列知识求解翻译翻译作答作答（2 2）数列应用题常见模型）数列应用题常见模型等差模型：如果增加（或减少）的量是一个固定量时，该模等差模型：如果增加（或减少）的量是一个固定量时，该模型是等差模型，增加（或减少）的量就是公差型是等差模型，增加（或减少）的量就是公差. .等比模型：如果后一个量与前一个量的比是一个固定的数等比模型：如果后一个量与前一个量的比是一个固定的数时，该模型是等比模型，这个固定的数就是公比时，该模型是等比模型，这个固定的数就是公比. .递推数列模型：如果题目中给出的前后两项之间的关系不固递推数列模型

4、：如果题目中给出的前后两项之间的关系不固定，随项的变化而变化时，应考虑是定，随项的变化而变化时，应考虑是a an n与与a an+1n+1的递推关系，还是的递推关系，还是前前n n项和项和S Sn n与前与前n+1n+1项和项和S Sn+1n+1之间的递推关系之间的递推关系. .【即时应用【即时应用】(1)(1)思考：银行储蓄单利公式及复利公式是什么模型？思考：银行储蓄单利公式及复利公式是什么模型？提示：提示：单利公式单利公式设本金为设本金为a a元，每期利率为元，每期利率为r r，存期为，存期为n n，则，则本利和本利和a an na(1+rn)a(1+rn)，属于等差模型，属于等差模型.

5、.复利公式复利公式设本金为设本金为a a元，每期利率为元，每期利率为r r，存期为，存期为n n，则本利和，则本利和a an na(1+r)a(1+r)n n，属于等比，属于等比模型模型. .（2 2）小王每月除去所有日常开支，大约结余）小王每月除去所有日常开支，大约结余a a元元. .小王决定采小王决定采用零存整取的方式把余钱积蓄起来，每月初存入银行用零存整取的方式把余钱积蓄起来，每月初存入银行a a元，存元，存期期1 1年（存年（存1212次），到期取出本金和利息次），到期取出本金和利息. .假设一年期零存整取假设一年期零存整取的月利率为的月利率为r r，每期存款按单利计息，每期存款按单利

6、计息. .那么，小王存款到期利息那么，小王存款到期利息为为_元元. .【解析【解析】由题意知，小王存款到期利息为由题意知，小王存款到期利息为答案：答案：78ar78ar12 12 112ar11ar10ar2ararar78ar.2（3 3）有一种细菌和一种病毒，每个细菌在每秒钟杀死一个病）有一种细菌和一种病毒，每个细菌在每秒钟杀死一个病毒的同时将自身分裂为毒的同时将自身分裂为2 2个，现在有一个这样的细菌和个，现在有一个这样的细菌和100100个这个这样的病毒（假设病毒不繁殖），则细菌将病毒全部杀死至少需样的病毒（假设病毒不繁殖），则细菌将病毒全部杀死至少需要要_秒钟秒钟. .【解析【解析】

7、设需要设需要n n秒钟，秒钟，则则1+21+21 1+2+22 2+ +2+2n-1n-1100,100, n7. n7.答案：答案：7 7n12100,12 等差、等比数列的综合应用等差、等比数列的综合应用【方法点睛【方法点睛】解答数列综合问题的注意事项解答数列综合问题的注意事项（1 1）要重视审题，善于联系）要重视审题，善于联系. .（2 2）将等差、等比数列与函数、不等式、方程、应用性问题）将等差、等比数列与函数、不等式、方程、应用性问题等联系起来等联系起来. .（3 3）对等差、等比数列综合问题的分析，应重点分析等差、）对等差、等比数列综合问题的分析，应重点分析等差、等比数列的通项及前

8、等比数列的通项及前n n项和，分析等差、等比数列项与项之间项和，分析等差、等比数列项与项之间的关系，往往用到转化与化归的思想方法的关系，往往用到转化与化归的思想方法. 【例【例1 1】(2012(2012皖北模拟）已知等差数列皖北模拟）已知等差数列aan n 的前的前n n项和为项和为S Sn n，公差公差d0,d0,且且S S3 3+S+S5 5=50,a=50,a1 1,a,a4 4,a,a1313成等比数列成等比数列. .(1)(1)求数列求数列aan n 的通项公式；的通项公式；（2 2）设）设 是首项为是首项为1 1，公比为，公比为3 3的等比数列，求数列的等比数列，求数列bbn n

9、 的的前前n n项和项和T Tn n. .nnba【解题指南【解题指南】(1)(1)列出关于列出关于a a1 1,d,d的方程组，求出的方程组，求出a a1 1,d.,d.(2)(2)先求先求 ，再利用，再利用(1)(1)中所得中所得a an n求求b bn n, ,最后用错位相减法求最后用错位相减法求T Tn n. .nnba【规范解答【规范解答】(1)(1)依题意得依题意得解得解得a an n=a=a1 1+(n-1)d=3+2(n-1)=2n+1,+(n-1)d=3+2(n-1)=2n+1,即即a an n=2n+1.=2n+1.1121113 25 43ad5ad5022,a3daa1

10、2d1a3.d2(2(2) ,b) ,bn n=a=an n3 3n-1n-1=(2n+1)=(2n+1)3 3n-1n-1, ,T Tn n=3+5=3+53+73+73 32 2+ + +（2n+1)2n+1)3 3n-1n-13T3Tn n=3=33+53+53 32 2+7+73 33 3+ +(2n-1)+(2n-1)3 3n-1n-1+ +( (2n+1)2n+1)3 3n n则则-2T-2Tn n=3+2=3+23+23+23 32 2+ +2+23 3n-1n-1-(2n+1)-(2n+1)3 3n n= =TTn n=n=n3 3n n. .n 1nnb3an 1nn3(1

11、3)322n132n3 ,1 3 【反思【反思感悟感悟】1.1.解答本题（解答本题（1 1）时，列出关于）时，列出关于a a1 1,d,d的方程组的方程组是关键，求解本题（是关键，求解本题（2 2）时，求出）时，求出b bn n是关键是关键. .2.2.利用等比数列前利用等比数列前n n项和公式时，注意公比项和公式时，注意公比q q的取值，同时对两的取值，同时对两种数列的性质，要熟悉它们的推导过程，利用好性质，可降低种数列的性质，要熟悉它们的推导过程，利用好性质，可降低题目的难度，解题时有时还需利用条件联立方程组求解题目的难度，解题时有时还需利用条件联立方程组求解【变式训练【变式训练】数列数列

12、aan n 的前的前n n项和记为项和记为S Sn n,a,a1 1=1,a=1,an+1n+1=2S=2Sn n+1(n1).+1(n1).(1)(1)求求aan n 的通项公式的通项公式; ;(2)(2)等差数列等差数列bbn n 的各项为正，其前的各项为正，其前n n项和为项和为T Tn n，且，且T T3 3=15,=15,又又a a1 1+b+b1 1,a,a2 2+b+b2 2,a,a3 3+b+b3 3成等比数列，求成等比数列，求T Tn n. .【解析【解析】(1)(1)由由a an+1n+1=2S=2Sn n+1,+1,可得可得a an n=2S=2Sn-1n-1+1(n2)

13、,+1(n2),两式相减得两式相减得a an+1n+1-a-an n=2a=2an n，则，则a an+1n+1=3a=3an n(n2).(n2).又又a a2 2=2S=2S1 1+1=3,a+1=3,a2 2=3a=3a1 1. .故故aan n 是首项为是首项为1 1，公比为，公比为3 3的等比数列，的等比数列，a an n=3=3n-1n-1. .(2)(2)设设bbn n 的公差为的公差为d,d,由由T T3 3=15,=15,即即b b1 1+b+b2 2+b+b3 3=15,=15,可得可得b b2 2=5,=5,故可设故可设b b1 1=5-d,b=5-d,b3 3=5+d=

14、5+d，又，又a a1 1=1,a=1,a2 2=3,a=3,a3 3=9=9，由题意可得，由题意可得(5-(5-d+1)(5+d+9)=(5+3)d+1)(5+d+9)=(5+3)2 2，解得，解得d d1 1=2,d=2,d2 2=-10.=-10.等差数列等差数列bbn n 的各项为正，的各项为正，dd0,0,d=2,bd=2,b1 1=3,=3,2nn n1T3n2n2n.2【变式备选【变式备选】数列数列aan n 是首项是首项a a1 1=4=4的等比数列，其前的等比数列，其前n n项和为项和为S Sn n, ,且且S S3 3，S S2 2，S S4 4成等差数列成等差数列. .（

15、1 1）求数列）求数列aan n 的通项公式；的通项公式；（2 2）若）若b bn n=log=log2 2|a|an n|(nN|(nN* *) )，设，设T Tn n为数列为数列 的前的前n n项和，项和，求证：求证：2n1n (b1)n5T.4【解析【解析】设数列设数列aan n 的公比为的公比为q,q,（1 1）若）若q=1,q=1,则则S S3 3=12,S=12,S2 2=8,S=8,S4 4=16,=16,显然显然S S3 3，S S2 2，S S4 4不成等差数列，与题设条件矛盾，不成等差数列，与题设条件矛盾，所以所以q1.q1.由由S S3 3，S S2 2，S S4 4成等

16、差数列，得成等差数列，得化简，得化简，得q q2 2+q-2=0,+q-2=0,q=-2q=-2或或q=1q=1（舍去），（舍去），a an n=4(-2)=4(-2)n-1n-1=(-2)=(-2)n+1n+1. .234111a (1 q )a (1 q )a (1 q )2,1 q1 q1 q（2 2）b bn n=log=log2 2|a|an n|=log|=log2 2|(-2)|(-2)n+1n+1|=n+1.|=n+1.当当n=1n=1时，时，当当n2n2时，时，= =n21115T1.1b12 14 232n1111n (b1)nn(n1)n1 n(n1)1112n1 nn

17、n1，则则综上可知综上可知 对任意对任意nNnN* *恒成立恒成立. .n333111T12n1111112 1 22 32 33 4 1111n2n1n1 nn1 nn n11 1111511.2 2n n1224 n5T4 数列的实际应用数列的实际应用【方法点睛【方法点睛】1.1.数列实际应用题的解题策略数列实际应用题的解题策略解等差、等比数列应用题时，首先要认真审题，深刻理解问题解等差、等比数列应用题时，首先要认真审题，深刻理解问题的实际背景，理清蕴含在语言中的数学关系，把应用问题抽象的实际背景，理清蕴含在语言中的数学关系，把应用问题抽象为数学中的等差、等比数列问题，使关系明朗化、标准化

18、然为数学中的等差、等比数列问题，使关系明朗化、标准化然后用等差、等比数列知识求解这其中体现了把实际问题数学后用等差、等比数列知识求解这其中体现了把实际问题数学化的能力，也就是所谓的数学建模能力化的能力，也就是所谓的数学建模能力2.2.等比数列中处理分期付款问题的注意事项等比数列中处理分期付款问题的注意事项(1)(1)准确计算出在贷款全部付清时，各期所付款额及利息准确计算出在贷款全部付清时，各期所付款额及利息( (注：注：最后一次付款没有利息最后一次付款没有利息) )(2)(2)明确各期所付的数额连同到最后一次付款时所生的利息之和明确各期所付的数额连同到最后一次付款时所生的利息之和等于商品售价及

19、从购买到最后一次付款时的利息之和，只有掌等于商品售价及从购买到最后一次付款时的利息之和，只有掌握了这一点，才可以顺利建立等量关系握了这一点，才可以顺利建立等量关系. .【提醒【提醒】 解数列应用题要明确问题属于哪一种类型，即明确是解数列应用题要明确问题属于哪一种类型，即明确是等差数列问题还是等比数列问题，是求等差数列问题还是等比数列问题，是求a an n还是求还是求S Sn n，特别是要，特别是要弄清项数弄清项数. .【例【例2 2】从经济效益出发，某地投入资金进行生态环境建设，并】从经济效益出发，某地投入资金进行生态环境建设，并以此发展旅游产业以此发展旅游产业. .根据规划，本年度投入根据规

20、划，本年度投入800800万元，以后每年万元，以后每年投入将比上年减少投入将比上年减少 ，本年度当地旅游业估计收入，本年度当地旅游业估计收入400400万元，由万元，由于该项建设对旅游业的促进作用，预计今后的旅游业收入每年于该项建设对旅游业的促进作用，预计今后的旅游业收入每年会比上年增加会比上年增加 . .（1 1）设）设n n年内（本年度为第一年）总投入为年内（本年度为第一年）总投入为a an n万元，旅游业总万元，旅游业总收入为收入为b bn n万元，写出表达式；万元，写出表达式；（2 2）至少经过几年旅游业的总收入才能超过总投入？）至少经过几年旅游业的总收入才能超过总投入？1514【解题

21、指南【解题指南】解决本题（解决本题（1 1）的关键是正确理解题意，根据题意）的关键是正确理解题意，根据题意找出第一年投入的金额和旅游业的收入，第二年投入的金额和找出第一年投入的金额和旅游业的收入，第二年投入的金额和旅游业的收入，从而根据等比数列写出表达式，在解决第（旅游业的收入，从而根据等比数列写出表达式，在解决第（2 2）问时，首先列出不等关系式，然后利用换元法解决问时，首先列出不等关系式，然后利用换元法解决. .【规范解答【规范解答】（1 1）第一年投入为）第一年投入为800800万元，万元，第二年投入为第二年投入为 万元，万元，第第n n年的投入为年的投入为 万元，万元，所以所以,n,n

22、年内的总投入为：年内的总投入为：= =1800(1)5n 11800(1)5n 1n11a800800(1)800(1)55n44 0004 000( ) .5第一年旅游业收入为第一年旅游业收入为400400万元，第二年旅游业收入为万元，第二年旅游业收入为 万元万元. .第第n n年旅游业收入为年旅游业收入为 万元万元, ,所以所以,n,n年内的旅游业总收入为年内的旅游业总收入为= =1400(1)4n 11400(1)4n 1n11b400400(1)400(1)44n51 600( )1 600.4（2 2）设经过）设经过n n年旅游业的总收入超过总投入，由此年旅游业的总收入超过总投入，由

23、此b bn n-a-an n0,0,即即化简得化简得设设 代入上式，得代入上式，得5x5x2 2-7x+20,-7x+20,解此不等式，得解此不等式，得 或或x1x1（舍去），（舍去），即即 由此得由此得n5.n5.故至少经过故至少经过5 5年旅游业的总收入才能超过总投入年旅游业的总收入才能超过总投入. .nn541 600( )1 6004 0004 000( )0,45nn542( )5( )70,45n4( )x,52x5n42( ),55【反思【反思感悟感悟】1.1.解答本题时，理解题意是关键，其中解答本题时，理解题意是关键，其中a an n,b,bn n是是等比数列的前等比数列的前n

24、 n项和，而非第项和，而非第n n项项. .2.2.此类问题往往从应用题给出的初始条件入手，推出若干项，此类问题往往从应用题给出的初始条件入手，推出若干项，逐步探索数列通项或前逐步探索数列通项或前n n项和或前后两项的递推关系，从而建立项和或前后两项的递推关系，从而建立等比数列模型等比数列模型. .3.3.与等比数列联系较大的是与等比数列联系较大的是“增长率增长率”、“递减率递减率”的概念，的概念，在经济上多涉及利润、成本、效益的增减问题；在人口数量的在经济上多涉及利润、成本、效益的增减问题；在人口数量的研究中也要研究增长率问题；金融问题更多涉及复利的问题，研究中也要研究增长率问题；金融问题更

25、多涉及复利的问题，这都与等比数列有关这都与等比数列有关. .【变式训练【变式训练】流行性感冒（简称流感）是由流感病毒引起的急流行性感冒（简称流感）是由流感病毒引起的急性呼吸道传染病性呼吸道传染病. .某市去年某市去年1111月份曾发生流感月份曾发生流感. .据资料统计，据资料统计，1111月月1 1日，该市新的流感病毒感染者有日，该市新的流感病毒感染者有2020人，此后，每天的新感染人，此后，每天的新感染者平均比前一天的新感染者增加者平均比前一天的新感染者增加5050人人. .由于该市医疗部门采取措由于该市医疗部门采取措施，使该种病毒的传播得到控制施，使该种病毒的传播得到控制. .从某天起，每

26、天的新感染者平从某天起，每天的新感染者平均比前一天的新感染者减少均比前一天的新感染者减少3030人人. .到到1111月月3030日止，该市在这日止，该市在这3030日日内感染该病毒的患者总共有内感染该病毒的患者总共有8 6708 670人人. .问问1111月几日，该市感染此月几日，该市感染此病毒的新患者人数最多？并求出这一天的新患者人数病毒的新患者人数最多？并求出这一天的新患者人数. .【解析【解析】设从设从1111月月1 1日起第日起第n(nNn(nN* *,1n30),1n30)日感染此病毒的新日感染此病毒的新患者人数最多，则从患者人数最多，则从1111月月1 1日至第日至第n n日止

27、，每日新患者人数依次日止，每日新患者人数依次构成一个等差数列，这个等差数列的首项为构成一个等差数列，这个等差数列的首项为2020，公差为，公差为5050，前前n n日的患者总人数即该数列的前日的患者总人数即该数列的前n n项之和项之和2nn n1S20n5025n5n.2从第从第n+1n+1日开始，至日开始，至1111月月3030日止，每日的新患者人数依次构成另日止，每日的新患者人数依次构成另一等差数列，这个等差数列的首项为一等差数列，这个等差数列的首项为20+20+（n-1)n-1)5050-30 -30 =50n-60,=50n-60,公差为公差为-30-30，项数为，项数为(30-n),

28、(30-n),(30-n)(30-n)日的患者总人数为日的患者总人数为=(30-n)=(30-n)(65n-495)=-65n(65n-495)=-65n2 2+2 445n-14 850.+2 445n-14 850. 30 n30n29nT30n50n60( 30)2依题意依题意, ,得得S Sn n+T+T30-n30-n=8 670=8 670，即，即(25n(25n2 2-5n)+(-65n-5n)+(-65n2 2+2 445n-+2 445n-14 850)=8 670.14 850)=8 670.化简得化简得n n2 2-61n+588=0-61n+588=0，解得，解得n=1

29、2n=12或或n=49.n=49.1n301n30，n=12.n=12.第第1212日的新患者人数为日的新患者人数为20+(12-1)20+(12-1)50=570.50=570.1111月月1212日，该市感染此病毒的新患者人数最多，且这一天的日，该市感染此病毒的新患者人数最多，且这一天的新患者人数为新患者人数为570570人人. .【变式备选【变式备选】气象学院用气象学院用3.23.2万元买了一台天文观测仪，已知这万元买了一台天文观测仪，已知这台观测仪从启用的第一天起连续使用，第台观测仪从启用的第一天起连续使用，第n n天的维修保养费为天的维修保养费为 使用它直至报废最合算（所谓报废最合算

30、是指使用它直至报废最合算（所谓报废最合算是指使用这台仪器的平均耗资最少）为止，一共使用了使用这台仪器的平均耗资最少）为止，一共使用了( )( )（A A）600600天天 （B B）800800天天（C C）1 0001 000天天 （D D）1 2001 200天天*n49nN10元，【解析【解析】选选B.B.由第由第n n天的维修保养费为天的维修保养费为 元（元（nNnN* *) )，可以得，可以得出观测仪的整个耗资费用，由平均费用最少而求得最小值成立出观测仪的整个耗资费用，由平均费用最少而求得最小值成立时相应时相应n n的值的值. .设一共使用了设一共使用了n n天，则使用天，则使用n

31、n天的平均耗资为天的平均耗资为当且仅当当且仅当 时，取得最小值，此时时，取得最小值，此时n=800.n=800.n491044n495)n103.2 103.2 10n24.95,nn20（43.2 10nn20 数列与函数、不等式的综合应用数列与函数、不等式的综合应用【方法点睛【方法点睛】1.1.数列与函数的综合问题数列与函数的综合问题（1 1）已知函数条件，解决数列问题）已知函数条件，解决数列问题. .解决此类问题一般利用函解决此类问题一般利用函数的性质、图象研究数列问题数的性质、图象研究数列问题. .(2)(2)已知数列条件，解决函数问题已知数列条件，解决函数问题. .解决此类问题一般要

32、充分利解决此类问题一般要充分利用数列的范围、公式、求和方法以及对式子的化简变形用数列的范围、公式、求和方法以及对式子的化简变形. .2.2.数列与不等式的综合问题数列与不等式的综合问题(1)(1)以数列为背景的不等式恒成立问题，多与数列求和相联系，以数列为背景的不等式恒成立问题，多与数列求和相联系，最后利用函数的单调性求解最后利用函数的单调性求解. .(2)(2)以数列为背景的不等式证明问题，多与数列求和有关，有时以数列为背景的不等式证明问题，多与数列求和有关，有时利用放缩法证明利用放缩法证明. . 【例【例3 3】(2012(2012杭州模拟）已知等比数列杭州模拟）已知等比数列aan n 的

33、各项均为正数，的各项均为正数，且且2a2a1 1+3a+3a2 2=1, .=1, .(1)(1)若数列若数列bbn n 满足：满足： 求数列求数列bbn n 的前的前n n项和项和S Sn n; ;(2)(2)设设c cn n=log=log3 3a a1 1+log+log3 3a a2 2+log+log3 3a an n， 求使求使 恒成立的实数恒成立的实数k k的范围的范围. .2326a9a annn1blnaa，n12n111T,cccn 1nn 2k72n Tn1【解题指南【解题指南】求数列的和，应先求通项公式，再用分组求和和求数列的和，应先求通项公式，再用分组求和和裂项相消法

34、求和；对裂项相消法求和；对(2)(2)中的恒成立问题，应分离变量，讨论单中的恒成立问题，应分离变量，讨论单调性进而解答调性进而解答. .【规范解答【规范解答】（1 1）设数列）设数列aan n 的公比为的公比为q,q,由由 得得 所以所以由条件可知：由条件可知：q0,q0,故故由由2a2a1 1+3a+3a2 2=1,=1,得得2a2a1 1+3a+3a1 1q=1,q=1,所以所以故数列故数列aan n 的通项公式为的通项公式为所以所以2326a9a a2234a9a，21q,91q.311a,3nn1a.3nnnn1b3ln( )3nln3,3n 1n33n(n1)Sln3.22(2)c(

35、2)cn n=log=log3 3a a1 1+log+log3 3a a2 2+ +log+log3 3a an n=-(1+2+=-(1+2+n)= ,+n)= ,故故所以数列所以数列 的前的前n n项和为项和为 . .化简得化简得 对任意对任意nNnN* *恒成立恒成立, ,n n12n12112(),cn(n1)nn1 n12n111111112nT2 (1)()().ccc223nn1n1 n1c2nn1n2n7k2设设 则则当当n5n5，d dn+1n+1ddn n,d,dn n 为单调递减数列，为单调递减数列，当当1n51nddn n,d,dn n 为单调递增数列为单调递增数列,

36、 ,所以，所以，n=5n=5时，时，d dn n取得最大值为取得最大值为 . .所以所以, ,要使要使 对任意对任意nNnN* *恒成立，恒成立， . .nn2n7d2，n 1nn 1nn 12 n172n792ndd.2224513dd,1632332n2n7k23k32【反思【反思感悟感悟】1.1.本题中在求本题中在求k k的取值范围时，把问题转化为不的取值范围时，把问题转化为不等式恒成立问题，而等式恒成立问题，而d dn n最值的求法使用了数列的单调性最值的求法使用了数列的单调性. .2.2.数列是特殊的函数，以数列为背景的不等式证明问题及以函数列是特殊的函数，以数列为背景的不等式证明问

37、题及以函数为背景的数列的综合问题体现了在知识交汇点上命题的特数为背景的数列的综合问题体现了在知识交汇点上命题的特点，该类综合题的知识综合性强，能很好地考查逻辑推理能力点，该类综合题的知识综合性强，能很好地考查逻辑推理能力和运算求解能力，因而一直成为高考命题者的首选和运算求解能力，因而一直成为高考命题者的首选. .【变式训练【变式训练】(2012(2012漳州模拟）已知数列漳州模拟）已知数列aan n,b,bn n ，其，其中中 ，数列，数列aan n 的前的前n n项和项和S Sn n=n=n2 2a an n(nN(nN* *) )，数列，数列bbn n 满足满足b b1 1=2,b=2,b

38、n+1n+1=2b=2bn n. .(1)(1)求数列求数列aan n,b,bn n 的通项公式的通项公式; ;(2)(2)是否存在自然数是否存在自然数m m，使得对于任意，使得对于任意nNnN* *,n2,n2，有，有 恒成立？若存在，求出恒成立？若存在，求出m m的最小值的最小值. .11a212n 1111m81bbb4【解析【解析】(1)(1)因为因为S Sn n=n=n2 2a an n(nN(nN* *),),当当n2n2时，时，S Sn-1n-1=(n-1)=(n-1)2 2a an-1n-1. .所以所以a an n=S=Sn n-S-Sn-1n-1=n=n2 2a an n-

39、(n-1)-(n-1)2 2a an-1n-1. .所以所以(n+1)a(n+1)an n=(n-1)a=(n-1)an-1n-1. .即即nn 1an1.an1又又所以所以= = =当当n=1n=1时，上式也成立，故时，上式也成立，故因为因为b b1 1=2,b=2,bn+1n+1=2b=2bn n. .所以所以bbn n 是首项为是首项为2 2，公比为，公比为2 2的等比数列，故的等比数列，故b bn n=2=2n n. .11a,2n1an(n1).3nn 1n 22n1n 1n 2n 321aaaaaaaaaaaan1 n2 n32 1 1n1nn14 3 21.n n1(2)(2)由

40、（由（1 1）知，）知，b bn n=2=2n n. .则则假设存在自然数假设存在自然数m m，使得对于任意，使得对于任意nNnN* *,n2,n2,有有 恒成立恒成立, ,即即 恒成立恒成立. .由由 ，解得，解得m16.m16.所以存在自然数所以存在自然数m m，使得对于任意，使得对于任意nNnN* *,n2,n2,有有 恒成立恒成立. .此时此时m m的最小值为的最小值为16.16.2n 1n 112n 11111111112.bbb2222 12n 1111m81bbb4n 11m8224m82412n 1111m81bbb4【满分指导【满分指导】数列与函数的综合应用解答题的规范解答数

41、列与函数的综合应用解答题的规范解答【典例】（【典例】（1414分）分）(2011(2011陕西高考陕西高考) )如图，从点如图，从点P P1 1(0,0)(0,0)作作x x轴轴的垂线交曲线的垂线交曲线y=ey=ex x于点于点Q Q1 1(0,1)(0,1)，曲线在，曲线在Q Q1 1点处的切线与点处的切线与x x轴交轴交于点于点P P2 2. .再从再从P P2 2作作x x轴的垂线交曲线于点轴的垂线交曲线于点Q Q2 2，依次重复上述过程，依次重复上述过程得到一系列点：得到一系列点：P P1 1，Q Q1 1;P;P2 2，Q Q2 2；P Pn n，Q Qn n，记，记P Pk k点的

42、坐标为点的坐标为(x(xk,k,0)(k=1,2,n).0)(k=1,2,n).(1)(1)试求试求x xk k与与x xk-1k-1的关系的关系(k=2,n);(k=2,n);(2)(2)求求|P|P1 1Q Q1 1|+|P|+|P2 2Q Q2 2|+|P|+|P3 3Q Q3 3|+|+|P+|Pn nQ Qn n|. |. 【解题指南【解题指南】（1 1）求出曲线）求出曲线y=ey=ex x在点在点Q Qk-1k-1( )( )处的切线方处的切线方程，令程，令y=0y=0可得可得x xk k与与x xk-1k-1的关系的关系. .(2)(2)把线段长转化为点的纵坐标，利用等比数列求和

43、公式求解把线段长转化为点的纵坐标，利用等比数列求和公式求解. .xk 1k 1x,e【规范解答【规范解答】(1)(1)设点设点P Pk-1k-1的坐标是的坐标是(x(xk-1k-1,0),0),y=ey=ex x,y,y=e=ex x, ,3 3分分Q Qk-1k-1( )( )，在点，在点Q Qk-1k-1( )( )处的切线方程是处的切线方程是令令y=0,y=0,则则x xk k=x=xk-1k-1-1(k=2,-1(k=2,n).,n).6 6分分xk 1k 1x,exk 1k 1x,exxk 1k 1k 1yeexx,(2)x(2)x1 1=0,x=0,xk k-x-xk-1k-1=-

44、1,x=-1,xk k=-(k-1),=-(k-1), 1010分分 于是有于是有|P|P1 1Q Q1 1|+|P|+|P2 2Q Q2 2|+|P|+|P3 3Q Q3 3|+|+|P+|Pn nQ Qn n| |=1+e=1+e-1-1+e+e-2-2+ +e+e-(n-1)-(n-1)= =即即 1414分分xk 1kkk|P Q | ee,n1 n11 eee,1 ee 11 n112233nneePQP QP QP Q.e 1【阅卷人点拨【阅卷人点拨】通过高考中的阅卷数据分析与总结，我们可以通过高考中的阅卷数据分析与总结，我们可以得到以下失分警示和备考建议：得到以下失分警示和备考建

45、议：失失分分警警示示 在解答本题时有两点容易造成失分：在解答本题时有两点容易造成失分：（1 1）不明确题意，无法求出在点）不明确题意，无法求出在点Q Qk-1k-1( )( )处的切线方程处的切线方程. .(2)(2)对数列的应用意识较差，不会把求和问题转化对数列的应用意识较差，不会把求和问题转化为数列求和解决为数列求和解决. . xk 1k 1x,e备备考考建建议议 解决数列与其他知识的综合问题时，还有以下几点容解决数列与其他知识的综合问题时，还有以下几点容易造成失分，在备考时要高度关注：易造成失分，在备考时要高度关注：（1 1）等差、等比数列通项公式及求和公式记忆错误；）等差、等比数列通项

46、公式及求和公式记忆错误；（2 2）不能熟练掌握函数、方程、三角不等式等其他知）不能熟练掌握函数、方程、三角不等式等其他知识内容，而不能顺利地利用数列知识解题；识内容，而不能顺利地利用数列知识解题；（3 3）不能合理利用分类讨论、函数与方程、等价转化、）不能合理利用分类讨论、函数与方程、等价转化、数形结合等思想方法解题数形结合等思想方法解题. .另外培养对数列知识的应用意识，当问题与自然数另外培养对数列知识的应用意识，当问题与自然数n n有有关时，可考虑是否能用数列知识解决关时，可考虑是否能用数列知识解决. . 1.(20121.(2012舟山模拟）已知数列舟山模拟）已知数列aan n 的前的前

47、n n项和为项和为S Sn n，过点，过点P(n,SP(n,Sn n) )和和Q(n+1,SQ(n+1,Sn+1n+1)(nN)(nN* *) )的直线的斜率为的直线的斜率为3n-2,3n-2,则则a a2 2+a+a4 4+a+a5 5+a+a9 9的值等于的值等于( )( )(A)52 (B)40 (C)26 (D)20(A)52 (B)40 (C)26 (D)20【解析【解析】选选B.B.由题意，知由题意，知 , , 即即a an+1n+1=3n-2,a=3n-2,an n=3n-5,=3n-5,因此数列因此数列aan n 是等差数列，是等差数列，a a5 5=10,=10,aa2 2+

48、a+a4 4+a+a5 5+a+a9 9=2(a=2(a3 3+a+a7 7)=4a)=4a5 5=40.=40.n 1nSS3n2n1nn 1nSS3n2,2.(20122.(2012台州模拟）在递减等差数列台州模拟）在递减等差数列aan n 中，若中，若a a1 1+a+a100100=0,=0,则则其前其前n n项和项和S Sn n取最大值时的取最大值时的n n值为值为( )( )(A)49 (B)51 (C)48 (D)50(A)49 (B)51 (C)48 (D)50【解析【解析】选选D.aD.a1 1+a+a100100=a=a5050+a+a5151=0,=0,且且d0d0,a0

49、,a51510,0,当当n=50n=50时，时，S Sn n取最大值取最大值. .3.(20123.(2012嘉兴模拟）已知数列嘉兴模拟）已知数列aan n 满足满足loglog3 3a an n+1=log+1=log3 3a an+1n+1(nN(nN* *),),且且a a2 2+a+a4 4+a+a6 6=9,=9,则则 _._.【解析【解析】loglog3 3a an n+1=log+1=log3 3a an+1n+1, ,aan+1n+1=3a=3an n, ,数列数列aan n 是公比为是公比为3 3的等比数列，的等比数列，a a5 5+a+a7 7+a+a9 9=(a=(a2

50、2+a+a4 4+a+a6 6) )3 33 3=3=35 5, ,答案：答案：-5-557951133log (aaa )log 35. 15793logaaa 4.(20124.(2012温州模拟）已知数列温州模拟）已知数列aan n 中各项均为正数，中各项均为正数，S Sn n是数列是数列aan n 的前的前n n项和，且项和，且（1 1）求数列）求数列aan n 的通项公式；的通项公式；（2 2）对）对nNnN* *, ,试比较试比较 与与a a2 2的大小的大小. .2nnn1S(aa ).212n111SSS【解析【解析】（1 1）当当n=1n=1时，时，又又aan n 中各项均为

51、正数，解得中各项均为正数，解得a a1 1=1.=1.当当n2n2时，时， 即即即即(a(an n-a-an-1n-1)(a)(an n+a+an-1n-1)-(a)-(an-1n-1+a+an n)=0,)=0,(a(an n-a-an-1n-1-1)(a-1)(an n+a+an-1n-1)=0,)=0,2nnn1Saa,2211111Saaa,222nn 1nnnn 1n 111SSa(aa )(aa),2222nnnn 1n 12a(aa )(aa),22nnn 1n 1naaaa2a0,22nn 1n 1naaaa0,aan n 中各项均为正数，中各项均为正数，a an n-a-an-1n-1-1=0.-1=0.即即a an n-a-an-1n-1=1(n2),=1(n2),aan n=n(n2),=n(n2),又又n=1n=1时，时，a a1 1=1,=1,数列数列aan n 的通项公式是的通项公式是a an n=n(nN=n(nN* *).).(2)(2)对对nNnN* *,S,Sn n是数列是数列aan n 的前的前n n项和，项和，a a2 2=2,=2,nnn(n1)1211S,2().2Sn(n1)nn112n11111111112()2(1).SSS1223nn1n1212n11112(1)2a .SSSn1212n111a .SSS