高等数学(下册)综合练习题(Ⅳ)

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1、上一页上一页下一页下一页返回返回空间直角坐标系空间直角坐标系 空间两点间距离公式空间两点间距离公式（注意它与平面直角坐标系的（注意它与平面直角坐标系的区别区别）（轴、面、卦限）（轴、面、卦限） 21221221221zzyyxxMM 向量的数量积向量的数量积向量的向量积向量的向量积（结果是一个数量）（结果是一个数量）（结果是一个向量）（结果是一个向量）（注意共线、共面的条件）（注意共线、共面的条件）上一页上一页下一页下一页返回返回平面的方程平面的方程（熟记平面的几种特殊位置的方程）（熟记平面的几种特殊位置的方程）两平面的夹角两平面的夹角.点到平面的距离公式点到平面的距离公式.点法式方程点法式方

2、程.一般方程一般方程.截距式方程截距式方程. （注意两平面的（注意两平面的位置位置特征）特征）.|222000CBADCzByAxd 上一页上一页下一页下一页返回返回空间直线的一般方程空间直线的一般方程.空间直线的对称式方程与参数方程空间直线的对称式方程与参数方程.两直线的夹角两直线的夹角.直线与平面的夹角直线与平面的夹角.（注意两直线的位置关系）（注意两直线的位置关系）（注意直线与平面的位置关系）（注意直线与平面的位置关系）上一页上一页下一页下一页返回返回曲面方程的概念曲面方程的概念旋转曲面的概念及求法旋转曲面的概念及求法.柱面的概念柱面的概念(母线、准线母线、准线). 0),( zyxF上

3、一页上一页下一页下一页返回返回多元函数极限的概念多元函数极限的概念（注意趋近方式的（注意趋近方式的任意性任意性）多元函数的定义多元函数的定义多元函数连续的概念多元函数连续的概念闭区域上连续函数的性质闭区域上连续函数的性质上一页上一页下一页下一页返回返回偏导数的定义偏导数的定义偏导数的计算、偏导数的几何意义偏导数的计算、偏导数的几何意义高阶偏导数高阶偏导数（偏增量比的极限）（偏增量比的极限） 纯偏导纯偏导混合偏导混合偏导（相等的条件）（相等的条件）上一页上一页下一页下一页返回返回、多元函数全微分的概念；、多元函数全微分的概念；、多元函数全微分的求法；、多元函数全微分的求法；、多元函数连续、可导、

4、可微的关系、多元函数连续、可导、可微的关系（注意：与一元函数有很大区别）（注意：与一元函数有很大区别）上一页上一页下一页下一页返回返回多元函数连续、可导、可微的关系多元函数连续、可导、可微的关系函数可微函数可微函数连续函数连续偏导数连续偏导数连续函数可导函数可导上一页上一页下一页下一页返回返回1、链式法则、链式法则（分三种情况）（分三种情况）2、全微分形式不变性、全微分形式不变性（特别要注意课中所讲的特殊情况）（特别要注意课中所讲的特殊情况）（理解其实质）（理解其实质）上一页上一页下一页下一页返回返回（分以下几种情况）（分以下几种情况）隐函数的求导法则隐函数的求导法则0),()1( yxF0)

5、,()2( zyxF 0),(0),()3(vuyxGvuyxF上一页上一页下一页下一页返回返回空间曲线的切线与法平面空间曲线的切线与法平面（当空间曲线方程为一般式时，求切向（当空间曲线方程为一般式时，求切向量注意采用量注意采用推导法推导法）曲面的切平面与法线曲面的切平面与法线（求法向量的方向余弦时注意（求法向量的方向余弦时注意符号符号）上一页上一页下一页下一页返回返回 ),(yxgradfjyfixf 上一页上一页下一页下一页返回返回例如例如, 点点)0 , 0(是函数是函数xyz 的驻点，的驻点，但但不不是是极极值值点点. 仿照一元函数，凡能使一阶偏导数同时为零仿照一元函数，凡能使一阶偏导

6、数同时为零的点，均称为函数的的点，均称为函数的驻点驻点.驻点驻点极值点极值点问题：如何判定一个驻点是否为极值点？问题：如何判定一个驻点是否为极值点？定理定理 2 2（充分条件）（充分条件）设函数设函数),(yxfz 在点在点),(00yx的某邻域内连续，的某邻域内连续，有一阶及二阶连续偏导数，有一阶及二阶连续偏导数，注意：注意：上一页上一页下一页下一页返回返回又又 0),(00 yxfx, , 0),(00 yxfy， 令令 Ayxfxx ),(00， Byxfxy ),(00， Cyxfyy ),(00，则则),(yxf在点在点),(00yx处是否取得极值的条件如下：处是否取得极值的条件如下

7、：（1 1）02 BAC时具有极值，时具有极值， 当当0 A时有极大值，时有极大值， 当当0 A时有极小值；时有极小值；（2 2）02 BAC时没有极值；时没有极值；（3 3）02 BAC时可能有极值时可能有极值, ,也可能没有极值，也可能没有极值，还需另作讨论还需另作讨论上一页上一页下一页下一页返回返回求函数求函数),(yxfz 极值的一般步骤：极值的一般步骤：第第一一步步 解解方方程程组组, 0),( yxfx0),( yxfy求出实数解，得驻点求出实数解，得驻点.第二步第二步 对于每一个驻点对于每一个驻点),(00yx，求出二阶偏导数的值求出二阶偏导数的值 A、B、C.第三步第三步 定出

8、定出2BAC 的符号，再判定是否是极值的符号，再判定是否是极值.上一页上一页下一页下一页返回返回多元函数的极值多元函数的极值拉格朗日乘数法拉格朗日乘数法（取得极值的必要条件、充分条件）（取得极值的必要条件、充分条件）多元函数的最值多元函数的最值上一页上一页下一页下一页返回返回)( ,),(),()()(21面元素面元素 ddxdyyxfdyxfbaxyxyD)( ,),(),()()(),(),(2121体元素体元素dVdzzyxfdydxdVzyxfbaxyxyyxzyxz baLdsdxyxyxfdsyxf)( ,1)(,),(2曲曲线元素线元素 baLdxdxxyxfdxyxf)( ,)

9、(,),(投影投影线元素线元素上一页上一页下一页下一页返回返回 xyDyxdxdyzzyxzyxfdSzyxf221),(,),( xyDdxdyyxzyxfdxdyzyxR),(,),(其中其中dSRQPdxdyRQdzdxPdydz)coscoscos( dsQPQdyPdxLL)coscos( )(曲曲面元素面元素dS)(投影投影面元素面元素dxdy上一页上一页下一页下一页返回返回格林公式定理定理1 1)1()2(上一页上一页下一页下一页返回返回与路径无关的四个等价命题与路径无关的四个等价命题条条件件在在单单连连通通开开区区域域D上上),(),(yxQyxP具具有有连连续续的的一一阶阶偏

10、偏导导数数, ,则则以以下下四四个个命命题题成成立立. . LQdyPdxD与与路路径径无无关关内内在在)1( CDCQdyPdx闭闭曲曲线线, 0)2(QdyPdxduyxUD 使使内内存存在在在在),()3(xQyPD ,)4(内内在在等等价价命命题题上一页上一页下一页下一页返回返回高高 斯斯 公公 式式dSRQPdvzRyQxP)coscoscos()( 或或 这里这里是是的整个边界曲面的外侧，的整个边界曲面的外侧， )1()2()3(上一页上一页下一页下一页返回返回dxdyyPxQdzdxxRzPdydzzQyR)()()( RdzQdyPdx斯托克斯公式斯托克斯公式斯托克斯(stok

11、es)公式上一页上一页下一页下一页返回返回正正 项项 级级 数数任意项级数任意项级数审审敛敛法法1.2.4.充要条件充要条件5.比较法比较法6.比值法比值法7.根值法根值法4.绝对收敛绝对收敛5.交错级数交错级数(莱布尼茨定理莱布尼茨定理)3.按基本性质按基本性质;,则级数收敛则级数收敛若若SSn;, 0,则级数发散则级数发散当当 nun上一页上一页下一页下一页返回返回应该掌握的公式应该掌握的公式 1 , 1x!n1n21x161 , 1(1nx1x1ln5,!n2x1xcos4,!1n2x1xsin3,!nxe21 , 1xx111n0n0n1nn0nn2n0n1n2n0nnx0nn 上一页

12、上一页下一页下一页返回返回高等数学高等数学(下册下册)综合练习题综合练习题( )一、1. nnyxxyyx 33 00yxyx2.3.181)39(3lim339lim0000 xyxyxyxyxyyxyx4.当当 kxy 时时， 22220031434limkkxkxxkxkxyx ,这与这与 k有关 dyxyxyxxyxdxxyxyyxyy)cos()(sin3)sin()cos()(sin3)sin(. 522 222221116yxyvuvuvxz )(.22222111yxxvuvuvyz )(上一页上一页下一页下一页返回返回3z2yx3z2yx2sinzyxF )(),(.令令71

13、 )(),(3z2yx2coszyxFx23z2yx4coszyxFy )(),(33z2yxcoszyxFz )(),(6166 33z2yxcos33z2yxcos)()(yzxz上一页上一页下一页下一页返回返回0)1(2)2()21(412112124 zyxzyx法法线线方方程程为为：切切线线方方程程为为：tztytxttt2,1,)1(122 解解：),(1221切切点点为为2,1,1. 8tzttyttx 上一页上一页下一页下一页返回返回332231, 0)3(3)2(2)1(3. 9 zyxzyx139813125101331342|.10)2, 1 ,5( lukji477.1

14、1 22333.12abab 1633,1633.13 14.可微可微连连续续，可可导导可可导导，可可微微 上一页上一页下一页下一页返回返回 Dyyydxxdyydxdyx1011)1()1(.15dyyyxy 10211)1(21241)(213210 dyyy 41222222)sin(.16yxdyxyxrdrrrd 2021)sin(412)cos(2 r上一页上一页下一页下一页返回返回dzyxzdxdydvyxzyy 10010222)1()1(.17 100222)1(2)1(ydxyyxdydyyyydyyy 1032102)2(414)1(481 2020222),sin,co

15、s(.18rrdrzrrfdrd上一页上一页下一页下一页返回返回drrrdd sincos.19220402022dydzzyAD )(41.2022 3134122020rdrrd的的极极坐坐标标方方程程为为：22cos.24 aL22222822aadadsyxL cos上一页上一页下一页下一页返回返回154.254112 dxxx）（ dsz2.26 xyDyxdxdyzzyx22221)(3 xyDdxdyyxyyxxyx22222222)(326)(3261)(3 xyDdxdyyx31)(322 302206drrd 27上一页上一页下一页下一页返回返回 xzdxdy.27 102

16、10321xDdyyxxdxxzdxdyxy 12120121280.28yyyydxdydxdydxxxxx12)1(6)1(2102 dxxx12)1(210 1441 上一页上一页下一页下一页返回返回 20101202042229rrzdzrdrdzdzrdrdI.drrzrdrrzr22102220122422 21 023)1 , 0 , 1(.3010123101222 zyxzyxxxzzyxzyxfdrrrdrrr)()(410420116 上一页上一页下一页下一页返回返回二、1.解：设 ，yxyx 则有 22222222 uuuxuuuxu，22222222 uuuyuuuy

17、u，（1） （2） 将（将（1），（），（2）代入原方程得：）代入原方程得： , 02 u从而从而 )()()()(yxyxu （3） 把已知条件代入（把已知条件代入（3）式得）式得： )()()()()(5332xxxxxx （4）上一页上一页下一页下一页返回返回两边对两边对x求导得：求导得： 1)3(3)( xx 联立（联立（4）（）（5）（）（6）解之可得：）解之可得： （6）cxxxcxxx )27(41)(,414)(33 于是可得于是可得： yyxyxyxu2)3()(41),(33xxxuxxxuxxuxyyyxx35)2 ,(,34)2 ,()2 ,( 上一页上一页下一页下一页

18、返回返回2.解：解： 0)sin()sin(22222110 dyxxydxdyxxydxIxxxxxx3.解：补充：平面解：补充：平面 , 0, 1,221 zyx则有则有 102)()(22zdxdydzdxzxydydzyzx 11)1(2dvyxI rdzrrrdrd101020321sincos2上一页上一页下一页下一页返回返回三、三、1.证：设证：设 ,22uyx 由于由于 )(uf连续，故有连续，故有 udttfu0)()( )()(ufu 即即duuud)(21)(21 )(22ydyxdxyxf Lydyxdxyx)(22从从而而0)(21 Lud 上一页上一页下一页下一页返回返回2.解：解： dxxaadyhaMaah 2202212=2 dyaxhaaaah |arcsin1022hhaydyyaa0022|arctan2 =2 aharctan =2