三视图和球的表面积与体积

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1、三视图&球的表面积和体积专题训练 1 （2017一卷.07）某多面体的三视图如图所示，其中正视图和左视图都由正方形和等腰直角三角形组成，正方形的边长为2，俯视图为等腰直角三角形，该多面体的各个面中有若干个是梯形，这些梯形的面积之和为（）A10B12C14D162 （2017二卷.04）如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗实线画出的是某几何体的三视图，该几何体由一平面将一圆柱截去一部分后所得，则该几何体的体积为（）A90B63C42D36第1题 第2题 第3题 第5题3（2016一卷.06）如图，某几何体的三视图是三个半径相等的圆与每个圆中两条相互垂直的半径若该几何体的体积是，则它的表面积是（）

2、A17B18C20D284体积为8的正方体的顶点都在同一球面上，则该球面的表面积为（）A12BC8D45（2015一卷.11）圆柱被一个平面截去一部分后与半球（半径为r）组成一个几何体，该几何体三视图中的正视图和俯视图如图所示若该几何体的表面积为16+20，则r=（）A1B2C4D86 （2015年二卷06）一个正方体被一个平面截去一部分后，剩余部分的三视图如图，则截去部分体积与剩余部分体积的比值为（）ABCD7（2014一卷12）如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗实线画出的是某多面体的三视图，则该多面体的各条棱中，最长的棱的长度为（） A6 B6 C4 D48（2013一卷06）如图，有一

3、个水平放置的透明无盖的正方体容器，容器高8cm，将一个球放在容器口，再向容器注水，当球面恰好接触水面时测得水深为6cm，如不计容器的厚度，则球的体积为（） B C D第7题 第8题 第9题 第10题9如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗线画出的是某几何体的三视图，则该几何体的体积为（ ）A. B. C. D. 10如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗线画出的是某三棱锥的三视图，则该三棱锥的体积为（ ）A. B. C. D. 11在三棱锥D-ABC中，已知AD平面ABC，且ABC为正三角形，AD=AB=3，则三棱锥D-ABC的外接球的表面积为A. 10 B. 9 C. 8 D. 712已知正方体

4、ABCD-A1B1C1D1体积为8，面A1B1C1D1在一个半球的底面上，A、B、C、D四个顶点都在此半球面上，则此半球的体积为（ ）A. 323 B. 423 C. 12 D. 4613三棱锥P-ABC中，PA平面ABC且PA=2,ABC是边长为3的等边三角形，则该三棱锥外接球的表面积为( )A. 43 B. 4 C. 8 D. 2014底面是正多边形，顶点在底面的射影是底面中心的棱锥叫做正棱锥.如图，半球有一接正四棱锥SABCD，该四棱锥的侧面积为43，则该半球的体积为( )A. 43 B. 23 C. 823 D. 423三视图参考答案与试题解析一. 选择题（共8小题）1（1分）某多面体

5、的三视图如图所示，其中正视图和左视图都由正方形和等腰直角三角形组成，正方形的边长为2，俯视图为等腰直角三角形，该多面体的各个面中有若干个是梯形，这些梯形的面积之和为（）A10B12C14D16考点L!：由三视图求面积、体积分析由三视图可得直观图，由图形可知该立体图中只有两个相同的梯形的面，根据梯形的面积公式计算即可解答解：由三视图可画出直观图，该立体图中只有两个一样的梯形的面，S梯形=2（2+4）=6，这些梯形的面积之和为62=12，故选：B点评本题考查了体积计算公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题3 （1分）如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗实线画出的是某几何体的三视图，该几何体由一

6、平面将一圆柱截去一部分后所得，则该几何体的体积为（）A90B63C42D36考点L!：由三视图求面积、体积分析由三视图可得，直观图为一个完整的圆柱减去一个高为6的圆柱的一半，即可求出几何体的体积解答解：由三视图可得，直观图为一个完整的圆柱减去一个高为6的圆柱的一半，V=3210326=63，故选：B点评本题考查了体积计算公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题3（1分）如图，某几何体的三视图是三个半径相等的圆与每个圆中两条相互垂直的半径若该几何体的体积是，则它的表面积是（）A17B18C20D28考点L!：由三视图求面积、体积分析判断三视图复原的几何体的形状，利用体积求出几何体的半径，然后求

7、解几何体的表面积解答解：由题意可知三视图复原的几何体是一个球去掉后的几何体，如图：可得：=，R=2它的表面积是：422+=17故选：A点评本题考查三视图求解几何体的体积与表面积，考查计算能力以与空间想象能力4（1分）体积为8的正方体的顶点都在同一球面上，则该球面的表面积为（）A12BC8D4考点LG：球的体积和表面积分析先通过正方体的体积，求出正方体的棱长，然后求出球的半径，即可求出球的表面积解答解：正方体体积为8，可知其边长为2，正方体的体对角线为=2，即为球的直径，所以半径为，所以球的表面积为=12故选：A点评本题考查学生的空间想象能力，体积与面积的计算能力，是基础题5（1分）圆柱被一个平

8、面截去一部分后与半球（半径为r）组成一个几何体，该几何体三视图中的正视图和俯视图如图所示若该几何体的表面积为16+20，则r=（）A1B2C4D8考点L!：由三视图求面积、体积分析通过三视图可知该几何体是一个半球拼接半个圆柱，计算即可解答解：由几何体三视图中的正视图和俯视图可知，截圆柱的平面过圆柱的轴线，该几何体是一个半球拼接半个圆柱，其表面积为：4r2+r22r2r+2r2r+r2=5r2+4r2，又该几何体的表面积为16+20，5r2+4r2=16+20，解得r=2，故选：B点评本题考查由三视图求表面积问题，考查空间想象能力，注意解题方法的积累，属于中档题6（1分）一个正方体被一个平面截去

9、一部分后，剩余部分的三视图如图，则截去部分体积与剩余部分体积的比值为（）ABCD考点L!：由三视图求面积、体积分析由三视图判断，正方体被切掉的部分为三棱锥，把相关数据代入棱锥的体积公式计算即可解答解：设正方体的棱长为1，由三视图判断，正方体被切掉的部分为三棱锥，正方体切掉部分的体积为111=，剩余部分体积为1=，截去部分体积与剩余部分体积的比值为故选：D点评本题考查了由三视图判断几何体的形状，求几何体的体积7（1分）如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗实线画出的是某多面体的三视图，则该多面体的各条棱中，最长的棱的长度为（）A6B6C4D4考点L!：由三视图求面积、体积分析画出图形，结合三视图的

10、数据求出棱长，推出结果即可解答解：几何体的直观图如图：AB=4，BD=4，C到BD的中点的距离为：4，AC=6，AD=4，显然AC最长长为6故选：B点评本题考查三视图求解几何体的棱长，考查计算能力8（1分）如图，有一个水平放置的透明无盖的正方体容器，容器高8cm，将一个球放在容器口，再向容器注水，当球面恰好接触水面时测得水深为6cm，如不计容器的厚度，则球的体积为（）ABCD考点LG：球的体积和表面积分析设正方体上底面所在平面截球得小圆M，可得圆心M为正方体上底面正方形的中心设球的半径为R，根据题意得球心到上底面的距离等于（R2）cm，而圆M的半径为4，由球的截面圆性质建立关于R的方程并解出R

11、=5，用球的体积公式即可算出该球的体积解答解：设正方体上底面所在平面截球得小圆M，则圆心M为正方体上底面正方形的中心如图设球的半径为R，根据题意得球心到上底面的距离等于（R2）cm，而圆M的半径为4，由球的截面圆性质，得R2=（R2）2+42，解出R=5，根据球的体积公式，该球的体积V=故选A点评本题给出球与正方体相切的问题，求球的体积，着重考查了正方体的性质、球的截面圆性质和球的体积公式等知识，属于中档题9A解析由三视图可知该几何体是一个组合体：在一个半球上叠加一个圆锥，且挖掉一个一样的圆锥，所以该几何体的体积和半球的体积相等，因此该几何体的体积，故选A.10B解析由三视图可知，该几何体是如

12、图所示的三棱锥（正方体的棱长为，是棱的中点），其体积为，故选C.方法点睛本题利用空间几何体的三视图重点考查学生的空间想象能力和抽象思维能力，属于难题.三视图问题是考查学生空间想象能力最常见题型，也是高考热点.观察三视图并将其“翻译”成直观图是解题的关键，不但要注意三视图的三要素“高平齐，长对正，宽相等”，还要特别注意实线与虚线以与一样图形的不同位置对几何体直观图的影响.11D解析等边三角形外接圆半径为asinA2=3322=1,AD2=32,故外接球半径为12+322=72,表面积为4r2=7,故选D.12D解析正方体体积为8，则棱长为2由题意可得底面A1B1C1D1的中心到上底面顶点距离为球

13、的半径22+22=6半球体积为124363=46故选D13C解析根据已知中底面ABC是边长为3的正三角形，PA平面ABC，可得此三棱锥外接球，即为以ABC为底面以PA为高的正三棱柱的外接球ABC是边长为3的正三角形，ABC的外接圆半径r=233-34=1，球心到ABC的外接圆圆心的距离d=1， 故球的半径R=r2+d2=2，故三棱锥P-ABC外接球的表面积S=4R2=8.故选：C14D解析由题意知，设半球的半径为R，正方形ABCD的边长为AB=2R，顶点S在底面的身影是半球的球心O，取BC的中点M，连接SM，如图所示，则SM=R2+2R22=6R2，所以四棱锥的侧面积为4122R6R2=43，R=2，所以该半球的体积为V=124323=423.故选D.点睛：此题主要考查立体几何中简单组体的表面积和体积的计算，这里涉与到正四棱锥的侧面积和半球的体积的计算等方面的知识与技能，属于中档题型，也是常考考点.解决此类问题的突破口在于把空间组合体问题转化为平面图形问题，由于四棱锥侧面积涉与到斜高，而半球的体积涉与到其半径，所以在选截面图时要能把斜高和半径联系起来的平面图，再根据平面图形的特点来解决问题.12 / 12