自-离散型随机变量的期望、方差和正态分布

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1、离散型随机变量的期望、方差和正态分布【知识回顾】1. 期望:若离散型随机变量E,当E =x!的概率为p ( E =xi) = Pi (i= 1, 2,n,),则称EE =刀x丄为E的数学期望，反映了 E的平均值.2. 方差：称D E =E ( x i - EE) 2pi为随机变量E的均方差，简称方差.D叫标准差,反映了 E的离散 程度.3 .性质：(1)E(aE +b)=aEE +b ,D (aE +b) =a2D E ( a、b 为常数).(2 )若 E B ( n , p),贝V E E = np, D E =nP q(q=1 P ).4. 总体密度曲线：样本容量越大，所分组数越多，各组的

2、频率就越接近于总体在相应各组取值的概 率.设想样本容量无限增大，分组的组距无限缩小,那么频率分布直方图就会无限接近于一条光 滑曲线,这条曲线叫做总体密度曲线.频率/组距总体密度曲线它反映了总体在各个范围内取值的概率.根据这条曲线,可求出总体在区间(a , b )内取值的 概率等于总体密度曲线，直线x= a, x=b及x轴所围图形的面积.观察总体密度曲线的形状，它具有“两头低，中间高，左右对称”的特征,具有这种特征 的总体密度曲线一般可用下面函数的图象来表示或近似表示：1f (x)e 2 ,x (,)V2式中的实数 、(0)是参数，分别表示总体的平均数与标准差，函数f(x)称为正态函数，f (x

3、)的图象称为正态曲线.正态分布一般记为N( ,2)5. 正态分布N( , 2)是由均值卩和标准差6唯一决定的分布，随机变量X的取值区间在(a , b : 上的概率等于总体密度函数在a,b上的定积分值也就是随机变量X的取值区间在(a , b 上的 概率等于正态曲线与直线x=a, x= b及x轴所围成的封闭图形的面积.6. 正态曲线的性质：(1) 曲线在x轴的上方,与x轴不相交(2) 曲线关于直线x=卩对称(3) 当x=卩时，曲线位于最高点+(4 )当xV 时，曲线上升(增函数)；当x 卩时，曲线下降(减函数)并且当曲线向左、 右两边无限延伸时，以x轴为渐近线，向它无限靠近(5) 一定时，曲线的形

4、状由6确定+6越大，曲线越“矮胖”，总体分布越分散；6越小.曲线越“高”.总体分布越集中.7. 通过对三组正态曲线分析，得出正态曲线具有的基本特征是两头底、中间高、左右对称+正态分布的随机变量取值在(- (T ,+ c ,(-2 (T ,卩 + 2c , (卩一3(T ,上的概率区间取值概率(1 d ,1 + d 68.3%(1一 2 d ,1+ 2 d95. 4%(1一3 d , 1 + 3 d 9 9.7%注 意：在实际应用中,通常认为服从于正态分 布的随机变量X只取(1 3 d , 1 +3 )之间的值(在此区间以外取值的概率只有0. 0026),并简称之为3 d原则. 【基础练习】1.

5、 设投掷1颗骰子的点数为E,贝( B )A .EE = 3.5,D E =3.5 2 B .E E =3.5,35D E = C.E E =3.125,D E = 3. 535D .E E = 3. 5，DE =-2301002.3 .2. 设导弹发射的事故率为0.01,若发射1 0次，其出事故的次数为E ,则下列结论正确的是(A )A.EE =0. 1応.D E =0.1 C.P ( E =k) = 0. 0 1 k 0.9910 k? D.P ( E = k) = C 黑 0.9 9 k 0.0 110k3. 已知 E B(n, p),且 E E = 7 , D E = 6 ,则 P 等于

6、(A )1111A .丄? B 丄？?C.丄 ?D -76544 .一牧场有10头牛，因误食含有病毒的饲料而被感染,已知该病的发病率为0.02.设发病的牛的头 数为E，则D E等于(C )A.0.2B. 0.8C.0.196D.0. 8 045 .若 X N ( 6 0,8 2),则X位于区间(60,68的概率是(D )A. 0.6 8 26B .0 . 95 4 4C. 0.9 97 4D. 0.3413【典例解析】例1.某中学号召学生在今年春节期间至少参加一次社会公益 活动(以下简称活动)该校合唱团共有100名学生他们参加活 动的次数统计如图所示.(I)求合唱团学生参加活动的人均次数；(I

7、I) 从合唱团中任意选两名学生，求他们参加活动次数恰好 相等的概率.(III) 从合唱团中任选两名学生，用 表示这两人参加活动次数之差的绝对值，求随机变量的分布列及数学期望E解:由图可知，参加活动1次、2次和3次的学生人数分别为 10、50 和 40.1 102 50 3 40(I)该合唱团学生参加活动的人均次数为5100G： C0 C：41G：099(II)从合唱团中任选两名学生，他们参加活动次数恰好相等的概率为F0230100A. 0.16 ?B. 0.32 ?C. 0.68?D ,0.84(II I )从合唱团中任选两名学生，记“这两人中一人参加1次活动，另一人参加2次活动”为事件 A,

8、 “这两人中一人参加2次活动，另一人参加3次活动”为事件B，“这两人中一人参加1次活动, 另一人参加3次活动”为事件C.易知P( 1) P(A) P(B)Ci2ooC1C0Cioo50 ； p(992) P(C)C10C408 ；2 ；C10099A. 0.16 ?B. 0.32 ?C. 0.68?D ,0.84A. 0.16 ?B. 0.32 ?C. 0.68?D ,0.84的分布列:012P41995099899的数学期望：E4150820 12 .999999 3例2.厂家在产品出厂前,需对产品做检验,厂家将一批产品发给商家时,商家按合同规定也需随机抽 取一定数量的产品做检验,以决定是否

9、接收这批产品.(I )若厂家库房中的每件产品合格的概率为0.8,从中任意取出4件进行检验.求至少有1件是合格 品的概率；(n )若厂家发给商家20件产品，其中有3件不合格,按合同规定该商家从中任取2件，都进行检验，只有2件都合格时才接收这批产品,否则拒收.求该商家可能检验出不合格产品数 的分布列及 期望E ,并求该商家拒收这批产品的概率.解:(I)记“厂家任取4件产品检验，其中至少有1件是合格品”为事件A用对立事件A来算，有P A 141 0.20.9984A. 0.16 ?B. 0.32 ?C. 0.68?D ,0.84A. 0.16 ?B. 0.32 ?C. 0.68?D ,0.84) 可

10、能的取值为0,1,20C0c3g；51C20190 P2 C2201903319010c 1360 -190“商家任取2件产品检验，都合格”为事件E,则商家拒收这批产品的概率136190邑219027 所以商家拒收这批产品的概率为9595【巩固提高】1.设服从二项分布p的值为(BB (n,)p )的随机变量E的期望和方差分别是2.4与1.44,则二项分布的参数n、A. 0.16 ?B. 0.32 ?C. 0.68?D ,0.84A .n=4, p=0. 6 B . n=6 , p= 0.4 C . n =8, p= 0 .3?D .n= 2 4, p =0.1C.2 .3 7 6?D . 2.

11、42 .一射手对靶射击，直到第一次命中为止每次命中的概率为0.6，现有4颗子弹，命中后的剩余子弹数 目E的期望为(C )A. 2 . 44T7B3.3764 .在某项测量中，测量结果 服从正态分布N(1,2)(0).若 在(0,)内取值的概率为0.4，则在(0,2)内取值的概率为_ 0 .8.5.设一次试验成功的概率为p,进行1 0 0次独立重复试验，当 p =丄时，成功次数的标准2差的值最大，其最大值为_ 5.6某项选拔共有三轮考核，每轮设有一个问题，能正确回答问题者进入下一轮考试，否则即被淘汰，已 知某选手能正确回答第一、二、三轮的问题的概率分别为4、2、2,且各轮问题能否正确回答互555

12、不影响.?(1)求该选手被淘汰的概率；(n)该选手在选拔中回答问题的个数记为E ,求随机变量E的分布列与数数期望.(注：本小题结果 可用分数表示)解法一 ：(I )记“该选手能正确回答第i轮的问题”的事件为A(i 1,2,3),则4 32P(Ai) ，P(A2)，P(A0,该选手被淘汰的概率5 55p p(瓦 aA2 A2A2A)P(A1) P(Ai)P(A2) p(a)p(A)p(A3)1424 331015555 55125 (n1)的可能值为 1,2,3, P( 1) P(A,)5P(2)p(aA2)4 28P(A1)P(AJ5 525P(3) P(AA)4 312P(A)P(A2)5 525的分布列为123P181252525E 1 1 2 旦 3 咚 5752525254 3解法二：(I)记“该选手能正确回答第i轮的问题”的事件为A(i 1,2,3)，则P(A) - , P(A)-,5 5 P(A3)2 -5432101该选手被淘汰的概率P 1卩(几人2人)1 P(A)P(A)P(A)1 -555125(n)同解法一.