最新高考数学复习 第二章　函数、导数及其应用

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1、 第二章函数、导数及其应用第一节函数及其表示考情展望1.考查给定函数(或抽象函数)的定义域.2.以分段函数为载体，考查函数的求值、值域及参数的范围等问题.3.以新定义、新情景为载体，考查函数的表示方法、最值等问题一、函数及映射的概念函数映射两集合A、B设A、B是两个非空数集设A、B是两个非空集合对应关系f：AB如果按照某种确定的对应关系f，使对于集合A中的任意一个x，在集合B中都有唯一确定的数f(x)和它对应如果按某一个确定的对应关系f，使对于集合A中的任意一个元素x，在集合B中都有唯一的元素y与之对应名称称f：AB为从集合A到集合B的一个函数称f：AB为从集合A到集合B的一个映射二、函数的定

2、义域、值域、相等函数1定义域：在函数yf(x)，xA中，自变量x的取值范围(数集A)叫做函数的定义域2值域：函数值的集合f(x)|xA叫做函数的值域3相等函数：如果两个函数的定义域相同，并且对应关系完全一致，则这两个函数为相等函数三、函数的表示方法表示函数的常用方法有解析法、图象法和列表法四、分段函数若函数在其定义域的不同子集上，因对应关系不同而分别用几个不同的式子来表示，这种函数称为分段函数分段函数三要点(1)分段函数是一个函数，切不可把它看成是几个函数分段函数在书写时用大括号把各段函数合并写成一个函数的形式，并且必须指明各段函数自变量的取值范围(2)一个函数只有一个定义域，分段函数的定义域

3、只能写成一个集合的形式(3)求分段函数的值域，应先求出各段函数在对应自变量的取值范围内的函数值的集合，再求出它们的并集1给出四个命题：函数是其定义域到值域的映射；f(x)是一个函数；函数y2x(xN)的图象是一条直线；f(x)lg x2与g(x)2lg x是同一函数其中正确的有()A1个B2个C3个D4个【解析】由函数的定义知正确满足f(x)的x不存在，不正确又y2x(xN)的图象是位于直线y2x上的一群孤立的点，不正确又f(x)与g(x)的定义域不同，也不正确【答案】A2下列函数中，与函数yx相同的是()Ay By()2Cylg 10x Dy2log2x【解析】因为yx(x0)；y()2x(

4、x0)；ylg 10xx(xR)；y2log2xx(x0)，故选C.【答案】C3已知fx25x，则f(x)_.【解析】令t，(t0)，则x，故f(t)，所以f(x)(x0)【答案】(x0)4设函数f(x)则f(f(3)_.【解析】由题意知f(3)，f21，f(f(3)f.【答案】5(20xx陕西高考)设全集为R，函数f(x)的定义域为M，则RM为()A(，1) B(1，)C(，1 D1，)【解析】函数f(x)的定义域M(，1，则RM(1，)【答案】B6(20xx浙江高考)已知函数f(x).若f(a)3，则实数a_.【解析】因为f(a)3，所以a19，即a10.【答案】10考向一 010求函数的

5、定义域(1)(20xx郑州模拟)函数y(x1)0的定义域是()A3,1)(1,2B(3,2)C(3,1)(1,2) D3,1)(1,2)(2)(20xx大纲全国卷)已知函数f(x)的定义域为(1,0)，则函数f(2x1)的定义域为()A(1,1) B.C(1,0) D.【思路点拨】(1)求解本例(1)可从以下几方面入手：真数大于0；分母不为0；被开方数有意义；(x1)0有意义(2)用2x1代替f(x)中的x，求解x便可【尝试解答】(1)要使函数有意义，只需得所以3x2且x1，故所求函数的定义域为x|3x2且x1(2)因为函数f(x)的定义域为(1,0)，所以要使函数有意义，需满足12x10，解

6、得1x，即所求函数的定义域为.【答案】(1)C(2)B规律方法11.本例(1)在求解中，常因遗忘“00无意义”而错选B；本例(2)在求解中；常因不理解f(x)与f(2x1)的关系而错选A或C.2.(1)求函数的定义域往往归结为解不等式组的问题，取交集时可借助数轴，并注意端点值的取舍.,(2)对抽象函数：若函数f(x)的定义域为a，b，则函数f(g(x)的定义域由不等式ag(x)b求出.若已知函数f(g(x)的定义域为a，b，则f(x)的定义域为g(x)在xa，b时的值域.对点训练(1)函数f(x)的定义域为()A(1,2)B(1,0)(0,2)C(1,0) D(0,2)(2)已知函数f(2x)

7、的定义域是1,1，则f(x)的定义域为_【解析】(1)f(x)有意义，则解之得1x0，f(x)的定义域为(1,0)(2)f(2x)的定义域为1,1，即1x1，2x2，故f(x)的定义域为.【答案】(1)C(2)考向二 011求函数的解析式(1)已知f(x1)lg x，求f(x)；(2)已知f(x)是二次函数且f(0)2，f(x1)f(x)x1，求f(x)；(3)已知f(x)2fx(x0)，求f(x)【思路点拨】(1)用换元法，令x1t；(2)本题已给出函数的基本特征，可采用待定系数法求解(3)用代入，构造方程求解【尝试解答】(1)令x1t，则xt1，f(t)lg(t1)f(x)lg(x1)(2

8、)设f(x)ax2bxc(a0)，由f(0)2，得c2，f(x1)f(x)a(x1)2b(x1)ax2bxx1，即2axabx1，即f(x)x2x2.(3)f(x)2fx，f2f(x).解方程组得f(x)(x0)规律方法2求函数解析式常用以下解法：(1)待定系数法：若已知函数的类型，可用待定系数法；(2)换元法：已知复合函数f(g(x)的解析式，可用换元法，此时要注意新元的取值范围；(3)构造法：已知关于f(x)与f或f(x)的表达式，可根据已知条件再构造出另外一个等式，通过解方程组求出f(x).对点训练(1)已知f(1cos x)sin2x，求f(x)的解析式；(2)若函数F(x)f(x)g

9、(x)，其中f(x)是正比例函数，g(x)是反比例函数，且F16，F(1)8，求F(x)的解析式(3)已知2f(x)f(x)lg(x1)，x(1,1)，求f(x)的解析式【解】(1) 令t1cos x，则cos x1t,0t2，f(t)1(1t)2t22t，即f(x)x22x(0x2)(2)由题意设f(x)kx(k0)，g(x)(m0)，则F(x)kx.由F16，F(1)8，得解得所以F(x)3x.(3)2f(x)f(x)lg(x1)，2f(x)f(x)lg(1x)解方程组得f(x)lg(x1)lg(1x)(1x1)考向三 012分段函数及其应用(1)(20xx福建高考)已知函数f(x)，则f

10、_.(2)设函数f(x)若f(x)4，则x的取值范围是_【思路点拨】(1)先计算f，再计算f.(2)在(，1)及1，)上分别解f(x)4，然后取并集；或者画出函数f(x)的图象，借助图象求解【尝试解答】(1)，ftan 1，ff(1)2(1)32.(2)方法一：当x1时，由2x4得x2.当x1时，由x24得x2.综上可知，所求x的范围为(，2)(2，)方法二：函数f(x)的图象如图所示，由图可知f(x)4的x的取值范围是x2或x2.【答案】(1)2(2)(，2)(2，)规律方法3应用分段函数时，首先要确定自变量的值属于哪个区间，其次选定相应关系代入计算求解，特别要注意分段区间端点的取舍，当自变

11、量的值不确定时，要分类讨论.对点训练(1)根据统计，一名工人组装第x件某产品所用的时间(单位：分钟)为f(x)(A，c为常数)已知工人组装第4件产品用时30分钟，组装第A件产品用时15分钟，那么c和A的值分别是()A75,25B75,16C60,25 D60,16(2)已知函数f(x)则f(x)f(x)1的解集为()A(，1)(1，) B.(0,1C(，0)(1，) D.(0,1)【解析】(1)因为组装第A件产品用时15分钟，所以15，所以必有4A，且30.联立解得c60，A16.(2)方法一：当1x0时，0x1，此时f(x)x1，f(x)(x)1x1，f(x)f(x)1化为2x21，得x，则

12、1x.当0x1时，1x0，此时，f(x)x1，f(x)(x)1x1，f(x)f(x)1化为x1(x1)1，解得x，则0x1.故所求不等式的解集为(0,1方法二：画出函数f(x)的图象如图所示由图可知f(x)为奇函数，从而由f(x)f(x)1，可知f(x)，解得1x或0x1.【答案】(1)D(2)B思想方法之二分段函数求值妙招分类讨论思想分类讨论思想就是当问题所给的对象不能进行统一研究时，需要把研究对象按某个标准分类，然后对每一类分别研究得出结论，最后综合各类结果得到整个问题的解答实质上，分类讨论是“化整为零，各个击破，再积零为整”的解题策略分段函数体现了数学的分类讨论思想，求解分段函数求值问题

13、时应注意以下三点：(1)明确分段函数的分段区间(2)依据自变量的取值范围，选好讨论的切入点，并建立等量或不等量关系(3)在通过上述方法求得结果后，应注意检验所求值(范围)是否落在相应分段区间内1个示范例1个对点练(20xx洛阳模拟)已知实数a0，函数f(x)若f(1a)f(1a)，则a的值为_【解析】当a0时，1a1,1a1，所以f(1a)(1a)2a1a；f(1a)2(1a)a3a2.因为f(1a)f(1a)，所以1a3a2，所以a.当a0时，1a1,1a1，所以f(1a)2(1a)a2a；f(1a)(1a)2a3a1.因为f(1a)f(1a)，所以2a3a1，所以a(舍去)综上，满足条件的

14、a.(20xx安庆模拟)已知函数f(x)若f(a)f(1)0，则实数a的值为()A3B3或1C1 D1或3【解析】f(1)lg 10，f(a)0.当a0时，lg a0，a1.当a0时，a30，a3.所以a3或1.【答案】B第二节函数的单调性与最值考情展望1.考查函数的单调性及最值的基本求法.2.利用函数的单调性求单调区间.3.利用函数的单调性求最值和参数的取值范围.4.函数的单调性和其它知识相结合考查求函数的最值、比较大小、解不等式等相关问题一、增函数、减函数一般地，设函数f(x)的定义域为I，区间DI，如果对于任意x1，x2D，且x1x2，则都有：(1)f(x)在区间D上是增函数f(x1)f

15、(x2)；(2)f(x)在区间D上是减函数f(x1)f(x2)设任意x1，x2a，b且x1x2，那么(1)0f(x)在a，b上是增函数；(2)0f(x)在a，b上是减函数二、单调性、单调区间的定义若函数f(x)在区间D上是增函数或减函数，则称函数f(x)在这一区间上具有(严格的)单调性，区间D叫做f(x)的单调区间求函数单调区间的两个注意点(1)单调区间是定义域的子集，故求单调区间应树立“定义域优先”的原则(2)单调区间只能用区间表示，不能用集合或不等式表示；如有多个单调区间应分别写，不能用并集符号“”联结，也不能用“或”联结三、函数的最值前提设函数f(x)的定义域为I，如果存在实数M满足条件

16、对于任意的xI，都有f(x)M；存在x0I，使得f(x0)M.对于任意的xI，都有f(x)M；存在x0I，使得f(x0)M.结论M是yf(x)的最大值M是yf(x)的最小值函数最值存在的两条定论1闭区间上的连续函数一定存在最大值和最小值当函数在闭区间上单调时最值一定在端点取到2开区间上的“单峰”函数一定存在最大(小)值1如果二次函数f(x)3x22(a1)xb在区间(，1)上是减函数，则()Aa2Ba2 Ca2 Da2【解析】二次函数的对称轴方程为x，由题意知1，即a2.【答案】C2下列函数中，在区间(0,1)上是增函数的是()Ay3x By Cyx24 Dy|x|【解析】结合函数的图象易知选

17、D.【答案】D3函数y(2k1)xb在xR上是减函数，则k的取值范围是()Ak BkCk Dk【解析】由2k10得k，故选D.【答案】D4f(x)x22x，x2,3的单调增区间为_，f(x)max_.【解析】f(x)(x1)21，故f(x)的单调增区间为1,3，f(x)maxf(2)8.【答案】1,385(20xx重庆高考)(6a3)的最大值为()A9 B. C3 D.【解析】 ，由于6a3，当a时，有最大值.【答案】B6(20xx安徽高考)“a0”是“函数f(x)|(ax1)x|在区间(0，)内单调递增”的()A充分不必要条件B必要不充分条件C充分必要条件D既不充分也不必要条件【解析】当a0

18、时，f(x)|(ax1)x|x|在区间(0，)上单调递增；当a0时，结合函数f(x)|(ax1)x|ax2x|的图象知函数在(0，)上单调递增，如图(1)所示：当a0时，结合函数f(x)|(ax1)x|ax2x|的图象知函数在(0，)上先增后减再增，不符合条件，如图(2)所示所以，要使函数f(x)|(ax1)x|在(0，)上单调递增只需a0.即“a0”是“函数f(x)|(ax1)x|在(0，)上单调递增”的充要条件【答案】C考向一 013函数单调性的判定判断函数f(x)x(a0)在(0，)上的单调性【思路点拨】借助单调性的定义或导数法证明【尝试解答】方法一：(定义法)设x1，x2是任意两个正数

19、，且0x1x2，则f(x1)f(x2)(x1x2a)当0x1x2时，0x1x2a，又x1x20，所以f(x1)f(x2)0，即f(x1)f(x2)，所以函数f(x)在(0，上是减函数；当x1x2时，x1x2a，又x1x20，所以f(x1)f(x2)0，即f(x1)f(x2)，所以函数f(x)在，)上是增函数方法二(导数法)：f(x)x，f(x)1.由f(x)0得10，即x2a，解得x.由f(x)0得10，即x2a，解得0x.所以f(x)在(0，)上为减函数，在(，)上为增函数规律方法1对于给出具体解析式的函数，证明其在某区间上的单调性有两种方法：,(1)结合定义(基本步骤为取值、作差或作商、变

20、形、判断)证明；,(2)可导函数则可以利用导数证明.考向二 014图象法求函数的单调区间求下列函数的单调区间，并确定每一区间上的单调性(1)f(x)x22|x|3；(2)f(x)|x24x3|.【思路点拨】画出f(x)的图象，结合图象求单调区间【尝试解答】(1)依题意，可得当x0时，f(x)x22x3(x1)24；当x0时，f(x)x22x3(x1)24.由二次函数的图象知，函数f(x)x22|x|3在(，1，0,1上是增函数，在1,0，1，)上是减函数(2)先作出函数yx24x3的图象，由于绝对值的作用，把x轴下方的部分翻折到上方，可得函数的图象如图所示由图可知，函数的增区间为1,2，(3，

21、)，减区间为(，1)，(2,3规律方法2求函数单调区间的两种常用方法,(1)图象法：如果f(x)是以图象形式给出的，或者f(x)的图象易作出，可由图象的直观性写出它的单调区间.(2)导数法：利用导数的正负确定函数的单调区间.对点训练(20xx西安模拟)设函数yf(x)在(，)内有定义对于给定的正数k，定义函数fk(x)取函数f(x)2|x|，当k时，函数fk(x)的单调递增区间为()A(，0)B(0，)C(，1) D(1，)【解析】由f(x)，得1x1，由f(x)，得x1或x1.所以f(x)其函数图象如图所示：故f(x)的单调递增区间为(，1)【答案】C考向三 015函数单调性的应用(1)函数

22、f(x)在区间a，b上的最大值是1，最小值为，则ab_.(2)若f(x)为R上的增函数，则满足f(2m)f(m2)的实数m的取值范围是_(3)(20xx郑州模拟)已知f(x)是R上的单调递增函数，则实数a的取值范围为()A(1，)B4,8)C(4,8) D(1,8)【思路点拨】(1)区间a，bf(x)的值域建立a，b的等量关系求a，b的值(2)f(2m)f(m2)去“f”解不等式(3)先分析f(x)ax及f(x)x2分别为递增函数的条件，再结合单调性的定义求解【尝试解答】(1)由题意知x10，又xa，b，a1.则f(x)在a，b上为减函数，则f(a)1且f(b)，a2，b4，ab6.(2)f(

23、x)为R上的增函数，且f(2m)f(m2)，2mm2，m2m20，解得m1或m2.即m的范围为(，2)(1，)(3)因为f(x)是R上的单调递增函数，所以可得解得4a8.【答案】(1)6(2)(，2)(1，)(3)B规律方法31.本例(3)在求解中，常因忽略考虑“f(x)在(，1上的最大值小于等于f(x)在(1，)上的最小值”致误.2.含“f”号不等式的解法,首先根据函数的性质把不等式转化为f(g(x)f(h(x)的形式，然后根据函数的单调性去掉“f”号，转化为具体的不等式(组)，此时要注意g(x)与h(x)的取值应在外层函数的定义域内.对点训练(1)(20xx德州模拟)已知函数f(x)满足对

24、任意的实数x1x2都有0成立，则实数a的取值范围为()A(，2)B.C(，2 D.(2)(20xx沈阳模拟)已知函数f(x)2x1，g(x)1x2，构造函数F(x)的定义如下：当|f(x)|g(x)时，F(x)|f(x)|，当|f(x)|g(x)时，F(x)g(x)，则F(x)()A有最小值0，无最大值B有最小值1，无最大值C有最大值1，无最小值D无最大值，也无最小值【解析】(1)由0可知f(x)在R上是减函数，故解得a.(2)F(x)的图象如图所示，由图可知F(x)有最小值1，无最大值【答案】(1)B(2)B规范解答之一解不等式巧用函数的单调性解函数不等式问题的一般步骤：第一步：确定函数f(

25、x)在给定区间上的单调性；第二步：将函数不等式转化为f(M)f(N)的形式；第三步：运用函数的单调性“去掉”函数的抽象符号“f”，转化成一般的不等式或不等式组；第四步：解不等式或不等式组确定解集；第五步：反思回顾，查看关键点，易错点及解题规范1个示范例1个规范练(12分)(20xx郑州模拟)函数f(x)对任意的m、nR，都有f(mn)f(m)f(n)1，并且x0时，恒有f(x)1.(1)求证：f(x)在R上是增函数；(2)若f(3)4，解不等式f(a2a5)2.【规范解答】(1)设x1x2，x2x10.当x0时，f(x)1，f(x2x1)1.2分f(x2)f(x2x1)x1f(x2x1)f(x

26、1)1，4分f(x2)f(x1)f(x2x1)10f(x1)f(x2)，f(x)在R上为增函数.6分(2)m，nR，不妨设mn1，f(11)f(1)f(1)1f(2)2f(1)1，8分f(3)4f(21)4f(2)f(1)143f(1)24，f(1)2，f(2)2213，f(a2a5)2f(1).10分f(x)在R上为增函数，a2a513a2， 即a(3,2).12分【名师寄语】(1)抽象函数的单调性证明只能用定义，在证明时应根据所给等式的特点对x1或x2进行适当变形，如x2(x2x1)x1或x1x2等.(2)求解含“f”的不等式，应先将不等式转化为f(M)f(N)的形式，然后再根据函数f(x

27、)的单调性去掉“f”，此时应注意M、N应在定义域内取值.已知f(x)是定义在(0，)上的增函数，且ff(x)f(y)，f(2)1，解不等式：f(x)f2.【解】ff(x)f(y)，f(y)ff(x)，在以上等式中取x4，y2，则有f(2)f(2)f(4)f(2)1，f(4)2.f(x)f2可变形为f(x(x3)f(4)又f(x)是定义在(0，)上的增函数，解得3x4.原不等式的解集为x|3x4第三节函数的奇偶性与周期性考情展望1.考查函数奇偶性的判断.2.利用函数的奇偶性、周期性求函数值.3.与函数的对称性相结合，综合考查知识的灵活应用能力一、奇(偶)函数的定义及图象特征1奇、偶函数的定义对于

28、函数f(x)的定义域内的任意一个x.(1)f(x)为偶函数f(x)f(x)；(2)f(x)为奇函数f(x)f(x)2奇、偶函数的图象特征奇函数的图象关于原点对称，偶函数的图象关于y轴对称1奇、偶函数对称区间上的单调性奇函数在关于原点对称的两个区间上有相同的单调性；偶函数在关于原点对称的两个区间上有相反的单调性2奇函数图象与原点的关系：如果奇函数f(x)在原点有定义，则f(0)0.二、周期性1周期函数：T为函数f(x)的一个周期，则需满足的条件：T0；f(xT)f(x)对定义域内的任意x都成立2最小正周期：如果在周期函数f(x)的所有周期中存在一个最小的正数，那么这个最小的正数就叫做它的最小正周

29、期周期性常用的结论对f(x)定义域内任一自变量的值x：(1)若f(xa)f(x)，则T2a；(2)若f(xa)，则T2a；(3)若f(xa)，则T2a.(4)若对于R上的任意x都有f(2ax)f(x)，且f(2bx)f(x)(其中ab)，则：yf(x)是以2(ba)为周期的周期函数(5)若f(xa)f(xb)(ab)，那么函数f(x)是周期函数，其中一个周期为T2|ab|.1已知f(x)ax2bx是定义在a1,2a上的偶函数，那么ab的值是()A B. C. D【解析】依题意b0，且2a(a1)，b0且a，则ab.【答案】B2下列函数为偶函数的是()Aysin x Byx3Cyex Dyln【

30、解析】由函数奇偶性的定义知A、B项为奇函数，C项为非奇非偶函数，D项为偶函数【答案】D3已知定义在R上的奇函数f(x)，满足f(x4)f(x)，则f(8)的值为()A1 B0 C1 D2【解析】f(x4)f(x)，f(x)是以4为周期的周期函数f(8)f(0)又函数f(x)是定义在R上的奇函数，f(8)f(0)0，故选B.【答案】B4若函数y(x1)(xa)为偶函数，则a_.【解析】因为y(x1)(xa)x2(1a)xa由题意可知1a0，即a1.【答案】15(20xx山东高考)已知函数f(x)为奇函数，且当x0时，f(x)x2，则f(1)()A2 B1 C0 D2【解析】利用奇函数的性质f(x

31、)f(x)求解当x0时，f(x)x2，f(1)122.f(x)为奇函数，f(1)f(1)2.【答案】D6(20xx北京高考)下列函数中，既是偶函数又在区间(0，)上单调递减的是()Ay ByexCyx21 Dylg|x|【解析】A项，y是奇函数，故不正确；B项，yex为非奇非偶函数，故不正确；C，D两项中的两个函数都是偶函数，且yx21在(0，)上是减函数，ylg|x|在(0，)上是增函数，故选C.【答案】C考向一 016函数奇偶性的判断判断下列各函数的奇偶性：(1) f(x)(x1) ；(2)f(x)；(3)f(x).【思路点拨】先求定义域，看定义域是否关于原点对称，在定义域下，带绝对值符号

32、的要尽量去掉，分段函数要分情况判断【尝试解答】(1)由得，定义域为(1,1，关于原点不对称，故f(x)为非奇非偶函数(2)由得，定义域为(1,0)(0,1)x20，|x2|2x，f(x).又f(x)f(x)，函数f(x)为奇函数(3)显然函数f(x)的定义域为：(，0)(0，)，关于原点对称当x0时，x0，则f(x)(x)2xx2xf(x)；当x0时，x0，则f(x)(x)2xx2xf(x)；综上可知：对于定义域内的任意x，总有f(x)f(x)成立，函数f(x)为奇函数规律方法11.本例第(1)题，若盲目化简：f(x)将扩大函数的定义域，作出错误判断.第(2)题易忽视定义域无从入手.2.判断函

33、数的奇偶性，首先看函数的定义域是否关于原点对称；在定义域关于原点对称的条件下，再化简解析式，根据f(x)与f(x)的关系作出判断，对于分段函数，应分情况判断.考向二 017函数奇偶性的应用(1)设函数f(x)为奇函数，则实数a的值为_(2)已知yf(x)是定义在R上的偶函数，当x0时，f(x)x22x，则f(x)在R上的解析式为_(3)设偶函数f(x)在(0，)上为减函数，且f(2)0，则不等式0的解集为_【思路点拨】(1)利用奇函数定义或特值法求解(2)设x0，则x0，借助偶函数定义求其解析式(3)分“x0”和“x0”两类分别解不等式，取并集即可【尝试解答】(1)方法一：f(x)为奇函数，f

34、(x)f(x)，即，a1.方法二：f(x)为奇函数，f(1)f(1)0，即0，a1.(2)设x0，则x0，f(x)(x)22(x)x22x.又yf(x)是定义在R上的偶函数，f(x)f(x)，f(x)x22x(x0)f(x)(3)因为f(x)为偶函数，所以不等式0，等价于0.当x0时，0等价于f(x)0，又f(x)在(0，)上为减函数，且f(2)0.所以f(x)0的解集为x|0x2当x0时，0等价于f(x)0，又f(x)在(，0)上为增函数，且f(2)f(2)0.所以f(x)0的解集为x|x2综上可知，不等式的解集为x|x2或0x2【答案】(1)1(2)f(x)(3)x|x2或0x2规律方法2

35、(1)已知函数的奇偶性求函数的解析式，常利用奇偶性构造关于f(x)的方程，从而可得f(x)的解析式.(2)已知带有字母参数的函数的表达式及奇偶性求参数，常常采用待定系数法：利用f(x)f(x)0产生关于字母的恒等式，由系数的对等性可得知字母的值.(3)奇偶性与单调性综合时要注意奇函数在关于原点对称的区间上的单调性相同，偶函数在关于原点对称的区间上的单调性相反.对点训练(1)(20xx郑州模拟)已知定义在R上的奇函数f(x)和偶函数g(x)满足f(x)g(x)axax2(a0，且a1)若g(2)a，则f(2)()A2B.C.Da2(2)已知定义在R上的奇函数满足f(x)x22x(x0)，若f(3

36、a2)f(2a)，则实数a的取值范围是_【解析】(1)f(x)为奇函数，g(x)为偶函数，f(2)f(2)，g(2)g(2)a，f(2)g(2)a2a22，f(2)g(2)g(2)f(2)a2a22，由、联立，g(2)a2，f(2)a2a2.(2)当x0时，f(x)x22x(x1)21函数f(x)在0，)上为增函数又函数f(x)是定义在R上的奇函数，函数f(x)在R上是增函数由f(3a2)f(2a)得3a22a.解得3a1.【答案】(1)B(2)(3,1)考向三 018函数的周期性及其应用设f(x)是定义在R上的奇函数，且对任意实数x，恒有f(x2)f(x)当x0,2时，f(x)2xx2.(1

37、)求证：f(x)是周期函数；(2)当x2,4时，求f(x)的解析式；(3)计算f(0)f(1)f(2)f(2 015)【思路点拨】(1)证明f(x4)f(x)(2)先求2,0上的解析式，再求2,4上的解析式；(3)根据周期性求解【尝试解答】(1)f(x2)f(x)，f(x4)f(x2)f(x)f(x)是周期为4的周期函数(2)当x2,0时，x0,2，由已知得f(x)2(x)(x)22xx2.又f(x)是奇函数，f(x)f(x)2xx2，f(x)x22x.又当x2,4时，x42,0，f(x4)(x4)22(x4)又f(x)是周期为4的周期函数，f(x)f(x4)(x4)22(x4)x26x8.所

38、以x2,4时，f(x)x26x8.(3)f(0)0，f(2)0，f(1)1，f(3)1.又f(x)是周期为4的周期函数，f(0)f(1)f(2)f(3)f(4)f(5)f(6)f(7)f(2 008)f(2 009)f(2 010)f(2 011)0.f(0)f(1)f(2)f(2 015)f(0)f(1)f(2)f(3)010(1)0.规律方法3(1)本例(2)在求解中先借助周期把区间2，4转换到区间2，0上，然后借助奇函数实现2，0与0，2间的转化.(2)证明一个函数f(x)是周期函数的关键是借助已知条件探寻使“f(xT)f(x)”成立的非零常数T.(3)周期性与奇偶性相结合的综合问题，周

39、期性起到转换自变量值的作用，奇偶性起到调节符号的作用.对点训练(1)已知函数f(x)是定义域为R的偶函数，且f(x1)f(x)，若f(x)在1,0上是减函数，那么f(x)在1,3上是()A增函数B减函数C先增后减的函数 D先减后增的函数(2)已知函数f(x)是定义在R上的偶函数，若对于x0，都有f(x2)，且当x0,2)时，f(x)log2(x1)，则f(2 013)f(2 015)_.【解析】(1)由f(x)在1,0上是减函数，又f(x)是R上的偶函数，所以f(x)在0,1上是增函数由f(x1)f(x)，得f(x2)f(x1)1f(x1)f(x)，故2是函数f(x)的一个周期结合以上性质，模

40、拟画出f(x)的部分图象，如图由图象可以观察出，f(x)在1,2上为减函数，在2,3上为增函数(2)当x0时，f(x2)，f(x4)f(x)，即4是f(x)(x0)的一个周期f(2 013)f(1)log221，f(2 013)f(2 013)1，f(2 015)f(3)1，f(2 013)f(2 015)0.【答案】(1)D(2)0思想方法之三利用奇偶性求值“方程思想”闪光芒方程思想就是通过分析问题中的各个量及其关系，列出方程(组)、或者构造方程(组)，通过求方程(组)、或讨论方程(组)的解的情况，使问题得以解决在函数的奇偶性中，方程思想的具体体现如下：(1)函数奇偶性的判断，即验证等式“f

41、(x)f(x)0”是否对定义域中的每个x均成立(2)求解析式，在同时含有f(x)与f(x)的表达式中，如bf(x)f(x)a(ab0)中，常用“x”代式子中的“x”，重新构建方程，联立求解f(x)(3)求值，已知f(a)的值探求f(a)的值，其方法如同(2)1个示范例1个对点练(20xx湖南高考)已知f(x)是奇函数，g(x)是偶函数，且f(1)g(1)2，f(1)g(1)4，则g(1)等于()A4B3C2D1【解析】f(x)是奇函数，f(1)f(1)又g(x)是偶函数，g(1)g(1)f(1)g(1)2，g(1)f(1)2.又f(1)g(1)4，f(1)g(1)4.由，得g(1)3.(20x

42、x重庆高考)已知函数f(x)ax3bsin x4(a，bR)，f(lg(log210)5，则f(lg(lg 2)()A5B1C3D4【解析】因为log210与lg 2(即log102)互为倒数，所以lg(log210)与lg(lg 2)互为相反数不妨令lg(log210)x，则lg(lg 2)x，而f(x)f(x)(ax3bsin x4)a(x)3bsin(x)48，故f(x)8f(x)853，故选C.【答案】C第四节二次函数与幂函数考情展望1.利用幂函数的图象和性质解决幂的大小比较和图象识别等问题.2.考查二次函数的解析式求法、图象特征及最值.3.运用二次函数、一元二次方程及一元二次不等式之

43、间的关系去分析和解决问题一、二次函数1二次函数的三种形式一般式：f(x)ax2bxc(a0)；顶点式：f(x)a(xh)2k(a0)，顶点坐标为(h，k)；零点式：f(x)a(xx1)(xx2)(a0)，x1，x2为f(x)的零点2二次函数的性质函数yax2bxc(a0)yax2bxc(a0)图象定义域R值域单调性在减在增在减在增对称性函数的图象关于x对称函数yf(x)对称轴的判断方法(1)对于函数yf(x)对定义域内所有x，都有f(x1)f(x2)，那么函数yf(x)的图象关于x对称(2)对于函数yf(x)对定义域内所有x，都有f(ax)f(ax)成立的充要条件是函数yf(x)的图象关于直线

44、xa对称(a为常数)二、幂函数1定义：形如yx(R)的函数叫幂函数，其中x是自变量，是常数2幂函数的性质函数特征性质yxyx2yx3yxyx1定义域RRR0，)(，0)(0，)值域R0，)R0，)(，0)(0，)奇偶性奇偶奇/奇单调性增在(0，)上增在(，0)上减增增在(0，)上减在(，0)上减定点(1,1)1当0,1时，幂函数yx在第一象限的图象特征(如图所示)：(1)1，图象过点(0,0)，(1,1)，下凸递增，如yx2；(2)01，图象过点(0,0)，(1,1)，上凸递增，如yx；(3)0，图象过点(1,1)，单调递减，且以两坐标轴为渐近线，如yx1，yx.2幂函数的图象一定不会经过第四

45、象限1已知点M在幂函数f(x)的图象上，则f(x)的表达式为()Af(x)x2Bf(x)x2Cf(x)x Df(x)x【解析】设f(x)x，则有3，即33，1，2，f(x)x2，故选B.【答案】B2图241中C1，C2，C3为三个幂函数yxk在第一象限内的图象，则解析式中指数k的值依次可以是()图241A1，3 B1,3，C.，1,3 D.，3，1【解析】根据幂函数的图象知，选A.【答案】A3函数f(x)(m1)x22mx3为偶函数，则f(x)在区间(5，3)上()A先减后增 B先增后减C单调递减 D单调递增【解析】f(x)(m1)x22mx3为偶函数，2m0，m0.则f(x)x23在(5，3

46、)上是增函数【答案】D4函数f(x)x22(a1)x2在区间(，3上是减函数，则实数a的取值范围是_【解析】二次函数f(x)的对称轴是x1a，由题意知1a3，a2.【答案】(，25(20xx陕西高考)函数yx的图象是()【解析】已知函数解析式和图象，可以用取点验证的方法判断【答案】B6(20xx浙江高考)已知a，b，cR，函数f(x)ax2bxc.若f(0)f(4)f(1)，则()Aa0,4ab0 Ba0,2ab0 Daf(1)，所以函数图象应开口向上，即a0，且其对称轴为x2，即2，所以4ab0，故选A.【答案】A考向一 019二次函数的图象与性质已知函数f(x)x22ax3，x4,6(1)

47、当a2时，求f(x)的最值；(2)求实数a的取值范围，使yf(x)在区间4,6上是单调函数；(3)当a1时，求f(|x|)的单调区间【思路点拨】解答(1)和(2)可根据对称轴与区间的关系，结合图象或单调性直接求解，对于(3)，应先将函数化为分段函数，再求单调区间【尝试解答】(1)当a2时，f(x)x24x3(x2)21，则函数在4,2)上为减函数，在(2,6上为增函数，f(x)minf(2)1，f(x)maxf(4)(4)24(4)335.(2)函数f(x)x22ax3的对称轴为xa，要使f(x)在4,6上为单调函数，只需a4或a6，解得a4或a6.(3)当a1时，f(|x|)x22|x|3其

48、图象如图所示：又x4,6，f(|x|)在区间4，1)和0,1)上为减函数，在区间1,0)和1,6上为增函数规律方法11.研究二次函数在闭区间上的最值问题，先“定性”(作草图)，再“定量”(看图求解)，事半功倍.2. 求二次函数最值的类型及解法,(1)二次函数在闭区间上的最值主要有三种类型：轴定区间定、轴动区间定、轴定区间动，不论哪种类型，解决的关键是对称轴与区间的关系，当含有参数时，要依据对称轴与区间的关系进行分类讨论；(2)常画出图象结合二次函数在该区间上的单调性求解，最值一般在区间的端点或顶点处取得.对点训练(1)已知函数yax2bxc，如果abc，且abc0，则它的图象是()(2)设f(

49、x)x22ax(0x1)的最大值为M(a)，最小值为m(a)试求M(a)及m(a)的表达式【解析】(1)abc，abc0，a0，c0，yax2bxc的开口向上，且与y轴的交点(0，c)在负半轴上D项正确【答案】D(2)f(x)x22ax(xa)2a2，x0,1当a0时，M(a)f(1)12a，m(a)f(0)0；当0a时，M(a)f(1)12a，m(a)a2；当a1时，M(a)f(0)0，m(a)a2；当a1时，M(a)f(0)0，m(a)f(1)12a.综上，M(a)m(a)考向二 020二次函数的综合应用设函数f(x)ax22x2，对于满足1x4的一切x值都有f(x)0，求实数a的取值范围

50、【思路点拨】法一分a0，a0，a0三种情况求出f(x)在(1,4)上的最小值f(x)min，再令f(x)min0求解法二分离参数a得a，然后求g(x)的最大值即可【尝试解答】法一当a0时，f(x)a22，由f(x)0，x(1,4)得：或或或或，a1或a1或，即a，当a0时，解得a；当a0时，f(x)2x2，f(1)0，f(4)6，不合题意综上可得，实数a的取值范围是a.法二由f(x)0，即ax22x20，x(1,4)，得a在(1,4)上恒成立令g(x)22，g(x)maxg(2)，所以要使f(x)0在(1,4)上恒成立，只要a即可规律方法21.本例中二次项系数不确定，因此使用方法一时需分三种情

51、况讨论.2.由不等式恒成立求参数取值范围，一般有两个解题思路：(1)分离参数；(2)不分离参数，二者都将问题归结为求函数的最值，至于用哪种方法，关键是看参数是否已分离.这两个思路的依据是：af(x)af(x)max，af(x)af(x)min.对点训练若二次函数f(x)ax2bxc(a0)满足f(x1)f(x)2x，且f(0)1.(1)求函数f(x)的解析式；(2)若在区间1,1上，不等式f(x)2xm恒成立，求实数m的取值范围【解】(1)由f(0)1，得c1.因此f(x)ax2bx1.又f(x1)f(x)2x.2axab2x.xR.因此所以f(x)x2x1.(2)由题意，x2x12xm在1,1上恒成立则m