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1、O xyz以以 建立空间直角坐标系建立空间直角坐标系Oxyzi k j xyz( , , )P x y z 若若A(x1,y1,z1) , B(x2,y2,z2), 则则AB = OB - - OA=( (x2 2- -x1 1 , , y2 2- -y1 1 , , z2 2- -z1 1) )复习：复习：123123()()aaaabbbb设设， ， ，则则;ab;ab;a112233(,)ab ab ab112233(,)ab ab ab123(,),()aaaR/;/.0ababab且各坐标值、 均非112233,()ab ab abR112222/ababab00a规定：规定：0?a
2、思思考考：2.2.空间向量数量积的坐标表示：空间向量数量积的坐标表示：设空间两个非零向量设空间两个非零向量111222()()axyzbxyz， ， ，12121 2a bx xy yz z则则4.4.空间两点间的距离公式空间两点间的距离公式注：此公式的注：此公式的几何意义是表几何意义是表示长方体的对示长方体的对角线的长度。角线的长度。注意：注意：（1）当）当 时，同向；时，同向； （2）当）当 时，反向；时，反向； （3）当）当 时，。时，。cos,1 a b与 abcos,1 a b与 abcos,0 a bab思考：当思考：当 及及 时，时，的夹角在什么范围内？的夹角在什么范围内？1co
3、s,0 a b,10cos a b6.6.空间两非零向量垂直的条件空间两非零向量垂直的条件12121 200 aba bx xy yz z练习一：练习一：2.求下列两个向量的夹角的余弦：求下列两个向量的夹角的余弦：(1)(2,3,3)(1,0,0) ;ba，(2)( 1,1,1)( 1,0,1) ; ab，1.求下列两点间的距离：求下列两点间的距离：(1)(1,1,0) ,(1,1,1) ;AB(2)( 3,1,5) ,(0,2,3) .CD例题：例题：例例1已知、，求：已知、，求：（1）线段的中点坐标和长度；）线段的中点坐标和长度；(3,3,1)A(1,0,5)BAB解：设是的中点，则解：设
4、是的中点，则(, )M xy zAB113()(3,3,1)1,0,52,3 ,222 OMOAOB点的坐标是点的坐标是.M32,32222(13)(03)(5 1)29 .ABOABM（2）到两点距离相等的点的）到两点距离相等的点的坐标满足的条件。坐标满足的条件。 AB、(, )P xy z,xy z解：点到的距离相等，则解：点到的距离相等，则(, )P xy z AB、222222(3)(3)(1)(1)(0)(5),xyzxyz化简整理，得化简整理，得46870 xyz即到两点距离相等的点的坐标满即到两点距离相等的点的坐标满足的条件是足的条件是 AB、(, )xy z46870 xyz1
5、2 3212112ABPQOPQA QBQ 例2：已知两点（， ， ），（ ， ， ），（， ， ），点 在上运动，求当取得最小值时，点 的坐标。( , ,2 ),OQOP 设261610QA QB 4233QA QB 当时，取得最小值。4 4 83 3 3Q此时（ ，）F1E1C1B1A1D1DABCyzxO解：设正方体的棱长为解：设正方体的棱长为1，如图建，如图建立空间直角坐标系，则立空间直角坐标系，则Oxyz13(1,1, 0) ,1,1,4BE11(0 , 0 , 0) ,0 , 1.4DF，1311,1(1,1, 0)0 ,1,44BE 例例3如图如图, 在正方体中，在正方体中，求与
6、所成的角的余弦值，求与所成的角的余弦值.1111ABCDA B C D 11B E 11114A BD F1BE1DF1110, 1 (0,0,0)0, 1 .44DF ，1111150 01 1,4416BE DF 111717|,|.44BED F 111111151516cos,.17| |171744BE DFBE DFBEDF A1xD1B1ADBCC1yzEFCD中点，求证：中点，求证：D1F1111DCBAABCD 例例5.5.在正方体在正方体中，中，E、F分别是分别是BB1,1,，平面平面ADE 证明：设正方体棱长为证明：设正方体棱长为1， 为单位正交为单位正交 基底，建立如图
7、所示坐标系基底，建立如图所示坐标系D-xyz，则可得：则可得：1,DADCDD 以以，1(1,0,0)(1,1,)2DADE ，11(0, 1)2D F 因因为为1100D F DAD F DE 所所以以，11D FDAD FDE 即即，DEDAD 又又所以所以1D FADE 平平面面书P90例6.书本P88 例3 改用建立空间直角坐标系的方法如何证明。11110 00 01111例例：如如图图，在在直直三三棱棱柱柱- -中中，=90=90 ，=30=30 ，=1=1，= 6= 6，是是棱棱的的中中点点。求求证证：。ABC A B CACBBACBCA AMCCA BAM BCC1A1B1AM
8、xyzBCC1A1B1AMxyz111o11111111 ,ABCCACB1BCA90AA2MNA BAA1)BN2)cos,CB3)A BC M ABCABCBA如如图图 ：直直三三棱棱柱柱底底面面中中， ，棱棱 ，、分分别别为为、的的中中点点，求求的的长长；求求的的值值；求求证证：。BCC1A1B1ANM练习：练习：xyz建立空间直角坐建立空间直角坐标系来解题。标系来解题。1.基本知识：基本知识：（1）向量的长度公式与两点间的距离公式；）向量的长度公式与两点间的距离公式；（2）两个向量的夹角公式。）两个向量的夹角公式。2.思想方法：用向量计算或证明几何问题思想方法：用向量计算或证明几何问题时，可以先建立直角坐标系，然后把向量、点坐时，可以先建立直角坐标系，然后把向量、点坐标化，借助向量的直角坐标运算法则进行计算或标化，借助向量的直角坐标运算法则进行计算或证明。证明。
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