选修证明不等式的基本方法课件

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1、选修证明不等式的基本方法1选修证明不等式的基本方法2一、比较法一、比较法2233, 1abbabababa 求求证证且且都都是是实实数数已已知知例例)()()()(:32232233babbaaabbaba 证证明明)()()(2222babababbaa 2)(baba 0, 0, baba0)(2 baba又又0)()(0)(22332 abbabababa即即故故2233abbaba (1)作差比较法作差比较法选修证明不等式的基本方法3., 2并并给给出出证证明明问问题题将将这这个个事事实实抽抽象象为为数数学学增增加加到到此此时时溶溶液液的的浓浓度度白白糖糖若若在在上上述述溶溶液液中中再

2、再添添加加则则其其浓浓度度为为糖糖溶溶液液白白糖糖制制出出如如果果用用例例mbmamkgbabkgakg bambmabamba 则则且且并并都都是是正正数数已已知知如如下下不不等等式式问问题题可可以以把把上上述述事事实实抽抽象象成成解解,:选修证明不等式的基本方法4bambmabamba 则则且且并并都都是是正正数数已已知知如如下下不不等等式式问问题题可可以以把把上上述述事事实实抽抽象象成成解解,:下面给出证明下面给出证明)()(mbbabmbambma 0)(, 0)(, 0 mbbabmmbaabab都都是是正正数数又又bambmabambmambbabm 0 0)()(即即选修证明不等

3、式的基本方法5., 3等等号号成成立立时时当当且且仅仅当当求求证证是是正正数数已已知知例例babababaabba baabbaabbababababa :证证明明.,1, 0, 1, 0),(等等号号成成立立时时当当且且仅仅当当则则不不妨妨设设不不等等式式不不变变的的位位置置交交换换点点根根据据要要证证的的不不等等式式的的特特bababababababa .,等号成立等号成立时时当且仅当当且仅当bababaabba (2)作商比较法作商比较法选修证明不等式的基本方法6二、综合法与分析法二、综合法与分析法(1)综合法综合法在不等式的证明中在不等式的证明中,我们经常从已知条件和不等式的性我们经常

4、从已知条件和不等式的性质、基本不等式等出发质、基本不等式等出发,通过逻辑推理通过逻辑推理,推导出所要证明推导出所要证明的结论的结论.这种从已知条件出发这种从已知条件出发,利用定义、公理、定理、利用定义、公理、定理、性质等性质等,经过一系列的推理、论证而得出命题成立经过一系列的推理、论证而得出命题成立,这种这种证明方法叫做证明方法叫做综合法综合法.又叫又叫顺推证法或由因导果法顺推证法或由因导果法.用综合法证明不等式的逻辑关系用综合法证明不等式的逻辑关系)()(21结结论论必必要要条条件件逐逐步步推推演演不不等等式式成成立立的的已已知知BBBBAn选修证明不等式的基本方法7abcbacacbcba

5、cba6)()()(, 0, 1222222 求求证证且且不不全全相相等等已已知知例例abccbaabccb2)(, 0,2 :2222 证证明明abcacbbacac2)(, 0,2 2222 abcbaccabba2)(, 0,2 2222 abcbacacbcbacba6)()()(,222222 把把它它们们相相加加得得取取等等号号少少有有一一个个不不所所以以上上述述三三个个式式子子中中至至不不全全相相等等由由于于选修证明不等式的基本方法8nnaaaaa2)1()1)(1(1,aa,Ra,a, 221n21n21 求求证证且且已已知知例例.1,21 ,122)1()1)(1(,21 ,

6、21,21, :21.21212122111时取等号时取等号所以原式在所以原式在取等号取等号时时得得由不等式的性质由不等式的性质同理同理证明证明 niiinnnnnnnaaaaaaaaaaaaRaaaaaaaaaRa选修证明不等式的基本方法9(2)分析法分析法从要证的结论出发从要证的结论出发,逐步寻求使它成立的充分条件逐步寻求使它成立的充分条件,直至直至所需条件为已知条件或一个明显成立的事实所需条件为已知条件或一个明显成立的事实(定义、公定义、公理或已证的定理、性质等理或已证的定理、性质等),从而得出要证的命题成立从而得出要证的命题成立,这种证明方法叫做这种证明方法叫做分析法分析法.这是一种这

7、是一种执果索因执果索因的思考和的思考和证明方法证明方法.用分析法证明不等式的逻辑关系用分析法证明不等式的逻辑关系知知成立的充分条件成立的充分条件论论已已步步寻求不等式步步寻求不等式结结 ) ( 21ABBBBn选修证明不等式的基本方法10用分析法证用分析法证“若若A则则B”这个命题的模式是这个命题的模式是:为了证明命题为了证明命题B为真为真,只需证明命题只需证明命题B1为真为真,从而有从而有只需证明命题只需证明命题B2为真为真,从而有从而有 只需证明命题只需证明命题A为真为真.而已知而已知A为真为真,故故B必真必真.选修证明不等式的基本方法116372 3 求证求证例例.6372,1814,1

8、814,1814,18291429,)63()72(,6372,6372 :22成立成立所以所以成立成立只需证只需证只需证只需证展开得展开得只需证只需证所以要证所以要证都是正数都是正数和和证明证明 选修证明不等式的基本方法12abccbaaccbbacba 222222, 0, 4求求证证已已知知例例yzxzyxcbaabcaccbba22222222222)(,)(: 可以考虑用可以考虑用右边各项涉及三个字母右边各项涉及三个字母平方之积平方之积左边各项是两个字母的左边各项是两个字母的观察上式观察上式要证的不等式可化为要证的不等式可化为分析分析选修证明不等式的基本方法13abccbaaccbb

9、acba 222222, 0, 4求求证证已已知知例例abccbaaccbbacbacbacbacbaabcaccbbaabcacbbcaaccbbaabcbaccabbaacbacbbacacbcacbaabccb 222222222222222222222222222222222222222222, 01, 0, 0,)(222)(22)(, 0,22)(, 0,22)(, 0,2 :故故又又证明证明选修证明不等式的基本方法14三、反证法与放缩法三、反证法与放缩法(1)反证法反证法先假设要证的命题不成立先假设要证的命题不成立,以此为出发点以此为出发点,结合已知条结合已知条件件,应用公理应用

10、公理,定义定义,定理定理,性质等性质等,进行正确的推理进行正确的推理,得到得到和命题的条件和命题的条件(或已证明的定理或已证明的定理,性质性质,明显成立的事实明显成立的事实等等)矛盾的结论矛盾的结论,以说明假设不正确以说明假设不正确,从而证明原命题成从而证明原命题成立立,这种方法称为这种方法称为反证法反证法.对于那些直接证明比较困难对于那些直接证明比较困难的命题常常用反证法证明的命题常常用反证法证明.选修证明不等式的基本方法15. 21,1, 2, 0, 1中至少有一个小于中至少有一个小于试证试证且且已知已知例例xyyxyxyx 211.2,2)(22,21 ,21,0,21,21,21,1:

11、中中至至少少有有一一个个小小于于与与矛矛盾盾这这与与已已知知条条件件且且即即都都不不小小于于假假设设证证明明xyyxyxyxyxyxxyyxyxxyyxxyyx 选修证明不等式的基本方法160.c0,b0,a:0,abc0,cabcab0,cba, 2 求求证证为为实实数数已已知知例例cba., 0, 0, 0.0.0, 0)(, 0, 0, 00, 0)2(.0,0, 0, 0)1(.00, 0,:所所以以原原命命题题成成立立同同理理可可证证综综上上所所述述也也不不可可能能相相矛矛盾盾这这和和已已知知于于是是又又可可得得那那么么由由如如果果不不可可能能矛矛盾盾与与则则如如果果两两种种情情况况

12、讨讨论论和和下下面面分分不不妨妨先先设设正正数数即即其其中中至至少少有有一一个个不不是是不不全全是是正正数数假假设设证证明明 cbaacabcabbccbacabcabacbcbabcabcaaabcabcaaaacba选修证明不等式的基本方法17(2)放缩法放缩法证明不等式时证明不等式时,通过把不等式中的某些部分的值放大或通过把不等式中的某些部分的值放大或缩小缩小,可以使不等式中有关项之间的大小关系更加明确可以使不等式中有关项之间的大小关系更加明确或使不等式中的项得到简化而有利于代数变形或使不等式中的项得到简化而有利于代数变形,从而达从而达到证明的目的到证明的目的,我们把这种方法称为我们把这

13、种方法称为放缩法放缩法.通常放大或缩小的方法是不唯一的通常放大或缩小的方法是不唯一的,因而放缩法具有因而放缩法具有较在原灵活性较在原灵活性;另外另外,用放缩法证明不等式用放缩法证明不等式,关键是放、关键是放、缩适当缩适当,否则就不能达到目的否则就不能达到目的,因此放缩法是技巧性较因此放缩法是技巧性较强的一种证法强的一种证法.选修证明不等式的基本方法1821, 3 caddbdccacbbdbaaRdcba求求证证已已知知例例cadddcbadbdccdcbacacbbdcbabdbaadcbaadcba , 0, : 证明证明baa bab dcc dcd 选修证明不等式的基本方法1921 .

14、 caddabccacbbdbaadcdcbabacadddbccacbbdbaadcbadcba即即得得把以上四个不等式相加把以上四个不等式相加选修证明不等式的基本方法20.111, 4bbaabababa 求证求证是实数是实数已知已知例例.1111111111110 :bbaababbaababababababababa 证证明明选修证明不等式的基本方法21选修证明不等式的基本方法22.|sin|sin|2Nnnn证明不等式例四、数学归纳法.,对对值值不不等等式式用用三三角角函函数数的的性性质质及及绝绝应应注注意意利利在在证证明明递递推推关关系系时时又又与与绝绝对对值值有有关关的的三三角角

15、函函数数问问题题这这是是一一个个涉涉及及正正整整数数分分析析n .,|sin|,式成立不等右边上式左边时当证明 11n . |sin|sin|,kkkkn 即有不等式成立时假设当12,时当1 kn |sincoscossin|sin|kkk 1选修证明不等式的基本方法23|sincos|cossin|kk |sin|cos|cos|sin| kk|sin|sin| k|sin|sin| k . |sin|1 k.时不等式成立所以当1 kn .,均成立不等式对一切正整数可知由n21?的理由中吗的理由中吗你能说出证明中每一步你能说出证明中每一步选修证明不等式的基本方法24 .,:nxxnxxxBe

16、rnoullin 111013那么有那么有的自然数的自然数为大于为大于且且是实数是实数如果如果不等式不等式证明贝努利证明贝努利例例.,进行归纳进行归纳对对我们用数学归纳法只能我们用数学归纳法只能的自然数的自然数是大于是大于的任意实数的任意实数且不等于且不等于于于表示大表示大个字母个字母贝努利不等式中涉及两贝努利不等式中涉及两分析分析nnx101 .,不等式成立得由于时当证明xxxxxn2121102122 .,kxxkknk 1122即有时不等式成立假设当选修证明不等式的基本方法25 kkxxxkn 11111,时当 kxx 1121kxkxx . xk11 .时不等式成立所以当1 kn .,贝努利不等式成立可知由21?的的理理由由中中吗吗你你能能说说出出证证明明中中每每一一步步选修证明不等式的基本方法26此课件下载可自行编辑修改，供参考！感谢您的支持，我们努力做得更好！