高考数学：三角函数与向量的交汇题型分析及解题策略

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1、专题：三角函数与向量的交汇题型分析及解题策略【考试要求】1理解任意角的正弦、余弦、正切的定义了解余切、正割、余割的定义掌握同角三角函数的基本关系式掌握正弦、余弦的诱导公式了解周期函数与最小正周期的意义2掌握两角和与两角差的正弦、余弦、正切公式掌握二倍角的正弦、余弦、正切公式3能正确运用三角公式进行简单三角函数式的化简、求值和恒等式证明4理解正弦函数、余弦函数、正切函数的图像和性质，会用“五点法”画正弦函数、余弦函数和函数y=Asin(x+)的简图，理解A，的物理意义5掌握正弦定理、余弦定理，并能初步运用它们解斜三角形6掌握向量的加法和减法掌握实数与向量的积，理解两个向量共线的充要条件7了解平面

2、向量的基本定理.理解平面向量的坐标的概念，掌握平面向量的坐标运算8掌握平面向量的数量积及其几何意义，了解用平面向量的数量积可以处理有关长度、角度和垂直的问题，掌握向量垂直的条件9掌握平面两点间的距离公式以及线段的定比分点和中点坐标公式，并且能熟练运用掌握平移公式【考点透视】向量具有代数运算性与几何直观性的“双重身份”，即可以象数一样满足“运算性质”进行代数形式的运算，又可以利用它的几何意义进行几何形式的变换.而三角函数是以“角”为自变量的函数，函数值体现为实数，因此平面向量与三角函数在“角”之间存在着密切的联系.同时在平面向量与三角函数的交汇处设计考题，其形式多样，解法灵活，极富思维性和挑战性

3、.主要考点如下：1考查三角式化简、求值、证明及求角问题.2考查三角函数的性质与图像，特别是y=Asin(wx+j)的性质和图像及其图像变换.3考查平面向量的基本概念，向量的加减运算及几何意义，此类题一般难度不大，主要用以解决有关长度、夹角、垂直、平行问题等.4考查向量的坐标表示，向量的线性运算，并能正确地进行运算.5考查平面向量的数量积及运算律(包括坐标形式及非坐标形式)，两向量平行与垂直的充要条件等问题.6考查利用正弦定理、余弦定理解三角形问题.【典例分析】题型一三角函数平移与向量平移的综合三角函数与平面向量中都涉及到平移问题，虽然平移在两个知识系统中讲法不尽相同，但它们实质是一样的，它们都

4、统一于同一坐标系的变化前后的两个图象中.解答平移问题主要注意两个方面的确定：(1)平移的方向；(2)平移的单位.这两个方面就是体现为在平移过程中对应的向量坐标.【例1】把函数ysin2x的图象按向量(，3)平移后，得到函数yAsin(xj)(A0，0，|j|)的图象，则j和B的值依次为（ ）A，3B，3C，3D，3【分析】根据向量的坐标确定平行公式为，再代入已知解析式可得.还可以由向量的坐标得图象的两个平移过程，由此确定平移后的函数解析式，经对照即可作出选择.【解析1】由平移向量知向量平移公式，即，代入ysin2x得y3sin2(x)，即到ysin(2x)3，由此知j，B3，故选C.【解析2】

5、由向量(，3)，知图象平移的两个过程，即将原函数的图象整体向左平移个单位，再向下平移3个单位，由此可得函数的图象为ysin2(x)3，即ysin(2x)3，由此知j，B3，故选C.【点评】此类题型将三角函数平移与向量平移有机地结合在一起，主要考查分析问题、解决问题的综合应用能力，同时考查方程的思想及转化的思想.本题解答的关键，也是易出错的地方是确定平移的方向及平移的大小.题型二三角函数与平面向量平行(共线)的综合此题型的解答一般是从向量平行(共线)条件入手，将向量问题转化为三角问题，然后再利用三角函数的相关知识再对三角式进行化简，或结合三角函数的图象与民性质进行求解.此类试题综合性相对较强，有

6、利于考查学生的基础掌握情况，因此在高考中常有考查.【例2】已知A、B、C为三个锐角，且ABC.若向量(22sinA，cosAsinA)与向量(cosAsinA，1sinA)是共线向量.（）求角A；（）求函数y2sin2Bcos的最大值.【分析】首先利用向量共线的充要条件建立三角函数等式，由于可求得A角的正弦值，再根据角的范围即可解决第()小题；而第()小题根据第()小题的结果及A、B、C三个角的关系，结合三角民恒等变换公式将函数转化为关于角B的表达式，再根据B的范围求最值.【解】（）、共线，(22sinA)(1sinA)(cosAsinA)(cosAsinA)，则sin2A，又A为锐角，所以s

7、inA，则A.（）y2sin2Bcos2sin2Bcos2sin2Bcos(2B)1cos2Bcos2Bsin2Bsin2Bcos2B1sin(2B)1.B(0，)，2B(，)，2B，解得B，ymax2.【点评】本题主要考查向量共线(平行)的充要条件、三角恒等变换公式及三角函数的有界性.本题解答有两个关键：（1）利用向量共线的充要条件将向量问题转化为三角函数问题；（2）根据条件确定B角的范围.一般地，由于在三角函数中角是自变量，因此解决三角函数问题确定角的范围就显得至关重要了.题型三三角函数与平面向量垂直的综合此题型在高考中是一个热点问题，解答时与题型二的解法差不多，也是首先利用向量垂直的充要

8、条件将向量问题转化为三角问题，再利用三角函数的相关知识进行求解.此类题型解答主要体现函数与方程的思想、转化的思想等.【例3】已知向量(3sin,cos)，(2sin，5sin4cos)，(，2)，且（）求tan的值；（）求cos()的值【分析】第()小题从向量垂直条件入手，建立关于的三角方程，再利用同角三角函数的基本关系可求得tan的值；第()小题根据所求得的tan的结果，利用二倍角公式求得tan的值，再利用两角和与差的三角公式求得最后的结果【解】（），0而（3sin，cos），(2sin, 5sin4cos)，故6sin25sincos4cos20 由于cos0，6tan25tan40解之，

9、得tan，或tan（，2），tan0，故tan（舍去）tan（）（，2），（，）由tan，求得tan，tan2（舍去）sin，cos，cos()coscossinsin【点评】本题主要考查向量垂直的充要条件、同角三角函数的基本关系、二倍角公式及两角和与差的三角函数.同时本题两个小题的解答都涉及到角的范围的确定，再一次说明了在解答三角函数问题中确定角的范围的重要性.同时还可以看到第（）小题的解答中用到“弦化切”的思想方法，这是解决在一道试题中同时出现“切函数与弦函数”关系问题常用方法.题型四三角函数与平面向量的模的综合此类题型主要是利用向量模的性质|22，如果涉及到向量的坐标解答时可利用两种方法

10、：（1）先进行向量运算，再代入向量的坐标进行求解；（2）先将向量的坐标代入向量的坐标，再利用向量的坐标运算进行求解.【例3】已知向量(cos,sin)，(cos,sin)，|.()求cos()的值；()若0，且sin，求sin的值.【分析】利用向量的模的计算与数量积的坐标运算可解决第()小题；而第()小题则可变角()，然后就须求sin()与cos即可.【解】()|，222，将向量(cos,sin)，(cos,sin)代入上式得122(coscossinsin)12，cos().()0，0，由cos()，得sin()，又sin，cos，sinsin()sin()coscos()sin.点评：本题

11、主要考查向量的模、数量积的坐标运算、和角公式、同角三角函数的基本关系.本题解答中要注意两点：(1)化|为向量运算|2()2；(2)注意解的范围.整个解答过程体现方程的思想及转化的思想.题型五三角函数与平面向量数量积的综合此类题型主要表现为两种综合方式：(1)三角函数与向量的积直接联系；(2)利用三角函数与向量的夹角交汇，达到与数量积的综合.解答时也主要是利用向量首先进行转化，再利用三角函数知识求解.20090318【例5】设函数f(x).其中向量(m，cosx)，(1sinx，1)，xR，且f()2.（）求实数m的值；（）求函数f(x)的最小值.分析：利用向量内积公式的坐标形式，将题设条件中所

12、涉及的向量内积转化为三角函数中的“数量关系”，从而，建立函数f(x)关系式，第（）小题直接利用条件f()2可以求得，而第()小题利用三角函数函数的有界性就可以求解.解：（）f(x)m(1sinx)cosx，由f()2，得m(1sin)cos2，解得m1.()由（）得f(x)sinxcosx1sin(x)1，当sin(x)1时，f(x)的最小值为1.点评：平面向量与三角函数交汇点较多，向量的平行、垂直、夹角、数量积等知识都可以与三角函数进行交汇.不论是哪类向量知识与三角函数的交汇试题，其解法都差不多，首先都是利用向量的知识将条件转化为三角函数中的“数量关系”，再利用三角函数的相关知识进行求解六、

13、解斜三角形与向量的综合在三角形的正弦定理与余弦定理在教材中是利用向量知识来推导的，说明正弦定理、余弦定理与向量有着密切的联系.解斜三角形与向量的综合主要体现为以三角形的角对应的三角函数值为向量的坐标，要求根据向量的关系解答相关的问题.【例6】已知角A、B、C为ABC的三个内角，其对边分别为a、b、c，若(cos，sin)，(cos，sin)，a2，且（）若ABC的面积S，求bc的值（）求bc的取值范围【分析】第()小题利用数量积公式建立关于角A的三角函数方程，再利用二倍角公式求得A角，然后通过三角形的面积公式及余弦定理建立关于b、c的方程组求取bc的值；第()小题正弦定理及三角形内角和定理建立

14、关于B的三角函数式，进而求得bc的范围.【解】（）(cos，sin)，(cos，sin)，且，cos2sin2，即cosA，又A(0，)，A.又由SABCbcsinA，所以bc4，由余弦定理得：a2b2c22bccosb2c2bc，16(bc)2，故bc4.（）由正弦定理得：4，又BCpA，bc4sinB4sinC4sinB4sin(B)4sin(B)，0B，则B，则sin(B)1，即bc的取值范围是(2，4.点评本题解答主要考查平面向量的数量积、三角恒等变换及三角形中的正弦定理、余弦定理、面积公式、三角形内角和定理等.解答本题主要有两处要注意：第()小题中求bc没有利用分别求出b、c的值为解

15、，而是利用整体的思想，使问题得到简捷的解答；(2)第()小题的求解中特别要注意确定角B的范围.【专题训练】一、选择题1已知(cos40，sin40)，(cos20，sin20)，则（ ）A1BCD2将函数y2sin2x的图象按向量(，)平移后得到图象对应的解析式是（ ）A2cos2xB2cos2xC2sin2xD2sin2x3已知ABC中，若0，则ABC是（ ）A钝角三角形B直角三角形C锐角三角形D任意三角形4设(,sina)，(cosa,)，且，则锐角a为（ ）A30B45C60D755已知(sin，)，(1，)，其中(，)，则一定有（ ）ABC与夹角为45D|6已知向量(6，4)，(0，2

16、),l，若C点在函数ysinx的图象上,实数l（ ）ABCD7由向量把函数ysin(x)的图象按向量(m，0)(m0)平移所得的图象关于y轴对称，则m的最小值为（ ）ABCD8设02时，已知两个向量(cos，sin)，(2sin，2cos)，则向量长度的最大值是（ ）ABC3D29若向量(cosa,sina)，(cosb,sinb)，则与一定满足（ ）A与的夹角等于abBCD()()10已知向量(cos25,sin25)，(sin20,cos20)，若t是实数，且t，则|的最小值为（ ）AB1CD11O是平面上一定点，A、B、C是该平面上不共线的3个点，一动点P满足：l()，l(0,)，则直线

17、AP一定通过ABC的（ ）A外心B内心C重心D垂心2009031812对于非零向量我们可以用它与直角坐标轴的夹角a,b(0ap,0bp)来表示它的方向，称a,b为非零向量的方向角，称cosa,cosb为向量的方向余弦，则cos2acos2b（ ）A1BCD0二、填空题13已知向量(sinq，2cosq)，(,).若，则sin2q的值为_14已知在OAB(O为原点)中，(2cosa，2sina)，(5cosb，5sinb)，若5，则SAOB的值为_.15将函数f(x)tan(2x)1按向量a平移得到奇函数g(x)，要使|a|最小，则a_.16已知向量(1，1)向量与向量夹角为，且1.则向量_三、

18、解答题17在ABC中，角A、B、C的对边分别为a、b、c，若k(kR).（）判断ABC的形状；（）若c，求k的值18已知向量(sinA,cosA)，(,1)，1，且为锐角.()求角A的大小；()求函数f(x)cos2x4cosAsinx(xR)的值域19在ABC中，A、B、C所对边的长分别为a、b、c，已知向量(1，2sinA)，(sinA，1cosA)，满足，bca.()求A的大小；()求sin(B)的值20已知A、B、C的坐标分别为A（4，0），B（0，4），C（3cos，3sin）.（）若(，0)，且|，求角的大小；（）若，求的值21ABC的角A、B、C的对边分别为a、b、c，(2bc，

19、a)，(cosA，cosC)，且()求角A的大小；()当y2sin2Bsin(2B)取最大值时，求角的大小.22已知(cosxsinx，sinx)，(cosxsinx，2cosx)，（）求证：向量与向量不可能平行；（）若f(x)，且x,时，求函数f(x)的最大值及最小值【专题训练】参考答案一、选择题1B解析：由数量积的坐标表示知cos40sin20sin40cos20sin60.2D 【解析】y2sin2xy2sin2（x），即y2sin2x.3A 【解析】因为cosBAC0，BAC为钝角.4B 【解析】由平行的充要条件得sinacosa0，sin2a1，2a90，a45.5B 【解析】sin

20、|sin|，(，)，|sin|sin，0，6A 【解析】l(6，42l)，代入ysinx得，42lsin1，解得l.7B 【解析】考虑把函数ysin(x)的图象变换为ycosx的图象，而ysin(x)cos(x)，即把ycos(x)的图象变换为ycosx的图象，只须向右平行个单位，所以m，故选B.8C 【解析】|3.9D 【解析】(cosacosb,sinasinb)，(cosacosb,sinasinb)，()()cos2acos2bsin2asin2b0，()()10C 【解析】|2|2t2|22t1t22t(sin20cos25cos20sin25)t2t1(t)2，|，|min.11C

21、 【解析】设BC的中点为D，则2，又由l()，2l，所以与共线，即有直线AP与直线AD重合，即直线AP一定通过ABC的重心12A 【解析】设(x,y)，x轴、y轴、z轴方向的单位向量分别为(1,0)，(0,1)，由向量知识得cosa，cosb，则cos2acos2b1.二、填空题13 【解析】由，得sinq2cosq,tanq4，sin2q14 【解析】510cosacobs10sinasinb510cos(ab)5cos(ab)，sinAOB，又|2，|5，SAOB2515（，1） 【解析】要经过平移得到奇函数g(x)，应将函数f(x)tan(2x)1的图象向下平移1个单位，再向右平移(kZ

22、)个单位即应按照向量(，1) (kZ)进行平移要使|a|最小，16(1，0)或(0，1) 【解析】设(x，y)，由1，有xy1 ，由与夹角为，有|cos，|1，则x2y21 ，由解得或 即(1，0)或(0，1) 三、解答题17【解】（）bccosA，cacosB，又，bccosAcacosB，由正弦定理，得sinBcosAsinAcosB，即sinAcosBsinBcosA0，sin(AB)0AB，AB0，即AB，ABC为等腰三角形.（）由（）知，bccosAbc，c，k1.18【解】()由题意得sinAcosA1，2sin(A)1，sin(A)，由A为锐角得A，A.()由（）知cosA，所以

23、f(x)cos2x2sinx12sin2x2sinx2(sinx)2，因为xR，所以sinx1,1，因此，当sinx时，f(x)有最大值当sinx1时，f(x)有最小值3，所以所求函数f(x)的值域是3，19【解】()由，得2sin2A1cosA0，即2cos2AcosA10，cosA或cosA1.A是ABC内角，cosA1舍去，A.()bca，由正弦定理，sinBsinCsinA，BC，sinBsin(B)，cosBsinB，即sin(B)20【解】（）由已知得：，则sincos，因为(，0)，.（）由(3cos4)3cos3sin(3sin4)0，得sincos，平方，得sin2.而2si

24、ncossin221【解】()由，得0，从而(2bc)cosAacosC0，由正弦定理得2sinBcosAsinCcosAsinAcosC02sinBcosAsin(AC)0，2sinBcosAsinB0，A、B(0，)，sinB0，cosA，故A.()y2sin2B2sin(2B)(1cos2B)sin2Bcoscos2Bsin1sin2B cos2B1sin(2B).由()得，0B，2B，当2B，即B时，y取最大值2.22【解】（）假设，则2cosx(cosxsinx)sinx(cosxsinx)0，2cos2xsinxcosxsin2x0，2sin2x0，即sin2xcos2x3，(sin2x)3，与|(sin2x)|矛盾，故向量与向量不可能平行（）f(x)(cosxsinx)(cosxsinx)sinx2cosxcos2xsin2x2sinxcosxcos2xsin2x(cos2xsin2x)(sin2x)，x，2x，当2x，即x时，f(x)有最大值；当2x，即x时，f(x)有最小值1w.w.w.k.s.5.u.c.o.m w.w.w.k.s.5.u.c.o.m