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1、北京市2017届高三综合练习数学（理）本试卷分第卷和第卷两部分，第卷1至2页，第卷3至6页，共150分。考试时长120分钟。考生务必将答案答在答题卡上，在试卷上作答无效。考试结束后，将答题卡务必交回。第卷（选择题 40分）一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分. 在每小题给出的四个选项中，选出符合题目要求的一项.1已知集合=A B CD2记者为4名志愿者和他们帮助的1位老人拍照，要求排成一排，且老人必须排在正中间，那么不同的排法共有120种 B72种 C56种 24种3已知直线过定点（-1，1），则“直线的斜率为0”是“直线与圆相切”的A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要
2、条件 D.既不充分也不必要条件 4若向量与的夹角为120 ，且，则有 A. B. C. D. 5执行如图所示的程序框图所表示的程序，则所得的结果为A. B. C. D.6已知一个棱长为2的正方体，被一个平面截后所得几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积是 A8 B C D7若函数（，）在 一个周期内的图象如图所示，分别是这段图象的最高点和最低点，且（为坐标原点），则A B C D8已知函数，则不等式的解集是 A BC D第卷（非选择题 110分）二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分. 9若，且为纯虚数，则a的值是 10在极坐标系中，圆上的点到直线的距离的最小值是 .O11在二项式
3、的展开式中，各项系数之和为，各项二项式系数之和为，且，则_ 12已知函数，在函数的定义域内任取一点，使得的概率是_ 13如图，已知与圆相切于点，半径，交点，若圆的半径为3，则的长度_14 在直角坐标平面内，已知点列 如果为正偶数，则向量的纵坐标（用表示）为_ 三、解答题：本大题共6小题，共80分. 解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程.15（本小题满分12分）设ABC的内角A、B、C所对的边分别为a，b，c，且.（）求角A的大小； （）求的取值范围16（本小题12分） 如图，已知四棱锥PABCD的底面是直角梯形，AB=BC=2CD=2，PB=PC，侧面底面ABCD，O是BC的中点（）求证：平
4、面ABCD；（）求证：；（）若二面角DPAO的余弦值为，求PB的长17（本小题满分13分）研究室有甲、乙两个课题小组，根据以往资料统计，甲、乙两小组完成课题研究各项任务的概率依次分别为，现假设每个课题研究都有两项工作要完成，并且每项工作的完成互不影响，若在一次课题研究中，两小组完成任务项数相等且都不少于一项，则称该研究为“先进和谐室”（）若，求该研究室在完成一次课题任务中荣获“先进和谐室”的概率；（）设在完成6次课题任务中该室获得“先进和谐室”的次数为时，P2的取值范围18（本小题满分13分） 已知函数的图象过点，且在处取得极值（）求实数的值；（）求在（为自然对数的底数）上的最大值高考资源网1
5、9（本小题满分14分）已知直线经过椭圆的左顶点和上顶点 椭圆的右顶点为，点是椭圆上位于轴上方的动点，直线与直线分别交于两点，如图所示（）求椭圆的方程； （）求线段的长度的最小值；（）当线段的长度的最小时，在椭圆上是否存在这样的点，使得的面积为？若存在确定点的个数，若不存在，请说明理由OAByDSMxN20（本小题满分13分）已知函数 f (x) 对任意x R都有 （）求 的值；（）若数列an 满足：= +，那么数列 是等差数列吗？请给予证明；高考资源网（）令试比较与的大小（考生务必将答案答在答题卡上，在试卷上作答无效） 参考答案及评分标准(理工类) 题号12345678答案 DDABBCBD一
6、、选择题：本大题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分. 二、填空题：本大题共 6 小题，每小题 5 分，共 30 分. 9. 10. 6 11. 312. 13. 14. 三、解答题：本大题共 6 小题，共 80 分. 15（本小题满分12分）设ABC的内角A、B、C所对的边分别为a，b，c，且.（）求角A的大小； （）求的取值范围解：（）由得 高考资源网 在中，所以 （） , 的取值范围是 16（本小题12分） 如图，已知四棱锥PABCD的底面是直角梯形，AB=BC=2CD=2，PB=PC，侧面底面ABCD，O是BC的中点（）求证：平面ABCD；（）求证：；（）若二面角DPAO的余弦值
7、为，求PB的长（）证明：因为，是的中点，所以，又侧面PBC底面ABCD，平面，面PBC底面ABCD，所以平面 （）证明：以点为坐标原点，建立如图空间直角坐标系， 设,则， 因为，所以，即 （）解：设平面和平面的法向量分别为， 注意到， 由 高考资源网，令得， 由令得， 所以，解之得，所以为所求 17（本小题满分13分）研究室有甲、乙两个课题小组，根据以往资料统计，甲、乙两小组完成课题研究各项任务的概率依次分别为，现假设每个课题研究都有两项工作要完成，并且每项工作的完成互不影响，若在一次课题研究中，两小组完成任务项数相等且都不少于一项，则称该研究为“先进和谐室”（）若，求该研究室在完成一次课题任
8、务中荣获“先进和谐室”的概率；（）设在完成6次课题任务中该室获得“先进和谐室”的次数为时，P2的取值范围解：（） （）研究室在一次任务中荣获“先进和谐室”的概率 而xB(6,P),所以Ex=6P，由Ex2.5知 解得，而，所以18（本小题满分13分） 已知函数的图象过点，且在处取得极值 （）求实数的值； （）求在（为自然对数的底数）上的最大值解：（）当时， 由题意得：，即， 解得：。 （）由（）知：当时，解得；解得或在和上单减，在上单增，由得：或， ，在上的最大值为. 当时，当时，；当时，在单调递增；在上的最大值为。 当时，在上的最大值为； 高考资源网当时，在上的最大值为. 19（本小题满分1
9、4分）已知直线经过椭圆的左顶点和上顶点 椭圆的右顶点为，点是椭圆上位于轴上方的动点，直线与直线分别交于两点，如图所示（）求椭圆的方程； （）求线段的长度的最小值；（）当线段的长度的最小时，在椭圆上是否存在这样的点，使得的面积为？若存在，确定点的个数，若不存在，请说明理由OAByDSMxN解：（）由题得椭圆方程为： （）设直线的方程为，从而可知点的坐标为 由得 所以可得的方程为，从而可知点的坐标 ，当且仅当时等号成立 故当时，线段的长度取最小值 高考资源网（）由（）知,当取最小值时，此时直线的方程为，。要使椭圆C上存在点T，使得的面积等于，只需T到直线BS的距离等于，所以点T在平行于直线BS且与直线BS的距离等于的直线上。直线：；直线：，得或则直线：或无解；有两个解所以T有两个。 20（本小题满分13分）已知函数 f (x) 对任意x R都有 （）求 的值；（）若数列an 满足：= +，那么数列 是等差数列吗？请给予证明；（）令试比较与的大小解：（）因为所以 （）令，得，即 ,又两式相加：7分所以，又故数列an 是等差数列 （）, 高考资源网 , 所以 。
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